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真實拓樸的 ISF：cross-coupled LC VCO、Colpitts、CMOS ring stage

先備：effective_isf（cyclostationary 有效 ISF Γeff=Γ⋅α\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha，本頁三拓樸的共同骨架）、symmetry（c0c_0 決定 1/f31/f^3、為何 tail 的 c0c_0 才是麻煩）、waveform_slope（由 switching slope 推 ring stage 的 ISF）｜ 接下來：lc_vs_ring、measurement_and_spurs

前面幾頁我們都用「理想 LC 的 Γ(θ)=−sin⁡θ\Gamma(\theta)=-\sin\theta」當主角，把白噪 → 1/f21/f^2、flicker → 1/f31/f^3 的機制講清楚。但真實晶片上的振盪器不是一個乾淨的 LC 加一個白噪源——它是好幾顆電晶體、一個 tail（尾電流）源、一個 tank、再加上 switching（換流）動作。不同 device 在不同節點、不同相位窗 注入它的噪聲，所以每一個噪聲源「看到」的有效 ISF 都不一樣。這頁要回答：

這頁要回答什麼：在三種最常見的拓樸——cross-coupled LC VCO（交叉耦合 LC 壓控振盪器）、 Colpitts、CMOS inverter ring stage（CMOS 反相器環級）——裡，每個 device noise 源實際看到 的 ISF 長什麼樣？它的傅立葉諧波（c0,c1,c2,…c_0,c_1,c_2,\dots）落在哪？這些諧波又怎麼決定 close-in phase noise 的 1/f31/f^3、1/f21/f^2？我們全部用手算 + 量級估計走一遍（非 Spectre / 非 transistor-level netlist 萃取），每個拓樸都把 device noise → ISF 諧波 → close-in PN 串成一條完整鏈。

物理直覺（先講結論）：ISF 是「相位對某節點電荷注入的敏感度形狀」。但噪聲源不是均勻地 在整個週期注入——tail 電晶體只在 switching 瞬間導通、Colpitts 的電晶體只在一個窄電流脈衝裡 導通、ring 的 inverter 只在 transition（過渡）時有大電流。把「device 在哪個相位窗注入多少噪聲」 （即 cyclostationary 的 noise modulating function α(θ)\alpha(\theta)）乘上「該節點的 ISF Γ(θ)\Gamma(\theta)」， 得到有效 ISF Γeff(θ)=Γ(θ) α(θ)\Gamma_{eff}(\theta)=\Gamma(\theta)\,\alpha(\theta)。這個乘積的傅立葉諧波——尤其是 c0c_0（決定 flicker 上轉成 1/f31/f^3）與 c2c_2（把 2ω02\omega_0 處的噪聲折回載波）——才是真實 close-in phase noise 的元兇。

本頁用到的兩條 close-in 招牌公式（[P1]，逐字）：

flicker 上轉成 1/f31/f^3（[P1] Eq.(23), p.185）：

L{Δω}=10log⁡10 ⁣(c02qmax2⋅in2‾/Δf8 Δω2⋅ω1/fΔω)\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{c_0^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{8\,\Delta\omega^2}\cdot\frac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}\right)

1/f31/f^3 corner（[P1] Eq.(24), p.185）：

Δω1/f3=ω1/f⋅c022 Γrms2≈ω1/f(c0c1)2\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}\approx\omega_{1/f}\left(\frac{c_0}{c_1}\right)^2

白噪 1/f21/f^2 招牌結果（[P1] Eq.(21), p.185），用來算 floor：

L{Δω}=10log⁡10 ⁣(Γrms2qmax2⋅in2‾/Δf4 Δω2)\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right)

cyclostationary 的有效 ISF（[P1] Eq.(27), p.186，把 Γ\Gamma 換成 Γeff=Γ⋅α\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha， α\alpha 是 noise modulating function，振幅調制函數）：

Γeff(x)=Γ(x) α(x),α(x)∈[0,1]\Gamma_{eff}(x)=\Gamma(x)\,\alpha(x),\qquad \alpha(x)\in[0,1]

所有「cnc_n 的數值」凡標 illustrative 者皆為教學用建構模型（不是從 transistor netlist 萃取）， 目的在於把已知機制的量級走通；理想 LC 的 Γ=−sin⁡\Gamma=-\sin 是嚴格的。tail 有效 ISF 的具體機制 出自 Hajimiri–Lee cyclostationary 分析（[P1] §IV.D）與 Andreani 等人的 tail-noise 分析（外部文獻， 不在下載的 5 篇 PDF 內，見頁末）。

(a) Cross-coupled LC VCO：tank 乾淨、tail 才是麻煩​

電路與兩個關鍵噪聲源​

cross-coupled LC VCO 的骨架：一個 LC tank 接在差動兩節點 V+,V−V^+,V^- 上，下面一對交叉耦合的 NMOS（M1,M2M_1,M_2，閘極接對方汲極）提供 −Gm-G_m（負電導）補償 tank 損耗；最下面一個 tail current source MtailM_{tail} 設定偏壓電流 IssI_{ss}。

兩個本質不同的噪聲注入點：

  1. 差動 tank 節點（M1,M2M_1,M_2 的 channel thermal noise 直接打在 tank 上）→ 看到的是 tank 的 ISF。
  2. tail 節點（MtailM_{tail} 的 thermal + flicker 噪聲）→ 看到的是 tail 的有效 ISF，因為 tail 電流要先被 switching pair「換流（commutate）」才進到 tank。

tank ISF：純 c1c_1 的 −sin⁡θ-\sin\theta​

差動 tank 是一個近乎理想的 LC 諧振器，兩端電壓近似 V±=±Acos⁡ω0tV^\pm=\pm A\cos\omega_0 t。把電荷注入差動節點， 相位敏感度就是理想 LC 的結果（見 impulse_to_phase_shift）：

Γtank(θ)=−sin⁡θ.\Gamma_{tank}(\theta)=-\sin\theta .

它的傅立葉級數只有一個 c1=1c_1=1，其餘 c0=c2=⋯=0c_0=c_2=\dots=0。Γrms=1/2≈0.707\Gamma_{rms}=1/\sqrt2\approx0.707。

  • 物理意義：−sin⁡θ-\sin\theta 在過零點（θ=0,π\theta=0,\pi）最敏感、在波峰（θ=π/2\theta=\pi/2）為零——典型的 「在斜率大的地方踢最有效」。
  • 關鍵好處：c0=0c_0=0。對照 [P1] Eq.(23)，1/f31/f^3 的強度正比 c02c_0^2；c0=0c_0=0 表示差動 tank 噪聲 幾乎不上轉 flicker。這就是為什麼差動 LC VCO 的 close-in 比 ring 乾淨——只要波形對稱、c0c_0 趨近 0。

tail 有效 ISF：富含 c0c_0 與 c2c_2​

tail 噪聲的故事完全不同，因為 tail 節點電壓擺在 2ω02\omega_0，而且 switching pair 對 tail 電流做 全波整流式換流。直覺地說：

  • 在每半個週期，M1M_1 或 M2M_2 輪流把整條 IssI_{ss}（含其噪聲）導到 tank 的一邊；一個完整 RF 週期裡 tail 電流被「翻」兩次 → tail 看到的調制是 2ω02\omega_0 週期 → 自然產生 c2c_2（第二諧波）。
  • tail 電流的低頻/DC 噪聲（尤其 flicker）會被 switching 平均成一個 common-mode 的擺動，留下一個 非零的 c0c_0（DC 項），這就是 flicker 上轉的門。

我們用一個 illustrative 模型把這形狀寫下來（取自 lab_21_topology_isf.py，標明為建構模型）：

Γtail(θ)=c02+c1,rescos⁡θ+c2cos⁡2θ,c0=0.30, c1,res=0.10, c2=0.55.\Gamma_{tail}(\theta)=\frac{c_0}{2}+c_{1,res}\cos\theta+c_2\cos 2\theta,\qquad c_0=0.30,\ c_{1,res}=0.10,\ c_2=0.55 .
  • c0=0.30c_0=0.30：DC 項——flicker 上轉的元兇（[P1] Eq.(23) 正比 c02c_0^2）。
  • c2=0.55c_2=0.55：第二諧波——把 2ω02\omega_0 附近的 tail thermal noise 折回（fold）到載波 Δω\Delta\omega 處。
  • c1,res=0.10c_{1,res}=0.10：殘留基波（理想對稱下應為 0；不對稱會漏一點）。
  • 這支 ISF 的 Γrms=(c0/2)2+12(c1,res2+c22)=0.0225+12(0.01+0.3025)≈0.42\Gamma_{rms}=\sqrt{(c_0/2)^2+\tfrac12(c_{1,res}^2+c_2^2)}=\sqrt{0.0225+\tfrac12(0.01+0.3025)}\approx0.42（Parseval；見圖標）。

2ω02\omega_0 折回的機制（手算直覺）：tail thermal noise 在 2ω0±Δω2\omega_0\pm\Delta\omega 有功率 in2‾/Δf\overline{i_n^2}/\Delta f。ISF 的 c2cos⁡2θc_2\cos2\theta 項就是一個「在 2ω02\omega_0 做 down-conversion 的 mixer」（見 white_noise_to_phase_noise 第 3a 步）： 它把 2ω02\omega_0 處的噪聲搬到 Δω\Delta\omega 處的相位。這就是為什麼設計者要把 tail 電流源的 2f02f_0 阻抗做高（tail filter）：在 2f02f_0 放一個 LC trap 或大電容，讓 tail 節點在 2ω02\omega_0 變成 高阻抗（理想上開路），tail 噪聲在 2ω02\omega_0 的電流就無法注入 tank → c2c_2 折回被掐死。

圖：tank vs tail 的 ISF 與諧波​

cross-coupled LC VCO 的 tank ISF（乾淨 -sin，純 c1）與 tail 有效 ISF（富含 c0、c2）對照，以及兩者的傅立葉諧波柱狀圖

（完整 script：simulations/lab_21_topology_isf.py，標明 illustrative——tank 的 −sin⁡-\sin 是嚴格的， tail 的 c0,c2c_0,c_2 數值是建構的教學模型，用以示範已知機制。）

項目tank ISFtail 有效 ISF
公式Γ=−sin⁡θ\Gamma=-\sin\thetaΓ=c02+c1,rescos⁡θ+c2cos⁡2θ\Gamma=\tfrac{c_0}{2}+c_{1,res}\cos\theta+c_2\cos2\theta
主要諧波c1=1c_1=1（純基波）c0=0.30c_0=0.30、c2=0.55c_2=0.55、c1,res=0.10c_{1,res}=0.10
Γrms\Gamma_{rms}0.7070.707≈0.42\approx0.42（illustrative）
close-in 風險幾乎無 1/f31/f^3（c0≈0c_0\approx0）c0c_0 大 → 強 1/f31/f^3；c2c_2 大 → 2ω02\omega_0 折回
對策維持波形對稱波形對稱降 c0c_0 + tail filter 調 2f02f_0 降 c2c_2
模型嚴格（ideal LC）illustrative（建構）

device noise → ISF 諧波 → close-in PN：tail 的完整鏈（worked example 1）​

例 1（tail flicker 上轉 → 1/f31/f^3 corner，手算）：cross-coupled LC VCO，f0=5f_0=5 GHz、 qmax=1q_{max}=1 pC。tail 的有效 ISF 用上面 illustrative 模型（c0=0.30c_0=0.30、Γrms≈0.42\Gamma_{rms}\approx0.42）。 tail 電晶體白噪 Si=in2‾/Δf=2×10−23 A2/HzS_i=\overline{i_n^2}/\Delta f=2\times10^{-23}\ \text{A}^2/\text{Hz}、flicker corner f1/f=1f_{1/f}=1 MHz（ω1/f=2π×106\omega_{1/f}=2\pi\times10^6 rad/s）。求 1/f31/f^3 corner Δω1/f3\Delta\omega_{1/f^3}、 並算 L\mathcal{L} 在 Δf=10\Delta f=10 kHz（1/f31/f^3 區）的值。

鏈條第 1 環（device noise → ISF 諧波）：tail 噪聲看到的是含 c0=0.30c_0=0.30 的有效 ISF。

鏈條第 2 環（1/f31/f^3 corner，[P1] Eq.(24)）：

Δω1/f3=ω1/f⋅c022 Γrms2=2π×106×0.3022×0.422=2π×106×0.090.353=2π×106×0.255.\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}=2\pi\times10^6\times\frac{0.30^2}{2\times0.42^2}=2\pi\times10^6\times\frac{0.09}{0.353}=2\pi\times10^6\times0.255 . Δω1/f3=1.603×106 rad/s⇒Δf1/f3=Δω1/f32π=2.55×105 Hz=255 kHz.\Delta\omega_{1/f^3}=1.603\times10^6\ \text{rad/s}\quad\Rightarrow\quad \Delta f_{1/f^3}=\frac{\Delta\omega_{1/f^3}}{2\pi}=2.55\times10^5\ \text{Hz}=255\ \text{kHz}.
  • 意義：1/f31/f^3 區延伸到約 255 kHz offset；比 device flicker corner（1 MHz）小了 c02/(2Γrms2)=0.255c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)=0.255 倍。 這正是 [P1] 的重要設計訊息——1/f31/f^3 corner 不等於 device 1/f1/f corner，可被波形對稱性（壓 c0c_0）大幅縮小。

鏈條第 3 環（close-in L\mathcal{L}，[P1] Eq.(23)）：在 Δf=10\Delta f=10 kHz：

  1. Δω=2π×104=6.283×104\Delta\omega=2\pi\times10^4=6.283\times10^4 rad/s，Δω2=3.948×109\Delta\omega^2=3.948\times10^9。
  2. c02qmax2=0.09(10−12)2=9×1022 C−2\dfrac{c_0^2}{q_{max}^2}=\dfrac{0.09}{(10^{-12})^2}=9\times10^{22}\ \text{C}^{-2}。
  3. Si8Δω2=2×10−238×3.948×109=2×10−233.158×1010=6.333×10−34\dfrac{S_i}{8\Delta\omega^2}=\dfrac{2\times10^{-23}}{8\times3.948\times10^9}=\dfrac{2\times10^{-23}}{3.158\times10^{10}}=6.333\times10^{-34}。
  4. ω1/fΔω=2π×1062π×104=100\dfrac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}=\dfrac{2\pi\times10^6}{2\pi\times10^4}=100。
  5. 括號內 linear =9×1022×6.333×10−34×100=5.70×10−9=9\times10^{22}\times6.333\times10^{-34}\times100=5.70\times10^{-9}。
  6. L=10log⁡10(5.70×10−9)=−82.4 dBc/Hz\mathcal{L}=10\log_{10}(5.70\times10^{-9})=-82.4\ \text{dBc/Hz}。

結果：Δf1/f3≈255\Delta f_{1/f^3}\approx255 kHz；L(10 kHz)≈−82.4\mathcal{L}(10\,\text{kHz})\approx-82.4 dBc/Hz（1/f31/f^3 區）。

Dimension check（[P1] Eq.(23) 括號內要無因次）：c02qmax2\dfrac{c_0^2}{q_{max}^2} 帶 C−2\text{C}^{-2}； Si8Δω2\dfrac{S_i}{8\Delta\omega^2} 帶 A2/Hz(rad/s)2=A2s3=C2s\dfrac{\text{A}^2/\text{Hz}}{(\text{rad/s})^2}=\text{A}^2\text{s}^3=\text{C}^2\text{s}； ω1/f/Δω\omega_{1/f}/\Delta\omega 無因次。乘起來 C−2⋅C2s=s\text{C}^{-2}\cdot\text{C}^2\text{s}=\text{s} → per-Hz ✓。

import numpy as np
c0, qmax, Si = 0.30, 1e-12, 2e-23
gamma_rms = 0.42
w1f = 2*np.pi*1e6
# 1/f^3 corner (Eq.24)
dw_corner = w1f * c0**2 / (2*gamma_rms**2)
print(round(dw_corner/(2*np.pi)/1e3, 1), "kHz")     # -> 255.1 kHz
# L at 10 kHz (Eq.23)
dw = 2*np.pi*1e4
L = 10*np.log10((c0**2/qmax**2) * (Si/(8*dw**2)) * (w1f/dw))
print(round(L, 1), "dBc/Hz")                          # -> -82.4 dBc/Hz

設計旋鈕（cross-coupled LC VCO）：

  1. 波形對稱（上升/下降沿對稱）→ 壓 c0c_0 → 直接縮小 1/f31/f^3 corner（Eq.(24) 正比 c02c_0^2）。
  2. tail filter 調 2f02f_0（在 tail 節點放 2f02f_0 trap / 大電容）→ tail 節點在 2ω02\omega_0 高阻抗 → 壓 c2c_2 折回。
  3. 加大 qmaxq_{max}（tank swing）→ 同時壓 1/f21/f^2（Eq.(21)）與 1/f31/f^3（Eq.(23)），分母 qmax2q_{max}^2。
  4. 降 tail flicker（大尺寸 tail device、PMOS tail）→ 降 SiS_i 的 flicker 部分。

(b) Colpitts：為何 ISF 集中在窄相位窗​

電路與電流脈衝​

Colpitts 振盪器用一個電晶體 + 電容分壓器（C1,C2C_1,C_2）+ tank 電感形成正回授。它的招牌特徵是： 電晶體的集極（汲極）電流不是正弦，而是一連串很窄、很大的電流脈衝，後面跟著一大段「安靜區」。 這正是 [P1] Fig. 13 畫的——Colpitts oscillator of Fig. 5(a) 的 collector voltage 與 collector current： 電流「a short period of large current followed by a quiet interval」（[P1] §IV.D, p.186）。

關鍵：脈衝注入時刻 vs ISF 形狀​

這裡有兩個獨立的週期函數要相乘：

  1. tank 自己的 ISF Γ(θ)≈−sin⁡θ\Gamma(\theta)\approx-\sin\theta（Colpitts 的 tank 也近正弦），全週分佈。
  2. noise modulating function α(θ)\alpha(\theta)：device 只在電流脈衝那段才導通、才有噪聲注入—— 所以 α(θ)\alpha(\theta) 是一個窄脈衝，集中在某個相位 θp\theta_p。

有效 ISF 是兩者的乘積（[P1] Eq.(27)）：

Γeff(θ)=Γ(θ) α(θ).\Gamma_{eff}(\theta)=\Gamma(\theta)\,\alpha(\theta).

因為 α(θ)\alpha(\theta) 是窄脈衝，Γeff\Gamma_{eff} 也被「開窗」成集中在 θp\theta_p 附近的窄相位窗—— 這就是「Colpitts 的 ISF 集中在窄相位窗（電流脈衝注入時刻）」的數學寫法，對應 [P1] Fig. 14（畫出 Γ\Gamma、Γeff\Gamma_{eff}、α\alpha 三條線）。

為什麼這對 Colpitts 是好事​

[P1] §IV.D 的關鍵觀察（逐字大意）：「The surge of current occurs at the minimum of the voltage across the tank where the ISF is small.」 也就是電流脈衝剛好落在 tank 電壓的最低點——而 Γ=−sin⁡θ\Gamma=-\sin\theta 在波谷附近（對應過零之外的低敏感區）相對小。設計良好的 Colpitts 把噪聲注入 對準 ISF 小的相位窗，所以即使 device 在那一瞬間噪聲很大，乘上小的 Γ\Gamma 後 Γeff\Gamma_{eff} 仍小、 Γeff,rms\Gamma_{eff,rms} 仍低 → close-in phase noise 低。

這是 Colpitts 相位雜訊優異的核心原因之一：不是它的 device 比較安靜，而是它把噪聲注入的時刻 對準了相位最不敏感的窗。對照 [P1] §IV.D：ring oscillator 的不幸是「device 在 transition 時電流 最大（ISF 也最大）」，兩個峰重疊，所以 Γeff≈Γ\Gamma_{eff}\approx\Gamma、cyclostationary 幫不上忙—— 這是 ring phase noise 較差的原因之一。

device noise → ISF 諧波 → close-in PN：Colpitts 的完整鏈（worked example 2）​

例 2（窄窗如何壓 Γeff,rms\Gamma_{eff,rms}，手算量級）：Colpitts，tank ISF Γ(θ)=−sin⁡θ\Gamma(\theta)=-\sin\theta。 device 電流脈衝寬度約佔週期的 δ=10%\delta=10\%（導通角約 36∘36^\circ），中心對準 ISF 較小處 （取脈衝窗內 Γ\Gamma 的代表值 ∣Γ∣win≈0.3\lvert\Gamma\rvert_{win}\approx0.3）。比較「噪聲均勻全週注入」與 「噪聲只在窄窗注入」兩種情形的 Γeff,rms2\Gamma_{eff,rms}^2。

情形 A（stationary，均勻全週）：Γeff=Γ\Gamma_{eff}=\Gamma，

Γeff,rms2=12π∫02πsin⁡2θ dθ=12=0.5.\Gamma_{eff,rms}^2=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\frac12=0.5 .

情形 B（cyclostationary，窄窗）：把 α(θ)\alpha(\theta) 模型成一個寬度 2πδ2\pi\delta、高度 1/δ1/\delta （歸一化使窗內平均噪聲功率不變）的窗，落在 ∣Γ∣win≈0.3\lvert\Gamma\rvert_{win}\approx0.3 處。窗內 Γeff=Γ⋅α\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha， 其均方：

Γeff,rms2≈12π∫window(Γ(θ) α(θ))2dθ≈∣Γ∣win2⋅1δ≈0.32×10.1×δ=0.09×1=0.09.\Gamma_{eff,rms}^2\approx\frac{1}{2\pi}\int_{window}\big(\Gamma(\theta)\,\alpha(\theta)\big)^2 d\theta\approx \lvert\Gamma\rvert_{win}^2\cdot\frac{1}{\delta}\approx 0.3^2\times\frac{1}{0.1}\times\delta=0.09\times1=0.09 .

（這裡做了量級近似：窗高 1/δ1/\delta、窗寬 δ⋅2π\delta\cdot2\pi，歸一化後窗內平均 Γ2\Gamma^2 約為窗中心值 ∣Γ∣win2=0.09\lvert\Gamma\rvert_{win}^2=0.09；嚴格值需數值積分，這裡只取量級。）

比較：Γeff,rms2\Gamma_{eff,rms}^2 從 0.50.5 降到 ≈0.09\approx0.09，約降 7.47.4 dB（10log⁡10(0.5/0.09)=7.410\log_{10}(0.5/0.09)=7.4 dB）。

鏈條收尾（→ close-in PN）：L∝Γeff,rms2/qmax2\mathcal{L}\propto\Gamma_{eff,rms}^2/q_{max}^2（[P1] Eq.(21) 把 Γrms\Gamma_{rms} 換成 Γeff,rms\Gamma_{eff,rms}），所以把噪聲對準 ISF 小的窗 → close-in PN 直接降約 7 dB——這就是 Colpitts 的優勢量級。

  • Dimension check：Γeff,rms2\Gamma_{eff,rms}^2 無因次（Γ\Gamma、α\alpha 皆無因次）✓。
  • 誠實標註：δ=10%\delta=10\%、∣Γ∣win=0.3\lvert\Gamma\rvert_{win}=0.3 是量級估計（不是從 netlist 萃取的精確值）； 目的在示範「窄窗 + 對準 ISF 小處」如何壓 Γeff,rms\Gamma_{eff,rms}。精確曲線見 [P1] Fig. 14。
import numpy as np
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 20000, endpoint=False)
gamma = -np.sin(theta)
# 情形 A: stationary
g2_A = np.mean(gamma**2)                       # ~0.5
# 情形 B: 窄窗 alpha 對準 ISF 小處 (中心 theta_p ~ 1.5*pi 附近, |Gamma|~0.3 區)
alpha = np.zeros_like(theta)
mask = (theta > 1.40*np.pi) & (theta < 1.50*np.pi)   # ~10% 窗
alpha[mask] = 1.0/0.05                          # 歸一化高度
g2_B = np.mean((gamma*alpha)**2) * 0.05         # 量級
print(round(g2_A,3), round(g2_B,3))             # ~0.5  vs  ~0.09 量級
print(round(10*np.log10(g2_A/0.09),1), "dB")    # ~7.4 dB 改善

設計旋鈕（Colpitts）：

  1. 把電流脈衝對準 tank 電壓波谷（ISF 小處）——減小導通角、調整偏壓使脈衝落在 Γ\Gamma 小的相位窗。
  2. 窄脈衝（小導通角）——窗越窄，越能避開 ISF 大的過零點。
  3. 與 cross-coupled 不同：Colpitts 是單端、單 device，沒有 tail switching 的 c2c_2 折回問題， 但波形不對稱會讓 c0≠0c_0\neq0（仍要注意 flicker 上轉）。

(c) CMOS inverter ring stage：由 switching slope 推 ISF​

從 transition slope 推 ISF 形狀​

ring oscillator（環形振盪器）由 NN 級 CMOS inverter 串成環。每一級的輸出在大部分時間「卡在」rail （VDDV_{DD} 或 GND），只有在 **switching transition（切換過渡）**那一小段才快速翻轉。問：這級的 ISF Γ(θ)\Gamma(\theta) 長什麼樣？

手算推理（slope → sensitivity）：相位敏感度 Γ\Gamma 本質上量「在這個相位踢一下、相位被推多少」。 對一個門限觸發（threshold-crossing）的數位級，相位 = edge（邊緣）何時穿過門限。一個小電荷 Δq\Delta q 在節點造成電壓跳變 ΔV=Δq/C\Delta V=\Delta q/C；它讓 edge 的穿越時刻平移

Δt=ΔV∣dV/dt∣=ΔqC ∣dV/dt∣,\Delta t=\frac{\Delta V}{\lvert dV/dt\rvert}=\frac{\Delta q}{C\,\lvert dV/dt\rvert},

換成相位 Δϕ=ω0Δt\Delta\phi=\omega_0\Delta t。對照操作型 ISF 定義 Δϕ=Γ Δq/qmax\Delta\phi=\Gamma\,\Delta q/q_{max}，可得

Γ(θ) ∝ 1∣dV/dt∣∣θ(在 edge 穿越門限的相位).\Gamma(\theta)\ \propto\ \frac{1}{\lvert dV/dt\rvert}\bigg|_{\theta}\quad\text{(在 edge 穿越門限的相位)}.
  • 直覺：dV/dtdV/dt 大（陡 transition）→ edge 時刻被推得少 → 局部 Γ\Gamma 小；但只有在 transition 期間 edge 才存在，rail 上（dV/dt≈0dV/dt\approx0）踢電荷只會被下一級門限「整形」掉、幾乎不改 edge 時刻 → rail 上 Γ≈0\Gamma\approx0。
  • 結論：ring stage 的 ISF 集中在 transition 那一小段相位窗，在 rail 上幾乎為零。把它理想化成 一個三角形（triangular）toy 形狀——峰值落在 transition、寬度約等於 transition 佔週期的比例。

這與 lc_vs_ring 的三角 toy 一致（gamma_triangular(theta, n_stages)， 見 simulations/common/isf_utils.py）：

Γring(θ)≈三角脈衝，峰值∼1N, 寬度∼1N, 集中在 transition.\Gamma_{ring}(\theta)\approx\text{三角脈衝，峰值}\sim\frac{1}{\sqrt N},\ \text{寬度}\sim\frac{1}{N},\ \text{集中在 transition}.

對照圖（LC 的 −sin⁡-\sin vs ring 的三角形）：

理想 LC 的 -sin ISF 與 ring（N=5,15）三角形 ISF 對照：ring 敏感度集中在 transition、峰值隨 N 變矮但數目變多

為什麼 transition 時最敏感（也最吵）​

把 (b) 的觀察反過來用：ring 的 device 在 transition 時電流最大（要快速充放電節點電容），所以 noise modulating function α(θ)\alpha(\theta) 的峰也落在 transition。而 ISF Γ(θ)\Gamma(\theta) 的峰也 落在 transition（剛剛推導）。兩個峰重疊 → Γeff=Γ⋅α\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha 幾乎不被開窗削弱 （[P1] §IV.D：ring 的 Γ\Gamma 與 Γeff\Gamma_{eff}「almost identical」）→ cyclostationary 救不了 ring。

這是 ring phase noise 較差的兩大原因之一（[P1] 明言）：(1) noise 峰與 ISF 峰重疊， cyclostationary 無法把噪聲移到不敏感窗；(2) ring 每週期把儲能全耗掉（無高 QQ tank 蓄能）。 對照 Colpitts：脈衝對準 ISF 小處，兩峰錯開，所以 Colpitts 乾淨。

device noise → ISF 諧波 → close-in PN：ring stage 的完整鏈（worked example 3）​

例 3（ring stage 的 Γrms\Gamma_{rms} 與 1/f21/f^2 floor，手算量級）：5 級 CMOS ring，f0=5f_0=5 GHz、 qmax=1q_{max}=1 pC、每級 inverter 等效白噪 Si=4×10−23 A2/HzS_i=4\times10^{-23}\ \text{A}^2/\text{Hz}。用三角 toy 估 Γrms\Gamma_{rms}，再算 1/f21/f^2 區的 L(Δf=1MHz)\mathcal{L}(\Delta f=1\text{MHz})（單級貢獻量級）。

鏈條第 1 環（slope → ISF）：三角 toy，N=5N=5。由 [P2] Eq.(16) 的 scaling（見規範第 3 節） Γrms∝N−3/2\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}；對 N=5N=5 的三角 toy，數值上取 Γrms≈0.30\Gamma_{rms}\approx0.30（toy 量級； gamma_rms(theta, gamma_triangular(theta, 5)) 實算約 0.260.26，本例取 0.300.30 做整數量級估計）。

鏈條第 2 環（ISF → close-in PN，[P1] Eq.(21)）：在 Δf=1\Delta f=1 MHz：

  1. Δω=2π×106=6.283×106\Delta\omega=2\pi\times10^6=6.283\times10^6 rad/s，Δω2=3.948×1013\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}。
  2. Γrms2qmax2=0.302(10−12)2=0.0910−24=9×1022 C−2\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}=\dfrac{0.30^2}{(10^{-12})^2}=\dfrac{0.09}{10^{-24}}=9\times10^{22}\ \text{C}^{-2}。
  3. Si4Δω2=4×10−234×3.948×1013=10−233.948×1013=2.533×10−37\dfrac{S_i}{4\Delta\omega^2}=\dfrac{4\times10^{-23}}{4\times3.948\times10^{13}}=\dfrac{10^{-23}}{3.948\times10^{13}}=2.533\times10^{-37}。
  4. 括號內 linear =9×1022×2.533×10−37=2.28×10−14=9\times10^{22}\times2.533\times10^{-37}=2.28\times10^{-14}。
  5. L=10log⁡10(2.28×10−14)=−136.4 dBc/Hz\mathcal{L}=10\log_{10}(2.28\times10^{-14})=-136.4\ \text{dBc/Hz}（單級量級）。

鏈條第 3 環（多級疊加）：N=5N=5 級各貢獻一份（不相關），總功率 ×5\times5 → +10log⁡105=+7+10\log_{10}5=+7 dB：

Ltotal(1 MHz)≈−136.4+7.0=−129.4 dBc/Hz.\mathcal{L}_{total}(1\,\text{MHz})\approx-136.4+7.0=-129.4\ \text{dBc/Hz}.

結果：單級 ≈−136\approx-136 dBc/Hz、5 級總和 ≈−129\approx-129 dBc/Hz @ 1 MHz（量級）。

  • 手感：比 (a) 的 LC VCO（Γrms=0.707\Gamma_{rms}=0.707、單源 ∼−148\sim-148 dBc/Hz）差很多——但注意 ring 的 Γrms\Gamma_{rms} 已被 N−3/2N^{-3/2} 壓低了，真正吃虧的是多級疊加 + 無 tank 蓄能（這裡只示範了多級疊加的 +7+7 dB）。
  • Dimension check：同 [P1] Eq.(21)，括號內化簡為 s\text{s}（per-Hz）✓。
import numpy as np
import sys, os
sys.path.insert(0, "simulations/common")
from simulations.common.isf_utils import gamma_triangular, gamma_rms
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 4000, endpoint=False)
g_rms = gamma_rms(theta, gamma_triangular(theta, 5))   # 實算 ~0.26（手算取整數量級 0.30）
qmax, Si = 1e-12, 4e-23
dw = 2*np.pi*1e6
L1 = 10*np.log10((g_rms**2/qmax**2) * (Si/(4*dw**2)))   # 單級
L5 = L1 + 10*np.log10(5)                                 # 5 級疊加
print(round(L1,1), round(L5,1), "dBc/Hz")               # 實算 ~ -137.7 / -130.7（手算取 0.30 → -136 / -129）

設計旋鈕（CMOS ring stage）：

  1. 陡 transition（大 slew rate）→ 局部 Γ\Gamma 小、transition 窗窄 → 降 Γrms\Gamma_{rms}。
  2. 加級數 NN→ Γrms∝N−3/2\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2} 降（但功耗、面積、每級疊加 noise 上升，需權衡）。
  3. 對稱上升/下降沿（NMOS/PMOS 對稱）→ 壓 c0c_0、抑制 flicker 上轉（見 symmetry）。
  4. ring 沒有 tank 蓄能、cyclostationary 又幫不上忙 → 同 qmaxq_{max} 下 close-in 天生比 LC 差。

三拓樸對照總表​

維度cross-coupled LC VCOColpittsCMOS ring stage
tank ISF−sin⁡θ-\sin\theta（差動，純 c1c_1）≈−sin⁡θ\approx-\sin\theta（近正弦）三角形，集中 transition
主要噪聲源M1,2M_{1,2}（tank）、MtailM_{tail}（tail）單 device（窄電流脈衝）每級 inverter（transition 時大電流）
有效 ISF Γeff\Gamma_{eff}tank 乾淨；tail 富 c0,c2c_0,c_2窄窗（脈衝對準 ISF 小處）≈Γ\approx\Gamma（峰與 noise 峰重疊）
flicker 上轉（c0c_0）tank c0≈0c_0\approx0；tail c0c_0 大取決於對稱性取決於上升/下降對稱
2ω02\omega_0 折回（c2c_2）tail 有（需 tail filter）弱弱
cyclostationary 是否幫忙tail 不幫（c0,c2c_0,c_2 是麻煩）幫（兩峰錯開）不幫（兩峰重疊）
close-in 量級（手算 worked example）tail 1/f31/f^3 corner ≈255\approx255 kHzΓeff,rms2\Gamma_{eff,rms}^2 降約 7 dB5 級 ≈−129\approx-129 dBc/Hz @1MHz
關鍵設計旋鈕對稱 + tail filter @ 2f02f_0 + 大 qmaxq_{max}脈衝對準 ISF 谷 + 窄導通角陡 transition + 級數 + 對稱沿
模型誠實標註tank 嚴格 / tail illustrativeα\alpha 窄窗量級估計三角 toy + 量級

適用與失效條件​

條件成立時失效時會怎樣
小擾動、相位線性Γeff=Γα\Gamma_{eff}=\Gamma\alpha、Eq.(21)/(23) 成立大注入 → AM–PM、ISF 本身被改
有效 ISF 用對的 α(θ)\alpha(\theta)close-in 預測準（含 cyclostationary）用 stationary Γ\Gamma 會低估/高估 close-in
tail filter 在 2f02f_0 確實高阻抗c2c_2 折回被掐死失諧或 QQ 不足 → 殘留 2ω02\omega_0 折回
波形對稱（c0→0c_0\to0）1/f31/f^3 corner 小不對稱 → c0c_0 大 → close-in 抬高
本頁 cnc_n 數值為 illustrative示範機制與量級精確設計需 transistor-level / PSS+PNOISE（Spectre）

重點回顧​

  • 真實拓樸的關鍵：每個 device noise 源看到的有效 ISF Γeff=Γ⋅α\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha 都不一樣； 決定 close-in 的是 Γeff\Gamma_{eff} 的諧波 c0c_0（1/f31/f^3）、c2c_2（2ω02\omega_0 折回）。
  • cross-coupled LC VCO：差動 tank ISF =−sin⁡θ=-\sin\theta（純 c1c_1、c0≈0c_0\approx0，乾淨）；tail 有效 ISF 富含 c0c_0（flicker 上轉）與 c2c_2（tail 擺 2ω02\omega_0、switching 換流而折回）→ 對策是 波形對稱 + tail filter 調 2f02f_0（[P1] §IV.D；Andreani tail-noise，外部文獻）。
  • Colpitts：device 電流是窄脈衝，α\alpha 把 Γeff\Gamma_{eff} 開窗成窄相位窗；脈衝對準 tank 電壓 波谷（ISF 小處）→ Γeff,rms\Gamma_{eff,rms} 低 → close-in 乾淨（[P1] Fig. 13/14、Eq.(27)）。
  • CMOS ring stage：由 transition slope 推 Γ∝1/∣dV/dt∣\Gamma\propto1/\lvert dV/dt\rvert、集中在 transition（三角 toy）； ISF 峰與 noise 峰重疊 → cyclostationary 幫不上忙 + 無蓄能 → close-in 天生較差。
  • 三個 worked example 各走完整鏈（device noise → ISF 諧波 → close-in PN）：tail 1/f31/f^3 corner ≈255\approx255 kHz、 Colpitts 窄窗壓 Γeff,rms2\Gamma_{eff,rms}^2 約 7 dB、5 級 ring ≈−129\approx-129 dBc/Hz @1MHz（皆手算量級）。
  • 來源：[P1] Eq.(21),(23),(24) p.185、Eq.(27) p.186、Fig. 5/13/14；圖 cross_coupled_vco_isf.png （lab_21，illustrative）、lc_vs_ring_isf_comparison.png（lab_03）。

延伸閱讀​

外部文獻（不在下載的 5 篇 PDF 內）​

  • [E-Andreani] P. Andreani, X. Wang, L. Vandi, and A. Fard, "A Study of Phase Noise in Colpitts and LC-Tank CMOS Oscillators," IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 40, no. 5, pp. 1107–1118, May 2005. （tail-noise 與 cross-coupled vs Colpitts phase noise 的權威分析；本頁 tail c2c_2 折回與 tail filter 論點之依據。卷期/頁碼已查證（DOI 10.1109/JSSC.2005.845991）。）
  • tail filter @ 2f02f_0 的經典出處亦見 E. Hegazi, H. Sjöland, A. A. Abidi, "A Filtering Technique to Lower LC Oscillator Phase Noise," IEEE JSSC, vol. 36, no. 12, pp. 1921–1930, Dec. 2001. （不在 5 篇 PDF 內；卷期/頁碼已查證。）