速查表 Cheat Sheet

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核心公式（全部已對照原始 PDF）

主題	公式	來源
ISF 操作定義	$\Delta\phi=\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\Delta q$	[P1] Eq.(10)(11) → impulse_to_phase_shift
LTV 相位響應	$\phi(t)=\dfrac{1}{q_{max}}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau$	[P1] Eq.(11) → convolution
ISF Fourier	$\Gamma=\dfrac{c_0}{2}+\sum_n c_n\cos(n\omega_0\tau+\theta_n)$	[P1] Eq.(12) → fourier
Parseval / rms	$\sum_{n=0}^\infty c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$	[P1] Eq.(20) → rms_isf
白噪 1/f²	$\mathcal{L}=10\log_{10}\!\Big(\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\Big)$	[P1] Eq.(21) → white_noise
flicker 1/f³	$\mathcal{L}=10\log_{10}\!\Big(\dfrac{c_0^2}{q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{8\,\Delta\omega^2}\dfrac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}\Big)$	[P1] Eq.(23) → flicker
1/f³ corner	$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\dfrac{c_0^2}{2\Gamma_{rms}^2}$	[P1] Eq.(24)
SSB↔PSD	$\mathcal{L}(\Delta f)\approx\tfrac12 S_\phi(\Delta f)$	psd
phase→time	$\Delta t=\dfrac{\Delta\phi}{2\pi f_0}$	標準
rms jitter	$\sigma_t=\dfrac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\displaystyle\int_{f_1}^{f_2}S_\phi\,df}$	serdes
累積 jitter	$\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$，$\kappa=\dfrac{\Gamma_{rms}}{q_{max}}\sqrt{\tfrac12\tfrac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}}$	[P2] Eq.(8)(12)
ring 頻率	$f_0=\dfrac{1}{2N\tau_D}$	[P2] Eq.(15)
ring $\Gamma_{rms}$	$\Gamma_{rms}=\sqrt{\dfrac{2\pi^2}{3\eta^3}}\;\dfrac{1}{N^{1.5}}\Rightarrow\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$（$\eta=0.75$ 時 $\approx4/N^{1.5}$，即 [P2] Fig.8 實線；根號只含常數）	[P2] Eq.(16)
ring FOM	$\mathcal{L}=\dfrac{8}{3\eta}\dfrac{kT}{P}\dfrac{V_{DD}}{V_{char}}\Big(\dfrac{f_0}{\Delta f}\Big)^2$（無 $N$！）	[P2] Eq.(23)
廣義 Adler	$\dfrac{d\theta}{dt}=(\omega_0-\omega_{inj})+\Omega(\theta)$，$\Omega=\langle\tilde\Gamma\,i_{inj}\rangle$	[P3] Eq.(30)(33)
APF / 振幅衰減	$\tau_0=\dfrac{2Q}{\omega_{osc}}$，$\tilde\Lambda_1=\dfrac{\tau_0}{q_{max}}\angle0°$（與 ISF quadrature）	[P4] Eq.(25)(26)

Canonical 數值（全站一致）

例	設定	結果
A：impulse→time	$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$\Gamma=0.5$、$f_0=5$ GHz	$\Delta\phi=5\times10^{-4}$ rad、$\Delta t=15.9$ fs
B：白噪 $\mathcal{L}$	$\Gamma_{rms}=0.5$、$q_{max}=1$ pC、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz、$\Delta f=1$ MHz	$\mathcal{L}=-148$ dBc/Hz
C：jitter 積分	$\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100$ dBc/Hz、1/f²、1→100 MHz、5 GHz	$\sigma_t=447.9$ fs
ring FOM	$\gamma=2/3$、$V_{DD}/V_{char}=3$、$P=1$ mW、其餘同上	$\mathcal{L}\approx-91$ dBc/Hz

想自己掃參數？用 互動計算器。

5 GHz 換算記憶點

• $1$ mrad $\approx 32$ fs；$1$ rad $\approx 31.8$ ps；週期 $=200$ ps。
• dBc/Hz → linear：$10^{\mathcal{L}/10}$；$S_\phi=2\times$linear。
• $2\times q_{max}$ 或 $\tfrac12\Gamma_{rms}$ → $\mathcal{L}$ 降 6 dB。

設計旋鈕（降 phase noise）

想降	旋鈕	為什麼
1/f²（白噪）	↑ $q_{max}$（swing/能量）、↓ $\Gamma_{rms}$	$\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$
1/f³（close-in）	波形對稱 → ↓ $c_0$	corner $\propto c_0^2/\Gamma_{rms}^2$
jitter（時域）	同上（同一 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$）；或鎖 PLL/CDR	$\kappa\propto\Gamma_{rms}/q_{max}$
在哪注入 noise	避開 $\lvert\Gamma\rvert$ 大（slope 小）的相位	cyclostationary $\Gamma_{eff}=\Gamma\alpha$

v5–v8 速查（jitter 核／κ↔D↔線寬／App.B／M:N 鎖定／PLL／FOM／SerDes）

一律用「本頁欄位 = 全文抄，慣例旗標照抄」；連結是唯一推導頁。

jitter 核（三核＋白噪閉式）— jitter_kernels

核	公式（單邊 $S_\phi$、$\int_0^\infty$ 慣例）	白噪 FM 閉式
TIE（0 階）	$\sigma_{TIE}^2=\dfrac{1}{\omega_0^2}\displaystyle\int_{f_1}^{f_2}S_\phi\,df$	—
N-period（1 階差分）	$\sigma_P^2(N)=\dfrac{1}{\omega_0^2}\displaystyle\int_0^\infty S_\phi\,4\sin^2(\pi fNT)\,df$	$=\kappa^2NT$（精確＝[P2] Eq.(8)）
cycle-to-cycle（2 階差分）	$\sigma_{c2c}^2=\dfrac{1}{\omega_0^2}\displaystyle\int_0^\infty S_\phi\,16\sin^4(\pi fT)\,df$	$=2\kappa^2T\Rightarrow\sigma_{c2c}=\sqrt2\,\sigma_P(1)$

前置常數是 $1/\omega_0^2$，不是 $2/\omega_0^2$（那個 2 屬雙邊譜或 $\mathcal{L}=\tfrac12S_\phi$ 記帳）。

κ↔D↔線寬↔ADEV↔$S_\phi$ 字典（含 19.9/39.8 mHz canonical）— diffusion_dictionary

主角：$\kappa^2=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{2q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}$（[P2] Eq.(11)/(12)）；canonical（$\Gamma_{rms}=0.5$）$\kappa^2=0.125$ rad²/s，真 LC（$\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$）$=0.25$。

衣服	公式	canonical 值
$\kappa$（相位）／$\kappa_t$（時間）	$\sigma_{\Delta\phi}=\kappa\sqrt{\Delta t}$；$\kappa_t=\kappa/\omega_0$	$\kappa=0.354$ rad/$\sqrt{\text{s}}$
$D$ 慣例甲／乙	$\mathrm{Var}=D_{甲}\vert t\vert=2D_{乙}\vert t\vert\Rightarrow D_{甲}=\kappa^2,\ D_{乙}=\kappa^2/2$	$0.125$／$0.0625$
Lorentzian 3-dB 線寬	$\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\kappa^2/(2\pi)$	19.9 mHz（真 LC 39.8 mHz）
$S_\phi$ 係數（單邊）	$S_\phi=2\kappa^2/(2\pi f)^2$	$b_{-2}=6.33\times10^{-3}$ rad²·Hz
white-FM ADEV	$\sigma_y(\tau)=\kappa/(2\pi f_0\sqrt\tau)$	$1.13\times10^{-11}$@1s（5 GHz）

三個 factor-of-2 家族要先問清楚：單邊/雙邊 PSD、$\mathrm{Var}=D\vert t\vert$ vs $2D\vert t\vert$、SSB $/2$ vs $/4$。

App.B 閉式：$\Gamma_{rms}(A,N)$、$c_0$、corner — asymmetric_isf_closed_form

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{2\pi^2}{3\eta^3}\frac{1}{N^3}\left[4\frac{1+A^3}{(1+A)^3}\right],\quad \Gamma_{dc}=\frac{2\pi}{\eta^2}\frac{1}{N^2}\left(\frac{1-A}{1+A}\right),\quad c_0=2\Gamma_{dc}$$ $$f_{1/f^3}=f_{1/f}\cdot\frac{3}{2\eta N}\cdot\frac{(1-A)^2}{1-A+A^2}\qquad([\text{P2}]\ \text{Eq.}(52)\text{–}(57),\ \text{p.803})$$

$A\equiv f'_{rise}/f'_{fall}$；$A=1$ 精確退化為 [P2] Eq.(16)（$\Gamma_{rms}\propto N^{-1.5}$）；corner 在 $A=1$ 二次趨零、對 $A\to1/A$ 對稱、$\propto1/N$。慣例旗標：此 corner 為 [P2] Eq.(7)/(57) 值；[P1] Eq.(24)（$c_0=2\Gamma_{dc}$ 代入）$=2\times$ 本值。

[P1] 附錄：$\Gamma=f'/(f'^2+f''^2)$ — isf_from_waveform

$$\Gamma(x)=\frac{f'}{f'^{\,2}+f''^{\,2}}\qquad([\text{P1}]\ \text{Eq.}(37),\ \text{p.193})$$

$f=\cos x$ 代入：分母 $\sin^2+\cos^2=1$，$\Gamma=-\sin x$ 精確成立，波峰處有界（解掉 $1/\text{slope}$ heuristic 的發散）。三法排序：A 打脈衝（最準）→ B 本式（一週期波形足夠）→ C 斜率近似 $\Gamma=f'/f_{max}'^2$（最快，ring 專用，Eq.(38)）。

鎖定雜訊整形 corner＝$\omega_L\cos\theta_{ss}$ — injection_locking_noise Part A

$$\omega_c\equiv\omega_L\cos\theta_{ss}=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}\qquad([\text{P3}]\ \text{Eq.}(40)\ \text{的 pull-in frequency})$$

鎖定中心（$\Delta\omega=0$）corner 最寬；邊緣（$\Delta\omega\to\omega_L$）$\cos\theta_{ss}\to0$，自身雜訊高通抑制完全消失。自身雜訊高通、參考雜訊低通（一階 PLL 圖像）。

最佳注入波形 $\omega_L^*=I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}$ — injection_locking_noise 末節

固定 $I_{rms}\equiv\sqrt{\langle i_{inj}^2\rangle}$ 下，Cauchy–Schwarz 給 lock range 上限（[P3] Eq.(43)–(45), p.2119–2120）：

$$\omega_L^*=I_{rms}\,\tilde\Gamma_{rms},\qquad i_{inj,0}^*(x)=\pm\frac{I_{rms}}{\tilde\Gamma_{rms}}\tilde\Gamma(x)$$

等號 ⟺ 注入波形與 ISF 同形（matched filter）。純弦 ISF：正弦注入已最佳（增益 1）。ring 窄脈衝 ISF：增益 $\approx\sqrt{\eta N/3}$（$N=17$ 時 $\approx2.06$，對照 [P3] Fig.19 "almost doubled"）。

M:N 次諧波鎖定／ILFD：$\lvert\tilde\Gamma_N\rvert$ — paper_004

鎖定 $M\omega_{inj}=N\omega_{osc}$ 時（$M=1$ 為 ÷$N$ ILFD），半鎖定範圍只騎在 ISF 第 $N$ 諧波上（[P4] Eq.(28)–(30), p.2129，已核實）：

$$\Omega(\theta)=\frac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_N\rvert\cos(N\theta+\angle\tilde\Gamma_N)\ \Rightarrow\ \omega_L=\frac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_N\rvert=\frac{I_{inj}\,c_N}{2\,q_{max}}$$

半波對稱 ISF（$c_2=c_4=\cdots=0$）⟹ ÷2 一階內鎖不上——差動節點對稱是 phase-noise 的好消息，卻是 ILFD 的壞消息（解法：換到 tail 節點取 $c_2$）。

次諧波倍頻（×N，ILCM）：$\omega_L$、$\beta$、corner — subharmonic_injection

對偶的另一半：$N=1$ 時靠注入波形自己的第 $N$ 諧波（而非 ISF 諧波）扛起鎖定。canonical：$f_0=5$ GHz、$q_{max}=1$ pC、$N=20$（$f_{ref}=250$ MHz）、$q_{inj}=50$ fC。

量	公式	canonical 值
倍頻 lock range	$\omega_L=\tfrac12\vert I_N\vert\vert\tilde\Gamma_1\vert$（δ 列：$\Delta\omega_L=\dfrac{q_{inj}}{q_{max}}\cdot\dfrac{f_0}{N}$）	$f_L=1.989$ MHz
realignment factor	$\beta\equiv-q_{inj}\tilde\Gamma'(\theta_{ss})$（$0\lt\beta\lt2$ 穩定，$\approx1/\beta$ 次注入收斂）	$0.0498$
雜訊 corner	$f_c\approx\beta f_{ref}/2\pi$（鎖定中心 $=\Delta f_L$）	$2.09$ MHz

ADEV floor：$\sqrt{2\ln2\cdot h_{-1}}$ — allan_variance

$$\sigma_{y,\text{floor}}=\sqrt{2\ln2\cdot h_{-1}}\approx1.1774\sqrt{h_{-1}}\qquad(\text{flicker FM，}\tau\text{-無關 floor})$$

canonical（$1/f^3$ corner $=3.2$ kHz）：floor $\approx1.06\times10^{-9}$（1.1 ppb）；knee $\tau_{knee}=0.3607/f_c\approx113\ \mu$s（白 FM $\tau^{-1/2}$ 段撞上 floor）。

PLL peaking：$\zeta=0.707\to2.09$ dB — pll_noise_budget 補充推導

type-II 帶零點必有 peaking：$f_{pk}=f_n\sqrt{2/(s+1)}$，$s=\sqrt{1+1/\zeta^4}$（黃金比例彩蛋：$\zeta=1/\sqrt2$ 時峰值 $=\varphi=1.618$）。

$\zeta$	$f_{pk}/f_n$	peaking (dB)	phase margin
0.707	0.786	2.09	65.5°
1.0	0.707	1.25	76.3°

級聯 20 級 SONET regenerator：$20\times2.09=41.8$ dB，故規格壓在 0.1 dB 量級／級。

FOM＝$173.8-10\log_{10}F_{eff}$ — fom_limit

$$\mathrm{FOM}=173.8\ \text{dB}-10\log_{10}F_{eff}\qquad(T=300\ \text{K，配對 }1\cdot kT\text{，不是 }2kT)$$

ring 天花板（$\gamma=2/3,\eta=1$）：$F_{eff,min}=32/9\Rightarrow\mathrm{FOM}_{max}^{ring}=168.32$ dB；LC 天花板隨 $Q$ 上升（$F_{eff}\propto1/Q^2$）。

aperture SNR：$-20\log_{10}(2\pi f_{in}\sigma_t)$ — adc_aperture_jitter

$$\text{SNR}_{jitter}=-20\log_{10}(2\pi f_{in}\sigma_t)\ \text{dB},\qquad \text{ENOB}=\frac{\text{SNR}-1.76}{6.02}\ \text{bit}$$

canonical $\sigma_t=447.9$ fs：$f_{in}=f_0=5$ GHz 時 $2\pi f_{in}\sigma_t=\sigma_\phi=14.07$ mrad ⟹ SNR $=37.0$ dB（例 C 直接搬過來）。

TJ＝$\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+2Q^{-1}(\mathrm{BER})\sigma$ — dj_dual_dirac

$$\mathrm{TJ}(\mathrm{BER})=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+2\,Q^{-1}(\mathrm{BER})\,\sigma$$

BER$=10^{-12}\Rightarrow Q^{-1}=7.034$，故 $\mathrm{TJ}=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+14.07\,\sigma$。DJ 不隨 BER 變（有界一次吃掉）；RJ 項隨 BER 嚴苛只緩慢長大（$10^{-12}\to10^{-15}$：$14.07\sigma\to15.88\sigma$）。

×N／÷N／buffer 記帳 — clock_chain_budget

元件	相位關係	$\mathcal{L}(f)$ 記帳
理想 ×N 倍頻	$\phi_{out}=N\phi_{in}$	$\mathcal{L}+20\log_{10}N$
理想 ÷N 除頻	$\phi_{out}=\phi_{in}/N$	$\mathcal{L}-20\log_{10}N$
過 PLL（×N）	in-band 跟 ref、out-of-band 跟 VCO	$N^2S_{ref}\lvert H_{lp}\rvert^2+S_{vco}\lvert H_{hp}\rvert^2$
buffer/divider 加成床	$\phi_{out}=\phi_{in}+\phi_{add}$（不相關）	$\mathcal{L}_{out}=10\log_{10}(10^{\mathcal{L}_{in}/10}+10^{\mathcal{L}_{buf}/10})$（先轉線性、相加、再轉回 dB）

守恆量：理想 ×N/÷N 下，以秒計的 $\sigma_t$ 全程不變（只有 $\mathcal{L}$/rad 記帳在變）。

$K_{push}$ 路徑：$S_\phi=K^2S_v/\Delta f^2$ — varactor_tuning_supply_pushing

$$K_{VCO}\equiv\frac{\partial f_0}{\partial V_{tune}},\quad K_{push}\equiv\frac{\partial f_0}{\partial V_{DD}},\qquad S_\phi(\Delta f)=\frac{K_{VCO}^2\,S_v(\Delta f)}{\Delta f^2}\ \ (\text{supply 版同式，}K_{VCO}\to K_{push},\ S_v\to S_{v,DD})$$

與 ISF 白噪結果並排：分母同是 $\Delta\omega^2$／$\Delta f^2$ 的積分器，只是入口不同（$\Gamma_{rms}/q_{max}$ vs $2\pi K_{VCO}$）。白噪 tune/supply → $1/f^2$；$1/f$ tune/supply → $1/f^3$（與 device $c_0$ 機制平行）。lab_38 第一性驗證 $K_{push}$（β 比 1.002）。

五篇論文一句話

• [P1] Hajimiri–Lee 1998：ISF 理論本體（振盪器是 LTV）。
• [P2] 1999：ISF 套到 ring，jitter/PN 封閉式、$N$-independence。
• [P3] Hong 2019 I：ISF 推廣 Adler → 廣義 injection locking。
• [P4] Hong 2019 II：APF（振幅版 ISF）、$\tau_0=2Q/\omega_0$、frequency division。
• [P5] sense amplifier 論文，與 ISF 無關（誠實標註）。

完整對照見 paper_summary_table、equation_index。