從 impulse 到 phase shift 的推導

先備：oscillator_phase（limit cycle 與相位／振幅幾何）、lti_vs_ltv（為何振盪器對 noise 是 LTV） ｜ 接下來：isf_definition（嚴謹 ISF 定義與多節點）→ convolution_derivation（對任意 noise 做卷積疊加）

這頁回答一個非常具體的問題：一個 current impulse（電流脈衝）注進振盪器的某個節點， 會讓振盪器的相位偏移多少？ 答案就是 ISF 理論的操作型定義：

$$\Delta\phi=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q$$

我們不直接背這條，而是從電容的 $q=Cv$ 一步步推出來，每一步都說明用了什麼物理、 什麼近似、單位是什麼、怎麼做 dimension check。

物理直覺（先講結論）：noise 電流先變成節點上的一坨電荷 $\Delta q$；這坨電荷 把振盪器的瞬時狀態推離原本軌跡一點點；這「一點點」有多少轉成相位、多少轉成振幅， 取決於你在波形的哪個相位踢它——這個「轉換比例」就是 ISF $\Gamma$。在波形斜率大的 地方踢，相位被推得多；在波峰踢，幾乎只改振幅。

第 1 步：current impulse 變成 charge

電流對時間積分就是電荷。一個很窄、很短的電流脈衝 $i(t)$ 注入節點，沉積的總電荷是

$$\Delta q=\int i(t)\,dt .$$

• 用到的物理：電荷守恆／電流定義 $i=dq/dt$。
• 單位檢查：$[\text{A}]\cdot[\text{s}]=[\text{C}]$ ✓（安培乘秒等於庫侖）。
• 為何合理：脈衝寬度遠小於週期 $T$ 時，可視為「瞬間」把 $\Delta q$ 倒進節點。

第 2 步：charge 變成 voltage 步階

節點上有總電容 $C_{node}$。瞬間多出的電荷會讓節點電壓瞬間跳一步（[P1] Eq.(9), p.181）：

$$\Delta V=\frac{\Delta q}{C_{node}} .$$

• 用到的物理：電容關係 $q=Cv$，對小變化取微分 $\Delta q=C\,\Delta V$。
• 單位檢查：$[\text{C}]/[\text{F}]=[\text{C}]/[\text{C/V}]=[\text{V}]$ ✓。
• 關鍵觀察：在並聯 LC 中，電流脈衝只改電容電壓（瞬間），不改電感電流 （電感電流不能瞬變）。所以 state-space 裡這是一個沿電壓軸的水平跳變。

第 3 步：voltage 步階推離 limit cycle，但只有「切向分量」變成相位

把振盪器狀態畫在 2-D 平面（例如橫軸=電容電壓 $v$、縱軸=正比於電感電流的 $w$）。穩態時 狀態沿著 limit cycle（極限環）轉圈。第 2 步的電壓跳變把狀態點推到旁邊：

• 推離環的徑向分量 → 改變振幅 $A$。但振盪器有 amplitude restoring（振幅恢復）機制， 這部分會被慢慢拉回，不會永久殘留。
• 沿著環的切向分量 → 改變相位 $\phi$。相位沒有恢復力，這部分永久留著。

同一個 $\Delta V$ 在不同相位 $\tau$ 踢，切向／徑向的分配比例不同。把「$\Delta V$ 轉成 $\Delta\phi$ 的比例」整理成一個只跟注入相位有關的週期函數，就是 ISF：

$$\Delta\phi=\underbrace{\big(\text{相位轉換比例}\big)}_{\text{只跟}\omega_0\tau\text{��有關}}\times\Delta V .$$

下圖把這個分解畫在 state plane 上。同一坨電荷造成的水平 $\Delta V=\Delta q/C$ （電流只踢電容電壓軸，電感電流不能瞬變），被虛線分解成沿環的切向分量（綠，永久相位） 與離環的徑向分量（紅，會衰減）。在 zero-crossing 附近注入時水平踢幾乎全落在切向（相位被推得多）； 在 peak 附近注入時幾乎全落在徑向（只改振幅）。兩格左下角標出 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$ 的值—— 切向佔比恰好就是 $\Gamma(\theta)$，這讓理想 LC 的 $\Gamma=-\sin\theta$ 變得幾何上不可避免 （$\Gamma=-\sin\theta$ 的代數推導見 isf_definition）。

• 用到的數學：把擾動向量投影到 limit cycle 的切線方向（phase direction）。
• 為何只留切向：見 phase_vs_amplitude_noise 與 oscillator_phase——振幅被 restoring 拉回，相位不會。

第 4 步：用 $q_{max}$ normalize，得到無因次的 ISF

把第 1～3 步串起來：$\Delta\phi\propto\Delta V=\Delta q/C_{node}$。Hajimiri–Lee 選擇用 節點的最大電荷擺幅 $q_{max}=C_{node}V_{max}$ 來 normalize，把那個「相位轉換比例」 寫成無因次函數 $\Gamma(\omega_0\tau)$（[P1] Eq.(10)–(11), p.182）：

$$\boxed{\ \Delta\phi=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,\Delta q\ }$$

• 為什麼要 $q_{max}$ normalization：讓 $\Gamma$ 變成無因次、與振幅大小無關的「形狀」， 只描述「波形哪裡敏感」。實際的相位偏移大小由 $\Delta q/q_{max}$（注入電荷相對訊號電荷的 比例）決定。
• $\Gamma$ 為何無因次：$\Delta\phi$ 是 rad（無因次），$\Delta q/q_{max}$ 也是無因次， 所以 $\Gamma$ 必須無因次。Dimension check：$[\text{rad}]=\Gamma\cdot[\text{C}]/[\text{C}]$ $\Rightarrow\Gamma$ 無因次 ✓。
• 小訊號假設：第 3 步把投影當成線性，要求 $\Delta q\ll q_{max}$（踢一下不能把振盪器踢翻）。 [P1] Fig. 6 用實際 Colpitts 與 5 級 ring 證實了「$\Delta\phi$ 與 $\Delta q$ 在小電荷時成正比」。

對應的脈衝響應（為下一章鋪路）

因為相位步階永久保持，把它寫成脈衝響應就帶一個 unit step $u(t-\tau)$（[P1] Eq.(10)）：

$$h_\phi(t,\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau).$$

注意它依賴絕對注入時刻 $\tau$（透過 $\Gamma(\omega_0\tau)$），不是只依賴 $t-\tau$ ——這正是 **LTV（線性時變）**的特徵，下一章 convolution_derivation 會用它對任意 noise 電流做疊加。ISF 的完整定義與多節點討論見 isf_definition。

數值例子（建立手感）

例 A：$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$\Gamma=0.5$、$f_0=5$ GHz。

相位步階：

$$\Delta\phi=\frac{\Gamma\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{0.5\times(1\times10^{-15}\,\text{C})}{1\times10^{-12}\,\text{C}}=5\times10^{-4}\ \text{rad}.$$

換成度：$\Delta\phi=5\times10^{-4}\times\dfrac{180}{\pi}\approx0.0286^\circ$。

換成 timing error（用 $\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)$）：

$$\Delta t=\frac{5\times10^{-4}\ \text{rad}}{2\pi\times5\times10^{9}\ \text{Hz}}=\frac{5\times10^{-4}}{3.1416\times10^{10}}\ \text{s}\approx1.59\times10^{-14}\ \text{s}=15.9\ \text{fs}.$$

• Dimension check：$[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓（注意 $2\pi f_0$ 的單位是 rad/s）。
• 手感：在 5 GHz（週期 200 ps）下，一顆 1 fC 的電荷（約 6240 個電子）在最敏感相位 也只造成 ~16 fs 的時間誤差。單顆很小——但 noise 是持續踢的，會積分累積（下一章）。

可用內建函式快速驗證：

from simulations.common.isf_utils import impulse_to_phase_step
from simulations.common.noise_utils import phase_to_time_error

dphi = impulse_to_phase_step(delta_q=1e-15, gamma_value=0.5, qmax=1e-12)
dt   = phase_to_time_error(dphi, f0=5e9)
print(dphi, "rad", dt*1e15, "fs")   # -> 0.0005 rad  15.92 fs

（完整 script：simulations/common/isf_utils.py、simulations/common/noise_utils.py。）

數值法「眼見為憑」：直接量 $\Gamma$

lab_04 用模擬在不同相位注入小電荷、 量持續相位偏移，反推出 ISF，結果與理想 LC 的 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$ 幾乎完全吻合 （最大誤差約 0.001）：

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
小訊號 $\Delta q\ll q_{max}$	$\Delta\phi$ 線性正比 $\Delta q$	大注入 → 非線性、AM–PM、ISF 本身被改變
振幅擾動會衰減	只需追蹤相位	高 AM–PM 或無穩定 limit cycle 時不成立
脈衝遠窄於週期	可視為瞬間注入	寬脈衝要用 Eq.(11) 積分形式
已知正確的 $\Gamma$	預測準確	$\Gamma$ 要靠 transient/adjoint 模擬萃取（見 effective_isf）

重點回顧

• noise 電流 → 電荷 $\Delta q$ → 電壓跳變 $\Delta V=\Delta q/C$ → 經 ISF 投影成相位 $\Delta\phi$。
• $\Delta\phi=\Gamma(\omega_0\tau)\,\Delta q/q_{max}$；$\Gamma$ 無因次、$2\pi$ 週期、與注入相位有關。
• $q_{max}$ 把 $\Gamma$ normalize 成「形狀」；相位偏移大小由 $\Delta q/q_{max}$ 決定。
• 一顆 1 fC 在 5 GHz、$\Gamma=0.5$、$q_{max}=1$ pC 下 → 16 fs。
• 來源：[P1] Eq.(9) p.181、Eqs.(10),(11) p.182；驗證圖見 lab_04。

延伸閱讀

• 上一步的幾何：oscillator_phase
• 嚴謹 ISF 定義與多節點：isf_definition
• 對任意 noise 疊加：convolution_derivation
• 數值手感總整理：numerical_feeling