相位雜訊量測與 spur

先備：white_noise_to_phase_noise（$\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$、$1/f^2$ 中段，反推 $S_i$ 用得到）、fourier_series_of_isf（spur 經 ISF 第 $n$ 諧波 $c_n$ 下變頻的機制）、symmetry（$1/f^3$ corner 反推 $c_0/c_1$ 對稱性）｜ 接下來：real_oscillator_topologies、lorentzian_linewidth

前面幾章把 phase noise（相位雜訊）從 ISF 一路推到 $\mathcal{L}(\Delta f)$（SSB phase noise，單邊帶相位雜訊，單位 dBc/Hz），都是「理論預測」。這頁回到實驗台前，回答三個量測現場一定會碰到的問題：

1. 怎麼量 $\mathcal{L}(f)$？三種主流方法——spectrum analyzer（頻譜分析儀，SA）直接法、PLL/delay-line frequency discriminator（鑑頻器去載波）、cross-correlation（互相關，兩條獨立通道相關把儀器本底開根號降低）——各自的原理、優缺點、適用範圍。
2. spur（spurious tone，確定性邊帶）和隨機 phase noise 怎麼分辨？一個是離散 tone（單位 dBc，不是 /Hz），一個是連續譜（/Hz）。它們在頻譜上長得不一樣、成因不同、對策也不同。
3. 怎麼讀一張真實的 PN 圖？把 $1/f^3$、$1/f^2$、floor 三段、各 corner、spur 標出來，再反推設計訊息。

物理直覺（先講結論）：量 phase noise 的本質困難是——待測物（DUT）的相位抖動極小（離載波 1 MHz 處常在 $-100$ 到 $-150$ dBc/Hz），而你手上的儀器自己也會抖。所以所有方法都在做同一件事：想辦法把載波那根又高又乾淨的大訊號「拿掉」，只留下旁邊微弱的雜訊裙邊，並且讓量測系統自己的本底（noise floor）比 DUT 還低。三種方法就是三種「拿掉載波 + 壓低本底」的工程手段。

誠實聲明：本頁的量測儀器架構與標準（PN spectrum analyzer、delay-line/PLL discriminator、cross-correlation analyzer，如 Keysight E5052B、R&S FSWP、Holzworth 等）屬外部工程文獻與儀器手冊，不在本站下載的 5 篇 PDF 內。本頁用標準量測理論補充，並把每個結果接回 [P1] 的 ISF 框架。涉及的物理（去載波、PSD 估計、相關平均）皆為通用 DSP/通訊知識；具體儀器型號僅作舉例。

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第 1 部分：量 $\mathcal{L}(f)$ 的三種方法

先把要量的東西寫清楚。把振盪器輸出寫成

$$v(t)=V_0\,\big[1+a(t)\big]\cos\!\big(\omega_0 t+\phi(t)\big),$$

其中 $a(t)$ 是 AM noise（振幅雜訊）、$\phi(t)$ 是 PM noise（相位雜訊，本站主角）。我們要的是相位部分的單邊功率譜

$$\mathcal{L}(\Delta f)\approx\tfrac12 S_\phi(\Delta f)\quad[\text{dBc/Hz}],$$

（小角近似，規範 Eq.16；見 white_noise_to_phase_noise）。三種方法差在「如何從 $v(t)$ 把 $\phi(t)$ 乾淨地分離出來、且不被儀器本身的相位雜訊污染」。

方法 A：spectrum analyzer 直接法

原理：直接把 DUT 接上頻譜分析儀，看載波 $f_0$ 旁邊的功率譜裙邊。在 offset $\Delta f$、解析頻寬 $\text{RBW}$ 下量到的邊帶功率 $P_{SSB}(\Delta f)$，相對載波功率 $P_{carrier}$，歸一到 1 Hz：

$$\mathcal{L}(\Delta f)=10\log_{10}\!\left(\frac{P_{SSB}(\Delta f)}{P_{carrier}}\right)-10\log_{10}(\text{ENBW}/1\,\text{Hz})\ +\ 2.5\,\text{dB}.$$

• 第一項是「邊帶比載波低幾 dB」（dBc）。
• 第二項把量測頻寬歸一到 per-Hz（用等效雜訊頻寬 ENBW 而非標稱 RBW；例如 ENBW $\approx1$ kHz 要減 $10\log_{10}1000=30$ dB）。
• $+2.5$ dB 是常見的修正：log 檢波器配 video/sample 平均對高斯雜訊低估約 $2.5$ dB（Rayleigh-log 偏差），故須「加回」約 $2.5$ dB 才回到真實雜訊功率（外部文獻：Keysight/Agilent AN-1303 頻譜分析基礎）。這是 toy/illustrative 的近似，實機由儀器內建 PN 量測模式自動補。

單位檢查：$10\log_{10}(\text{無因次 W/W})-10\log_{10}(\text{Hz})=\text{dBc}-\text{dB(Hz)}=\text{dBc/Hz}$ ✓。

優點：

• 設定最快，一台 SA 就能做；同時看得到 spur（離散 tone）與寬頻雜訊全貌。

致命缺點——SA 自己的相位雜訊：

• 你量到的不是 DUT 的 $S_\phi^{DUT}$，而是 DUT 與 SA 本地振盪器（LO）相位雜訊之和：

$$S_\phi^{meas}(\Delta f)=S_\phi^{DUT}(\Delta f)+S_\phi^{SA\,LO}(\Delta f).$$

只要 DUT 比 SA 的 LO 乾淨，量到的就是 SA 自己——你量的是儀器，不是 DUT。

• 此外 SA 量到的是 AM+PM 的總和；近載波通常 PM 主導，但要分離 AM/PM 它做不到。

適用範圍：DUT 相位雜訊明顯比 SA 的 LO 差（例如量一顆 noisy 的自由運行 ring VCO）、或只需快速看 spur 與大致裙邊形狀時。不適合量低雜訊參考源（OCXO、低噪 PLL），因為會撞到 SA 本底。

方法 B：PLL / delay-line frequency discriminator（去載波法）

直接法的問題是「載波那根大訊號還在，旁邊小雜訊被儀器動態範圍與 LO 雜訊壓住」。去載波（carrier suppression）的想法：先把載波那根 $\cos(\omega_0 t)$ 用相位偵測器抵銷掉，只把 $\phi(t)$ 變成基頻電壓送進低頻 FFT 分析儀（它的本底遠低於 RF SA）。有兩種去載波法：

B-1：PLL（phase-locked loop）法——用乾淨參考鎖相

把 DUT 與一顆更乾淨的參考源送進 mixer（混頻器當相位偵測器），用 PLL 讓兩者鎖在 $90^\circ$（quadrature，正交）。在 quadrature 下 mixer 輸出對相位差是線性的：

$$v_{out}(t)=K_\phi\,\big[\phi_{DUT}(t)-\phi_{ref}(t)\big],$$

$K_\phi$ 是相位偵測增益（V/rad）。PLL 環路頻寬設得很低，使得在關心的 offset 上 $\phi_{ref}$ 被環路追掉、只剩 DUT 的相位起伏轉成電壓。對 $v_{out}$ 做 FFT、除以 $K_\phi^2$ 得 $S_\phi^{DUT}$。

• 優點：本底可以做到非常低（受限於參考源、mixer、基頻放大器），是測低雜訊源的金標準之一；天然只測 PM（mixer 在 quadrature 對 AM 不敏感）。
• 缺點：需要一顆比 DUT 更乾淨的參考源（最大痛點）；要鎖相，DUT 要夠穩；PLL 環路頻寬以下的近載波 offset 會被環路吃掉，要做環路轉移修正。

B-2：delay-line（延遲線）frequency discriminator——把自己當參考

當你找不到更乾淨的參考源（例如量一顆本身就是頂尖低噪的 source）時，用 DUT 自己延遲一段 $\tau_d$ 當參考。把訊號分兩路，一路經延遲線 $\tau_d$、一路經移相器調到 quadrature，送進 mixer。延遲把頻率起伏轉成相位差，mixer 解出來。其轉移函數（把頻率雜訊 $S_{\Delta f}$ 變成輸出）為

$$\big|H(\Delta f)\big|^2=\big(2\pi\tau_d\big)^2\,\operatorname{sinc}^2(\Delta f\,\tau_d),\qquad \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x},$$

這裡 $H$ 把頻率起伏 $\delta f$ 映成輸出。鑑頻器感測的是頻率起伏，而頻率是相位的微分，故頻率譜與相位譜的橋接關係為 $S_{\delta f}(\Delta f)=\Delta f^2\,S_\phi(\Delta f)$（每多一次微分在頻域多一個 $\Delta f$ 因子）。把它代回，等於在分母多出一個 $\Delta f^2$（即 $(2\pi\tau_d)^2\to(2\pi\,\Delta f\,\tau_d)^2$），

於是

$$S_\phi(\Delta f)=\frac{S_{v}(\Delta f)}{K_\phi^2\,(2\pi\,\Delta f\,\tau_d)^2\,\operatorname{sinc}^2(\Delta f\,\tau_d)}.$$

• 物理意義：延遲線把頻率鑑別（discriminator）成相位，靈敏度 $\propto\tau_d$——延遲越長越靈敏。
• 缺點：靈敏度 $\propto\tau_d$，但 $\operatorname{sinc}$ 在 $\Delta f=k/\tau_d$ 有零點（null）——延遲太長，可用 offset 範圍變窄、且零點處盲掉；延遲線本身有損耗（衰減訊號、抬高本底）。是「靈敏度 vs 頻率覆蓋」的取捨。
• 優點：不需要外部參考源，自給自足；適合量本身極乾淨、找不到更好參考的 source。

單位檢查（delay-line）：$S_v$ 是 $\text{V}^2/\text{Hz}$，除以 $K_\phi^2$（$\text{V}^2/\text{rad}^2$）得 $\text{rad}^2/\text{Hz}$；分母 $(2\pi\Delta f\tau_d)^2$ 無因次，整體 $\text{rad}^2/\text{Hz}=S_\phi$ ✓。

方法 C：cross-correlation（互相關）——把不相關的儀器本底開根號降低

這是現代商用 PN analyzer（如 E5052B、FSWP、Holzworth）的看家本領，不在 5 篇 PDF 內，屬外部儀器文獻。它解決 B 法的根本限制：量測通道自己的本底。

核心想法：把同一顆 DUT 的訊號分成兩路，各自接一條完全獨立的去載波 + 量測通道（各有自己的參考源/mixer/放大器，本底互不相關）。兩路輸出分別是

$$y_1(t)=\phi_{DUT}(t)+n_1(t),\qquad y_2(t)=\phi_{DUT}(t)+n_2(t),$$

其中 $\phi_{DUT}$ 是兩路共有的 DUT 相位（相關），$n_1,n_2$ 是各通道獨立的儀器本底（不相關）。對兩路做互功率譜（cross-spectrum）$S_{y_1 y_2}=\langle Y_1 Y_2^*\rangle$ 並平均 $M$ 次：

$$S_{y_1 y_2}(\Delta f)=\underbrace{S_{\phi\phi}(\Delta f)}_{\text{相關，留下}}+\underbrace{\frac{1}{\sqrt{M}}\big(\text{不相關本底項}\big)}_{\text{隨平均次數開根號下降}}.$$

• 關鍵物理：DUT 相位在兩路相關，互相關裡同相累加、保留全額；兩路的儀器本底不相關，互相關裡是隨機相位、平均 $M$ 段後以 $1/\sqrt{M}$ 收斂下去（每 10 倍平均，本底降 $5$ dB，即 $10\log_{10}\sqrt{10}=5$ dB）。
• 能降多少：相對單通道本底，可額外降

$$\Delta_{floor}=5\log_{10}M\ \text{[dB]}\quad(\text{每 }\times10\text{ 平均降 }5\text{ dB}).$$

要降 $20$ dB 需 $M=10^4$ 次平均；降到極限後受限於通道間殘餘相關（共用的供電、參考分配、熱）與量測時間。

優點：本底可壓到比任何單一參考源還低——量得到世界級低噪源；同一架構可同時分離 AM 與 PM。 缺點：要兩套獨立硬體，貴；近載波要大量平均、量測時間長（$M$ 大）；殘餘相關設定上限。 適用範圍：量最低雜訊的 source（OCXO、低噪合成器、整合 PLL），需要逼近物理極限本底時的首選。

C 法模擬：兩通道互相關把儀器本底「開根號」壓下去

上面的 $1/\sqrt{M}$ 收斂只是文字描述，這裡用一個可重現的數值模擬把它做出來，親眼看「單通道量到儀器本底、互相關把 DUT 真實本底挖出來」是怎麼發生的（完整程式碼：simulations/lab_35_xcorr_measurement.py；圖：static/figures/xcorr_floor.png）。

方法論走一遍：

1. 合成一個「真實」DUT 頻譜：用本站 canonical 數值（例 B：$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$，[P1] Eq.(21) 給出 $\mathcal{L}(1\text{ MHz})=-148.0$ dBc/Hz，即 $S_\phi(1\text{ MHz})=2\times10^{-14.8}=3.17\times10^{-15}$ rad²/Hz）當作 $1/f^2$ 中段，再疊上一個比它低 $20$ dB 的白色本底（$S_{DUT,floor}=3.17\times10^{-17}$ rad²/Hz）——一個誠實的「兩段式」toy DUT 頻譜：近載波 $1/f^2$、遠端轉平。這是已知答案，才能檢驗量測法有沒有把它還原出來。
2. 兩條獨立通道各自加儀器白噪：$y_1(t)=\phi_{DUT}(t)+n_1(t)$、$y_2(t)=\phi_{DUT}(t)+n_2(t)$，$n_1\perp n_2\perp\phi_{DUT}$，每路本底設在比 DUT 本底高 $15$ dB（$S_{instr}=10^{1.5}\times S_{DUT,floor}\approx1.00\times10^{-15}$ rad²/Hz）——對應方法比較表裡「單通道本底 $=$ DUT 本底 $+$ 儀器本底」的情境。
3. 兩種頻譜同時算：單通道 auto-spectrum $S_{yy}=\langle|Y_1|^2\rangle$（$M$ 段平均），以及互功率譜 $S_{y_1y_2}=\langle Y_1Y_2^*\rangle$（同樣 $M$ 段平均），$M$ 取 $1,4,16,64,256,1024$（4 的冪次）。
4. 在一個遠離 $f_{ref}$ 的高頻頻帶（$80$–$95$ MHz，這裡 DUT 的 $1/f^2$ 裙邊已經衰減到 DUT 本底的 $1.5\%$ 以下，可視為「只剩本底」）量互相關殘餘本底隨 $M$ 的變化，並對 $M\le64$（此範圍內殘餘本底仍明顯高於 DUT 真實本底、可視為「不相關雜訊主導」）做直線回歸，比對規範式 $\Delta_{floor}=5\log_{10}M$ 的斜率。
5. 在 $M=1024$ 比較還原頻譜與真實 DUT 頻譜，看互相關能不能把單通道量不到的 DUT 真實本底「挖」出來。

關鍵結果（# -> 標記處為程式輸出）：

$M$	互相關殘餘本底 [rad²/Hz]	相對 $M{=}1$ [dB]	理論 $-5\log_{10}M$ [dB]
1	$8.38\times10^{-16}$	$0.00$	$0.00$
4	$4.40\times10^{-16}$	$-2.79$	$-3.01$
16	$2.30\times10^{-16}$	$-5.62$	$-6.02$
64	$1.17\times10^{-16}$	$-8.55$	$-9.03$
256	$6.43\times10^{-17}$	$-11.15$	$-12.04$
1024	$4.15\times10^{-17}$	$-13.05$	$-15.05$

對 $M\le64$（不相關殘餘仍明顯高於 DUT 本底的範圍）做斜率擬合：擬合斜率 $=-4.73$ dB/decade，對比理論 $-5.00$ dB/decade，吻合度 $=0.946$（# -> slope match: fitted/theory = 0.9463）——在有限樣本（$\sim300$ 個獨立頻率 bin、8 次獨立實現平均）下，$1/\sqrt{M}$ 定律被乾淨驗證。

到 $M=256$、$1024$ 兩點，數字開始偏離理論直線（$-11.15$、$-13.05$ dB，比理論的 $-12.04$、$-15.05$ dB「淺」）——這不是誤差，是物理：因為模擬只讓 $M$ 掃到 $1024$（$\sqrt{M}$ 只有 $32$ 倍、約 $15$ dB 的改善空間），而單通道本底 margin 也設在 $15$ dB，兩者數量級接近，所以殘餘不相關本底 $S_{instr}/\sqrt{M}$ 到 $M=1024$ 時已經逼近（而非遠低於）DUT 真實本底 $S_{DUT,floor}$，殘餘曲線因此彎向真實本底、不再繼續遵守純 $1/\sqrt{M}$ 直線——這正是互相關法「成功把本底壓到 DUT 真實值附近」的訊號，而非失敗。

還原效果（$M=1024$，見下圖 (b)）：

• 在 DUT 本底區（$90$ MHz 附近）：真實 $\mathcal{L}=-167.95$ dBc/Hz；單通道量到 $-152.74$ dBc/Hz（被儀器本底蓋住，差了 $15.2$ dB，量到的其實是儀器）；互相關（$M=1024$）量到 $-166.15$ dBc/Hz，只差 $+1.79$ dB（# -> residual error at DUT floor after M=1024 averaging: +1.79 dB）——把被儀器本底完全蓋住的 DUT 真實本底，用兩條獨立通道相關 + 平均，幾乎完整地「挖」了回來。
• 在 $1/f^2$ 中段（$1$ MHz）：DUT 本身訊號夠大，單通道與互相關結果都接近真值（$-147.80$ dBc/Hz 真值 vs. 單通道 $-143.87$、互相關 $-144.43$ dBc/Hz）——這裡本來就不需要互相關，示範的重點在本底（遠端），不在訊號強的地方。

誠實聲明：這裡驗證的只是互相關背後的統計/DSP 機制（$1/\sqrt{M}$ 收斂本身是通用複數高斯統計的性質，不是本站 5 篇 PDF 的內容，也不是 ISF 物理），且模型中兩通道的儀器本底被設定為完全不相關。真實儀器上，$M\to\infty$ 並不能把本底無限壓低——通道間殘餘相關（共用參考時脈分配、共用供電/接地、熱耦合等）會設下一個模擬中未建模的物理下限（外部工程文獻，非本站 5 篇 PDF；上面模擬只示範理想 $1/\sqrt{M}$ 機制與一個有限 $M$ 下的真實結果，不代表可無限逼近）。

三法比較表

方法	去載波手段	需外部參考？	本底（相對）	主要限制	最適合
A. SA 直接法	無（直接看裙邊）	否	高（=SA 自身 LO）	量到 SA 自己；不分 AM/PM	快速看 spur／高噪 DUT
B-1. PLL 鎖相	mixer + PLL 鎖 quadrature	要更乾淨參考	低	受參考源限制；近載波被環路吃	低噪源（有好參考時）
B-2. delay-line	自延遲 $\tau_d$ 當參考	否（自參考）	中–低	$\operatorname{sinc}$ 零點、延遲損耗	無更好參考的乾淨源
C. cross-correlation	兩路各去載波 + 互相關	視架構（常用內參）	最低（$\propto1/\sqrt{M}$）	貴、慢、殘餘相關設限	世界級低噪源

一句話記住：A 法量的是「DUT 與儀器的和」；B 法用去載波把儀器 LO 換成一顆好參考或自己的延遲；C 法承認「每條通道都有本底」，但用兩條獨立通道相關把不相關的本底開根號殺掉。

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第 2 部分：spur（確定性邊帶）vs 隨機 phase noise

量到的 PN 圖上常見兩種完全不同的東西疊在一起，新手最容易混淆。先把定義釘死：

項目	隨機 phase noise	spur（spurious tone）
本質	隨機過程（stochastic）	確定性弦波（deterministic tone）
頻譜外觀	連續裙邊（continuous skirt）	離散單根尖峰（discrete spike）
單位	/Hz（dBc/Hz，功率密度）	dBc（總功率比，無 /Hz）
隨 RBW	量到的 dBc/Hz 不隨 RBW 變（已歸一）	尖峰高度（dBc）不隨 RBW 變；但「看起來」隨 RBW 變寬窄
成因	元件熱雜訊／flicker，經 ISF 上轉	參考洩漏、電源漣波、外部注入等週期性干擾
對策	改 ISF 對稱性、加大 $q_{max}$、降 device noise	找出干擾源、隔離/濾波/屏蔽

2.1 為什麼單位天差地別：密度 vs 總功率

隨機 PN 是功率密度：相位是連續隨機過程，功率攤在頻率軸上，每 Hz 有多少功率才有意義——所以是 dBc/Hz。你把量測頻寬 RBW 加倍，量到的雜訊功率也加倍，歸一到 per-Hz 後數字不變。

spur 是離散 tone 的總功率：一根確定性弦波的全部功率集中在單一頻率，理論上頻寬為零。它的「密度」是無限大（沒意義），所以只報相對載波的總功率 dBc，不帶 /Hz。RBW 變大不會改變它的 dBc 值（功率全在那一根），只是看起來「胖」一點。

量測陷阱：在 PN analyzer 上，背景連續譜以 dBc/Hz 畫，但 spur 若也照「當前 RBW 的密度」畫，會隨你選的 RBW 上下浮動——這是假象。正確做法是儀器把 spur 用 dBc（積分總功率）單獨標記。判別準則：把 RBW 改一個檔位再量一次——隨機 PN 的 dBc/Hz 數字不動，spur 的「dBc/Hz 讀數」會變（因為它不是密度）。 數字會變的就是 spur。

2.2 spur 的典型成因與對策

spur 頻率位置	典型成因	物理機制（連 ISF）	對策
$f_{ref}$ 與其諧波（reference spur）	PLL 參考洩漏、charge-pump 不匹配、PFD 死區	參考頻率的週期性擾動經 ISF 第 $n$ 諧波上轉到載波旁	降 CP 漏電/不匹配、優化 PFD、加強 loop filter 抑制
電源漣波頻率（如 $50/60$ Hz、開關電源 $\sim$ 數百 kHz）	supply/ground 上的週期漣波耦合進 tank/tail	週期供電擾動 → ISF 的 $c_0/c_n$ 上轉	穩壓/LDO 去耦、版圖隔離、降 PSRR 敏感度
鄰近強訊號頻率	外部 RF 注入、injection pulling	注入訊號把振盪器拉動（見 injection locking）	屏蔽、隔離、加大 tank $Q$ 抗拉
數位時脈／其諧波	數位 aggressor 經基板/電源耦合	週期數位 edge 經 ISF 上轉	基板環、分離電源域、時序錯開

連回 ISF 的關鍵洞見：一個落在 $n\omega_0+\Delta\omega$（接近第 $n$ 諧波）的確定性注入單音，會被 ISF 的第 $n$ 個傅立葉係數 $c_n$ 下變頻到載波旁 $\Delta\omega$ 處，造成一根 spur（[P1] Eq.(16/17), p.183 的單音版，見 fourier_series_of_isf）：

$$\phi(t)\approx\frac{I_0\,c_n\sin(\Delta\omega t)}{2q_{max}\,\Delta\omega}.$$

• 這和隨機 PN 用的是同一條 ISF 機制——差別只在「來源是確定性單音（→spur）還是白噪（→連續譜）」。
• 設計訊息：若某根 spur 落在第 $n$ 諧波附近，把 ISF 的 $c_n$ 壓低（改波形對稱性）就能同時壓那根 spur；和降隨機 PN 是同一組旋鈕。

2.3 在頻譜上怎麼分辨（操作型流程）

1. 看形狀：連續裙邊 = 隨機 PN；孤立尖峰 = spur。
2. 改 RBW 重量：dBc/Hz 不動的是 PN；讀數隨 RBW 變的是 spur。
3. 看可重複性：spur 頻率固定（鎖在 $f_{ref}$、漣波頻率…），開關周邊設備（電源、鄰近發射源）spur 會跟著動/消失；隨機 PN 是 DUT 本質、關不掉。
4. 量積分功率：對一根 spur 積分得固定 dBc（與 RBW 無關）；對 PN 積分得 jitter（見 numerical_feeling）。

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第 3 部分：怎麼讀一張真實的 PN 圖

把前兩部分整合：拿到一張 $\mathcal{L}(\Delta f)$ 對 offset（log–log）的圖，怎麼讀出設計訊息。一張典型自由運行振盪器的 PN 圖由三段斜率與若干 spur 組成。

3.1 三段斜率與兩個 corner

區段	斜率	物理來源	對應公式
close-in（最靠載波）	$-30$ dB/dec（$1/f^3$）	device flicker（$1/f$）noise 經 $c_0$（ISF 直流不對稱）上轉	[P1] Eq.(23), p.185
mid（中段）	$-20$ dB/dec（$1/f^2$）	白噪經相位積分器 $1/\omega^2$	[P1] Eq.(21), p.185
floor（最遠）	$0$ dB/dec（平）	量測系統/buffer 的白色雜訊本底	—

兩個轉折：

• $1/f^3$ corner $\Delta f_{1/f^3}$：$1/f^3$ 與 $1/f^2$ 交會點。由 [P1] Eq.(24), p.185：

$$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}\approx\omega_{1/f}\left(\frac{c_0}{c_1}\right)^2.$$

它反映 ISF 的對稱性：$c_0$（ISF 直流分量）越小（波形越對稱），corner 越往載波靠、$1/f^3$ 區越窄——這是「為什麼追求對稱波形」的量化依據（見 symmetry）。

• noise floor corner $\Delta f_{floor}$：$1/f^2$ 與平底交會點。它多半是量測系統或輸出 buffer 的本底，不一定是振盪器本質——讀圖時要先確認 floor 是 DUT 還是儀器（用第 1 部分的 cross-correlation 可把儀器 floor 壓下去，才看得到 DUT 真實 floor）。

3.2 反推設計訊息（讀圖 checklist）

• $1/f^3$ 區的高度與寬度 → device flicker 大小（$\omega_{1/f}$）與 ISF 對稱性（$c_0$）。close-in 太差 → 換低 flicker 元件、做對稱波形/版圖、用 tail filter 壓 $c_0$。
• $1/f^2$ 區的高度 → $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2 \cdot S_i$。太高 → 加大 swing（$q_{max}$）、降 device 白噪、壓 $\Gamma_{rms}$（見 tank_swing）。$1/f^2$ 區每 decade 改善 20 dB 是物理定律，斜率不對就要懷疑量錯了。
• floor 高度 → 確認是 DUT 還是儀器。若是 buffer，加大載波功率或換低噪 buffer。
• spur → 逐根對位：$f_{ref}$？漣波？注入？分別用第 2.2 表對策。

這張 PN 圖的全貌和 Leeson 模型、ISF 模型畫出來是同一個三段折線——本站 derivation_leeson 與 leeson_vs_isf 圖 把兩模型疊在一起，三段（$1/f^3$、$1/f^2$、floor）與 corner 完全對得上。差別只在 ISF 把每段的常數用 $\Gamma_{rms}$、$c_0$、$q_{max}$ 解釋清楚，而 Leeson 用經驗的 $Q$、$F$。

下面這張白噪→$1/f^2$ 的模擬譜，就是上圖中段 $-20$ dB/dec 那一段被單獨量出來的樣子（toy 模型，見 lab_06）：

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數值例子：由圖讀數反推設計（worked examples）

下面兩題用嚴格格式：題目（給圖上讀數）→ 逐步代入（帶單位）→ 結果 → dimension check → 一行 Python 驗證。沿用第 8 節 canonical 數值（$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$、$f_0=5$ GHz）。

例 1（由 $1/f^2$ 讀數反推等效白噪 $S_i$）：在一張 PN 圖上量到中段（$1/f^2$ 區）$\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=-148.0$ dBc/Hz。已知 $q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$。反推等效白噪電流 PSD $S_i=\overline{i_n^2}/\Delta f$。

逐步代入（反解 [P1] Eq.(21), p.185）：

1. 把 dBc/Hz 轉回 linear：$10^{\mathcal{L}/10}=10^{-14.8}=1.585\times10^{-15}$（無因次 per-Hz）。
2. offset 角頻率：$\Delta\omega=2\pi\times10^{6}=6.283\times10^{6}$ rad/s，$\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}$ rad²/s²。
3. Eq.(21) 是 $\mathcal{L}=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\dfrac{S_i}{4\Delta\omega^2}$，反解

$$S_i=\mathcal{L}_{lin}\cdot\frac{4\,\Delta\omega^2\,q_{max}^2}{\Gamma_{rms}^2}.$$

4. 代入：$S_i=1.585\times10^{-15}\times\dfrac{4\times3.948\times10^{13}\times(10^{-12})^2}{0.25}$ $=1.585\times10^{-15}\times\dfrac{1.579\times10^{14}\times10^{-24}}{0.25}=1.585\times10^{-15}\times6.317\times10^{-10}\approx1.0\times10^{-24}$。

結果：$S_i\approx1.0\times10^{-24}\ \text{A}^2/\text{Hz}$——正好回到 canonical 例 B 的輸入值（自洽）。

Dimension check：$\mathcal{L}_{lin}$（per-Hz $=$ s）$\times\dfrac{(\text{rad/s})^2\cdot\text{C}^2}{1}=\text{s}\cdot\dfrac{\text{C}^2}{\text{s}^2}=\dfrac{\text{C}^2}{\text{s}}=\dfrac{(\text{A}\cdot\text{s})^2}{\text{s}}=\text{A}^2\cdot\text{s}=\text{A}^2/\text{Hz}$ ✓。

import numpy as np
L_dbc, gamma_rms, qmax = -148.0, 0.5, 1e-12
dw = 2*np.pi*1e6
Si = 10**(L_dbc/10) * (4*dw**2*qmax**2) / gamma_rms**2
print(f"{Si:.3e} A^2/Hz")   # -> 1.000e-24 A^2/Hz

例 2（由 $1/f^3$ corner 反推 ISF 對稱性 $c_0/c_1$）：圖上量到 device flicker corner $f_{1/f}=1\,\text{MHz}$（$\omega_{1/f}=2\pi\times10^6$），而 PN 圖上 $1/f^3$ 與 $1/f^2$ 的交會 corner 出現在 $\Delta f_{1/f^3}=100\,\text{kHz}$。反推 ISF 的 $c_0/c_1$ 比，評估波形對稱性。

逐步代入（用 [P1] Eq.(24), p.185 的近似 $\Delta\omega_{1/f^3}\approx\omega_{1/f}(c_0/c_1)^2$）：

1. 反解：$\left(\dfrac{c_0}{c_1}\right)^2=\dfrac{\Delta\omega_{1/f^3}}{\omega_{1/f}}=\dfrac{2\pi\times10^5}{2\pi\times10^6}=\dfrac{10^5}{10^6}=0.1$。
2. 開根號：$\dfrac{c_0}{c_1}=\sqrt{0.1}\approx0.316$。

結果：$c_0/c_1\approx0.32$——ISF 的直流分量約為一次諧波的三分之一，屬「中度對稱」。

反推的設計訊息：$c_0\neq0$ 表示波形/版圖仍有不對稱，仍有可觀 $1/f^3$ 上轉。若把波形做更對稱使 $c_0$ 再降 $\times0.3$（$c_0/c_1\to0.1$），corner 從 $100$ kHz 降到 $\Delta f_{1/f^3}=\omega_{1/f}(0.1)^2=1\,\text{MHz}\times0.01=10\,\text{kHz}$——close-in $1/f^3$ 區縮小 10 倍，近載波雜訊大幅改善（見 symmetry、flicker_noise_upconversion）。

Dimension check：$\Delta\omega_{1/f^3}/\omega_{1/f}$ 為 rad/s ÷ rad/s $=$ 無因次；$(c_0/c_1)^2$ 也無因次 ✓。

import numpy as np
w_1f = 2*np.pi*1e6           # device flicker corner
dw_1f3 = 2*np.pi*1e5         # 1/f^3 corner read off the plot
c0_over_c1 = np.sqrt(dw_1f3/w_1f)
print(round(c0_over_c1, 3))  # -> 0.316

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適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
量測系統本底 $\ll$ DUT 雜訊	量到的是 DUT	量到儀器自己（SA 直接法最易踩）→ 改用 PLL/cross-correlation
小角 PM（$\phi\ll1$ rad）	$\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$	大相位起伏要用嚴格 PM 譜，近載波 Lorentzian（見 lorentzian_linewidth）
雜訊源為穩態白色/flicker	三段折線乾淨	cyclostationary、注入拉動會破壞乾淨折線
spur 為確定性週期源	dBc 固定、可逐根對位	隨機叢發/間歇干擾不易用 dBc 描述
floor 是 DUT 本質	floor 反映 buffer/source	多半是儀器 floor，需 cross-correlation 才看得到真 floor

與哪些 paper／公式對應

• spur 的下變頻機制（單音版）：[P1] Eq.(16/17), p.183（見 fourier_series_of_isf）。
• $1/f^2$ 中段：[P1] Eq.(21), p.185；$1/f^3$ close-in：[P1] Eq.(23), p.185；$1/f^3$ corner：[P1] Eq.(24), p.185。
• $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$（小角 PM）：規範 Eq.16。
• 三段折線全貌與 Leeson 對照：derivation_leeson、[E1] Leeson 1966（不在 5 篇 PDF 內）。
• 量測儀器/標準（SA、delay-line/PLL discriminator、cross-correlation analyzer）屬外部工程文獻與儀器手冊，不在下載的 5 篇 PDF 內；本頁用標準量測理論補充。
• cross-correlation 的 $1/\sqrt{M}$ 收斂模擬：simulations/lab_35_xcorr_measurement.py，圖 /figures/xcorr_floor.png（統計/DSP 機制本身也不在 5 篇 PDF 內）。

重點回顧

• 量 $\mathcal{L}(f)$ 的本質：拿掉載波 + 壓低系統本底。SA 直接法量到「DUT＋儀器」；PLL/delay-line 用去載波把儀器換成好參考或自延遲；cross-correlation 用兩條獨立通道相關，把不相關的本底以 $1/\sqrt{M}$ 殺掉（每 ×10 平均降 5 dB；模擬驗證擬合斜率 $-4.73$ dB/decade vs 理論 $-5.00$，吻合度 $0.946$，見 lab_35）。
• spur 是確定性離散 tone（單位 dBc，不隨 RBW 變密度）；隨機 PN 是連續譜（dBc/Hz）。分辨：改 RBW 重量、看可重複性、開關周邊設備。
• spur 成因：參考洩漏、電源漣波、外部注入；經 ISF 第 $n$ 諧波 $c_n$ 下變頻到載波旁；對策是隔離/濾波/屏蔽 + 壓 $c_n$。
• 讀 PN 圖：$1/f^3$（flicker 經 $c_0$）／$1/f^2$（白噪經積分器）／floor（多為儀器/buffer），加兩個 corner。反推 $S_i$、$c_0/c_1$、device flicker，得設計旋鈕。
• 數值例：$-148$ dBc/Hz @ 1 MHz 反推 $S_i\approx10^{-24}$ A²/Hz；$1/f^3$ corner $100$ kHz（flicker corner 1 MHz）反推 $c_0/c_1\approx0.32$。

延伸閱讀

• $\mathcal{L}$ 與 $S_\phi$、白噪 $1/f^2$ 推導：white_noise_to_phase_noise
• spur 的下變頻機制（ISF 諧波）：fourier_series_of_isf
• close-in $1/f^3$ 與對稱性：flicker_noise_upconversion、symmetry
• 加大 swing 壓 $1/f^2$：tank_swing
• 把 $\mathcal{L}$ 積回 jitter：numerical_feeling
• 三段折線與 Leeson 對照：derivation_leeson
• 近載波 Lorentzian（$1/f^2$ 發散的真相）：lorentzian_linewidth