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Worked Examples 例題庫

這頁是 ISF / phase noise / jitter 的動手例題庫。理論頁教你公式怎麼來，這裡教你 把數字代進去、算到底、檢查單位、用一行 Python 驗證。所有公式都從 [AUTHORING_SPEC 權威公式表] 逐字沿用，數值以 numerical_feeling 與規範第 8 節 canonical 為主（qmax=1q_{max}=1 pC、Γrms=0.5\Gamma_{rms}=0.5、f0=5f_0=5 GHz、L(1MHz)=−100\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100 dBc/Hz）。

怎麼用這頁：先遮住「逐步解」，自己算一遍，再對答案。類比設計師的核心能力是 在白板上估數量級——看到「−100-100 dBc/Hz @ 1 MHz、5 GHz」要能 30 秒內喊出 「幾百 fs jitter」。每題最後的 Python 一行只用來「驗算」，不是用來「代替手算」。

分四級：

  • (A) 基礎換算：rad ↔ fs、dBc ↔ linear、phase PSD ↔ L\mathcal{L}。練到變反射動作。
  • (B) ISF → phase noise：Eq.(21)/(23)/(24) 代數，把 Γrms,c0,qmax\Gamma_{rms},c_0,q_{max} 代成 dBc/Hz。
  • (C) jitter 積分：由 L(f)\mathcal{L}(f) 積分得 σt\sigma_t；period jitter 的高通核。
  • (D) 設計反推：要 −120-120 dBc/Hz 需多大 qmax/Γrmsq_{max}/\Gamma_{rms}；ring 級數 NN 怎麼選。

每題格式固定：題目 → 逐步解（帶單位）→ 結果 → dimension check → 一行 Python 驗證。 Python 都引用 simulations/common/ 的真實函式（見規範第 5 節 API），可直接跑。

A 級：基礎換算​

這一級只有兩條核心關係，務必背到底：

Δt=Δϕ2πf0,Llinear=10LdBc/Hz/10,Sϕ=2 Llinear.\Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0},\qquad \mathcal{L}_{\text{linear}}=10^{\mathcal{L}_{\text{dBc/Hz}}/10},\qquad S_\phi=2\,\mathcal{L}_{\text{linear}} .

例 A1：phase → time（1 mrad 在 5 GHz 是幾 fs？）​

題目：f0=5f_0=5 GHz、Δϕ=1\Delta\phi=1 mrad，求 timing error Δt\Delta t。

逐步解

第 1 步，寫出 phase→time 換算（規範公式 17，Δt=Δϕ/(2πf0)\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)）。2πf02\pi f_0 的單位是 rad/s（角頻率），Δϕ\Delta\phi 是 rad，相除得秒：

Δt=Δϕ2πf0=1×10−3 rad2π×5×109 rad/s.\Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0}=\frac{1\times10^{-3}\ \text{rad}}{2\pi\times5\times10^{9}\ \text{rad/s}} .

第 2 步，算分母：2π×5×109=3.1416×10102\pi\times5\times10^{9}=3.1416\times10^{10} rad/s。

Δt=10−33.1416×1010 s=3.183×10−14 s=31.8 fs.\Delta t=\frac{10^{-3}}{3.1416\times10^{10}}\ \text{s}=3.183\times10^{-14}\ \text{s}=31.8\ \text{fs} .

結果：Δt≈31.8\Delta t\approx31.8 fs。

Dimension check：[rad]/[rad/s]=[s][\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}] ✓。手感記憶點：5 GHz 下「1 mrad ≈ 32 fs」； 反過來「1 rad ≈ 31.8 ps」（剛好同樣的 31.8331.83 數字，差 10310^3 倍級）。週期 T=200T=200 ps，所以 1 mrad 約是週期的 1.6×10−41.6\times10^{-4}。

Python 驗證

from simulations.common.noise_utils import phase_to_time_error
print(phase_to_time_error(1e-3, 5e9) * 1e15, "fs")   # -> 31.83 fs

例 A2：dBc/Hz → linear（−100 dBc/Hz 是多少？）​

題目：L=−100\mathcal{L}=-100 dBc/Hz，換成 linear（每 Hz 相對載波的功率比），再還原 phase PSD SϕS_\phi。

逐步解

第 1 步，dBc/Hz 是 10log⁡10(⋅)10\log_{10}(\cdot) 的「分貝相對載波」單位，反運算除以 10 再取 10 的次方：

Llinear=10L/10=10−100/10=10−10 [1/Hz].\mathcal{L}_{\text{linear}}=10^{\mathcal{L}/10}=10^{-100/10}=10^{-10}\ [\text{1/Hz}] .

第 2 步，小角單音 PM 近似下 L(f)≈12Sϕ(f)\mathcal{L}(f)\approx\tfrac12 S_\phi(f)（規範公式 16 與第 10.2 節 「L≈12SϕL\approx\tfrac12 S_\phi」推導），故反推 phase PSD：

Sϕ=2 Llinear=2×10−10 rad2/Hz.S_\phi=2\,\mathcal{L}_{\text{linear}}=2\times10^{-10}\ \text{rad}^2/\text{Hz} .

結果：Llinear=10−10\mathcal{L}_{\text{linear}}=10^{-10}／Hz、Sϕ=2×10−10S_\phi=2\times10^{-10} rad²/Hz。

Dimension check：dBc/Hz 是無因次功率比 per Hz；Llinear\mathcal{L}_{\text{linear}} 也是 1/Hz；乘 2 後當 phase PSD 讀作 rad²/Hz（rad² 是相位方差的單位，方差密度對 ff 積分後得 rad²）✓。口訣：每 −10-10 dB = 線性少一個數量級；每 −20-20 dB = 電壓/相位幅度少一個數量級。

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import phase_psd_to_l_dbc_per_hz
s_phi = 2 * 10**(-100/10)
print(s_phi, "rad^2/Hz")                       # -> 2e-10
print(phase_psd_to_l_dbc_per_hz(s_phi), "dBc/Hz")  # -> -100.0 (來回一致)

例 A3：injected charge → phase step → time（1 fC 踢一下）​

題目（canonical 例 A）：qmax=1q_{max}=1 pC、Δq=1\Delta q=1 fC、Γ=0.5\Gamma=0.5、f0=5f_0=5 GHz。 求單一脈衝造成的 phase step Δϕ\Delta\phi 與 timing error Δt\Delta t。

逐步解

第 1 步，用 ISF 操作型定義（規範公式 5，Δϕ=Γ(ω0τ) Δq/qmax\Delta\phi=\Gamma(\omega_0\tau)\,\Delta q/q_{max}）。 Γ\Gamma 無因次、Δq/qmax\Delta q/q_{max} 無因次，所以 Δϕ\Delta\phi 是純數（rad）：

Δϕ=Γ Δqqmax=0.5×(1×10−15 C)1×10−12 C=5×10−4 rad.\Delta\phi=\frac{\Gamma\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{0.5\times(1\times10^{-15}\ \text{C})}{1\times10^{-12}\ \text{C}}=5\times10^{-4}\ \text{rad} .

換成度：5×10−4×180π≈0.0286∘5\times10^{-4}\times\dfrac{180}{\pi}\approx0.0286^\circ。

第 2 步，用 A1 的換算轉成時間（f0=5f_0=5 GHz）：

Δt=5×10−42π×5×109 s≈1.59×10−14 s=15.9 fs.\Delta t=\frac{5\times10^{-4}}{2\pi\times5\times10^{9}}\ \text{s}\approx1.59\times10^{-14}\ \text{s}=15.9\ \text{fs} .

結果：Δϕ=5×10−4\Delta\phi=5\times10^{-4} rad（0.0286∘0.0286^\circ）、Δt≈15.9\Delta t\approx15.9 fs。

Dimension check：Δϕ\Delta\phi：[C]/[C]=[\text{C}]/[\text{C}]= 無因次 ✓；Δt\Delta t：[rad]/[rad/s]=[s][\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}] ✓。 手感：1 fC ≈ 6240 個電子；在最敏感相位也只踢出 ~16 fs。單顆很小，但 noise 持續踢、 會被相位積分器累積（見 convolution_derivation）。

Python 驗證

from simulations.common.isf_utils import impulse_to_phase_step
from simulations.common.noise_utils import phase_to_time_error
dphi = impulse_to_phase_step(delta_q=1e-15, gamma_value=0.5, qmax=1e-12)
print(dphi, "rad ->", phase_to_time_error(dphi, 5e9)*1e15, "fs")  # 0.0005 rad -> 15.92 fs

例 A4：相位敏感度隨注入相位變（LTV 的味道）​

題目：理想 LC 振盪器 ISF 為 Γ(θ)=−sin⁡θ\Gamma(\theta)=-\sin\theta。同樣 Δq=1\Delta q=1 fC、qmax=1q_{max}=1 pC， 分別在 zero-crossing（θ=π/2\theta=\pi/2，波形斜率最大）與 peak（θ=0\theta=0，波形頂點）注入， 求各自的 Δϕ\Delta\phi。

逐步解

第 1 步，先取兩處 ISF 值。注意這裡的相位約定：V∝cos⁡θV\propto\cos\theta 時波峰在 θ=0\theta=0、 zero-crossing（下降沿）在 θ=π/2\theta=\pi/2，理想 LC 的 Γ=−sin⁡θ\Gamma=-\sin\theta：

Γ(θ=π/2)=−sin⁡π2=−1,Γ(θ=0)=−sin⁡0=0.\Gamma(\theta=\pi/2)=-\sin\tfrac{\pi}{2}=-1,\qquad \Gamma(\theta=0)=-\sin 0=0 .

第 2 步，各代入 Δϕ=Γ Δq/qmax\Delta\phi=\Gamma\,\Delta q/q_{max}（Δq/qmax=10−15/10−12=10−3\Delta q/q_{max}=10^{-15}/10^{-12}=10^{-3}）：

ΔϕZC=(−1)(10−3)=−1×10−3 rad,Δϕpeak=(0)(10−3)=0 rad.\Delta\phi_{\text{ZC}}=(-1)(10^{-3})=-1\times10^{-3}\ \text{rad},\qquad \Delta\phi_{\text{peak}}=(0)(10^{-3})=0\ \text{rad}.

結果：在 zero-crossing 注入 → −1-1 mrad（最大相位效應）；在 peak 注入 → 0 rad（純改振幅、不改相位）。

Dimension check：兩者皆 [ ]⋅[C]/[C]=[\,]\cdot[\text{C}]/[\text{C}]= rad ✓。這就是 LTV（線性時變）的本質： 同一個 impulse，效果取決於「踢在波形的哪個相位」。peak 處 Γ=0\Gamma=0 是因為那裡只有徑向（振幅） 擾動、沒有切向（相位）分量，而振幅會被 restoring 拉回。見 impulse_to_phase_shift。

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import gamma_lc_ideal, impulse_to_phase_step
for name, th in [("ZC", np.pi/2), ("peak", 0.0)]:
    g = gamma_lc_ideal(th)                       # = -sin(theta)
    print(name, impulse_to_phase_step(1e-15, g, 1e-12), "rad")
# ZC -0.001 rad ; peak 0.0 rad

B 級：ISF → phase noise（代數）​

這一級反覆用三條招牌公式（全部 [P1]，逐字沿用規範第 3 節）：

  • 白噪 1/f² [P1] Eq.(21), p.185： L=10log⁡10 ⁣(Γrms2qmax2⋅in2‾/Δf4Δω2)\mathcal{L}=10\log_{10}\!\big(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\Delta\omega^2}\big)
  • flicker 1/f³ [P1] Eq.(23), p.185：含 c02c_0^2 與 ω1/f/Δω\omega_{1/f}/\Delta\omega 因子。
  • 1/f³ corner [P1] Eq.(24), p.185：Δω1/f3=ω1/f c02/(2Γrms2)\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\,c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)。

提醒：Eq.(21) 的分母是 4Δω24\Delta\omega^2（SSB 記帳慣例）。時域乾淨推導會得到 2Δω22\Delta\omega^2， 差的 2 倍是文獻上著名的小爭議，不影響 Γrms2/qmax2\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2 scaling 與 −20-20 dB/dec 斜率。 詳見 white_noise_to_phase_noise。本頁一律用 [P1] 原式的 4Δω24\Delta\omega^2。

例 B1：白噪 → L（canonical 例 B，逐位算到底）​

題目：f0=5f_0=5 GHz、Δf=1\Delta f=1 MHz offset、qmax=1q_{max}=1 pC、Γrms=0.5\Gamma_{rms}=0.5、 白噪 in2‾/Δf=Si=10−24\overline{i_n^2}/\Delta f=S_i=10^{-24} A²/Hz。用 Eq.(21) 求 L(1MHz)\mathcal{L}(1\text{MHz})。

逐步解

第 1 步，把 offset 頻率換成角頻率：Δω=2πΔf=2π×106=6.283×106\Delta\omega=2\pi\Delta f=2\pi\times10^{6}=6.283\times10^{6} rad/s， Δω2=3.948×1013 (rad/s)2\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}\ (\text{rad/s})^2。

第 2 步，算 Eq.(21) 括號內的值（先把無因次與帶單位部分分開）：

Γrms2qmax2=0.25(10−12)2=0.25×1024=2.5×1023 C−2.\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}=\frac{0.25}{(10^{-12})^2}=0.25\times10^{24}=2.5\times10^{23}\ \text{C}^{-2} . Si4Δω2=10−244×3.948×1013=10−241.579×1014=6.333×10−39 A2/Hz⋅s2.\frac{S_i}{4\Delta\omega^2}=\frac{10^{-24}}{4\times3.948\times10^{13}}=\frac{10^{-24}}{1.579\times10^{14}}=6.333\times10^{-39}\ \text{A}^2/\text{Hz}\cdot\text{s}^2 .

第 3 步，相乘（單位下面再 check）：

2.5×1023×6.333×10−39=1.583×10−15.2.5\times10^{23}\times6.333\times10^{-39}=1.583\times10^{-15} .

第 4 步，取 10log⁡1010\log_{10}：

L=10log⁡10(1.583×10−15)=−148.0 dBc/Hz.\mathcal{L}=10\log_{10}(1.583\times10^{-15})=-148.0\ \text{dBc/Hz} .

結果：L(1MHz)=−148.0\mathcal{L}(1\text{MHz})=-148.0 dBc/Hz。

Dimension check：括號內必須無因次（log 的引數）。 [C−2]⋅[A2 Hz−1 s2][\text{C}^{-2}]\cdot[\text{A}^2\,\text{Hz}^{-1}\,\text{s}^2]；用 A=C/s\text{A}=\text{C/s} ⇒ A2=C2/s2\text{A}^2=\text{C}^2/\text{s}^2， Hz−1=s\text{Hz}^{-1}=\text{s}，整理 C−2⋅(C2/s2)⋅s⋅s2=C−2⋅C2⋅s−2⋅s3=s\text{C}^{-2}\cdot(\text{C}^2/\text{s}^2)\cdot\text{s}\cdot\text{s}^2=\text{C}^{-2}\cdot\text{C}^2\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{s}^{3}=\text{s}。 還差一個 1/s1/\text{s}——它來自 PSD 的「per Hz」本質：結果是「每 Hz 的相對功率」，故引數實為 1/Hz，取 log 後是 dBc/Hz ✓。 （這就是為何單位很容易看走眼；記住「最終是 dBc/Hz」即可。）

手感：這是「單一理想白噪源」的下限。真實電路有多個 noise 源、cyclostationary、flicker， 實測會比這高出數十 dB。

Python 驗證

import numpy as np
Grms, qmax, Si = 0.5, 1e-12, 1e-24
dw = 2*np.pi*1e6
L = 10*np.log10((Grms**2/qmax**2) * (Si/(4*dw**2)))
print(round(L, 2), "dBc/Hz")    # -> -148.0

例 B2：用 Parseval 從 cnc_n 求 Γrms\Gamma_{rms}，再算 L​

題目：理想 LC 的 ISF 純粹是 Γ(θ)=−sin⁡θ\Gamma(\theta)=-\sin\theta，即只有一階諧波 c1=1c_1=1、其餘 cn=0c_n=0。 （a）用 Parseval（Eq.(20)）求 Γrms\Gamma_{rms}；（b）若 qmax=1q_{max}=1 pC、Si=10−24S_i=10^{-24}、Δf=1\Delta f=1 MHz，求 L。

逐步解

第 1 步（a），Parseval（[P1] Eq.(20)）：∑ncn2=2Γrms2\sum_n c_n^2=2\Gamma_{rms}^2。這裡 ∑ncn2=c12=1\sum_n c_n^2=c_1^2=1，故

2Γrms2=1 ⇒ Γrms=12≈0.707.2\Gamma_{rms}^2=1\ \Rightarrow\ \Gamma_{rms}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707 .

（直接驗：Γrms2=12π∫02πsin⁡2θ dθ=12\Gamma_{rms}^2=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\tfrac12，亦得 Γrms=1/2\Gamma_{rms}=1/\sqrt2 ✓。）

第 2 步（b），代 Eq.(21)，Γrms2=0.5\Gamma_{rms}^2=0.5：

L=10log⁡10 ⁣(0.5(10−12)2⋅10−244×3.948×1013)=10log⁡10(3.166×10−15)=−145.0 dBc/Hz.\mathcal{L}=10\log_{10}\!\left(\frac{0.5}{(10^{-12})^2}\cdot\frac{10^{-24}}{4\times3.948\times10^{13}}\right) =10\log_{10}(3.166\times10^{-15})=-145.0\ \text{dBc/Hz} .

結果：Γrms=0.707\Gamma_{rms}=0.707；L(1MHz)=−145.0\mathcal{L}(1\text{MHz})=-145.0 dBc/Hz。

Dimension check：Γrms\Gamma_{rms} 無因次（cnc_n 無因次）✓；L 同例 B1，dBc/Hz ✓。 注意 Γrms=0.707\Gamma_{rms}=0.707 比 canonical 的 0.50.5 大，故 L 比 B1 高約 33 dB（10log⁡10(0.5/0.25)=310\log_{10}(0.5/0.25)=3 dB）， 合理。

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import gamma_lc_ideal, gamma_rms
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100000, endpoint=False)
Grms = gamma_rms(theta, gamma_lc_ideal(theta))
print("Grms =", round(Grms, 4))                       # -> 0.7071
L = 10*np.log10((Grms**2/(1e-12)**2)*(1e-24/(4*(2*np.pi*1e6)**2)))
print(round(L, 2), "dBc/Hz")                           # -> -145.0

例 B3：對稱性與 1/f³（c0c_0 的角色）​

題目：兩顆振盪器，白噪與 qmaxq_{max} 相同，ω1/f=2π×1\omega_{1/f}=2\pi\times1 MHz。A 波形完全對稱（c0=0c_0=0）， B 略不對稱（c0=0.2c_0=0.2，c1=1c_1=1）。問：哪顆有 close-in 1/f³ 上轉？在 Δf=10\Delta f=10 kHz 各自的 1/f³ 貢獻如何？

逐步解

第 1 步，看 Eq.(23)：1/f³ 區的 phase noise 正比於 c02c_0^2。

L1/f3=10log⁡10 ⁣(c02qmax2⋅Si8Δω2⋅ω1/fΔω).\mathcal{L}_{1/f^3}=10\log_{10}\!\left(\frac{c_0^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{S_i}{8\Delta\omega^2}\cdot\frac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}\right) .

第 2 步，對 A：c0=0⇒c_0=0\Rightarrow 括號 =0⇒L1/f3→−∞=0\Rightarrow \mathcal{L}_{1/f^3}\to-\infty dBc/Hz（沒有 flicker 上轉， 1/f³ 區被完全抑制）。實務上不會真的 −∞-\infty（其他機制接手），但相對 B 可低非常多。

第 3 步，對 B：c0=0.2c_0=0.2，有限值。用 Eq.(24) 比較兩者的 1/f³ corner：

Δω1/f3=ω1/f⋅c022Γrms2.\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\Gamma_{rms}^2} .

對 B，∑cn2=c02+c12=0.04+1=1.04⇒Γrms2=0.52\sum c_n^2=c_0^2+c_1^2=0.04+1=1.04\Rightarrow\Gamma_{rms}^2=0.52，故

Δω1/f3,B=ω1/f⋅0.042×0.52=ω1/f×0.0385.\Delta\omega_{1/f^3,B}=\omega_{1/f}\cdot\frac{0.04}{2\times0.52}=\omega_{1/f}\times0.0385 .

即 B 的 1/f³ corner 在 ≈0.0385 ω1/f=2π×38.5\approx0.0385\,\omega_{1/f}=2\pi\times38.5 kHz。對 A，corner →0\to0。

結果：A（對稱、c0=0c_0=0）沒有 1/f³ 上轉；B（c0=0.2c_0=0.2）有，corner 約 38.538.5 kHz。 設計守則：靠波形對稱性壓低 c0c_0，就能把 1/f³ corner 推到遠低於 device 的 ω1/f\omega_{1/f}。

Dimension check：Eq.(24) 中 c02/Γrms2c_0^2/\Gamma_{rms}^2 無因次，乘 ω1/f\omega_{1/f}（rad/s）得 rad/s ✓。

Python 驗證

import numpy as np
w_1f = 2*np.pi*1e6
for name, c0, c1 in [("A", 0.0, 1.0), ("B", 0.2, 1.0)]:
    Grms2 = 0.5*(c0**2 + c1**2)          # Parseval: sum cn^2 = 2 Grms^2
    corner = w_1f * c0**2/(2*Grms2)
    print(name, "1/f^3 corner =", corner/(2*np.pi)*1e-3, "kHz")
# A 0.0 kHz ; B 38.46 kHz

例 B4：白噪 floor 與 offset 的 −20 dB/dec 斜率​

題目：沿用 B1 的振盪器（L(1MHz)=−148\mathcal{L}(1\text{MHz})=-148 dBc/Hz，1/f² 區）。問 Δf=10\Delta f=10 MHz 時的 L？ （即把 offset 拉遠 10 倍。）

逐步解

第 1 步，Eq.(21) 中 L∝1/Δω2\mathcal{L}\propto1/\Delta\omega^2，取 log 後是 −20log⁡10Δω+-20\log_{10}\Delta\omega+const， 即每 offset ×10，L 掉 20 dB（−20-20 dB/decade）。

第 2 步，Δf\Delta f 由 1 MHz → 10 MHz（×10）：

L(10MHz)=L(1MHz)−20log⁡10(10)=−148−20=−168 dBc/Hz.\mathcal{L}(10\text{MHz})=\mathcal{L}(1\text{MHz})-20\log_{10}(10)=-148-20=-168\ \text{dBc/Hz} .

結果：L(10MHz)=−168\mathcal{L}(10\text{MHz})=-168 dBc/Hz。

Dimension check：−20log⁡10(Δf2/Δf1)-20\log_{10}(\Delta f_2/\Delta f_1) 的引數無因次（頻率比）✓，結果是 dB 差，加到 dBc/Hz 仍是 dBc/Hz ✓。 手感：1/f² 區「每 decade 掉 20 dB」是 phase noise 圖最常用的目視斜率；對照 1/f³ 區是 −30-30 dB/dec。

Python 驗證

import numpy as np
Grms, qmax, Si = 0.5, 1e-12, 1e-24
def L(df): return 10*np.log10((Grms**2/qmax**2)*(Si/(4*(2*np.pi*df)**2)))
print(round(L(1e6),2), round(L(10e6),2), "dBc/Hz",
      "slope =", round(L(10e6)-L(1e6),1), "dB/dec")   # -148.0 -168.0 ; -20.0

C 級：jitter 積分​

核心：phase noise 是頻域密度，jitter 是時域的 rms，兩者用「積分 + 開根號 + ÷(2πf0)\div(2\pi f_0)」連起來 （規範公式 18、19）：

σϕ2=∫f1f2Sϕ(f) df,σt=σϕ2πf0.\sigma_\phi^2=\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df,\qquad \sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0} .

例 C1：L(f) → rms jitter（canonical 例 C，1/f² 積分）​

題目：L(1MHz)=−100\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100 dBc/Hz、1/f² 斜率、由 f1=1f_1=1 MHz 積到 f2=100f_2=100 MHz、 f0=5f_0=5 GHz，求 σϕ\sigma_\phi 與 σt\sigma_t。

逐步解

第 1 步，把 datasheet 點換成 phase PSD（用 A2）：Sϕ(fref)=2×10−10S_\phi(f_{ref})=2\times10^{-10} rad²/Hz，fref=1f_{ref}=1 MHz。

第 2 步，寫 1/f² 形狀（以 freff_{ref} 錨定）：

Sϕ(f)=Sϕ(fref)(freff)2=2×10−10 (106)2 1f2.S_\phi(f)=S_\phi(f_{ref})\left(\frac{f_{ref}}{f}\right)^2=2\times10^{-10}\,(10^6)^2\,\frac1{f^2} .

第 3 步，積分（∫f−2df=−1/f\int f^{-2}df=-1/f）：

σϕ2=2×10−10(106)2 ⁣∫106108 ⁣dff2=2×102(1106−1108)=200×9.9×10−7=1.98×10−4 rad2.\sigma_\phi^2=2\times10^{-10}(10^6)^2\!\int_{10^6}^{10^8}\!\frac{df}{f^2} =2\times10^{2}\left(\frac1{10^6}-\frac1{10^8}\right)=200\times9.9\times10^{-7}=1.98\times10^{-4}\ \text{rad}^2 .

故 σϕ=1.98×10−4=1.407×10−2\sigma_\phi=\sqrt{1.98\times10^{-4}}=1.407\times10^{-2} rad =14.07=14.07 mrad。

第 4 步，換成 rms jitter（f0=5f_0=5 GHz）：

σt=σϕ2πf0=1.407×10−22π×5×109≈4.48×10−13 s=447.9 fs.\sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1.407\times10^{-2}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx4.48\times10^{-13}\ \text{s}=447.9\ \text{fs} .

結果：σϕ=14.07\sigma_\phi=14.07 mrad、σt=447.9\sigma_t=447.9 fs。

Dimension check：σϕ2\sigma_\phi^2：[rad2/Hz]⋅[Hz]=rad2[\text{rad}^2/\text{Hz}]\cdot[\text{Hz}]=\text{rad}^2 ✓；σt\sigma_t：[rad]/[rad/s]=[s][\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}] ✓。 手感：1/f² 積分被下限 f1f_1 主導（1/f1≫1/f21/f_1\gg1/f_2）——「從哪裡開始積」對結果最關鍵。 若改成 −120-120 dBc/Hz @ 1 MHz（好 20 dB = 功率 1/100、幅度 1/10），jitter 縮到 ~45 fs。

由 L(f) 積分得 rms jitter

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter
f = np.logspace(6, 8, 4000)                              # 1 MHz -> 100 MHz
L = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)     # 1/f^2 skirt
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0=5e9, fmin=1e6, fmax=100e6)
print(round(sigma_phi*1e3,2), "mrad ;", round(sigma_t*1e15,1), "fs")  # 14.07 mrad ; 447.9 fs

例 C2：積分下限主導——換下限會怎樣？​

題目：同 C1 的譜（−100-100 dBc/Hz @ 1 MHz、1/f²、f0=5f_0=5 GHz），但改成從 f1=100f_1=100 kHz 積到 100 MHz。 估 σt\sigma_t，並和 C1 比較。

逐步解

第 1 步，1/f² 的 σϕ2∝(1/f1−1/f2)≈1/f1\sigma_\phi^2\propto(1/f_1-1/f_2)\approx1/f_1（下限主導）。下限由 10610^6 變 10510^5（小 10 倍）， 1/f11/f_1 大 10 倍：

σϕ2≈2×102(1105−1108)=200×(10−5−10−8)≈2.0×10−3 rad2.\sigma_\phi^2\approx2\times10^{2}\left(\frac1{10^5}-\frac1{10^8}\right)=200\times(10^{-5}-10^{-8})\approx2.0\times10^{-3}\ \text{rad}^2 .

第 2 步，σϕ=2.0×10−3=4.47×10−2\sigma_\phi=\sqrt{2.0\times10^{-3}}=4.47\times10^{-2} rad =44.7=44.7 mrad（約 C1 的 10≈3.16\sqrt{10}\approx3.16 倍）。

第 3 步，σt=4.47×10−22π×5×109≈1.42×10−12\sigma_t=\dfrac{4.47\times10^{-2}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx1.42\times10^{-12} s =1.42=1.42 ps。

結果：σt≈1.42\sigma_t\approx1.42 ps（C1 是 448 fs）。下限降 10 倍 → jitter 約增 10≈3.16\sqrt{10}\approx3.16 倍。

Dimension check：同 C1 ✓。手感：這就是為什麼「rms jitter」一定要附上積分頻段才有意義； 量測儀器的下限（或 PLL 的迴路頻寬）決定你「看得到多少」累積 jitter。

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter
f = np.logspace(5, 8, 6000)                              # 100 kHz -> 100 MHz
L = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0=5e9, fmin=1e5, fmax=100e6)
print(round(sigma_phi*1e3,1), "mrad ;", round(sigma_t*1e12,2), "ps")  # ~44.7 mrad ; ~1.42 ps

例 C3：period jitter 的高通核​

題目：period jitter（單一週期長度的偏差 Tk−TT_k-T）是相位的一階差分。用規範第 10.2 節的核 ∣1−e−j2πfT∣2\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2，對 C1 的譜（−100-100 dBc/Hz @ 1 MHz、1/f²、f0=5f_0=5 GHz、T=200T=200 ps） 估 period jitter σT\sigma_T。

逐步解

第 1 步，寫出 period jitter 公式（規範第 10.2 節 period/cycle-to-cycle 核）：

σT2=1(2πf0)2∫0∞Sϕ(f) ∣1−e−j2πfT∣2 df.\sigma_T^2=\frac1{(2\pi f_0)^2}\int_0^{\infty}S_\phi(f)\,\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2\,df .

第 2 步，理解核的作用：∣1−e−j2πfT∣2=2(1−cos⁡2πfT)=4sin⁡2(πfT)\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2=2(1-\cos2\pi fT)=4\sin^2(\pi fT) 是高通—— 低頻（fT≪1fT\ll1）被壓掉（∝f2\propto f^2），所以 period jitter 不被低頻 1/f² 的下限主導（和 C1/C2 的累積 jitter 相反）。 這就是為什麼 period jitter 通常比同譜的「accumulated jitter」小很多。

第 3 步，數值積分（手算不可行，直接交給電腦；常數已對齊規範核）。結果見下方 Python：σT≈27.6\sigma_T\approx27.6 fs。

結果：σT≈27.6\sigma_T\approx27.6 fs（對照 C1 的累積 σt=448\sigma_t=448 fs，小一個量級以上）。

Dimension check：核 ∣1−e−j2πfT∣2\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2 無因次；∫Sϕ (核) df\int S_\phi\,(\text{核})\,df 得 rad²； 除 (2πf0)2(2\pi f_0)^2 的 (rad/s)2(\text{rad/s})^2… 注意這裡先得 rad² 再除 (2πf0)2(2\pi f_0)^2 得 s²，開根號得 s ✓。 已解決（v5）：period/cycle-to-cycle jitter 的確切前置常數已於 jitter_kernels 從第一性推導＋Monte-Carlo 驗證（單邊 SϕS_\phi 慣例下核為 4sin⁡24\sin^2，前置 1/ω021/\omega_0^2；本例 27.6 fs 即該頁閉式 28.28 fs 的截帶版本） 請對照標準文獻再確認；此處用規範第 10.2 節給的核，數值僅供量級手感。

Python 驗證

import numpy as np
T, f0, fref, Lref = 1/5e9, 5e9, 1e6, -100
f = np.logspace(3, 10, 2_000_000)                        # 寬頻段：高通核會壓掉低頻
S_phi = 2 * 10**((Lref + 20*np.log10(fref/f))/10)        # 1/f^2 phase PSD
kernel = np.abs(1 - np.exp(-1j*2*np.pi*f*T))**2          # 一階差分高通核
trapz = getattr(np, "trapezoid", np.trapz)
sigma_T = np.sqrt(trapz(S_phi*kernel, f)) / (2*np.pi*f0)
print(round(sigma_T*1e15, 1), "fs")                      # ~27.6 fs

例 C4：ring 累積 jitter σΔt=κΔt\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}​

題目（[P2] Eq.(8)）：某 ring 的 jitter 比例常數 κ=1×10−8 s\kappa=1\times10^{-8}\ \sqrt{\text{s}}（toy 數值）。 求量測間隔 Δt=1 μ\Delta t=1\ \mus 與 Δt=1\Delta t=1 ms 的累積 rms jitter。

逐步解

第 1 步，random-walk 律（[P2] Eq.(8)，無絕對時間參考的振盪器特徵）：σΔt=κΔt\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}。

第 2 步，Δt=10−6\Delta t=10^{-6} s：

σΔt=10−810−6=10−8×10−3=10−11 s=10 ps.\sigma_{\Delta t}=10^{-8}\sqrt{10^{-6}}=10^{-8}\times10^{-3}=10^{-11}\ \text{s}=10\ \text{ps} .

第 3 步，Δt=10−3\Delta t=10^{-3} s：

σΔt=10−810−3=10−8×3.162×10−2=3.16×10−10 s=316 ps.\sigma_{\Delta t}=10^{-8}\sqrt{10^{-3}}=10^{-8}\times3.162\times10^{-2}=3.16\times10^{-10}\ \text{s}=316\ \text{ps} .

結果：1 μs → 10 ps；1 ms → 316 ps。間隔 ×1000，jitter ×1000≈31.6\sqrt{1000}\approx31.6。

Dimension check：κ\kappa 的單位 s\sqrt{\text{s}}，Δt\sqrt{\Delta t} 是 s\sqrt{\text{s}}，相乘得 s ✓ （這也是 κ\kappa 為何取那個怪單位的原因）。手感：ring（無高 Q tank）的相位是純隨機漫步， 等得越久誤差越大、且永不收斂——這正是 ring 比 LC 更「吵」的時域圖像。對照圖：

ring 累積 jitter 隨機漫步

Python 驗證

import numpy as np
kappa = 1e-8                                  # sqrt(s)
for dt in [1e-6, 1e-3]:
    print(dt, "s ->", kappa*np.sqrt(dt)*1e12, "ps")
# 1e-06 s -> 10.0 ps ; 0.001 s -> 316.2 ps

D 級：設計反推​

把公式倒過來用：給規格，求需要多少 qmaxq_{max}、多小 Γrms\Gamma_{rms}、多少級 NN。

例 D1：要 −120 dBc/Hz @ 1 MHz，qmaxq_{max} 要多大？​

題目：規格 L(1MHz)=−120\mathcal{L}(1\text{MHz})=-120 dBc/Hz、f0=5f_0=5 GHz。假設單一白噪源 Si=1×10−21S_i=1\times10^{-21} A²/Hz（比 canonical 大 1000 倍，較接近真實節點注入）、Γrms=0.5\Gamma_{rms}=0.5。 反推所需 qmaxq_{max}。

逐步解

第 1 步，從 Eq.(21) 解 qmaxq_{max}。先把規格換 linear：Llin=10−120/10=10−12\mathcal{L}_{\text{lin}}=10^{-120/10}=10^{-12}。

10−12=Γrms2qmax2⋅Si4Δω2 ⇒ qmax2=Γrms2 Si4Δω2 Llin.10^{-12}=\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{S_i}{4\Delta\omega^2} \ \Rightarrow\ q_{max}^2=\frac{\Gamma_{rms}^2\,S_i}{4\Delta\omega^2\,\mathcal{L}_{\text{lin}}} .

第 2 步，代數值（Δω2=3.948×1013\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}，Γrms2=0.25\Gamma_{rms}^2=0.25）：

qmax2=0.25×10−214×3.948×1013×10−12=0.25×10−211.579×102=1.583×10−24 C2.q_{max}^2=\frac{0.25\times10^{-21}}{4\times3.948\times10^{13}\times10^{-12}} =\frac{0.25\times10^{-21}}{1.579\times10^{2}}=1.583\times10^{-24}\ \text{C}^2 .

第 3 步，開根號：qmax=1.583×10−24=1.258×10−12q_{max}=\sqrt{1.583\times10^{-24}}=1.258\times10^{-12} C =1.26=1.26 pC。

結果：qmax≈1.26q_{max}\approx1.26 pC（即把 canonical 的 1 pC 提升約 26%，配合此噪聲位準即可達標）。

Dimension check：qmax2q_{max}^2：[ ]⋅[A2Hz−1]/([rad/s]2⋅[ ])[\,]\cdot[\text{A}^2\text{Hz}^{-1}]/([\text{rad/s}]^2\cdot[\,])； 用 A2Hz−1=C2s−2⋅s=C2s−1\text{A}^2\text{Hz}^{-1}=\text{C}^2\text{s}^{-2}\cdot\text{s}=\text{C}^2\text{s}^{-1}，除 s−2\text{s}^{-2} 得 C2s\text{C}^2\text{s}， 再吸收 PSD 的 per-Hz 後為 C2\text{C}^2 ✓。設計手感：L∝1/qmax2\mathcal{L}\propto1/q_{max}^2，所以 qmaxq_{max} 加倍 → phase noise 降 6 dB。增大 qmax=CnodeVmaxq_{max}=C_{node}V_{max} 的方法：加大擺幅 VmaxV_{max} 或節點電容/電流。

Python 驗證

import numpy as np
Grms, Si, dw, Llin = 0.5, 1e-21, 2*np.pi*1e6, 10**(-120/10)
qmax = np.sqrt(Grms**2 * Si / (4*dw**2 * Llin))
print(round(qmax*1e12, 3), "pC")     # -> 1.258 pC

例 D2：固定 qmaxq_{max}，要 −120 dBc/Hz 需多小 Γrms\Gamma_{rms}？​

題目：同 D1 規格與噪聲（−120-120 dBc/Hz、Si=10−21S_i=10^{-21}、Δf=1\Delta f=1 MHz、f0=5f_0=5 GHz），但這次 qmax=1q_{max}=1 pC 固定（不能再加大擺幅）。反推所需 Γrms\Gamma_{rms}。

逐步解

第 1 步，從 Eq.(21) 解 Γrms\Gamma_{rms}：

Γrms2=Llin qmax2 4Δω2Si=10−12×(10−12)2×4×3.948×101310−21.\Gamma_{rms}^2=\frac{\mathcal{L}_{\text{lin}}\,q_{max}^2\,4\Delta\omega^2}{S_i} =\frac{10^{-12}\times(10^{-12})^2\times4\times3.948\times10^{13}}{10^{-21}} .

第 2 步，逐項算分子：10−12×10−24=10−3610^{-12}\times10^{-24}=10^{-36}；×1.579×1014=1.579×10−22\times1.579\times10^{14}=1.579\times10^{-22}。 除 10−2110^{-21}：Γrms2=0.1579\Gamma_{rms}^2=0.1579。

第 3 步，Γrms=0.1579=0.397\Gamma_{rms}=\sqrt{0.1579}=0.397。

結果：Γrms≈0.40\Gamma_{rms}\approx0.40（須把 ISF rms 從 0.5 降到 0.40，約降 20%）。

Dimension check：Γrms2\Gamma_{rms}^2 無因次（同 B1 引數分析，所有帶單位項相消）✓。 設計手感：L∝Γrms2\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2，Γrms\Gamma_{rms} 減半 → phase noise 降 6 dB。 降 Γrms\Gamma_{rms} 的手段：波形對稱（壓 c0c_0）、把 noise 注入安排在 ISF 小的相位、ring 增加級數（見 D3）。 D1（調 qmaxq_{max}）與 D2（調 Γrms\Gamma_{rms}）是達同一規格的兩個獨立旋鈕。

Python 驗證

import numpy as np
qmax, Si, dw, Llin = 1e-12, 1e-21, 2*np.pi*1e6, 10**(-120/10)
Grms = np.sqrt(Llin * qmax**2 * 4*dw**2 / Si)
print(round(Grms, 3))     # -> 0.397

例 D3：ring 級數 NN 的選擇（頻率 vs ISF）​

題目：要做 f0=5f_0=5 GHz single-ended ring。（a）若每級延遲 τD=20\tau_D=20 ps，需幾級 NN？ （b）若把級數從 N=5N=5 增到 N=15N=15（同時調 τD\tau_D 維持 f0f_0），用 Γrms∝N−3/2\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2} 估 phase noise 改變幾 dB（只看 Γrms\Gamma_{rms} 這個因子）？

逐步解

第 1 步（a），ring 頻率（[P2] Eq.(15)）：f0=12NτD⇒N=12f0τDf_0=\dfrac1{2N\tau_D}\Rightarrow N=\dfrac1{2f_0\tau_D}。

N=12×5×109×20×10−12=10.2=5.N=\frac1{2\times5\times10^{9}\times20\times10^{-12}}=\frac1{0.2}=5 .

第 2 步（b），Γrms∝N−3/2\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}（[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核：根號只蓋常數，正文 4/N1.54/N^{1.5}@η=0.75\eta=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N−3/4N^{-3/4}；scaling 為主）。比值：

Γrms(15)Γrms(5)=(155)−3/2=3−1.5=0.1925.\frac{\Gamma_{rms}(15)}{\Gamma_{rms}(5)}=\left(\frac{15}{5}\right)^{-3/2}=3^{-1.5}=0.1925 .

第 3 步，phase noise ∝Γrms2\propto\Gamma_{rms}^2，故改變量（dB）：

ΔL=10log⁡10 ⁣(0.19252)=10log⁡10(0.0370)=−14.3 dB.\Delta\mathcal{L}=10\log_{10}\!\big(0.1925^2\big)=10\log_{10}(0.0370)=-14.3\ \text{dB} .

結果：（a）N=5N=5 級。（b）只看 Γrms\Gamma_{rms} 這一項，NN 由 5→15 使 phase noise 低約 14.3 dB。

Dimension check：N=1/(2f0τD)N=1/(2f_0\tau_D)：1/([Hz][s])=1/([s−1][s])=1/([\text{Hz}][\text{s}])=1/([\text{s}^{-1}][\text{s}])= 無因次 ✓ （NN 應為整數，這裡剛好整）。ΔL\Delta\mathcal{L}：10log⁡1010\log_{10} 的引數是無因次比值 ✓。

重要警語：上面只孤立看了 Γrms\Gamma_{rms}。[P2] 的完整結論是——固定 f0f_0 與總功率 PP 時， single-ended ring 的 phase noise / jitter 幾乎與 NN 無關（見 [P2] Eq.(23), p.796 的 FOM，已核實）。 因為增加 NN 雖降 Γrms\Gamma_{rms}，但同時 noise 源變多、每級擺幅/功率分配改變，互相抵消。 所以 D3(b) 的「14.3 dB」是只變一個因子的教學示意，不是真實設計可白拿的增益。 詳見 lc_vs_ring 與 lab_03。這是 pedagogical toy scaling，非 transistor-level。

Python 驗證

import numpy as np
f0, tauD = 5e9, 20e-12
N = 1/(2*f0*tauD)
print("N =", N)                                   # -> 5.0
ratio = (15/5)**-1.5                               # Grms scaling
print("dPN =", round(10*np.log10(ratio**2), 1), "dB")   # -> -14.3 dB (僅 Grms 因子)

例 D4：jitter 規格反推 phase noise（SerDes 連結）​

題目：某 5 GHz 時脈要求積分 rms jitter σt≤100\sigma_t\le100 fs（積 1 MHz→100 MHz，1/f² 譜）。 反推 1 MHz 處需要多低的 L\mathcal{L}。

逐步解

第 1 步，C1 已建立映射：在同積分頻段與 1/f² 形狀下，σt∝Llin(fref)\sigma_t\propto\sqrt{\mathcal{L}_{\text{lin}}(f_{ref})} （因 σϕ2∝Sϕ(fref)∝Llin\sigma_\phi^2\propto S_\phi(f_{ref})\propto\mathcal{L}_{\text{lin}}，再開根號）。C1 的基準： L=−100\mathcal{L}=-100 dBc/Hz → σt=447.9\sigma_t=447.9 fs。

第 2 步，要把 447.9 fs 降到 100 fs，是 447.9/100=4.479447.9/100=4.479 倍。jitter 是「電壓/幅度」類量， 降 kk 倍對應 phase noise 功率降 k2k^2 倍：

ΔL=−20log⁡10(4.479)=−13.0 dB.\Delta\mathcal{L}=-20\log_{10}(4.479)=-13.0\ \text{dB} .

第 3 步，所需位準：−100−13.0=−113.0-100-13.0=-113.0 dBc/Hz @ 1 MHz。

結果：需 L(1MHz)≈−113\mathcal{L}(1\text{MHz})\approx-113 dBc/Hz（1/f²、積 1→100 MHz）才能達到 σt≤100\sigma_t\le100 fs。

Dimension check：−20log⁡10(比值)-20\log_{10}(\text{比值}) 引數無因次 ✓；結果 dB 差加到 dBc/Hz 仍是 dBc/Hz ✓。 SerDes 連結：100 fs RJ 在高速 SerDes（例如 UI = 1/(28 Gbps) ≈ 35.7 ps）會直接決定 eye 閉合與 BER； 見 lab_12 與 serdes_clocking_connection。

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter
target_fs = 100.0
# 從 -100 基準量出 sigma_t，再用平方反推所需 dBc/Hz
f = np.logspace(6, 8, 4000)
L0 = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)
st0, _ = integrate_rms_jitter(f, L0, f0=5e9, fmin=1e6, fmax=100e6)
L_req = -100 - 20*np.log10((st0*1e15)/target_fs)
print(round(L_req, 1), "dBc/Hz @ 1 MHz")     # -> -113.0 dBc/Hz

例 D5：SerDes BER bathtub（RJ 對 eye 的影響）​

題目：UI = 35.7 ps（28 Gbps）、RJ-only σt=2\sigma_t=2 ps。問在 eye 中央（sampling offset t=0t=0）的 BER？ 又若 σt\sigma_t 惡化到 4 ps，BER 變多少？

逐步解

第 1 步，RJ-only BER bathtub（規範第 10.2 節 SerDes BER）： BER(t)=12[Q(UI/2−tσt)+Q(UI/2+tσt)]\text{BER}(t)=\tfrac12[Q(\tfrac{UI/2-t}{\sigma_t})+Q(\tfrac{UI/2+t}{\sigma_t})]，Q(x)=12erfc(x/2)Q(x)=\tfrac12\mathrm{erfc}(x/\sqrt2)。

第 2 步，eye 中央 t=0t=0 時兩項相同：BER=Q ⁣(UI/2σt)\text{BER}=Q\!\big(\tfrac{UI/2}{\sigma_t}\big)。

第 3 步，σt=2\sigma_t=2 ps：UI/2σt=17.852=8.93\dfrac{UI/2}{\sigma_t}=\dfrac{17.85}{2}=8.93。Q(8.93)Q(8.93) 是極小數（高斯尾）， ≈2×10−19\approx2\times10^{-19}。σt=4\sigma_t=4 ps：17.854=4.46\dfrac{17.85}{4}=4.46，Q(4.46)≈4×10−6Q(4.46)\approx4\times10^{-6}。

結果：σt=2\sigma_t=2 ps → BER ≈2×10−19\approx2\times10^{-19}；σt=4\sigma_t=4 ps → BER ≈4×10−6\approx4\times10^{-6}。 jitter 加倍 → BER 惡化 13 個數量級（高斯尾對 σ\sigma 極度敏感）。

Dimension check：QQ 的引數 UI/2σt=[s][s]\dfrac{UI/2}{\sigma_t}=\dfrac{[\text{s}]}{[\text{s}]} 無因次 ✓；BER 無因次（機率）✓。 手感：這就是為什麼 SerDes 規格用 σt\sigma_t（rms）但 BER 看的是 σ\sigma 的「倍數」（QQ 函數）； 省一點 jitter 能換來 BER 巨幅改善。對照圖：

SerDes eye / BER bathtub

Python 驗證

import numpy as np
from simulations.common.serdes_utils import ber_bathtub
ui = 1/28e9
for st in [2e-12, 4e-12]:
    ber = ber_bathtub(np.array([0.0]), sigma_t=st, ui=ui)[0]
    print(st*1e12, "ps -> BER =", f"{ber:.2e}")
# 2.0 ps -> BER ~ 2e-19 ; 4.0 ps -> BER ~ 4e-06

自我檢查表​

做完上面 15 題後，遮住答案問自己——每一項都該能在腦中「秒答方向」：

A 級（換算反射）

  • 看到 phase 誤差（rad），能立刻 ÷(2πf0)\div(2\pi f_0) 換成時間（s），並做 [rad]/[rad/s]=[s][\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}] check。
  • 記得「5 GHz：1 mrad ≈ 32 fs、1 rad ≈ 31.8 ps」。
  • dBc/Hz → linear（10L/1010^{\mathcal{L}/10}）→ phase PSD（×2\times2）一氣呵成。
  • 懂 Δϕ=Γ Δq/qmax\Delta\phi=\Gamma\,\Delta q/q_{max} 為何無因次，且 ISF 隨注入相位變（LTV）。

B 級（ISF → phase noise）

  • 能默寫 Eq.(21) 並代數值得 dBc/Hz；知道分母是 4Δω24\Delta\omega^2（SSB 慣例）。
  • 會用 Parseval（∑cn2=2Γrms2\sum c_n^2=2\Gamma_{rms}^2）從 cnc_n 求 Γrms\Gamma_{rms}。
  • 知道只有 c0≠0c_0\ne0 才有 1/f³ 上轉，且 corner =ω1/fc02/(2Γrms2)=\omega_{1/f}c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)。
  • 1/f² 是 −20-20 dB/dec、1/f³ 是 −30-30 dB/dec，能目視判讀。

C 級（jitter 積分）

  • 會 dBc/Hz →（積分）→ σϕ\sigma_\phi →（÷2πf0\div2\pi f_0）→ σt\sigma_t 全流程。
  • 知道 1/f² 的累積 jitter 被積分下限主導，rms jitter 一定要附頻段。
  • 懂 period jitter 用高通核、不被低頻主導；和 accumulated jitter 區別。
  • 記得 ring 累積 jitter σΔt=κΔt\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}（隨機漫步、永不收斂）。

D 級（設計反推）

  • 給 dBc/Hz 規格，能反解 qmaxq_{max} 或 Γrms\Gamma_{rms}（qmaxq_{max} 加倍或 Γrms\Gamma_{rms} 減半皆 −6-6 dB）。
  • 會用 f0=1/(2NτD)f_0=1/(2N\tau_D) 算 ring 級數，並記得「固定 f0,Pf_0,P 時 ring PN 幾乎與 NN 無關」的警語。
  • 能把 jitter 規格（fs）反推成 1 MHz 處的 dBc/Hz（σt\sigma_t 降 kk 倍 ⇒ L\mathcal{L} 降 20log⁡10k20\log_{10}k dB）。
  • 知道 RJ 的 BER 對 σt\sigma_t 極敏感（高斯尾），jitter 小改善 → BER 大改善。

誠實標記

  • 例 C3 的 period jitter 前置常數標了 TODO: manual verification needed（與單邊/雙邊譜慣例有關）。
  • 例 D3 的 ring Γrms∝N−3/2\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}（[P2] Eq.(16), p.794；v7 已重核：根號只蓋常數；正文 4/N1.54/N^{1.5}@η=0.75\eta=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證；v3 曾誤讀為 N−3/4N^{-3/4}）。「14.3 dB」是 N=5→15N=5\to15 時 Γrms2\Gamma_{rms}^2 比值 (15/5)−3=1/27(15/5)^{-3}=1/27 換算成 dB 的正確結果（10log⁡10(1/27)=−14.310\log_{10}(1/27)=-14.3 dB），但仍僅為孤立因子示意， 非真實設計增益（toy scaling，非 transistor-level；見 D3 警語段的 FOM N-independence）。

延伸閱讀​