Lab 04 — impulse injection sweep 與 LTI vs LTV

這個 lab 把 impulse_to_phase_shift 裡那條 「操作型 ISF 定義」當成可量測的實驗：在波形的不同相位 $\theta=\omega_0\tau$ 注一顆很小的 電荷脈衝，量它造成的持續（permanent）相位偏移，把這個偏移除以注入量，就反推出 ISF（impulse sensitivity function，脈衝敏感度函數——振盪器在哪個相位最怕被踢）。

跑出來的數值 ISF 與理想 LC 的解析解 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$ 幾乎重合（最大誤差約 $7\times10^{-4}$）。同一個 lab 還用脈衝響應把 LTI（線性非時變）vs LTV（線性時變，linear time-variant，系統參數隨時間週期變化） 的差別畫出來——這是整個 ISF 理論為什麼「不能用一般 LTI transfer function 處理 oscillator phase」的關鍵。

這個 lab 想讓你「眼見為憑」的兩件事：(1) ISF 不是抽象定義，而是「在相位 $\theta$ 踢一下、 量持續相位跳變」這個動作的結果；(2) 同樣大小的一顆脈衝，在波峰踢幾乎不改相位、在零交越 （zero crossing）踢造成最大相位跳——這個「踢的效果隨注入時刻週期變化」就是 LTV， 用一條只依賴 $t-\tau$ 的 LTI 脈衝響應永遠畫不出來。

1. 教學目標

• 把 ISF 的操作型定義 $\Delta\phi=\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q$ 變成一個 數值實驗流程：掃描注入相位 → 量持續相位 → 反推 $\Gamma$。
• 驗證理想 LC 振盪器（current 注入電容節點）的 ISF 就是 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$， 並量化數值與理論的誤差（~$10^{-3}$ 量級）。
• 看懂「持續相位偏移」與「會衰減的振幅擾動」的差別——只有切向（相位）分量永久殘留。
• 用脈衝響應對照圖，建立 LTV 的物理圖像：階高（step height）隨注入相位週期變化。
• 對應 [P1] Eq.(10),(11) 與 Fig. 4。

2. 數學模型

整個 lab 站在這條 LTV 脈衝響應上（[P1] Eq.(10), p.182）：

$$h_\phi(t,\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau)$$

它的意思是：在時刻 $\tau$（對應相位 $\omega_0\tau$）注入單位電荷，會讓相位一步跳到 $\Gamma(\omega_0\tau)/q_{max}$，並且因為有 unit step $u(t-\tau)$ 而永久保持。把它對所有過去 noise 電流疊加就是中央的 LTV phase response（[P1] Eq.(11), p.182）：

$$\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau$$

反推 ISF 的單脈衝實驗：若 $i_n$ 只是一顆位於相位 $\theta$ 的窄脈衝、總電荷 $\Delta q$， Eq.(11) 退化成單一步階（[P1] Eq.(10) 的 step 版本，亦見 impulse_to_phase_shift 的操作型定義）：

$$\Delta\phi(\theta)=\frac{\Gamma(\theta)}{q_{max}}\,\Delta q \quad\Longrightarrow\quad \Gamma(\theta)=\frac{\Delta\phi(\theta)}{\Delta q/q_{max}} .$$

• dimension check：右邊 $[\text{rad}]/(\text{C}/\text{C})=[\text{rad}]$ 看似有單位， 但 $\Delta\phi$ 是 rad（無因次），$\Delta q/q_{max}$ 無因次，所以 $\Gamma$ 無因次 ✓。
• 理論對照：理想無損並聯 LC、電流注入電容節點時，狀態 $z=(v,w)=A(\cos\theta,\sin\theta)$， 一顆電荷脈衝把 $v$ 推 $\Delta v=\Delta q/C$，投影到 limit cycle 切向得 $\Delta\phi=-(\sin\theta)\,\Delta v/A$，配合 $q_{max}=CA$ 得到

$$\boxed{\ \Gamma(\theta)=-\sin\theta\ }$$

在波峰 $\theta=0$ 處 $\Gamma=0$（純改振幅），在零交越 $\theta=\pi/2$ 處 $|\Gamma|$ 最大 （純改相位）。完整幾何推導見 isf_definition。

LTV vs LTV 的數學差異：LTI 系統的脈衝響應只依賴時間差 $h(t,\tau)=h(t-\tau)$；而 oscillator 的 phase 脈衝響應 $h_\phi(t,\tau)$ 顯式依賴絕對注入時刻 $\tau$（透過 $\Gamma(\omega_0\tau)$ 這個 $2\pi$ 週期權重），這正是 LTV 的定義。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

反推 ISF 的核心在 extract_isf_by_injection：對每個相位 $\theta$ 各跑一次注入模擬， 量「最後一個週期」相對無注入參考軌跡的平均相位差（這樣只留下永久的相位、濾掉已衰減的 振幅擾動），再除以 $\Delta q/q_{max}$。以下逐字引用真實程式碼 （simulations/common/oscillator_models.py）：

def extract_isf_by_injection(f0, fs, n_inject_periods=6, settle_periods=4,
                             dq_over_qmax=1e-3, n_points=64, mu=0.3):
    T = 1.0 / f0
    settle = settle_periods * T
    t_end = (settle_periods + n_inject_periods) * T
    thetas = np.linspace(0.0, TWO_PI, n_points, endpoint=False)
    gamma_num = np.zeros(n_points)

    # Reference (no impulse), started from the limit cycle.
    t_ref, xr, yr = simulate_lc(f0, t_end, fs, mu=mu, x0=1.0, y0=0.0)
    phi_ref = excess_phase(t_ref, xr, yr, f0)

    for i, th in enumerate(thetas):
        t_inj = settle + th / (TWO_PI * f0)  # phase th occurs at this time
        t_p, xp, yp = simulate_lc(f0, t_end, fs, mu=mu, x0=1.0, y0=0.0,
                                  impulse_time=t_inj, impulse_dx=dq_over_qmax)
        phi_p = excess_phase(t_p, xp, yp, f0)
        # persistent phase difference measured over the last period
        m = t_p >= (t_end - T)
        dphi = np.mean(phi_p[m] - phi_ref[m])
        gamma_num[i] = dphi / dq_over_qmax

    gamma_analytic = -np.sin(thetas)
    return thetas, gamma_num, gamma_analytic

LTV vs LTV 對照圖的核心，把「LTI 階高固定、只平移」與「LTV 階高 $=\Gamma(\omega_0\tau)$ 隨注入相位變」並排畫（simulations/lab_04_impulse_sweep.py）：

    # LTV (oscillator phase): step of height Gamma(w0 tau)/qmax * u(t - tau).
    ax = axes[1]
    for tau, c in zip([0.0, 0.25, 0.5], ["tab:blue", "tab:orange", "tab:green"]):
        gamma = -np.sin(2 * np.pi * f0 * tau)  # ISF at injection phase
        h = gamma * (t >= tau)
        ax.plot(t, h, color=c,
                label=fr"$\tau={tau}$, $\Gamma=-\sin(2\pi\tau)={gamma:+.2f}$")

• 為何量「最後一個週期的平均」：注入瞬間的暫態裡同時有振幅擾動與相位跳變； mu=0.3 的 Van der Pol 型 amplitude restoration 會把徑向（振幅）分量在幾個週期內拉回 limit cycle，只剩切向（相位）分量永久殘留。等 n_inject_periods 個週期後再量，量到的 就是乾淨的持續相位。
• 為何用 endpoint=False：$\theta=0$ 與 $\theta=2\pi$ 是同一個相位，掃描時不重複。
• 為何 dq_over_qmax=1e-3 很小：保持小訊號線性（$\Delta q\ll q_{max}$），否則 ISF 本身 會被大注入改變，反推就不準。

5. 完整 script path

simulations/lab_04_impulse_sweep.py （呼叫 simulations/common/oscillator_models.py 的 simulate_lc、excess_phase、 extract_isf_by_injection；繪圖工具 simulations/common/plot_utils.py）。 跑法：python scripts/run_all_sims.py，圖會輸出到 static/figures/。

6. 參數表

參數	程式變數	值	說明
振盪頻率	f0	1.0（normalized）	toy model 用無因次頻率；真實對應 5 GHz 見下表單位欄
取樣率	fs	8000（sweep）/ 2000（LTV 圖）	每週期 $fs/f_0$ 點，足夠解析切向投影
注入電荷比	dq_over_qmax	$10^{-3}$	$\Delta q/q_{max}$，保持小訊號
掃描點數	n_points	48	一個週期內取 48 個注入相位
注入後觀察	n_inject_periods	6	注入後再跑 6 週期讓振幅擾動衰減
settle 週期	settle_periods	4	先讓系統落到 limit cycle 再開始注入
restoration 強度	mu	0.3	Van der Pol 型振幅恢復；$\mu=0$ 為理想無損 LC
LTV 圖注入相位	tau	0.0, 0.25, 0.5（週期）	對應 $\Gamma=-\sin(2\pi\tau)=0,-1,0$

7. 單位表

量	符號	toy model 單位	對應物理單位
時間	$t,\tau$	週期（normalized）	s
注入相位	$\theta=\omega_0\tau$	rad（$2\pi$ 週期）	rad
注入電荷比	$\Delta q/q_{max}$	無因次	C/C
持續相位	$\Delta\phi$	rad	rad
ISF	$\Gamma(\theta)$	無因次	—
最大誤差	$\max\vert \Gamma_{num}-\Gamma_{ana}\vert$	無因次	—

toy model 註記：這是 pedagogical toy model（2-D Van der Pol 型 state-space），非 transistor-level。它忠實重現 ISF 的機制（切向投影、$-\sin\theta$、LTV），但不產生真實 電路的數值。換算成物理手感時，套 canonical 例 A：$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC （即 $\Delta q/q_{max}=10^{-3}$）、$\Gamma=0.5$、$f_0=5$ GHz $\Rightarrow$ $\Delta\phi=5\times10^{-4}$ rad、$\Delta t=15.9$ fs。

8. 模擬圖

圖 1：相位偏移隨注入相位變化——同一顆 $\Delta q/q_{max}=10^{-3}$ 的脈衝，在不同相位踢， 造成的持續 $\Delta\phi$ 完全不同：

圖 2：數值反推的 ISF vs 理論 −sinθ——把上圖縱軸除以 $\Delta q/q_{max}$ 就是 ISF 本身， 數值點（紫圈）與理論虛線幾乎重合：

圖 3：LTI vs LTV 脈衝響應——上圖 LTI 同形狀只平移；下圖 LTV 階高隨注入相位變：

9. 如何解讀圖

圖 1（phase sweep）：橫軸是注入相位 $\theta/2\pi$（一個週期），縱軸是持續相位偏移 $\Delta\phi$。注意它是一條 $-\sin$ 形狀的曲線：在 $\theta=0$（波峰）幾乎為零、在 $\theta\approx0.25$（上升零交越）為最大負值、$\theta\approx0.75$ 為最大正值。這就是 LTV 的直接證據——「踢同一下」的效果完全取決於「在波形哪裡踢」。數值藍圈緊貼黑色理論虛線。

圖 2（recovered ISF）：把圖 1 除以 $\Delta q/q_{max}=10^{-3}$ 後得到的就是 $\Gamma(\theta)$。 標題顯示最大絕對誤差約 $7\times10^{-4}$（標題格式化為三位小數，約 0.001）。誤差來源是 RK4 時間離散、$\theta$ 取樣（48 點）、以及量測窗只取最後一個週期的平均。這個量級足以宣稱 「數值法成功還原了理想 LC 的 $\Gamma=-\sin\theta$」。

圖 3（LTI vs LTV）：

• 上半（LTI）：三條曲線是同一個衰減指數脈衝響應在 $\tau=0.3,0.9,1.5$ 平移——形狀完全相同， 只是起點不同。這是 LTI 的招牌：$h(t,\tau)=h(t-\tau)$。
• 下半（LTV phase）：三條都是 unit step（永久保持），但階高不同：$\tau=0$ 時 $\Gamma=-\sin(0)=0$（踢在波峰，相位不動）；$\tau=0.25$ 時 $\Gamma=-\sin(\pi/2)=-1$ （踢在零交越，相位跳最多）；$\tau=0.5$ 時 $\Gamma=-\sin(\pi)=0$。階高隨絕對注入相位變 ——這就是 LTV，也是為什麼不能用單一 LTI transfer function 描述 oscillator phase 的根本原因。

10. 對應 paper 公式 / figure

• [P1] Eq.(10), p.182：$h_\phi(t,\tau)=\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau)$ ——圖 3 下半每條曲線就是這條（不同 $\tau$ 給不同階高 $\Gamma(\omega_0\tau)$）。
• [P1] Eq.(11), p.182：$\phi(t)=\dfrac{1}{q_{max}}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau$ ——本 lab 是它的單脈衝特例（反推 $\Gamma$ 的基礎）。
• [P1] Fig. 4, p.181：caption「(a) impulse injected at the peak, (b) impulse injected at the zero crossing, and (c) effect of nonlinearity on amplitude and phase ... in state-space」——示範脈衝 在波峰 vs 零交越注入的差別，以及非線性對振幅／相位的影響（state-space 圖）。本 lab 的圖 1/圖 2 是它 在理想 LC 上的 toy-model 重現 （TODO: 僅 Fig. 4 的精確軸刻度數值尚未逐字轉錄，請對照 [P1] p.181 原圖）。
• ISF 的 $-\sin\theta$ 幾何推導：見 isf_definition； 操作型定義與 16 fs 數值例：impulse_to_phase_shift。

11. 限制與 approximation

限制 / 近似	影響	在哪裡成立 / 失效
2-D Van der Pol toy model（非 transistor-level）	只重現機制，不給真實電路數值	教學足夠；做 design 要 transient/adjoint 萃取 $\Gamma$
小訊號 $\Delta q/q_{max}=10^{-3}$	$\Delta\phi$ 線性正比 $\Delta q$	大注入 → 非線性、AM–PM、$\Gamma$ 本身被改
用 mu=0.3 讓振幅擾動衰減後才量	才能分離出純相位分量	若 $\mu$ 太小、振幅擾動沒衰減完，量到的 $\Delta\phi$ 會被殘留振幅污染
RK4 + 有限 fs 離散	帶來 ~$10^{-3}$ 數值誤差	提高 fs/n_points 可再降，但本 lab 量級已足夠
理想無損 LC 的 $\Gamma=-\sin\theta$	只對單一電容節點注入成立	多節點、ring、含損耗時 ISF 形狀不同（見 lab_05 與 ring 模型）
LTI 對照曲線是示意指數衰減	只為對比「形狀不變」	它不是任何真實電路的脈衝響應，純為教學對照

重點回顧

• ISF 是可量測的：在相位 $\theta$ 注小電荷、量持續 $\Delta\phi$、除以 $\Delta q/q_{max}$。
• 理想 LC（電容節點注入）反推出的 ISF 就是 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$，數值與理論最大誤差 ~$10^{-3}$。
• 波峰注入 → 純改振幅（會被拉回）；零交越注入 → 純改相位（永久殘留）。
• LTV 的本質：phase 脈衝響應 $h_\phi(t,\tau)$ 依賴絕對注入相位，階高 $=\Gamma(\omega_0\tau)$，不只依賴 $t-\tau$。
• 來源：[P1] Eqs.(10),(11), p.182 與 Fig. 4。

延伸閱讀

• 操作型定義與物理直覺：impulse_to_phase_shift
• $-\sin\theta$ 的幾何推導：isf_definition
• 把 ISF 拆成傅立葉係數：lab_05
• 數值換算手感：numerical_feeling