LTI vs LTV — 振盪器對 noise 的敏感度是週期時變的

先備：oscillator_phase · phase_vs_amplitude_noise ｜ 接下來：從 impulse 到 phase shift 的推導

訊號與系統課教我們用脈衝響應 $h(t)$ 與卷積描述線性系統。但那套是 LTI（Linear Time-Invariant，線性非時變） 的故事。Hajimiri–Lee 在 [P1] 最關鍵的洞見是：

振盪器對 noise 的相位響應不是 LTI，而是 LTV（Linear Time-Variant，線性時變）。

這一頁說清楚 LTI 與 LTV 差在哪、為什麼振盪器一定是 LTV、以及為什麼這個差別正好就是 ISF（Impulse Sensitivity Function，脈衝敏感度函數） 的存在理由。

物理直覺（先講結論）：LTI 系統「不看現在幾點」——同一個脈衝，今天打跟明天打， 反應形狀一模一樣，只是時間平移。振盪器不是這樣：因為它的狀態在 limit cycle 上不停 轉動，同一顆 noise 電流注在「波峰」跟注在「零交越」會得到完全不同的相位偏移。 系統對輸入的敏感度本身隨時間（隨注入相位）週期變化——這就是「週期時變敏感度」， 把它整理成一個 $2\pi$ 週期、無因次的函數，就是 ISF $\Gamma(\omega_0\tau)$。

1. 複習：LTI 的 $h(t-\tau)$

線性非時變系統有兩個性質：線性（疊加成立）與時不變（輸入延遲 $\Delta$，輸出也只是 延遲 $\Delta$、形狀不變）。時不變的後果是它的脈衝響應只依賴時間差 $t-\tau$：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)\,x(\tau)\,d\tau\qquad\text{（LTI 卷積）}.$$

• 為何只看 $t-\tau$：在 $\tau_1$ 注入單位脈衝得到 $h(t-\tau_1)$，在 $\tau_2$ 注入得到 $h(t-\tau_2)$——同一個形狀，只是平移。系統不在乎「絕對時刻 $\tau$」，只在乎「過了多久」。
• 單位檢查：卷積核 $h$ 的維度由輸出／輸入決定；這裡重點是「形狀不變」而非數值。
• 這就是大學學的那套：RLC 濾波器、放大器小訊號等效——只要工作點固定，都是 LTI。

2. 振盪器：脈衝響應變成 $h(t,\tau)$，多了一個自變數

振盪器沒有固定工作點——它的狀態在 limit cycle 上不停移動（見 oscillator_phase）。所以「此刻系統對擾動多敏感」會隨 狀態（也就是隨注入相位 $\omega_0\tau$）改變。脈衝響應因此同時依賴兩個時間：

$$\boxed{\;h_\phi(t,\tau)\neq h_\phi(t-\tau)\;}\qquad\text{（LTV：依賴絕對注入時刻}\tau\text{，不只}t-\tau\text{）}.$$

[P1] 寫出的 excess-phase 脈衝響應正是這個形式（[P1] Eq.(10), p.182）：

$$h_\phi(t,\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau).$$

把它拆開看，剛好把 LTV 的兩個自變數分給兩個因子，意義清楚：

• 階高（step height）$\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}$：只依賴注入相位 $\omega_0\tau$。 這是「時變」的部分——同樣大小的脈衝，注入相位不同，跳的高度不同。

• 時間形狀 $u(t-\tau)$：一個 unit step（單位階梯），只依賴 $t-\tau$。它編碼「相位偏移 一旦發生就永久保持」（相位沒有恢復力，見 phase_vs_amplitude_noise）。

• 單位檢查 / dimension：$\Gamma$ 無因次、$q_{max}$ 單位 C、$u$ 無因次，所以 $h_\phi$ 的單位是 $\mathrm{C^{-1}}$；對電流（A）卷積後 $\int h_\phi\,i\,d\tau$ 得 $\mathrm{C^{-1}\cdot A\cdot s}=\mathrm{C^{-1}\cdot C}=$ 無因次 = rad ✓。

• 為何是 $\Gamma(\omega_0\tau)$ 而不是 $\Gamma(\tau)$：敏感度隨「波形相位」週期變化， 週期是 $2\pi$（每轉一圈 limit cycle 回到相同敏感度）。所以 $\Gamma$ 的自變數是相位 $\omega_0\tau$，且 $\Gamma$ 是 $2\pi$ 週期函數——這就是「週期時變敏感度」。

3. 為什麼同一個 impulse 在不同位置得到不同 phase shift

把第 2 步的 step height 套到操作型 ISF 定義（[P1] Eq.(11) 的脈衝極限）：

$$\Delta\phi(\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q.$$

固定 $\Delta q$、掃注入相位 $\theta=\omega_0\tau$，$\Delta\phi$ 就照著 $\Gamma(\theta)$ 的形狀 起伏。對理想 LC，$\Gamma(\theta)=-\sin\theta$：

注入相位 $\theta$	波形位置	$\Gamma(\theta)=-\sin\theta$	結果
$0$	波峰（斜率 0）	$0$	$\Delta\phi=0$，純改振幅
$\pi/2$	下降零交越（斜率最負）	$-1$	$\vert \Delta\phi\vert$ 最大
$\pi$	波谷（斜率 0）	$0$	$\Delta\phi=0$，純改振幅
$3\pi/2$	上升零交越（斜率最正）	$+1$	$\vert \Delta\phi\vert$ 最大、反向

• 物理原因（接 oscillator_phase 第 4 步）：相位偏移大小取決於電壓跳變投影到 limit cycle 切線方向的分量。零交越時狀態速度（切線）正好沿著電壓軸，固定的 $\Delta V$ 幾乎 全部變成切向位移 → $\Delta\phi$ 最大；波峰時切線垂直於電壓軸，$\Delta V$ 幾乎全是徑向 （純振幅）→ $\Delta\phi\approx 0$。切向分量 $\propto\sin\theta$，故對正弦波 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$。
• 這就是 LTV 的指紋：若振盪器是 LTI，$\Delta\phi$ 應該與 $\tau$ 無關（只看 $t-\tau$）—— 但實際上 $\Delta\phi(\tau)$ 週期起伏。敏感度本身隨時間變 = time-variant。

把 LTI 與 LTV 並排看最清楚：

	LTI	LTV（振盪器相位）
脈衝響應	$h(t-\tau)$（只看時間差）	$h_\phi(t,\tau)=\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}u(t-\tau)$
換注入時刻 $\tau$	形狀不變，只平移	階高隨 $\omega_0\tau$ 改變
敏感度	與絕對時刻無關	$2\pi$ 週期時變（= ISF）
卷積	$\int h(t-\tau)x\,d\tau$	$\dfrac{1}{q_{max}}\displaystyle\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)i_n(\tau)\,d\tau$

右下角那個 LTV 卷積就是 [P1] Eq.(11), p.182——下一章 convolution_derivation 會用它把任意 noise 電流 疊加成 $\phi(t)$。

4. 對照圖：LTI 形狀不變 vs LTV 階高隨相位變

下圖上半是一個 LTI 系統（簡單一階衰減）的脈衝響應：在 $\tau=0.3,\,0.9,\,1.5$ 注入， 得到同一個形狀、只是平移。下半是振盪器的 LTV 相位響應 $h_\phi(t,\tau)$：在不同注入 相位 $\tau$，階梯高度 $\Gamma(\omega_0\tau)=-\sin(2\pi\tau)$ 跟著改變（甚至變號）。

這張圖怎麼解讀：

• 上半（LTI）：三條曲線疊起來形狀一模一樣，只是起點平移——「系統不看絕對時刻」。
• 下半（LTV）：三條都是階梯（$u(t-\tau)$，永久保持），但階高不同：$\tau=0$ 時 $\Gamma=-\sin 0=0$（注在波峰，階高 0、無相位偏移）；$\tau=0.25$ 時 $\Gamma=-\sin(\pi/2)=-1$ （注在零交越，階高最大、負向）；$\tau=0.5$ 時 $\Gamma=-\sin(\pi)=0$（注在波谷，階高 0）。
• 訊息：LTV 的「形狀」固定（都是階梯，因相位無恢復力），但「強度」週期時變——這正是 ISF。

下面這張是把 step height 對注入相位連續掃出來的結果（lab_04 的相位掃描），等於把上表那一欄畫成連續曲線，數值與理論 $-\sin\theta$ 幾乎重合：

這張圖怎麼解讀：橫軸是注入相位 $\theta/2\pi$（一個週期），縱軸是注入後持續保留的 $\Delta\phi$（固定 $\Delta q/q_{max}=10^{-3}$）。藍點是數值模擬、黑虛線是 $\Delta\phi=-\sin\theta\cdot\Delta q/q_{max}$。$\Delta\phi$ 隨注入相位週期起伏就是 LTV 的 眼見為憑；它正比於 ISF，所以這張掃描圖本質上就是「量出來的 $\Gamma(\theta)$」。

用真實函式產生這兩張圖

兩張圖都由 simulations/lab_04_impulse_sweep.py 產生。LTV 對照圖用解析 ISF $\Gamma(\theta)=-\sin(2\pi f_0\tau)$ 設定階高；相位掃描圖用 extract_isf_by_injection() 在 limit-cycle 模型上真的注入小電荷、量持續相位偏移：

import numpy as np
from oscillator_models import extract_isf_by_injection

# (1) LTV 對照：階高 = ISF(注入相位)，時間形狀都是 u(t - tau)
f0 = 1.0
for tau in [0.0, 0.25, 0.5]:
    gamma = -np.sin(2 * np.pi * f0 * tau)   # ISF at injection phase
    # h_phi(t, tau) = gamma * u(t - tau)    -> 階高隨 tau 改變，形狀(階梯)不變

# (2) 相位掃描：數值反推 ISF，對比解析 -sin(theta)
theta, g_num, g_ana = extract_isf_by_injection(
    f0=1.0, fs=8000.0, n_inject_periods=6, settle_periods=4,
    dq_over_qmax=1e-3, n_points=48, mu=0.3)
# g_num ≈ g_ana = -sin(theta)，最大誤差約 0.001

完整 script：simulations/lab_04_impulse_sweep.py （核心模型 simulations/common/oscillator_models.py 的 extract_isf_by_injection、simulate_lc）。

參數表：

參數	符號	LTV 對照圖	相位掃描圖	單位
振盪頻率	$f_0$	1.0（normalized）	1.0（normalized）	Hz
取樣率	$f_s$	2000	8000	Hz
注入相位	$\tau$	$\{0,\,0.25,\,0.5\}$ 週期	掃 48 點遍歷一週期	—
相對注入電荷	$\Delta q/q_{max}$	（示意階高）	$10^{-3}$（小訊號）	—
沉降週期數	—	—	4	—
振幅恢復強度	$\mu$	—（解析階高）	0.3	—

toy model 警告：兩張圖都是 pedagogical toy model，非 transistor-level。LTV 圖用解析 $-\sin$ 設定階高；掃描圖用一個正規化 2-D limit-cycle 模型重現「敏感度週期時變」的機制， 數值是教學用的。對應 [P1] Eqs.(10),(11) 與 Sec. III、Fig. 4。

5. 為什麼非得用 LTV——LTI 模型錯在哪

歷史上早期把振盪器 noise 當 LTI（如把雜訊直接乘上 tank 的轉移函數）會漏掉兩件事，正是 LTV／ISF 才補得起來的：

1. 頻率轉換（frequency translation）：因為敏感度 $\Gamma(\omega_0\tau)$ 本身是週期的 （含 $\omega_0$ 的諧波），它會把 $0,\,\omega_0,\,2\omega_0,\dots$ 附近的 noise 混頻搬到 載波旁邊。LTI 不會混頻，因此無法解釋為何 device 在 DC 與在 $n\omega_0$ 的 noise 都會出現在 close-in 相位雜訊裡。這由 ISF 的傅立葉係數 $c_n$ 描述（[P1] Eq.(12)–(13), p.183）。
2. $1/f$ 上轉成 $1/f^3$：device 的低頻 $1/f$ noise 之所以能搬到載波附近，靠的是 ISF 的 DC 係數 $c_0$（[P1] Eq.(23)），純 LTI 觀點解釋不了。波形對稱 → $c_0$ 小 → $1/f^3$ 角 被壓低（[P1] Eq.(24)）。

換句話說，LTV 不是把問題複雜化，而是因為振盪器物理上就是時變的；強行套 LTI 會在定性上 就漏掉混頻與 $1/f$ 上轉這兩個真實現象。

數值例子（建立手感）

例 A 的 LTV 版：$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$f_0=5$ GHz，比較注在零交越 （$\Gamma=-1$）與注在峰值（$\Gamma=0$）。

零交越（$\theta=\pi/2$，$\Gamma=-\sin(\pi/2)=-1$）：

$$|\Delta\phi|=\frac{|\Gamma|\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{1\times(1\times10^{-15})}{1\times10^{-12}}=1\times10^{-3}\ \text{rad}\ \Rightarrow\ \Delta t=\frac{10^{-3}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx31.8\ \text{fs}.$$

峰值（$\theta=0$，$\Gamma=0$）：$\Delta\phi=0$ rad、$\Delta t=0$ fs。

• Dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。
• 手感：同一顆 1 fC，因為敏感度週期時變，注入相位差 $90^\circ$ 就讓相位偏移從 31.8 fs 變成 0。 這個「隨相位變」的比例，整理出來就是 ISF——LTV 的全部精神就在這一句。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
小訊號（線性化）	響應對 $\Delta q$ 線性、可定義 $h_\phi(t,\tau)$	大注入 → 真正非線性，連 LTV 線性疊加都不夠
穩態週期軌跡存在	$\Gamma$ 是良好定義的 $2\pi$ 週期函數	未起振／chirp／調頻時 $\Gamma$ 不再固定週期
已知正確 $\Gamma$	LTV 卷積可預測 $\phi(t)$	$\Gamma$ 要靠 transient/adjoint 模擬萃取（見 effective_isf）
相位無恢復力	用 $u(t-\tau)$（永久階梯）合理	強 injection-locking 時相位被外力拉住（[P3]）

重點回顧

• LTI：$h(t-\tau)$，只看時間差，換注入時刻只是平移、形狀不變。
• LTV：$h_\phi(t,\tau)=\dfrac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}u(t-\tau)$——階高隨注入相位 $\omega_0\tau$ 週期變化，時間形狀（階梯）固定。
• 振盪器一定是 LTV：狀態沿 limit cycle 移動 → 敏感度隨相位變 → 同 impulse 不同位置 → 不同 $\Delta\phi$。
• ISF $\Gamma(\omega_0\tau)$ 的本質就是「週期時變敏感度」；理想 LC 為 $-\sin\theta$。
• LTV 才解釋得了頻率轉換（$c_n$ 混頻）與 $1/f\to1/f^3$ 上轉（$c_0$），LTI 漏掉這兩者。
• 例 A：1 fC 注零交越 → 31.8 fs；注波峰 → 0 fs（敏感度週期時變的直接後果）。
• 來源：[P1] Eq.(10), Eq.(11), Sec. III；數值與圖出自 lab_04。

延伸閱讀

• 幾何起點：oscillator_phase
• 為何相位累積、振幅衰減：phase_vs_amplitude_noise
• 把 LTV 變成完整推導：從 impulse 到 phase shift 的推導
• 用 LTV 卷積疊加任意 noise：convolution_derivation
• $c_n$ 混頻與頻率轉換：fourier_series_of_isf
• 對應的數值實驗：數值手感 Numerical Feeling