Phase Noise → Jitter

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這頁回答一個工程上最常被問的問題：手上拿到一張 phase noise 圖（$\mathcal{L}(f)$，dBc/Hz）， 怎麼把它變成一個時域數字——rms jitter $\sigma_t$（fs）？ 這是 frequency-domain（頻域， 通訊/RF 的語言）與 time-domain（時域，數位/SerDes 的語言）之間的橋。

整條鏈是四步：

$$\mathcal{L}(f)\ \xrightarrow{\ \times2,\ \text{de-dB}\ }\ S_\phi(f)\ \xrightarrow{\ \int_{f_1}^{f_2}\ }\ \sigma_\phi^2\ \xrightarrow{\ \sqrt{\ }\ }\ \sigma_\phi\ \xrightarrow{\ \div(2\pi f_0)\ }\ \sigma_t.$$

我們把每一步都拆開、帶單位、帶 dimension check，最後用 canonical 例 C （5 GHz、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、1/f² 斜率、1→100 MHz）算出 $\sigma_t=447.9$ fs。

物理直覺（先講結論）：相位誤差 $\Delta\phi$ 就是「時鐘的指針偏了多少角度」； 把角度除以角速度 $2\pi f_0$，就得到「指針偏了多少時間」$\Delta t$。phase noise 圖 告訴你每個 offset 頻率有多少相位功率密度；把它們**全部加起來（積分）**就是總相位 變異數；開根號是 rms 相位；再除 $2\pi f_0$ 就是 rms timing jitter。整張圖被壓成一個 fs 數字。

第 1 步：phase error 為什麼能轉成 timing error

一個理想振盪 $\cos(2\pi f_0 t)$，加上 excess phase 後是 $\cos(2\pi f_0 t+\Delta\phi)$。 把相位項提出來看 zero crossing（過零點）落在哪：

$$2\pi f_0 t+\Delta\phi=2\pi f_0\Big(t+\underbrace{\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0}}_{=\ \Delta t}\Big).$$

也就是說，多出 $\Delta\phi$ 的相位，等效於整條波形在時間軸上平移了 $\Delta t$ （規範第 3 節公式 17）：

$$\boxed{\ \Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0}\ }$$

• 用到的物理：phase 與 time 之間的轉換率就是角頻率 $\omega_0=2\pi f_0$（rad/s）。
• dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。注意分母是 $2\pi f_0$ （rad/s），不是 $f_0$（Hz）——這個 $2\pi$ 漏掉是最常見的錯。
• 為何合理：在小相位（$\Delta\phi\ll1$ rad）下，相位偏移與邊緣時間偏移是線性、 一對一的。timing jitter 就是 zero crossing 的時間誤差，所以它 = $\Delta\phi/(2\pi f_0)$。
• 手感：5 GHz 下 $\Delta\phi=1$ mrad $\Rightarrow\Delta t=31.8$ fs（見 numerical_feeling Example 1）。

第 2 步：dBc/Hz 怎麼轉 linear，並還原 phase PSD

phase noise 圖的縱軸是 $\mathcal{L}(f)$，SSB phase noise（single-sideband， 單邊帶相位雜訊），單位 dBc/Hz——意思是「在 offset $f$ 處、每 1 Hz 頻寬內， 單邊帶的雜訊功率比 carrier 低幾 dB」（dBc = dB relative to carrier）。

de-dB（從 dB 換回線性）：dBc/Hz 是 $10\log_{10}(\cdot)$，所以

$$\mathcal{L}_{\text{lin}}(f)=10^{\mathcal{L}(f)/10}\quad[\text{1/Hz}].$$

再連到 phase PSD：小角近似下，SSB phase noise 與單邊 phase PSD 的關係是 （規範第 3 節公式 16）：

$$\boxed{\ \mathcal{L}(f)\approx\tfrac12\,S_\phi(f)\ }\quad\Longrightarrow\quad S_\phi(f)=2\cdot10^{\mathcal{L}(f)/10}\ [\text{rad}^2/\text{Hz}].$$

• 單位：$S_\phi$ 是 $\text{rad}^2/\text{Hz}$（相位變異數的密度）。$\mathcal{L}_{\text{lin}}$ 本身無因次/Hz；乘 2 後解讀成 $\text{rad}^2/\text{Hz}$。
• 這個 $\frac12$ 從哪來：phase modulation 的功率平均分到上、下兩個 sideband， $\mathcal{L}$ 只算單邊，所以是 $S_\phi$ 的一半。這正是規範第 3 節那段「factor-of-2 教學註記」討論的記帳慣例；本站對 jitter 積分一律採 $S_\phi=2\mathcal{L}_{\text{lin}}$。 深入討論見 white_noise_to_phase_noise。

逐步推導：$\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$ 從小角 PM（narrowband）來

上面那個 $\frac12$ 不是憑空塞的，它是窄頻相位調變（narrowband PM，相位擺動很小的調變） 的直接後果。我們把它一步步推出來，把「sideband 功率 $=(\phi_p/2)^2$」這件事講清楚。

第 1 步：寫出一個單音相位調變的載波。 設相位只被單一頻率 $\omega_m$（offset 角頻率）以 小幅度 $\phi_p$（peak phase，相位擺動峰值，rad）調變：

$$v(t)=\cos\big(\omega_0 t+\phi(t)\big),\qquad \phi(t)=\phi_p\sin\omega_m t,\quad \phi_p\ll 1\ \text{rad}.$$

• 用到的物理：這就是把 第 1 步 的 excess phase $\Delta\phi$ 換成一個會隨時間正弦擺動的相位；$\phi_p$ 是它的振幅。
• 單位：$\phi_p$ 與 $\phi(t)$ 都是 rad；$\omega_0,\omega_m$ 都是 rad/s。

第 2 步：用三角展開把相位調變攤開。 用和角公式 $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，令 $A=\omega_0 t$、$B=\phi(t)$：

$$v(t)=\cos\omega_0 t\,\cos\!\big(\phi_p\sin\omega_m t\big)-\sin\omega_0 t\,\sin\!\big(\phi_p\sin\omega_m t\big).$$

第 3 步：小角近似（這就是「small-angle」的全部內容）。 因為 $\phi_p\ll1$：

$$\cos\!\big(\phi_p\sin\omega_m t\big)\approx 1,\qquad \sin\!\big(\phi_p\sin\omega_m t\big)\approx \phi_p\sin\omega_m t.$$

• 用到的數學：泰勒展開 $\cos x\approx1-x^2/2$、$\sin x\approx x$，只留到一階（$x=\phi_p\sin\omega_m t$， 其 $x^2$ 是 $O(\phi_p^2)$ 可丟）。這正是 Bessel 展開 $J_0\approx1,\ J_1\approx\phi_p/2$ 的小幅度極限。

代回得到：

$$v(t)\approx\cos\omega_0 t-\phi_p\sin\omega_0 t\,\sin\omega_m t.$$

第 4 步：把 $\sin\times\sin$ 拆成上下兩個 sideband。 用積化和差 $\sin\alpha\sin\beta=\tfrac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$，令 $\alpha=\omega_0 t$、$\beta=\omega_m t$：

$$\begin{aligned} v(t)&\approx\cos\omega_0 t-\frac{\phi_p}{2}\Big[\cos(\omega_0-\omega_m)t-\cos(\omega_0+\omega_m)t\Big]\\ &=\underbrace{\cos\omega_0 t}_{\text{carrier}}-\underbrace{\frac{\phi_p}{2}\cos(\omega_0-\omega_m)t}_{\text{下邊帶}}+\underbrace{\frac{\phi_p}{2}\cos(\omega_0+\omega_m)t}_{\text{上邊帶}}. \end{aligned}$$

• 物理意義：相位調變把載波旁邊長出對稱的一對 sideband，各落在 $\omega_0\pm\omega_m$， 振幅都是 $\phi_p/2$。這就是 [P1] Fig. 8 那種「載波被塗成裙帶」的時域起源。

第 5 步：每個 sideband 的相對功率。 carrier 振幅 $1$、功率 $\propto 1$（取 $\tfrac12\cdot1^2$）； 單一 sideband 振幅 $\phi_p/2$、功率 $\propto(\phi_p/2)^2$。所以單邊帶相對載波的功率比是

$$\frac{P_{\text{1 sideband}}}{P_{\text{carrier}}}=\frac{\tfrac12(\phi_p/2)^2}{\tfrac12(1)^2}=\Big(\frac{\phi_p}{2}\Big)^2=\frac{\phi_p^2}{4}.$$

• dimension check：功率比無因次 ✓；$\phi_p$（rad）平方後在「相位功率」語境下視為 $\text{rad}^2$。

第 6 步：把它連到 $S_\phi$。 對 $\phi(t)=\phi_p\sin\omega_m t$，相位的均方值（變異數）是

$$\langle\phi^2(t)\rangle=\phi_p^2\langle\sin^2\omega_m t\rangle=\frac{\phi_p^2}{2}.$$

這個單音的全部相位功率 $\phi_p^2/2$ 集中在 $\omega_m$ 這一根；把它解讀成「在 $\omega_m$ 處的單邊 phase PSD 強度」就是 $S_\phi(\omega_m)=\phi_p^2/2$（per-Hz，當作一根的權重）。

第 7 步：兩者相除，$\frac12$ 出現。 $\mathcal{L}$（SSB）= 單一 sideband 功率比 $=\phi_p^2/4$； $S_\phi=\phi_p^2/2$。所以

$$\boxed{\ \mathcal{L}=\frac{\phi_p^2/4}{1}=\frac12\cdot\frac{\phi_p^2}{2}=\frac12 S_\phi\ }$$

• 一句話總結：$\mathcal{L}$ 只數一個 sideband（功率 $(\phi_p/2)^2=\phi_p^2/4$），而 $S_\phi$ 是全部相位功率密度（$\phi_p^2/2$，等於兩個 sideband 加起來）。單邊 ÷ 全部 $=\tfrac12$， 這就是 factor-of-$\tfrac12$ 的全部來源。
• 失效條件：一旦 $\phi_p$ 不再 $\ll1$，第 3 步的高階 Bessel 項（$J_2,J_3,\dots$）長出更多 sideband， $\mathcal{L}=\tfrac12 S_\phi$ 不再成立——大相位時 carrier 還會「掉功率」給高階 sideband。
• 小角近似條件：$\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$ 只在 $\sigma_\phi\ll1$ rad 成立 （Bessel 展開只留一階）。本例 $\sigma_\phi=14$ mrad $\ll1$，OK。
• canonical 數值：在 1 MHz、$\mathcal{L}=-100$ dBc/Hz： $\mathcal{L}_{\text{lin}}=10^{-100/10}=10^{-10}$；$S_\phi(1\text{MHz})=2\times10^{-10}\ \text{rad}^2/\text{Hz}$。

第 3 步：為什麼對 phase PSD 積分能得到 variance

這一步是純粹的 Parseval / Wiener–Khinchin：把 PSD 對頻率積分，得到時域的變異數 （規範第 3 節公式 18）：

$$\boxed{\ \sigma_\phi^2=\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df\ }$$

• 用到的數學：$S_\phi(f)$ 是「每單位頻寬的相位功率」；把它在關心的 offset 頻段 $[f_1,f_2]$ 上加總（積分）就是總相位功率 = 變異數 $\sigma_\phi^2$。這跟 stochastic_noise_basics 第 3 節把電流 PSD 積成 $\overline{i_n^2}$ 是同一招。
• dimension check：$(\text{rad}^2/\text{Hz})\times\text{Hz}=\text{rad}^2$ ✓。
• 為什麼積分頻寬 $[f_1,f_2]$ 很重要：phase PSD 在低 offset 通常是 1/f²（甚至 1/f³）， 積分量會被下限 $f_1$ 主導。改 $f_1$ 一個 decade，jitter 可能差好幾倍。所以報 jitter 一定要標積分頻寬，否則數字沒有意義。
  • 上限 $f_2$：物理上由系統頻寬決定（SerDes 是 PLL loop bandwidth 或 Nyquist）。
  • 下限 $f_1$：對開環振盪器積到 DC 會發散（random walk），實務上由量測時間或 PLL 把它「拉住」的頻率決定。
• 小角近似（$\sin\Delta\phi\approx\Delta\phi$）：把相位調變的功率近似成 $\sigma_\phi^2$， 同樣要求 $\sigma_\phi\ll1$ rad。

1/f² 的封閉積分（本例的核心）

把第 2 步的 1/f² 形狀以 $f_{ref}=1$ MHz 錨定：

$$S_\phi(f)=S_\phi(f_{ref})\Big(\frac{f_{ref}}{f}\Big)^2=2\times10^{-10}\Big(\frac{10^6}{f}\Big)^2.$$

代入積分（注意 $\int f^{-2}df=-1/f$）：

$$\begin{aligned} \sigma_\phi^2&=2\times10^{-10}\,(10^6)^2\int_{10^6}^{10^8}\frac{df}{f^2} =2\times10^{2}\Big(\frac{1}{10^6}-\frac{1}{10^8}\Big)\\ &=200\times(10^{-6}-10^{-8})=200\times9.9\times10^{-7}=1.98\times10^{-4}\ \text{rad}^2. \end{aligned}$$

開根號：

$$\sigma_\phi=\sqrt{1.98\times10^{-4}}=1.407\times10^{-2}\ \text{rad}=14.07\ \text{mrad}.$$

• 手感確認：括號裡 $10^{-6}\gg10^{-8}$，所以「$1/f_1$」這項主導——再次印證下限主導。 把 $f_2$ 從 100 MHz 拉到 1 GHz 幾乎不改變答案；把 $f_1$ 從 1 MHz 降到 100 kHz 卻會 讓 jitter 暴增 $\sqrt{10}\approx3.2$ 倍。

第 4 步：phase variance → rms jitter

把第 1 步的 $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$ 套用到 rms 量（規範第 3 節公式 19）：

$$\boxed{\ \sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df}\ }$$

代入本例（$f_0=5$ GHz、$\sigma_\phi=1.407\times10^{-2}$ rad）：

$$\sigma_t=\frac{1.407\times10^{-2}\ \text{rad}}{2\pi\times5\times10^{9}\ \text{Hz}} =\frac{1.407\times10^{-2}}{3.1416\times10^{10}}\ \text{s} =4.479\times10^{-13}\ \text{s}=447.9\ \text{fs}.$$

• dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。
• 這就是 canonical 例 C（規範第 8 節）：5 GHz、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、1/f²、 積 1→100 MHz $\Rightarrow\sigma_\phi=14.07$ mrad、$\sigma_t=447.9$ fs。
• scaling 手感：phase noise 好 10 dB（$\mathcal{L}=-110$）$\Rightarrow S_\phi$ 小 10 倍 $\Rightarrow\sigma_t$ 小 $\sqrt{10}\approx3.2$ 倍 $\to\sim142$ fs。好 20 dB（$-120$） $\Rightarrow$ 小 10 倍 $\to\sim45$ fs（見 numerical_feeling 的參考點）。

上圖（simulations/lab_08_jitter_integration.py）畫出 $-100$ dBc/Hz @ 1 MHz 的 1/f² skirt，以及累積積分如何隨頻寬收斂到 447.9 fs；數值積分與上面手算的解析式完全一致。 這是 toy / 解析示範（單一 1/f² 源、小角近似），非 transistor-level。

一行驗證（用內建函式）

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter

f = np.logspace(6, 8, 4000)                              # 1 MHz -> 100 MHz
L = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)     # 1/f^2 skirt
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0=5e9, fmin=1e6, fmax=100e6)
print(sigma_phi*1e3, "mrad ;", sigma_t*1e15, "fs")       # -> 14.07 mrad ; 447.9 fs

jitter 的四種「方言」（用 notation 頁的表）

同樣是「jitter」，量到的可能是完全不同的東西。下表沿用 notation 的定義（規範第 2 節）：

名稱	定義	直覺	跟 phase noise 的關係
random jitter (RJ)	高斯、無上界，用 $\sigma$ 描述	隨機踢出來的抖動	就是上面積分出的 $\sigma_t$；SerDes BER 用它估 eye 閉合
period jitter	$T_k-T$（單一週期相對 nominal）	這一拍多長／多短	對 $S_\phi$ 加一個 $\sin^2(\pi f/f_0)$ 類高通權重後積分
cycle-to-cycle jitter	$T_{k+1}-T_k$（相鄰兩拍差）	拍與拍之間變化多快	對相鄰差分，更強的高通加權，最不受 close-in 影響
accumulated / long-term jitter	相隔 $\Delta t$ 兩 edge 誤差，$\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$	開環振盪器越跑越偏	random-walk；對應 1/f² 積到很低 offset（[P2] Eq.(8)）

• 為什麼要分清楚：period / cycle-to-cycle jitter 對 $S_\phi$ 施加高通型權重 （差分會壓低低頻、放大高頻），所以它們不被 close-in 1/f² 主導；而上面算的 random / 整合型 jitter（zero-crossing 絕對時間誤差）被下限主導。報數字時要說清楚 是哪一種，否則會差好幾個數量級。
• accumulated jitter：自由振盪器沒有絕對時間參考，相位是 random walk， $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8), p.792，claim C6）。 ring 細節見 [P2] 與 serdes_clocking_connection。

period / cycle-to-cycle / accumulated jitter 的權重核（逐步推導）

上表的「高通加權」不是手揮，它有確切的權重核。關鍵觀念：不同種類的 jitter 是同一條相位過程 $\phi(t)$ 的不同「差分」，而時域差分在頻域就是乘上一個 transfer function。我們一步步把核推出來。

第 1 步：把每個 edge 的時間誤差寫成相位的取樣。 第 $k$ 個 edge 名目上落在 $t_k=kT$， 其時間誤差就是該瞬間相位除以角速度（沿用第 1 步的 $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$）：

$$\Delta t_k=\frac{\phi(kT)}{2\pi f_0}.$$

第 2 步：三種 jitter = 三種差分。 由定義（規範第 2 節）：

$$\begin{aligned} \text{period jitter:}\quad &J^{\text{per}}_k=\Delta t_{k+1}-\Delta t_k=\frac{\phi((k{+}1)T)-\phi(kT)}{2\pi f_0}\quad(\text{相位的一階差分}),\\ \text{cycle-to-cycle:}\quad &J^{\text{c2c}}_k=J^{\text{per}}_{k+1}-J^{\text{per}}_k\quad(\text{相位的二階差分}),\\ \text{accumulated:}\quad &\Delta t_k=\frac{\phi(kT)}{2\pi f_0}\quad(\text{不差分，直接是相位本身}). \end{aligned}$$

第 3 步：差分在頻域 = 乘上 $(1-e^{-j2\pi fT})$。 對一個頻率分量 $\phi(t)\propto e^{j2\pi ft}$， 延遲一個週期 $T$ 就是乘 $e^{-j2\pi fT}$。所以「現在減去一個週期前」這個一階差分算子的頻率響應是

$$H_{\text{per}}(f)=1-e^{-j2\pi fT},\qquad \lvert H_{\text{per}}(f)\rvert^2=\big\lvert 1-e^{-j2\pi fT}\big\rvert^2=4\sin^2(\pi fT).$$

• 代數展開：$\lvert 1-e^{-j\theta}\rvert^2=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2-2\cos\theta=4\sin^2(\theta/2)$， 代 $\theta=2\pi fT$ 即得 $4\sin^2(\pi fT)$。
• 為什麼是高通：在 $f\to0$，$\sin^2(\pi fT)\approx(\pi fT)^2\to0$——低頻被狠狠壓掉； 在 $f=f_0/2=1/(2T)$ 達到最大 $4$。這就是 period jitter「不被 close-in 1/f² 主導」的數學原因。

第 4 步：把核套進 phase-variance 積分。 相位變異數密度乘上 $\lvert H\rvert^2$ 再積分、 最後除以 $(2\pi f_0)^2$ 換成時間（規範第 10.2 節 period/cycle-to-cycle jitter 核）：

$$\sigma_{T}^2=\frac{1}{(2\pi f_0)^2}\int_0^{\infty}S_\phi(f)\,\big\lvert 1-e^{-j2\pi fT}\big\rvert^2\,df =\frac{1}{(2\pi f_0)^2}\int_0^{\infty}S_\phi(f)\,4\sin^2(\pi fT)\,df.$$

cycle-to-cycle 是再做一次差分，所以核平方再平方（二階差分 = 一階差分作用兩次）：

$$\sigma_{cc}^2=\frac{1}{(2\pi f_0)^2}\int_0^{\infty}S_\phi(f)\,\big\lvert 1-e^{-j2\pi fT}\big\rvert^4\,df =\frac{1}{(2\pi f_0)^2}\int_0^{\infty}S_\phi(f)\,16\sin^4(\pi fT)\,df.$$

accumulated jitter 則沒有差分核（核 $=1$），所以它由低頻主導（1/f² 積到很低 offset 才發散）， 這正是它隨 $\sqrt{\Delta t}$ random-walk 成長的頻域對應（[P2] Eq.(8), p.792；κ 由 Eq.(12), p.793）。

• dimension check：$S_\phi$（$\text{rad}^2/\text{Hz}$）× 無因次核 × $\text{Hz}$ = $\text{rad}^2$， 再除 $(2\pi f_0)^2$（$\text{rad}^2/\text{s}^2$）= $\text{s}^2$ ✓，開根號得秒。
• 三句話對照：accumulated 核 $=1$（低頻主導）；period 核 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2$ （一階高通）；cycle-to-cycle 核 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^4$（二階高通，最不吃 close-in）。

註（常數慣例）：上式採「單邊 $S_\phi$、$\int_0^\infty$」慣例；若改用雙邊或不同 SSB 記帳， 前置常數可能差 factor-of-2，與規範第 3 節 factor-of-2 教學註記同源。本站對 jitter 一律採 $S_\phi=2\mathcal{L}_{\text{lin}}$、單邊積分。確切常數見各文獻定義差異。

canonical 數值：由 $S_\phi$ 積出 period jitter

承例 C：$f_0=5$ GHz（$T=200$ ps）、$\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100$ dBc/Hz、1/f² 斜率。 求 period jitter $\sigma_T$（積 1 MHz→100 MHz，與例 C 同頻段以便對照）。

把第 3 步的 1/f² 形狀 $S_\phi(f)=2\times10^{-10}(10^6/f)^2$ 代入 period 核。先看核在這個頻段的大小： $T=2\times10^{-10}$ s，$\pi fT$ 在 $f=10^6$ 是 $\pi\times10^6\times2\times10^{-10}=6.28\times10^{-4}\ll1$， 在 $f=10^8$ 是 $6.28\times10^{-2}\ll1$。所以整段都可用小角 $\sin^2(\pi fT)\approx(\pi fT)^2$：

$$\big\lvert 1-e^{-j2\pi fT}\big\rvert^2\approx 4(\pi fT)^2=(2\pi fT)^2.$$

代入 period 積分：

$$\begin{aligned} \sigma_T^2&=\frac{1}{(2\pi f_0)^2}\int_{10^6}^{10^8}\!2\times10^{-10}\Big(\frac{10^6}{f}\Big)^2(2\pi fT)^2\,df\\ &=\frac{(2\pi T)^2}{(2\pi f_0)^2}\,2\times10^{-10}(10^6)^2\int_{10^6}^{10^8}\!df =T^4\cdot 2\times10^{-10}(10^6)^2\int_{10^6}^{10^8}\!df. \end{aligned}$$

把常數收乾淨：$(2\pi T)^2/(2\pi f_0)^2=T^2/f_0^2=T^2\cdot T^2=T^4$（因 $f_0=1/T$），且 $f$ 的兩個冪次相消（$f^{-2}\cdot f^{2}=1$），積分變成 $\int_{10^6}^{10^8}df=9.9\times10^7$ Hz：

$$\begin{aligned} \sigma_T^2&=T^4\cdot 2\times10^{-10}\cdot(10^6)^2\cdot(9.9\times10^7)\\ &=(2\times10^{-10})^4\cdot 2\times10^{-10}\cdot10^{12}\cdot9.9\times10^7. \end{aligned}$$

逐項算：$T^4=(2\times10^{-10})^4=16\times10^{-40}=1.6\times10^{-39}$； $2\times10^{-10}\cdot10^{12}=2\times10^{2}$；再乘 $9.9\times10^7$ 得 $1.98\times10^{10}$。所以

$$\sigma_T^2=1.6\times10^{-39}\times1.98\times10^{10}=3.17\times10^{-29}\ \text{s}^2 \;\Rightarrow\;\sigma_T=5.6\times10^{-15}\ \text{s}=5.6\ \text{fs}.$$

• 手感對照：同一張 phase noise 圖、同一積分頻段，accumulated/RJ 的 $\sigma_t=447.9$ fs （例 C，下限主導），但 period jitter 只有 $\sim5.6$ fs——小了快兩個數量級！原因正是高通核 $(2\pi fT)^2$ 把 close-in（1 MHz 那端，貢獻 RJ 的主力）狠狠壓掉，period jitter 反而由高頻端 累積。這就是「報 jitter 一定要講清楚是哪一種」的最佳教材。
• dimension check：$T^4$（$\text{s}^4$）$\times\,\text{(rad}^2/\text{Hz)}\times\text{Hz}\times f^{0}$ 收乾後得 $\text{s}^2$ ✓。

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import phase_psd_to_l_dbc_per_hz  # noqa: F401
# period jitter: 對 S_phi 乘上 |1-e^{-j2πfT}|^2 = 4 sin^2(πfT) 再積分、除 (2πf0)^2
f  = np.logspace(6, 8, 200000)
f0 = 5e9; T = 1.0/f0
S_phi = 2e-10 * (1e6/f)**2                      # 1/f^2, 由 -100 dBc/Hz @1MHz 還原
kernel = np.abs(1 - np.exp(-1j*2*np.pi*f*T))**2 # = 4 sin^2(πfT) 高通核
sigma_T = np.sqrt(np.trapezoid(S_phi*kernel, f)) / (2*np.pi*f0)
print(sigma_T*1e15, "fs period jitter")          # -> ~5.6 fs（遠小於 447.9 fs 的 RJ）

適用與失效條件

條件	成立時	失效時
小角 $\sigma_\phi\ll1$ rad	$\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$、$\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$ 線性	大相位 → 要用完整 Bessel，$\mathcal{L}\neq\frac12 S_\phi$
積分頻寬有限且明確	$\sigma_t$ 收斂、可重現	1/f² 積到 DC 發散；不標頻寬數字無意義
單一 1/f² 形狀（本例）	解析封閉式可用	真實有 1/f³ + flat floor，要分段或數值積
RJ 為高斯	用 $\sigma$ 估 BER	有 deterministic jitter (DJ) 時要 RJ/DJ 分解

對應的 paper / 公式

• $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$、$\sigma_\phi^2=\int S_\phi df$、$\sigma_t=\sigma_\phi/(2\pi f_0)$、 $\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$：規範第 3 節公式 16–19。
• accumulated jitter $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$：[P2] Eq.(8), p.792（claim C6）。
• phase noise 本身的來源（白噪 → 1/f²）：[P1] Eq.(21), p.185。
• 圖：phase_noise_to_jitter_integration.png（lab_08），對應規範第 4 節。

Worked examples 數值例題

下面兩題把整頁的鏈條與權重核各跑一遍。格式：題目 → 逐步代入（帶單位）→ 結果 → dimension check → 一行 Python 驗證（引用 simulations/common/）。

例 C：phase noise plot → rms jitter（canonical，$-100$ dBc/Hz → 447.9 fs）

題目：$f_0=5$ GHz、$\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100$ dBc/Hz、1/f² 斜率、積 1 MHz→100 MHz， 求 rms（accumulated/RJ）jitter $\sigma_t$。

步驟 1（de-dB + 還原 $S_\phi$）：$\mathcal{L}_{\text{lin}}=10^{-100/10}=10^{-10}$； $S_\phi(1\text{MHz})=2\mathcal{L}_{\text{lin}}=2\times10^{-10}\ \text{rad}^2/\text{Hz}$。

步驟 2（1/f² 形狀）：

$$S_\phi(f)=2\times10^{-10}\Big(\frac{10^6}{f}\Big)^2.$$

步驟 3（積分得 variance，$\int f^{-2}df=-1/f$）：

$$\sigma_\phi^2=2\times10^{-10}(10^6)^2\!\int_{10^6}^{10^8}\!\frac{df}{f^2} =2\times10^{2}\Big(\frac{1}{10^6}-\frac{1}{10^8}\Big)=200\times9.9\times10^{-7}=1.98\times10^{-4}\ \text{rad}^2.$$ $$\sigma_\phi=\sqrt{1.98\times10^{-4}}=1.407\times10^{-2}\ \text{rad}=14.07\ \text{mrad}.$$

步驟 4（換成時間）：

$$\sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1.407\times10^{-2}}{2\pi\times5\times10^{9}}=4.479\times10^{-13}\ \text{s}=447.9\ \text{fs}.$$

• 結果：$\sigma_\phi=14.07$ mrad、$\sigma_t=447.9$ fs。
• dimension check：步驟 3 $(\text{rad}^2/\text{Hz})\times\text{Hz}=\text{rad}^2$ ✓； 步驟 4 $[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。
• 手感：積分被下限 $f_1=1$ MHz 主導（$1/f_1\gg1/f_2$）；報 jitter 必標頻寬。

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter
f = np.logspace(6, 8, 4000)                            # 1 MHz -> 100 MHz
L = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)   # 1/f^2 skirt
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0=5e9, fmin=1e6, fmax=100e6)
print(sigma_phi*1e3, "mrad ;", sigma_t*1e15, "fs")     # -> 14.07 mrad ; 447.9 fs

例 D：同一張 L(f) → period jitter（套高通核 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2$）

題目：同例 C（$f_0=5$ GHz、$T=200$ ps、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、1/f²、積 1→100 MHz）， 改求 period jitter $\sigma_T$，看它跟例 C 的 RJ 差多少。

步驟 1（核的小角化）：本頻段 $\pi fT\le 6.28\times10^{-2}\ll1$，故 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2=4\sin^2(\pi fT)\approx(2\pi fT)^2$。

步驟 2（代入 period 積分並消冪）：前置 $T^2/f_0^2=T^4$，且 $f^{-2}\cdot f^{2}=1$：

$$\sigma_T^2=T^4\cdot2\times10^{-10}(10^6)^2\!\int_{10^6}^{10^8}\!df =T^4\cdot2\times10^{2}\cdot(9.9\times10^7).$$

步驟 3（代 $T=2\times10^{-10}$ s）：$T^4=1.6\times10^{-39}\ \text{s}^4$，後段 $=1.98\times10^{10}$（$\text{rad}^2\cdot\text{Hz}$，與 $T^4$ 相乘後得 $\text{s}^2$）：

$$\sigma_T^2=1.6\times10^{-39}\times1.98\times10^{10}=3.17\times10^{-29}\ \text{s}^2 \;\Rightarrow\;\sigma_T=5.6\ \text{fs}.$$

• 結果：$\sigma_T\approx5.6$ fs，是例 C 之 RJ（447.9 fs）的約 $1/80$。
• dimension check：$T^4(\text{s}^4)\times(\text{rad}^2/\text{Hz})\times\text{Hz}$ 收乾後 $=\text{s}^2$ ✓。
• 物理：period 的一階差分核 $(2\pi fT)^2$ 把 close-in（RJ 的主力）壓掉，period jitter 由高頻端 累積 → 同一張圖、不同 jitter 種類，數字差兩個量級。

import numpy as np
f  = np.logspace(6, 8, 200000)
f0 = 5e9; T = 1.0/f0
S_phi  = 2e-10 * (1e6/f)**2                          # 由 -100 dBc/Hz @1MHz 還原
kernel = np.abs(1 - np.exp(-1j*2*np.pi*f*T))**2      # 4 sin^2(πfT) 高通核
sigma_T = np.sqrt(np.trapezoid(S_phi*kernel, f)) / (2*np.pi*f0)
print(sigma_T*1e15, "fs period jitter")              # -> ~5.6 fs（<< 447.9 fs RJ）

重點回顧

• 四步鏈：dBc/Hz $\xrightarrow{\times2,\text{de-dB}} S_\phi\xrightarrow{\int}\sigma_\phi^2 \xrightarrow{\sqrt{}}\sigma_\phi\xrightarrow{\div2\pi f_0}\sigma_t$。
• $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$：相位除角速度 = 時間；分母是 $2\pi f_0$（rad/s），別漏 $2\pi$。
• $S_\phi=2\cdot10^{\mathcal{L}/10}$；$\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$ 只在小角成立。
• 1/f² 的 jitter 積分被下限 $f_1$ 主導——報 jitter 一定要標積分頻寬。
• canonical 例 C：5 GHz、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、1/f²、1→100 MHz $\Rightarrow$ $\sigma_\phi=14.07$ mrad、$\sigma_t=447.9$ fs。
• 四種 jitter：RJ / period / cycle-to-cycle / accumulated，加權與主導頻段不同。
• $\mathcal{L}=\tfrac12 S_\phi$ 的根：小角 PM 長出對稱 sideband，單邊功率 $(\phi_p/2)^2=\phi_p^2/4$， 全部相位功率 $\phi_p^2/2$，單邊 ÷ 全部 $=\tfrac12$。
• 權重核：accumulated 核 $=1$（低頻主導）、period 核 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^2=4\sin^2(\pi fT)$ （一階高通）、cycle-to-cycle 核 $\lvert1-e^{-j2\pi fT}\rvert^4$（二階高通）。
• 同一張 $-100$ dBc/Hz 圖：RJ $\sigma_t=447.9$ fs，但 period jitter 只有 $\sim5.6$ fs——高通核壓掉 close-in。

延伸閱讀

• 三個必做口算（含本例）：numerical_feeling
• noise PSD / Parseval / cyclostationary 的前置基礎：stochastic_noise_basics
• DSP 觀點：相位 = ISF 加權 + 積分器處理的隨機過程：dsp_view_of_phase_noise
• phase noise 本身怎麼來（白噪 → 1/f²）：white_noise_to_phase_noise
• jitter 與 SerDes 的關聯：serdes_clocking_connection