Phase noise 為何重要、amplitude noise 為何被抑制

先備：oscillator_phase · 統一符號表 ｜ 接下來：lti_vs_ltv

上一頁 oscillator_phase 用幾何說明了：noise 對振盪器的 擾動可以拆成**切向（相位）與徑向（振幅）**兩個分量。這一頁要回答兩個工程上最實際的問題：

1. 為什麼我們幾乎只擔心 phase noise（相位雜訊），而不太擔心 amplitude noise（振幅雜訊）？
2. 「振幅擾動會被拉回」這件事，能不能像 ISF 一樣寫成一個敏感度函數？

答案的關鍵字是 APF（Amplitude Perturbation Function，振幅擾動函數）——這是 [P4] 引入的、 ISF 在振幅域的對應物。

物理直覺（先講結論）：limit cycle 在兩個方向的「穩定性」完全不同。徑向（振幅）方向 有恢復力（負的 Floquet 指數），擾動指數衰減回環上，所以振幅雜訊被振盪器自己壓掉； 切向（相位）方向沒有恢復力（零 Floquet 指數），擾動永久累積，所以相位雜訊一路漫步、 沒有上界。同一顆 noise 電流，注入後分給相位的那一份留下、分給振幅的那一份被吃掉—— ISF $\Gamma$ 描述「分給相位多少」，APF $\Lambda$ 描述「分給振幅多少」。

1. 為什麼相位雜訊重要

把振盪器輸出寫成標準分解（[P1] Eq.(1), p.181）：

$$V_{out}(t)=A(t)\,f\!\big(\omega_0 t+\phi(t)\big).$$

這裡 $A(t)$ 是瞬時振幅、$\phi(t)$ 是 excess phase（多餘相位，理想相位之外的偏差），$f$ 是 週期穩態波形。雜訊就藏在 $A(t)$ 與 $\phi(t)$ 這兩個調變裡。它們對「時鐘品質」的衝擊不對稱：

• 相位雜訊直接變成 timing jitter：時脈電路在乎的是「邊緣什麼時候跨過門檻」。那個時刻 由相位決定：$\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$。相位抖動 = 邊緣時間抖動 = SerDes 眼圖閉合、 取樣時刻錯位。
• 相位誤差會累積、無上界：因為相位沒有恢復力（上一頁第 3 步），$\phi(t)$ 做 random walk， 方差隨時間增長。在頻域呈現為載波旁邊高高的 $1/f^2$（與更靠內的 $1/f^3$）裙擺。這是 振盪器頻譜不是一根理想 delta、而是有寬度的根本原因。
• 振幅誤差有界、且大多打不進門檻判斷：振幅在門檻附近的影響，多半又轉回時間誤差 （見下面 AM–PM），但純振幅起伏本身會被恢復力壓掉，且接收端常用限幅／比較器，對振幅不敏感。

一句話：對通訊與時脈系統，抖動（timing jitter）= 相位的事。所以整套 Hajimiri–Lee 理論把焦點全押在 $\phi(t)$ 上，先把振幅自由度「合理地丟掉」——下一節解釋為什麼能丟。

2. 振幅擾動為何會衰減：APF 與 amplitude decay function

ISF 把「注入電荷 → 相位偏移」寫成（[P1] Eq.(10), p.182）

$$\Delta\phi=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q.$$

[P4] 對振幅做了完全平行的事，定義 APF $\Lambda(\phi)$（amplitude perturbation function）：同一顆注入電流脈衝，投影到 limit cycle 的徑向方向，造成多少瞬時振幅偏差。 概念式（[P4] Sec. III-D，APF 定義在 p.2127 附近）：

$$\Delta A_0\;\propto\;\Lambda(\omega_0\tau)\,\Delta q \quad\Longleftrightarrow\quad \text{APF 是 ISF 的振幅域對應物}.$$

• 單位：[P4] 給的 APF 單位是 $\mathrm{A^{-1}}$（1/安培）——它把「注入電流」映到「振幅 的相對偏差」。對照 ISF $\Gamma$ 無因次：兩者結構平行、但歸一化方式不同。
• 關鍵差別——命運不同：相位偏差用一個 unit step $u(t-\tau)$ 表示（永久保持，[P1] Eq.(10)）；振幅偏差則乘上一個衰減函數（amplitude decay function），隨時間指數鬆弛回零。 概念上：

$$\underbrace{h_\phi(t,\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau)}_{\text{相位：階梯，永久}}\qquad\text{vs}\qquad \underbrace{h_A(t,\tau)\;\propto\;\Lambda(\omega_0\tau)\,d(t-\tau)}_{\text{振幅：脈衝}\times\text{衰減,}\;d\to 0}.$$

這裡 $d(t-\tau)$ 是 amplitude decay function（振幅衰減函數）。[P4] Sec. III-F, p.2128（緊接 Eq.(25) 之前的正文）給出確切閉式 （已對照原始 PDF 渲染核實；注意 Eq.(25) 本身是 $\Lambda(\phi)=\tau_0\,\tilde\Lambda(\phi)$，APF = $\tau_0$ × 振幅 ISF，而下式的衰減閉式是其前的正文）：

$$d(t,\phi)=e^{-t/\tau_0},\qquad \tau_0=\frac{2Q}{\omega_{osc}}$$

也就是 $\tau_A=\tau_0=2Q/\omega_{osc}$——振幅的恢復時間常數正比於 $Q$。直覺：高 $Q$ 的 LC 振幅恢復 得慢（$\tau_0$ 大），但終究會恢復（指數衰減）；相位則沒有這個恢復力（unit step，記憶無限長）。 這就是「為何振幅雜訊有界、相位雜訊發散」最量化的一句話。

已核實：$d(t,\phi)=e^{-t/\tau_0}$、$\tau_0=2Q/\omega_{osc}$ 出自 [P4] Sec. III-F, p.2128 的正文（緊接 Eq.(25) 之前的未編號式；Eq.(25) 本身是 APF 關係 $\Lambda(\phi)=\tau_0\,\tilde\Lambda(\phi)$）。 （更一般振盪器的衰減率屬 Floquet／PPV 框架，不在下載的 5 篇 PDF 內，見 derivation_floquet_ppv。）

• 為何「衰減」就等於「被抑制」：把振幅雜訊想成對 $h_A$ 做卷積。因為 $d(t-\tau)$ 可積、 會歸零，過去的振幅擾動不會累加，輸出振幅方差收斂到一個有限值（一個有恢復力的 一階低通系統的穩態方差）。反觀相位卷積用的是 $u(t-\tau)$（不可積、不歸零），方差發散 ——這就是 phase noise 累積、amplitude noise 不累積的數學分水嶺。

把 ISF 與 APF 對照成一張表，把整頁濃縮成一格一格：

量	投影方向	敏感度函數	脈衝響應核	長期命運	對 jitter 的影響
相位 $\phi$	切向（沿環）	ISF $\Gamma(\omega_0\tau)$，無因次	$\dfrac{\Gamma}{q_{max}}u(t-\tau)$（階梯）	累積／發散	直接：$\Delta t=\Delta\phi/2\pi f_0$
振幅 $A$	徑向（垂直環）	APF $\Lambda(\omega_0\tau)$，單位 $\mathrm{A^{-1}}$	$\Lambda\cdot d(t-\tau)$（脈衝×衰減）	衰減／有界	間接，多經 AM–PM

3. 理想 LC：ISF 與 APF 為 quadrature（正交，差 90°）

[P4] Fig. 5, p.2126 同時畫了理想 LC 振盪器的 ISF、APF、amplitude decay function 與三者關係， 最漂亮的結論是：

在理想 LC 振盪器，ISF 與 APF 互為 quadrature（相差 90°）。

這完全符合上一頁的幾何：切向與徑向在圓上處處互相垂直。理想 LC 的 ISF 是 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$（在零交越最大、在峰值為零）；那麼徑向敏感度（APF）就應該在 峰值最大、零交越為零，也就是長得像 $\cos$：

$$\Gamma_{LC}(\theta)=-\sin\theta\quad\text{（切向）},\qquad \Lambda_{LC}(\theta)\;\propto\;\cos\theta\quad\text{（徑向，與}\Gamma\text{正交）}.$$

• 物理意義：在波峰踢（$\theta=0$）→ $\Gamma=0$、$\Lambda$ 最大 → 純改振幅 （會被吃掉）。在零交越踢（$\theta=\pi/2$）→ $|\Gamma|$ 最大、$\Lambda=0$ → 純改相位 （永久留著）。這正是上一頁那張 waveform_with_impulse_markers 的紅／綠標記。
• 單位檢查 / dimension：$\Gamma$ 無因次、$\Lambda$ 單位 $\mathrm{A^{-1}}$；quadrature 講的是 相位（角度）關係，不是量綱相等。差 90° 指的是兩個敏感度函數作為 $\theta$ 的週期函數， 傅立葉上一個是 $\sin$、一個是 $\cos$。

已核實（[P4] Eq.(26), p.2128）：上式 $\Lambda_{LC}\propto\cos\theta$ 的比例常數與 APF 的精確歸一化需從 PDF Fig. 5, p.2126 核對。本頁只主張「quadrature（正交）」 這個定性關係（[P4] 明確陳述），不寫死振幅常數。

4. AM–PM 簡述：振幅雜訊「漏」回相位的後門

如果振幅擾動會被吃掉，為什麼設計上還是要在意它？因為有一條後門叫 AM–PM conversion （振幅調變轉相位調變，amplitude-to-phase conversion）：

• 機制：真實振盪器的有效振盪頻率會隨振幅而變（例如非線性電容 $C(V)$ 隨擺幅變、 或 tank 的有效相位隨振幅偏移）。於是「振幅起伏 $\Delta A$」經由 $\dfrac{\partial\omega}{\partial A}$ 漏進「相位／頻率起伏」，再被相位的無恢復力特性永久累積。

• 後果：原本應該被壓掉的振幅雜訊，透過 AM–PM 變成了長壽的相位雜訊——尤其把 device 的 $1/f$ 振幅起伏上轉成 close-in（靠近載波）相位雜訊，惡化 $1/f^3$ 區。

• 設計含意：(i) 讓 $\partial\omega/\partial A\to 0$（例如在電容曲線的平坦點偏壓、加 AM 抑制／ 限幅）；(ii) 在 quadrature 觀念下，把主要 noise 注入安排在「徑向最不敏感」的相位也有幫助。 詳細的 AM–PM 與 amplitude modulation 分析是 [P4] 的主軸（進階，本站只給直覺）。

• 與本站其它頁的接點：AM–PM 是「為什麼真實 $1/f^3$ 比純 $c_0$ 機制更高」的常見原因之一； 純粹由 ISF 的 $c_0$ 上轉 $1/f$ 的機制見 flicker_upconversion 與 [P1] Eq.(23)–(24)。

數值例子（建立手感）

例 A 改編：$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$f_0=5$ GHz，比較注在 zero crossing （$\Gamma=-1$，純相位）與注在 peak（$\Gamma\approx 0$，純振幅）的長期後果。

注在零交越（$\theta=\pi/2$，$\Gamma=-\sin(\pi/2)=-1$）：

$$\Delta\phi=\frac{|\Gamma|\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{1\times10^{-15}}{10^{-12}}=1\times10^{-3}\ \text{rad}\ \Rightarrow\ \Delta t=\frac{10^{-3}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx31.8\ \text{fs（永久保留）}.$$

注在波峰（$\theta=0$，$\Gamma\approx 0$）：$\Delta\phi\approx 0$，能量幾乎全進振幅； 振幅偏差 $\Delta A$ 在幾個 $\tau_A$（振幅恢復時間常數）後鬆弛回零，對相位無永久影響 （除非有 AM–PM 後門）。

• Dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。
• 手感：同一顆 1 fC，注入相位差 90° 就是「31.8 fs 永久 jitter」與「~0 永久影響」的差別。 這把「為什麼相位敏感度（ISF）形狀如此重要」講得很實在——把噪聲源安排在相位最不敏感 （$\Gamma$ 小）的相位，等於免費降相位雜訊。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
有振幅恢復（穩定 limit cycle）	振幅雜訊衰減、可只追蹤相位	弱恢復／高 Q 慢恢復時振幅雜訊壽命變長，不可忽略
AM–PM 可忽略（$\partial\omega/\partial A\approx 0$）	「丟掉振幅」近似良好	強 AM–PM 時振幅雜訊上轉成相位雜訊，需用 [P4] APF 框架
小訊號擾動	$\Gamma,\Lambda$ 可線性投影	大注入下 ISF/APF 本身被改變、非線性混疊
理想 LC 對稱	$\Gamma\perp\Lambda$（quadrature）成立	非對稱波形 / ring 時 quadrature 只是近似

5. 振幅雜訊的頻譜：OU 過程與平頂 Lorentzian

第 2 節說的是單一顆 kick 的命運：振幅偏差以 $d(t)=e^{-t/\tau_0}$、$\tau_0=2Q/\omega_{osc}$ 衰減（[P4] Sec. III-F, p.2128，本站已核實）。但真實的雜訊不是單一顆 kick，而是連續不斷的 白噪電流。這一節把「單一 kick 衰減」升級成「連續驅動下的穩態頻譜」，回答兩個問題：

1. 振幅雜訊的完整頻譜 $S_a(\omega)$ 長什麼樣？（答案：一個「平頂 Lorentzian」， 轉角在 $\omega_0/2Q$。）
2. 為什麼量測到的振盪器頻譜在遠離載波處會「變平」？ 除了儀器底線之外，還有第二個 物理原因——AM 平頂。

物理直覺（先講結論）：白噪 = 密集的隨機小 kick 串流。相位側每顆 kick 永久保留 （unit step）→ 疊加成 random walk → 頻譜 $\propto 1/\omega^2$ 一路到底。振幅側每顆 kick 帶著 $e^{-t/\tau_0}$ 的「保鮮期」→ 疊加後只有「最近 $\tau_0$ 內」的 kick 還活著 → 方差有限、 頻譜在 $\omega \lt 1/\tau_0$ 處平掉。觀察頻率高於 $1/\tau_0$（時間尺度短於 $\tau_0$）時 恢復力來不及作用，振幅看起來也像自由積分器——所以高頻端 AM 與 PM 的頻譜形狀相同。

5.1 從單一 kick 到連續驅動：Langevin / OU 方程式

把第 2 節的振幅動力學線性化（小擾動）：恢復力把振幅偏差以速率 $1/\tau_0$ 拉回、白噪連續 推它。定義 $a(t)\equiv \Delta A/A_0$ 為相對振幅偏差（無因次，這樣才能與 $\phi$ [rad] 公平比較），其隨機微分方程（Langevin 方程）是：

$$da=-\frac{a}{\tau_0}\,dt+\sqrt{c}\,dW(t).$$

逐項的物理意義與單位：

• $-\dfrac{a}{\tau_0}dt$：恢復力項——振幅控制（限幅、非線性飽和）的線性化，正是 [P4] 單一 kick 衰減 $d(t)=e^{-t/\tau_0}$ 的微分形式。$[a/\tau_0]\cdot[dt]=(1/\text{s})\cdot\text{s}$ ×無因次 = 無因次 ✓。$\tau_0=2Q/\omega_0$ [s]（[P4] Sec. III-F, p.2128，已核實）。
• $\sqrt{c}\,dW$：白噪驅動。$W(t)$ 是標準 Wiener 過程，$\mathrm{Var}[dW]=dt$， $[dW]=\sqrt{\text{s}}$；$c$ 是驅動強度，$[c]=1/\text{s}$（若 $a$ 無因次）， 故 $[\sqrt{c}\,dW]=\sqrt{1/\text{s}}\cdot\sqrt{\text{s}}=$ 無因次 ✓。
• 相位方程 = 同一條、拿掉恢復力項：$d\phi=\sqrt{c}\,dW$（$[c]=\text{rad}^2/\text{s}$）。 這就是「同一顆白噪源、兩種命運」的最小數學模型。

這種「指數恢復 + 白噪驅動」的過程叫 Ornstein–Uhlenbeck（OU）過程。

誠實標註：OU 過程與下面的解法是標準隨機過程數學（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）： G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the Theory of the Brownian Motion," Physical Review, vol. 36, pp. 823–841, 1930。本站來自論文的部分只有衰減時間常數 $\tau_0=2Q/\omega_0$（[P4] Sec. III-F, p.2128，已核實）；把它接上 OU 是教學上的標準組裝。

5.2 解 OU：自相關與有限方差（逐步）

Step 1：積分因子解 SDE。 對 $e^{t/\tau_0}a$ 微分：

$$d\!\left(e^{t/\tau_0}a\right)=e^{t/\tau_0}\left(da+\frac{a}{\tau_0}dt\right)=e^{t/\tau_0}\sqrt{c}\,dW,$$

兩邊從 $-\infty$ 積到 $t$（穩態：初始條件早已衰減光）：

$$a(t)=\sqrt{c}\int_{-\infty}^{t}e^{-(t-s)/\tau_0}\,dW(s).$$

物理意義：現在的振幅偏差 = 過去每一顆 kick（$dW(s)$）各自乘上自己的衰減 $e^{-(t-s)/\tau_0}$ 之後疊加——這正是第 2 節 [P4] 的 $d(t)$ 對雜訊做卷積的結果， 和相位側 $\phi(t)=\sqrt{c}\int^t dW$（每顆 kick 權重恆為 1）成鮮明對比。

Step 2：自相關。 用「不同時刻的 $dW$ 不相關、$\mathrm{E}[dW^2]=ds$」 （Itô isometry，標準結果），對 $\tau\ge 0$：

$$\begin{aligned} R_a(\tau)&\equiv \mathrm{E}[a(t)\,a(t+\tau)] =c\int_{-\infty}^{t}e^{-(t-s)/\tau_0}\,e^{-(t+\tau-s)/\tau_0}\,ds\\ &=c\,e^{-\tau/\tau_0}\int_{-\infty}^{t}e^{-2(t-s)/\tau_0}\,ds =c\,e^{-\tau/\tau_0}\cdot\frac{\tau_0}{2} \qquad(\text{代 }u=t-s,\ \int_0^\infty e^{-2u/\tau_0}du=\tfrac{\tau_0}{2}), \end{aligned}$$ $$\boxed{\ R_a(\tau)=\frac{c\,\tau_0}{2}\,e^{-\lvert\tau\rvert/\tau_0}\ }$$

Step 3：方差有限。 $\mathrm{Var}[a]=R_a(0)=c\tau_0/2$。 單位：$(1/\text{s})\cdot\text{s}=$ 無因次 ✓（$a^2$）。對照相位： $\mathrm{Var}[\phi(t)]=c\,t$ 隨時間線性發散（random walk，見 lorentzian_linewidth 的 $2D\lvert t\rvert$， 對應 $c=2D$）。方差「有限 vs 發散」就是第 2 節「衰減核 vs 階梯核」的穩態版本。

5.3 Wiener–Khinchin → 平頂 Lorentzian（逐步積分）

平穩過程的 PSD 是自相關的傅立葉變換（Wiener–Khinchin，標準結果）。先算 $e^{-\lvert\tau\rvert/\tau_0}$ 的變換（跟 Lorentzian 線寬頁同一招，把絕對值拆兩半）：

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\lvert\tau\rvert/\tau_0}e^{-j\omega\tau}\,d\tau =\frac{1}{1/\tau_0+j\omega}+\frac{1}{1/\tau_0-j\omega} =\frac{2/\tau_0}{1/\tau_0^2+\omega^2} =\frac{2\tau_0}{1+\omega^2\tau_0^2}.$$

乘上 $R_a$ 的前置係數 $c\tau_0/2$：

$$\boxed{\ S_a(\omega)=\frac{c\,\tau_0^2}{1+\omega^2\tau_0^2}\ }\qquad\left[\frac{1}{\text{Hz}}\right]$$

• 慣例（factor-of-2 紀律）：本節全程用雙邊（two-sided）PSD（$\pm\infty$ 積分、 反變換帶 $1/2\pi$）。模擬用的 scipy.signal.welch 回傳單邊 = 2×雙邊，所以 lab_28 圖上的理論線是 $2c/\omega^2$ 與 $2c\tau_0^2/(1+\omega^2\tau_0^2)$。轉角頻率、 交叉頻率、PM/AM 比值都是「比出來的」，對單邊/雙邊、$\mathcal{L}=S_\phi/2$ 或 /4 慣例完全不敏感——只有 dBc/Hz 絕對值才需要指明慣例（見 5.6）。
• 單位檢查：$[c\tau_0^2]=(1/\text{s})\cdot\text{s}^2=\text{s}=1/\text{Hz}$ ✓ （無因次量的 PSD）。
• 兩個極限（形狀）：
  • $\omega\tau_0\ll 1$（低頻）：$S_a\to c\tau_0^2$，平頂。恢復力來得及把方差鎖住。
  • $\omega\tau_0\gg 1$（高頻）：$S_a\to c/\omega^2$，跟自由積分器一模一樣。 時間尺度短於 $\tau_0$ 時恢復力根本來不及動作。
• 轉角（corner）：兩漸近線相交於 $$\omega_c=\frac{1}{\tau_0}=\frac{\omega_0}{2Q}\ \ [\text{rad/s}] \qquad\Longleftrightarrow\qquad f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{f_0}{2Q}\ \ [\text{Hz}],$$ 在轉角處 $S_a=c\tau_0^2/2$（比平頂低 3 dB）。Hz 形式請記 $f_c=f_0/2Q$。
• 功率守恆自檢：$\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{c\tau_0^2\,d\omega}{1+\omega^2\tau_0^2}=\frac{c\tau_0^2}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{\tau_0} =\frac{c\tau_0}{2}=\mathrm{Var}[a]$ ✓（積分公式 $\int d\omega/(1+\omega^2\tau_0^2)=\pi/\tau_0$）。

這個形狀叫平頂 Lorentzian：跟 lorentzian_linewidth 頁載波線形 $D/(D^2+\Delta\omega^2)$ 是同一族函數，但物理主角不同——那邊是「相位 random walk 造成的載波線形」（轉角 $=D$，很窄）；這邊是「振幅恢復力造成的 AM 雜訊 頻譜」（轉角 $=\omega_0/2Q$，很寬）。

5.4 對照相位：沒有恢復力，$1/\omega^2$ 一路到底

同一顆白噪源驅動相位：$d\phi=\sqrt{c}\,dW$，即 $\phi$ 是白噪的積分。積分器 $\lvert H(j\omega)\rvert^2=1/\omega^2$ 作用在雙邊位準 $c$ 的白噪上：

$$S_\phi(\omega)=\frac{c}{\omega^2}\qquad\left[\frac{\text{rad}^2}{\text{Hz}}\right].$$

一格一格對照（表內 $\lvert\cdot\rvert$ 為絕對值）：

	相位 $\phi$	振幅 $a$
方程式	$d\phi=\sqrt{c}\,dW$	$da=-(a/\tau_0)dt+\sqrt{c}\,dW$
恢復力	無（零 Floquet 指數）	$-a/\tau_0$，$\tau_0=2Q/\omega_0$（[P4]）
平穩？	否（random walk）	是（OU）
方差	$c\,t$，發散	$c\tau_0/2$，有限
頻譜（雙邊）	$c/\omega^2$	$c\tau_0^2/(1+\omega^2\tau_0^2)$
近 DC	發散（實際被 Lorentzian 線形取代）	平頂 $c\tau_0^2$
遠端 $\omega\tau_0\gg1$	$c/\omega^2$	$c/\omega^2$（相同！）

由兩式直接相除得一條好用的恆等式（等驅動）：

$$\frac{S_a(\omega)}{S_\phi(\omega)}=\frac{\omega^2\tau_0^2}{1+\omega^2\tau_0^2}\ \le\ 1,$$

在 $\omega=\omega_c$ 時比值 $=1/2$（差 3 dB）、$\omega=10\,\omega_c$ 時 $=100/101=0.990$。 等驅動下 AM 頻譜處處低於 PM、但在遠端趨近相等。

5.5 量測總邊帶 = PM + AM：頻譜為何在底線「之前」就變平

頻譜分析儀（SA）看到的載波旁邊帶是 PM 與 AM 的總和。AM 的邊帶記帳與 white_noise_to_phase_noise 的 PM 小角推導完全平行：取 $x(t)=[1+a(t)]\cos\omega_0 t$、$a(t)=a_p\cos\omega_m t$（$a_p\ll1$）：

$$x(t)=\cos\omega_0 t+\frac{a_p}{2}\cos\big((\omega_0+\omega_m)t\big)+\frac{a_p}{2}\cos\big((\omega_0-\omega_m)t\big),$$

每個邊帶相對載波的功率 $=(a_p/2)^2$；而 $a$ 的功率密度給 $S_a=a_p^2/2$，故每邊帶密度 $=S_a/2$——跟 PM 的 $\mathcal{L}\approx S_\phi/2$ 一模一樣的係數（同一慣例下）。 差別只在符號：AM 上下邊帶同號、PM 反號（$-\tfrac{\phi_p}{2}\cos(\omega_0-\omega_m)t +\tfrac{\phi_p}{2}\cos(\omega_0+\omega_m)t$）。功率上 SA 分不出來； 用 quadrature mixer 的鑑相法天然拒斥 AM（見 measurement_and_spurs）。於是：

$$\mathcal{L}_{tot}(\Delta f)\approx\frac{S_\phi(\Delta f)+S_a(\Delta f)}{2}\qquad(\text{同一 }/2\text{ 慣例；比較 PM/AM 只需比 }S_\phi\text{ vs }S_a).$$

情況一：等驅動（$c_a=c_\phi=c$）。 在理想 LC 這是自然基準：切向/徑向投影分別為 $-\sin\theta$ 與 $\cos\theta$（[P4] Eq.(26), p.2128 的 quadrature，已核實；歸一化常數 本頁沿第 3 節立場不寫死），兩者 rms 相同。此時：

• PM skirt 漸近線 $c/\omega^2$ 與 AM 平頂 $c\tau_0^2$ 相交於 $c/\omega^2=c\tau_0^2\Rightarrow\omega=1/\tau_0=\omega_c$——漸近線交點恰好就是轉角。
• 實際曲線永不相交（上面比值 $\le1$）；遠端 AM 貢獻最多把總邊帶抬高 $10\log_{10}2\approx3$ dB。

情況二：AM 驅動較強（$R\equiv c_a/c_\phi \gt 1$）。 真實電路常見：偏壓/尾流雜訊、 弱限幅都會把 AM 驅動推高。交叉條件三行推完：

$$\frac{c_\phi}{\omega^2}=\frac{R\,c_\phi\,\tau_0^2}{1+\omega^2\tau_0^2} \;\Longrightarrow\;1+\omega^2\tau_0^2=R\,\omega^2\tau_0^2 \;\Longrightarrow\;\boxed{\ \omega_x=\frac{\omega_c}{\sqrt{R-1}}\ \Longleftrightarrow\ f_x=\frac{f_c}{\sqrt{R-1}}\ }$$

（$R\to1^+$ 時 $f_x\to\infty$，與「等驅動永不相交」一致 ✓；$R\le1$ 無解。） 在 $f_x \lt \Delta f \lt f_c$ 之間 AM 平頂高於 PM skirt：量測頻譜先按 $-20$ dB/dec 下降、在 $f_x$ 拐平、平到 $f_c$ 之後才恢復 $-20$ dB/dec（此時已是 AM 主導）。這個 「肩膀（pedestal）」發生在儀器底線之上、之前——這就是量測頻譜遠端變平的第二個 原因（第一個是加性/儀器底線；近載波的變平則是另一回事——Lorentzian 線形，見 lorentzian_linewidth）。

5.6 數值例子（$Q=10$、$f_0=5$ GHz，接 canonical 例 B）

(a) 振幅恢復時間常數：

$$\tau_0=\frac{2Q}{\omega_0}=\frac{2\times10}{2\pi\times5\times10^9\ \text{rad/s}}=6.366\times10^{-10}\ \text{s}=0.637\ \text{ns}.$$

Dimension check：無因次 ÷ (rad/s) = s ✓（rad 無因次）。5 GHz 週期 $T=0.2$ ns， 所以振幅擾動大約「活」3 個週期左右。

(b) AM 轉角：$f_c=f_0/2Q=5\times10^9/20=250$ MHz（$\omega_c=1.571\times10^9$ rad/s）。 $Q$ 越高、轉角越低、平頂越往載波靠。

(c) 等驅動交叉：$f_x=f_c=250$ MHz（漸近線交點；實際曲線只在遠端趨近、AM 最多 +3 dB）。

(d) $R=10$：$f_x=250/\sqrt{9}=83.3$ MHz。

(e) dBc/Hz 圖像（錨定例 B：$\mathcal{L}(1\ \text{MHz})=-148$ dBc/Hz， [P1] Eq.(21), p.185 的 SSB /4 慣例；若用時域 /2 慣例錨 $-145$，下列 dBc/Hz 一律 +3 dB， 交叉/轉角頻率不變）：

• PM skirt 外插到 250 MHz：$-148-20\log_{10}(250)=-195.96$ dBc/Hz。
• 設 AM 驅動比 PM 強 40 dB（$R=10^4$，示意值）：AM 平頂 $=-195.96+40=-155.96$ dBc/Hz、 交叉 $f_x=250\ \text{MHz}/\sqrt{10^4-1}\approx2.50$ MHz。
• 儀器底線 $-170$ dBc/Hz 要到 $\Delta f=10^{(170-148)/20}=12.6$ MHz 才會接住 PM skirt—— 但 AM 平頂在 2.5 MHz 就先接手了：頻譜在底線之前就變平。

一行一驗證（自含，# -> 為實際執行輸出）：

import numpy as np
f0, Q = 5e9, 10.0                       # [Hz], [-]
omega0 = 2 * np.pi * f0                 # [rad/s]
tau0 = 2 * Q / omega0                   # [s]  [P4] Sec. III-F, p.2128
print(round(tau0 * 1e9, 4))             # -> 0.6366
fc = f0 / (2 * Q)                       # [Hz] = 1/(2 pi tau0)
print(round(fc / 1e6, 1))               # -> 250.0
c = 0.5                                 # 共同白噪驅動（雙邊位準）[1/s]
print("{:.3e}".format(c * tau0 / 2))    # -> 1.592e-10
print("{:.3e}".format(2 * c * tau0**2)) # -> 4.053e-19
print(round(fc / np.sqrt(10 - 1) / 1e6, 2))    # -> 83.33
L_pm_250M = -148 - 20 * np.log10(250.0)        # [dBc/Hz] SSB /4 錨
print(round(L_pm_250M, 2))              # -> -195.96
print(round(L_pm_250M + 40, 2))         # -> -155.96
print(round(fc / np.sqrt(1e4 - 1) / 1e6, 2))   # -> 2.5

（第 3、4 個輸出分別是 $\mathrm{Var}[a]=c\tau_0/2$ 與單邊平頂 $2c\tau_0^2$ [1/Hz]，供對照下方模擬。）

5.7 模擬驗證：lab_28（同一顆白噪源、兩種命運）

simulations/lab_28_am_noise.py 用同一條白噪序列（seed 28）同時驅動： (i) Wiener 相位 $\phi=\sqrt{c}\sum dW$；(ii) OU 振幅（精確離散化 $a_{k+1}=e^{-dt/\tau_0}a_k+\sigma_{step}\,\xi_k$，$\sigma_{step}^2=\tfrac{c\tau_0}{2}(1-e^{-2dt/\tau_0})$）； (iii) 驅動 ×10 的 OU（$R=10$）。參數表：

參數	值	單位	說明
$f_0$	$5\times10^9$	Hz	canonical
$Q$	10	—	低 Q on-chip LC 量級
$\tau_0$	0.6366	ns	$2Q/\omega_0$（[P4]）
$c$	0.5	rad²/s（$\phi$）；1/s（$a$）	共同驅動；$c=2D\Rightarrow D=0.25$ rad²/s（toy 值；true-LC canonical 為 $c=\kappa^2=0.25$、$D=0.125$，v5）
$f_s$	$20\times10^9$	Hz	$\gg f_c$
$N$	$2^{22}$	—	$T=210\ \mu$s $\gg\tau_0$

實際執行輸出（節錄，# -> 與程式列印逐行對齊）：

tau0 [ns]                    = 0.6366      # -> 0.6366
f_c = f0/(2Q) [MHz]          = 250.0       # -> 250.0
Var[a] theory c*tau0/2       = 1.592e-10   # -> 1.592e-10
Var[a] simulated             = 1.587e-10   # -> 1.587e-10
tau0 from R_a(tau)=e^-1 [ns] = 0.6353      # -> 0.6353
AM plateau theory 2c*tau0^2  = 4.053e-19   # -> 4.053e-19
AM plateau simulated         = 4.102e-19   # -> 4.102e-19
AM corner measured [MHz]     = 239.9       # -> 239.9
S_a/S_phi @ 2.5 GHz theory   = 0.990       # -> 0.990
S_a/S_phi @ 2.5 GHz sim      = 0.991       # -> 0.991
equal-drive asymptote cross  = 250.0 MHz   # -> 250.0
R=10 crossover theory [MHz]  = 83.33       # -> 83.33
R=10 crossover sim [MHz]     = 83.31       # -> 83.31

如何解讀：

• 左圖：藍（$S_\phi$）沿 $-20$ dB/dec 一路到底；橘（等驅動 $S_a$）在低頻鎖成平頂 （量測 $4.10\times10^{-19}$ /Hz vs 理論 $4.05\times10^{-19}$）、在 $f_c=250$ MHz 拐彎 （量測 $-3$ dB 點 239.9 MHz，偏低約 4%——welch 分段平均 + 平滑造成，屬估計偏差非物理）、 高頻端與 $S_\phi$ 重合（2.5 GHz 處比值 0.991 vs 理論 0.990）。綠（$R=10$）在 83.3 MHz（量測 83.31，理論 83.33）穿越 PM skirt。
• 時域對照：從自相關量到的衰減常數 0.6353 ns ≈ 理論 0.6366 ns——這直接驗證了 [P4] 的 $d(t)=e^{-t/\tau_0}$ 在連續驅動下仍然是頻譜的骨架。
• 右圖（理論示意，錨定例 B）：黑色總邊帶在 2.5 MHz 拐平、$-156$ dBc/Hz 平台一路到 250 MHz、再恢復 $-20$ dB/dec；紅點線（$-170$ dBc/Hz 底線）在更下面——平坦不是底線 造成的。
• 誠實註記：(i) 左圖 $\gtrsim3$ GHz 處模擬略高於理論線，是離散化（$\omega\,dt$ 不再 $\ll1$）與混疊的 artifact，非物理。(ii) $R=40$ dB 是示意參數——實際的 AM/PM 驅動比 由拓樸決定（尾流、偏壓、限幅強度）；等驅動時 AM 對總邊帶最多貢獻 +3 dB。(iii) 本模擬是 基頻等效 toy model（直接模擬 $a,\phi$ 兩個慢變數），非 transistor-level。

5.8 本節的適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
小擾動線性化（$\lvert a\rvert\ll1$）	OU 模型成立	大擾動進入非線性限幅，頻譜偏離 Lorentzian
單一振幅衰減模態、$\tau_0=2Q/\omega_0$	轉角就在 $f_0/2Q$	非 LC 拓樸／多模態時衰減率不同（一般情形屬 Floquet 框架，非本站 5 篇 PDF）
白噪驅動	平頂是平的	flicker AM 會在平頂內再疊 $1/f$ 上升
忽略 AM–PM（第 4 節）	AM 與 PM 各走各的	AM 經 $\partial\omega/\partial A$ 漏進 PM，close-in 惡化
SA 量測（AM+PM 都收）	5.5 的總邊帶公式適用	鑑相法量測時 AM 被拒斥，看不到 AM 平頂

重點回顧

• 通訊與時脈系統在意的抖動 = 相位的事；相位無恢復力 → 累積 → $1/f^2$、$1/f^3$ 裙擺。
• 振幅有恢復力 → 擾動指數衰減（amplitude decay function $d(t-\tau)\to 0$）→ 方差有界、被抑制。
• APF $\Lambda(\omega_0\tau)$（單位 $\mathrm{A^{-1}}$）是 ISF 在振幅域的對應物；相位核是 階梯 $u$、振幅核是 脈衝×衰減。
• 理想 LC：$\Gamma\propto-\sin\theta$（切向）與 $\Lambda\propto\cos\theta$（徑向）互為 quadrature（差 90°）——[P4] Fig. 5, p.2126。
• AM–PM 是振幅雜訊漏回相位的後門：$\partial\omega/\partial A\neq 0$ 時要當心。
• 例 A：1 fC 注零交越 → 31.8 fs 永久 jitter；注波峰 → ~0 永久影響。
• 白噪連續驅動 + 指數恢復（[P4] $\tau_0=2Q/\omega_0$）＝ OU 過程： $S_a=c\tau_0^2/(1+\omega^2\tau_0^2)$——平頂 Lorentzian，轉角 $f_c=f_0/2Q$ （$Q=10$、5 GHz → $\tau_0=0.64$ ns、$f_c=250$ MHz）；相位無恢復力 → $c/\omega^2$ 一路到底。
• 量測頻譜遠端變平的第二個原因是 AM 平頂（第一個是儀器/加性底線）：等驅動時漸近線 交點恰在 $f_c$、AM 最多 +3 dB；AM 驅動較強（$R\gt1$）時交叉 $f_x=f_c/\sqrt{R-1}$， 例：$R=10\to83.3$ MHz。SA 量到 AM+PM、鑑相法拒斥 AM。
• 來源：[P4]（APF / amplitude decay / quadrature，Sec. III-D–E、Fig. 5, p.2126，已核實）；相位側來自 [P1] Eqs.(1),(10)；OU 過程為標準隨機過程數學（外部文獻 Uhlenbeck–Ornstein 1930）。

延伸閱讀

• 上游幾何（切向 vs 徑向）：oscillator_phase
• 相位敏感度的精確推導：從 impulse 到 phase shift 的推導
• 為何敏感度是週期時變的：LTI vs LTV
• $c_0$ 如何把 $1/f$ 上轉（與 AM–PM 並列的另一機制）：flicker_upconversion
• 近載波的另一種「變平」（相位 random walk → Lorentzian 線形）：lorentzian_linewidth
• 量測上如何分離 AM/PM（SA vs 鑑相法 vs cross-correlation）：measurement_and_spurs
• 全站符號（APF $\Lambda$ 已登錄）：統一符號表 Notation