Oscillator phase 是什麼？

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在談 ISF（Impulse Sensitivity Function，脈衝敏感度函數）之前，必須先把一件事講清楚： 振盪器的「相位（phase）」到底是什麼物理量，它跟「振幅（amplitude）」差在哪裡， 為什麼一個會永久殘留、一個會被自動修正。 這一頁就回答這個問題。它是整個 ISF 理論的 地基——後面 從 impulse 到 phase shift 的推導 能成立，全靠這裡建立的幾何直覺。

物理直覺（先講結論）：把振盪器的狀態畫在 2-D 平面上，穩態時它沿著一條閉合的環 （limit cycle，極限環）不停轉圈。一個 noise 脈衝把狀態點推離這條環。推離的位移可以分成 兩個方向：沿著環的切線方向 = 相位擾動，垂直於環指向圓心的徑向方向 = 振幅擾動。 振盪器有「振幅恢復力」會把徑向偏差慢慢拉回環上；但沒有任何力會修正切線方向的偏差， 因為振盪器根本沒有「現在幾點」的絕對參考。於是相位誤差一次次累積，這就是 phase noise 與 timing jitter 的根源。

第 1 步：用 state trajectory 描述振盪器

任何振盪器都可以用幾個「狀態變數（state variables）」完整描述。最典型的 LC 振盪器有兩個 能量儲存元件：電容（存電壓）與電感（存電流），所以它的狀態是一個 2-D 向量

$$\mathbf{z}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big),$$

其中我們可以取 $x$ = 電容電壓（normalized）、$y$ = 正比於電感電流的量（normalized）。 隨時間演化，$\mathbf{z}(t)$ 在這個「狀態平面（state plane）」上畫出一條軌跡，叫 state trajectory（狀態軌跡）。

• 用到的物理：能量在電容與電感之間來回振盪——電壓最大時電流為零（能量全在電容）， 電壓為零時電流最大（能量全在電感）。這正是一個圓在 $x$–$y$ 平面上轉動的圖像。
• 單位檢查：兩軸都先 normalize 成無因次（除以各自的最大擺幅），半徑 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 代表「振盪的總能量大小」，相位角 $\theta=\arctan(y/x)$ 代表「現在轉到哪裡」。
• 為何用 2-D：訊號與系統課學過，二階系統的自由響應就是平面上的軌跡。理想無損 LC 是 邊界穩定（marginally stable）的，軌跡是一個半徑固定的圓。

本站的 toy model（lab_01 用到的 oscillator_models.py）用一個正規化的 2-D 方程來產生這條軌跡（這是 pedagogical toy model，非 transistor-level）：

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt}&=-\omega_0\,y+\mu\,(1-r^2)\,x,\\ \frac{dy}{dt}&=\ \ \omega_0\,x+\mu\,(1-r^2)\,y,\qquad r^2=x^2+y^2. \end{aligned}$$

第一項 $\pm\omega_0$ 就是純旋轉（理想 LC）；第二項 $\mu(1-r^2)$ 是 Van der Pol 式的 振幅恢復項：當 $r>1$ 它把能量抽掉、當 $r<1$ 它補能量，把軌跡推回單位圓。 $\mu=0$ 退化成無損 LC（純旋轉），$\mu>0$ 模擬真實振盪器一定要有的 AGC／device 非線性。

第 2 步：limit cycle（極限環）是什麼

當 $\mu>0$，不管從哪裡出發（例如從半徑 $1.7$ 起跳），軌跡最後都會收斂到同一條閉合曲線 ——這條吸引子就是 limit cycle（極限環）：

• 定義：limit cycle 是相平面上一條孤立的、週期性的閉合軌跡，鄰近的軌跡會被吸引到它 （穩定極限環）或被它排斥。穩態振盪 = 沿 limit cycle 等速繞圈，週期 $T=1/f_0$。
• 為何振盪器一定有 limit cycle：要有穩定、振幅固定的振盪，必須有一個機制把振幅鎖在 某個值。線性系統做不到（不是衰減就是發散），所以所有真實振盪器都是非線性的，而那個 非線性恰恰造出 limit cycle。這點在 LTI vs LTV 會再用到。
• 單位檢查：繞一圈相位前進 $2\pi$ rad，花時間 $T$，所以角速度 $\omega_0=2\pi/T=2\pi f_0$ rad/s ✓。

下圖就是 toy model 模擬出的 limit cycle：黑色虛線是穩態的單位圓，藍線是從環外 （半徑 $1.7$）起跳、被振幅恢復項一圈圈拉回環上的軌跡。圖上標了在操作點處的兩個擾動方向。

這張圖怎麼解讀：

• 黑色虛線圓 = limit cycle（穩態軌跡）。狀態點以 $\omega_0$ 等角速度沿它逆時針轉。
• 綠色箭頭（切線方向）= phase 擾動 $\Delta\phi$：沿著環移動，相當於「提早或延後到達 某個相位」。沒有恢復力，會持續累積。
• 紅色箭頭（徑向方向）= amplitude 擾動 $\Delta A$：把狀態點推離或推進環，被振幅恢復項 慢慢拉回。
• 藍線示範了徑向擾動的命運：從半徑 1.7 起跳，幾圈內就鬆弛回單位圓——徑向資訊被「忘掉」。

對應公式：把擾動向量 $\delta\mathbf{z}$ 投影到 limit cycle 在該點的切線單位向量 $\hat{\mathbf{t}}$（相位方向）與徑向單位向量 $\hat{\mathbf{r}}$（振幅方向）：

$$\delta\mathbf{z}=\underbrace{(\delta\mathbf{z}\cdot\hat{\mathbf{t}})}_{\to\ \Delta\phi}\hat{\mathbf{t}}+\underbrace{(\delta\mathbf{z}\cdot\hat{\mathbf{r}})}_{\to\ \Delta A}\hat{\mathbf{r}}.$$

切向分量決定相位偏移，徑向分量決定振幅偏移。ISF 就是「單位注入電荷在某個注入相位下， 切向分量佔多少」的那個比例函數（正式定義見 從 impulse 到 phase shift 的推導）。

第 3 步：為什麼振盪器沒有絕對時間基準

這是整個理論最關鍵、卻最常被忽略的一句話：

自治振盪器（autonomous oscillator）的微分方程不含時間 $t$ 的顯式項。

意思是，方程只認得「狀態 $\mathbf{z}$」，不認得「現在是幾點」。數學上的後果是：若 $\mathbf{z}(t)$ 是一個解，那麼把時間平移任意常數 $\Delta\tau$ 後的 $\mathbf{z}(t-\Delta\tau)$ 也是一個完全合法、能量相同、波形相同的解。

• 用到的數學：自治系統 $\dot{\mathbf{z}}=F(\mathbf{z})$ 對時間平移具有不變性 （time-translation invariance）。沿 limit cycle 的位移對應的就是這個自由度。
• 物理意義：振盪器沒有外部時鐘告訴它「該在哪個相位」。沿環滑動（= 改變相位）不耗能、 不被任何恢復力反對。這就是為什麼相位是一個 marginally stable（中性穩定） 的自由度 ——對應系統有一個 零特徵值（Floquet exponent = 0）。
• 對照振幅：垂直於環的方向（振幅）對應負特徵值，所以擾動會指數衰減回環上。 （嚴格的 Floquet／PPV 理論不在下載的 5 篇 PDF 內，屬 Demir 等外部文獻， 本站只用幾何直覺；詳見 effective_isf 的補充說明。）

一句話總結：相位是振盪器唯一沒有恢復力的狀態方向，所以 noise 對相位的影響是永久的、 會累積的；對振幅的影響是暫時的、會被吃掉的。

第 4 步：同一個 impulse，注入相位不同，效果完全不同

既然擾動會被分解成切向與徑向，那麼在波形的哪個相位踢它，就決定了切向／徑向的分配比例。 看純正弦波 $V(t)=\cos(\omega_0 t)$：

• 在波峰（peak），$\theta=0$：狀態點在 $x$ 軸最右端，狀態速度（切線）是純 $y$ 方向。 一個沿 $x$ 的電壓跳變幾乎全是徑向——只改振幅、幾乎不改相位。對應 $\Gamma\approx 0$。
• 在零交越（zero crossing），$\theta=\pi/2$：狀態點在 $y$ 軸最上端，切線是純 $x$ 方向。 同樣沿 $x$ 的電壓跳變幾乎全是切向——只改相位、幾乎不改振幅。對應 $|\Gamma|$ 最大。

下圖把這件事畫在時域波形上：

這張圖怎麼解讀：

• 藍色曲線 $V(t)=\cos(2\pi f_0 t)$ 是穩態波形。
• 紅色標記（波峰）：在這裡注入脈衝 → 只有 $\Delta A$、幾乎沒有 $\Delta\phi$（$\Gamma\approx 0$）。
• 綠色標記（零交越，斜率最大處）：在這裡注入脈衝 → 最大 $\Delta\phi$、幾乎沒有 $\Delta A$ （$|\Gamma|$ 最大）。
• 結論：相位敏感度跟「波形此刻的斜率」高度相關——斜率大的地方，同一個電壓跳變等效於更大的 時間（相位）位移。這就是 ISF 為理想 LC 長成 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$ 的幾何原因 （正弦波在零交越斜率最大、在峰值斜率為零）。

對應公式（操作型 ISF 定義，[P1] Eq.(10)–(11), p.182；完整推導在下一章）：

$$\Delta\phi=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q,\qquad \Gamma_{LC}(\theta)=-\sin\theta.$$

「同 impulse、相位不同 → 效果不同」這個事實，正式名稱叫 週期時變敏感度（periodically time-varying sensitivity），是 [P1] 把振盪器當成 LTV（線性時變）系統的核心理由 （見 LTI vs LTV）。

用真實函式產生這兩張圖

兩張圖都由 simulations/lab_01_sinusoidal_oscillator.py 產生。limit cycle 來自 simulate_lc() 的 RK4 積分（含振幅恢復），波形標記來自 sinusoidal_oscillator()：

from oscillator_models import simulate_lc, sinusoidal_oscillator
import numpy as np

# (1) limit cycle：從環外 (x0=1.7) 起跳，被 mu>0 的振幅恢復項拉回單位圓
t, x, y = simulate_lc(f0=1.0, t_end=3.0, fs=4000.0, mu=0.6, x0=1.7, y0=0.0)

# (2) 純正弦波 + peak / zero-crossing 標記
tt = np.arange(int(2.0 * 4000.0)) / 4000.0
v  = sinusoidal_oscillator(tt, f0=1.0, amp=1.0)   # V = cos(2*pi*f0*t)
# peak  : theta=0      -> 只改振幅   (Gamma ~ 0)
# zero  : theta=pi/2 (t=0.25 T) -> 只改相位 (|Gamma| max)

完整 script：simulations/lab_01_sinusoidal_oscillator.py （核心模型 simulations/common/oscillator_models.py）。

參數表：

參數	符號	圖 (limit cycle)	圖 (impulse markers)	單位
振盪頻率	$f_0$	1.0（normalized）	1.0（normalized）	Hz
取樣率	$f_s$	4000	4000	Hz
振幅恢復強度	$\mu$	0.6	—（純正弦）	—
起始狀態	$(x_0,y_0)$	$(1.7,\,0)$	—	normalized
波形振幅	$A$	1（穩態半徑）	1.0	normalized

toy model 警告：這兩張圖都是 pedagogical toy model，用一個正規化的 2-D Van der Pol 式系統重現「相位 vs 振幅」的機制，不是 transistor-level 的真實電路數值。它對應 [P1] Fig. 4（impulse 注在 peak vs zero crossing、state-space limit cycle）與 Sec. III-A 的概念，但常數與波形是教學用的。

第 5 步：amplitude error 被拉回、phase error 累積 → phase noise / jitter

把前面四步串起來，看 noise 持續踢的長期後果：

1. 振幅誤差（amplitude error）：每次 noise 把狀態推離環一點點（徑向），振幅恢復項在 幾個時間常數內把它拉回。它對輸出的影響是有界、會衰減的——所以振幅雜訊通常被自然抑制 （詳見 phase_vs_amplitude_noise）。
2. 相位誤差（phase error）：每次 noise 把狀態沿環推一點點（切向），沒有恢復力， 這個 $\Delta\phi$ 永久留著。下一次 noise 又加一個 $\Delta\phi$……相位做的是一個 random walk（隨機漫步）。

把這個隨機漫步寫成連續形式，就是下一章的 LTV 卷積（[P1] Eq.(11), p.182）：

$$\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau.$$

積分上限是 $t$（系統有記憶），所以過去所有 noise 的相位貢獻全部累加——這就是相位誤差 累積的數學原因，也是 phase noise／jitter 的本質。

phase noise 與 timing jitter 的關係

同一件事（相位的隨機抖動）有兩種看法，只差一個換算常數 $2\pi f_0$：

• phase noise（相位雜訊）：在頻域看。把相位起伏的功率譜畫出來，就是 $S_\phi(f)$（rad²/Hz），或工程上常用的單邊帶（SSB）$\mathcal{L}(\Delta f)$（dBc/Hz）。 累積相位的隨機漫步在頻域呈現為靠近載波的 $1/f^2$ 裙擺。
• timing jitter（時間抖動）：在時域看。把相位誤差換成「邊緣（edge）跨越零點的 時間誤差」，用 $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$ 換算。

換算公式（規範第 3 節 Eq.17、Eq.19）：

$$\Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0},\qquad \sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df}.$$

• Dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓（注意 $2\pi f_0$ 的單位是 rad/s，不是 Hz）。
• 隨機漫步特徵：相位 random walk 在時域對應 accumulated jitter（累積抖動） $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8), p.792；κ 由 Eq.(12), p.793）——量測間隔越長、累積誤差 的 rms 越大，正是「沒有絕對時間基準」的指紋。詳見 psd_phase_noise_jitter。

數值例子（建立手感）

用規範第 8 節的 canonical 數值，把上面的幾何落地成數字。

例 A：$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$\Gamma=0.5$、$f_0=5$ GHz。

一顆 $\Delta q=1$ fC 的電荷脈衝注在 $\Gamma=0.5$ 的相位（介於 peak 與 zero crossing 之間）：

$$\Delta\phi=\frac{\Gamma\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{0.5\times(1\times10^{-15}\,\text{C})}{1\times10^{-12}\,\text{C}}=5\times10^{-4}\ \text{rad}\;(\approx0.0286^\circ),$$

換成 timing error：

$$\Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0}=\frac{5\times10^{-4}\ \text{rad}}{2\pi\times5\times10^{9}\ \text{Hz}}\approx1.59\times10^{-14}\ \text{s}=15.9\ \text{fs}.$$

• 手感：在 5 GHz（週期 200 ps）下，一顆 1 fC（約 6240 個電子）的電荷在中等敏感相位 只造成 ~16 fs 的時間誤差。單顆很小，但相位沒有恢復力，noise 持續踢就會積分累積—— 這正是第 5 步講的 random walk。
• 若同樣 1 fC 注在波峰（$\Gamma\approx 0$），$\Delta\phi\approx 0$、$\Delta t\approx 0$： 能量幾乎全進振幅，幾個時間常數後被恢復項吃掉，對相位無永久影響。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
存在穩定 limit cycle	振幅擾動會衰減、只需追蹤相位	無穩定環（如未起振或多模）時整套幾何不適用
小訊號 $\Delta q\ll q_{max}$	切向投影可線性化，$\Delta\phi\propto\Delta q$	大注入 → 非線性、AM–PM、$\Gamma$ 本身被改變
自治振盪（無外部時鐘）	相位是中性穩定自由度、會累積	鎖相／injection-locked 時相位被外部拉住（見 [P3]）
脈衝遠窄於週期 $T$	可視為瞬間電壓跳變	寬脈衝要用 Eq.(11) 積分形式

重點回顧

• 振盪器狀態畫在 2-D 平面上沿 limit cycle 等速繞圈；相位 = 沿環的角位置。
• 自治振盪器沒有絕對時間基準（方程不含顯式 $t$）→ 沿環滑動不耗能、不被恢復力反對。
• 擾動分解：切向 = phase 擾動（永久累積）、徑向 = amplitude 擾動（被恢復力拉回）。
• 同一個 impulse 在 peak（$\Gamma\approx 0$）vs zero crossing（$|\Gamma|$ 最大）效果天差地遠 → 週期時變敏感度 → ISF。
• 累積的相位 random walk 在頻域 = phase noise $\mathcal{L}(\Delta f)$，在時域 = timing jitter $\sigma_t=\sigma_\phi/(2\pi f_0)$。
• 例 A：1 fC @ $\Gamma=0.5$、$q_{max}=1$ pC、5 GHz → $\Delta\phi=5\times10^{-4}$ rad → 15.9 fs。
• 來源：[P1] Fig. 4、Sec. III-A；toy model 出自 lab_01。

延伸閱讀

• 下一步——把幾何變成公式：從 impulse 到 phase shift 的推導
• 為何相位雜訊重要、振幅雜訊被抑制：phase_vs_amplitude_noise
• 週期時變敏感度的本質：LTI vs LTV
• 全站符號與單位：統一符號表 Notation
• 數值換算練習：數值手感 Numerical Feeling