超越 Lorentzian：1/f³ 線形與非平穩性——儀器到底量什麼

先備：lorentzian_linewidth（白噪 → Lorentzian 全套與「假發散」）、flicker_noise_upconversion（$1/f^3$ 裙邊從哪來）、stochastic_noise_basics（平穩性、Wiener–Khinchin）｜接下來：allan_variance（時域刻畫 flicker FM 的正規工具）、measurement_and_spurs（儀器實作面）

lorentzian_linewidth 用一條乾淨的邏輯鏈解開了 $1/f^2$ 在 $\Delta\omega\to0$ 的假發散：相位 random walk（$\operatorname{Var}[\Delta\phi]=2D|t|$） → 高斯特徵函數 → 指數自相關 → Lorentzian 線形。但那條鏈的第一環藏了一個假設： 驅動相位的雜訊是白的。真實振盪器最靠近載波的裙邊往往是 $1/f^3$ （flicker FM，見 flicker_noise_upconversion）—— 那麼近載波的線形還是 Lorentzian 嗎？

這頁回答兩個問題：

1. Part A（線形）：flicker FM 之下 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(t)]$ 不再線性成長，而是 $t^2\times\log$ 成長（含一個低頻截止 $f_l$ 的明確角色）；特徵函數那一步因此給出 近高斯（near-Gaussian）線核，不是 Lorentzian。
2. Part B（非平穩性）：自由振盪的 $\phi(t)$ 是 random walk，嚴格來說 $S_\phi(f)$ 不存在（不是平穩過程、沒有平穩 PSD）；儀器真正量的是 $V(t)=\cos(\omega_0t+\phi)$ 的頻譜——它是平穩的（[E2] Demir 觀點）。本站所有 $S_\phi$ 公式是 「有限觀察時間、offset $\gg$ 線寬」下的條件譜，兩者在該範圍內完全一致。

物理直覺（先講結論）：線形由「相位失憶的速度曲線」決定。白噪之下相位方差線性累積 （$\propto t$），失憶包絡是指數 $e^{-D|t|}$，其傅立葉變換是 Lorentzian。flicker FM 之下， 低頻雜訊讓頻率本身長時間偏在一邊，相位方差以近乎 $t^2$（差一個 log）累積——像「帶漂移的 漫步」——失憶包絡變成近高斯 $e^{-(\text{const})t^2\log}$，而高斯的傅立葉變換還是高斯： 線核變成鐘形的高斯，肩膀比 Lorentzian 陡得多。同一個 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})$ 規格， 白噪版線寬 50 Hz、flicker 版線寬 3.1 kHz——一個 offset 上的 dBc/Hz 數字完全不決定線寬， 雜訊「顏色」才決定。這正是 lab_29 數值演示的主秀。

動手試：lorentzian_linewidth 頁面內嵌了一個 互動 explorer——同一個 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})$ 規格滑桿、white FM／flicker FM 切換、 外加頻譜儀 RBW 滑桿，可以親手看到本頁「同一規格、線寬差百倍」的結論，以及 RBW 太寬時 轉平／近高斯肩部怎麼被抹平。

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Part A：flicker FM 的 $1/f^3$ 線形

第 0 步：Lorentzian 的隱藏假設，與單邊/雙邊記帳（factor-of-2 紀律）

lorentzian_linewidth 的推導鏈是：

$$\operatorname{Var}[\Delta\phi(t)]=2D|t| \;\Rightarrow\; \langle\cos\Delta\phi\rangle=e^{-\operatorname{Var}/2}=e^{-D|\tau|} \;\Rightarrow\; S_x(\Delta\omega)\propto\frac{D}{D^2+\Delta\omega^2},\quad \Delta f_{3\mathrm{dB}}=\frac{D}{\pi}.$$

第一環「方差線性成長」只對白色頻率雜訊（white FM：$\dot\phi$ 的 PSD 平坦）成立。 本頁把這一環換成 flicker FM，看整條鏈怎麼變。

先把記帳說死（本站 factor-of-2 紀律）。設白噪 FM 的單邊 $\dot\phi$ PSD 為 $W_0$（單位 $\text{rad}^2/\text{s}^2/\text{Hz}=\text{rad}^2/\text{s}$）。第 1 步會嚴格證明 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(t)]=\tfrac{W_0}{2}|t|$，所以 $\operatorname{Var}=2D|t|$ 對應 $W_0=4D$，而相位譜（積分器 $1/\Delta\omega^2$）為：

$$S_\phi^{\text{單邊}}(f)=\frac{4D}{(2\pi f)^2},\qquad S_\phi^{\text{雙邊}}(f)=\frac{2D}{(2\pi f)^2},\qquad \mathcal{L}(\Delta f)\stackrel{\text{時域}/2}{=}\frac{S_\phi^{\text{單邊}}}{2}=\frac{2D}{\Delta\omega^2}.$$

• 哪個慣例：文獻寫「Wiener 相位的 $S_\phi=2D/\Delta\omega^2$」時，常是雙邊記帳 （或等價地把因子 2 吸進 $D$ 的定義——即 diffusion_dictionary 的慣例甲 $D_{\text{甲}}=2D$）。本站規範 11.2（v5）與本頁一致：單邊 $S_\phi=4D/\Delta\omega^2$、 $\operatorname{Var}=2D|t|$。lab_29 用數值釘死：對 $\operatorname{Var}=2D|t|$ 合成的相位，Welch（單邊）量到 $S_\phi(10\,\text{kHz})\div\big(4D/\Delta\omega^2\big)=1.001$——是 4 不是 2。 單雙邊差的這個 2 倍不影響線形與 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=D/\pi$（線寬由包絡衰減率決定， 與譜的記帳無關）。
• 與 SSB $/4$ 慣例的關係：lab_29 直接量 $V(t)$ 頻譜的單邊裙帶再除以載波功率，得到的就是 時域 $/2$ 慣例的 $\mathcal{L}=S_\phi/2$（10 kHz 處量測與理論差 $+0.12$ dB）； [P1] Eq.(21), p.185 的 SSB $/4$ 記帳會把同一物理再低 3 dB 引用——即本站 white_noise_to_phase_noise 講過的著名 factor-of-2 記帳事，本頁不重複爭論、只標明每個數字用哪個慣例。

第 1 步：相位增量方差的一般公式（一切的引擎）

要處理任意顏色的 FM 雜訊，需要一條「從 $S_\phi(f)$ 直接算 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]$」 的通式。逐步推：

(i) 增量是 $\dot\phi$ 的窗積分。 定義相位增量 $\Delta\phi(\tau)\equiv\phi(t_0+\tau)-\phi(t_0)=\displaystyle\int_{t_0}^{t_0+\tau}\dot\phi(\sigma)\,d\sigma$。 只要 $\dot\phi$ 是平穩零均值過程（白噪或有低頻截止的 flicker 都是），$\Delta\phi$ 的統計與 $t_0$ 無關——這就是「增量平穩」，Part B 會再回來用它。

(ii) 窗積分是一個 LTI 濾波器。 對頻率 $f$ 的成分，長度 $\tau$ 的矩形積分窗的響應是

$$H_\tau(f)=\int_0^\tau e^{-j2\pi f\sigma}\,d\sigma=\frac{1-e^{-j2\pi f\tau}}{j2\pi f} \quad\Longrightarrow\quad \lvert H_\tau(f)\rvert^2=\frac{2-2\cos(2\pi f\tau)}{(2\pi f)^2}=\frac{\sin^2(\pi f\tau)}{(\pi f)^2}.$$

• 單位檢查：$[H_\tau]=\text{s}$（對時間積分），$[\lvert H\rvert^2]=\text{s}^2$ ✓。

(iii) 平穩過程過 LTI 濾波器 → 輸出方差 = PSD × $\lvert H\rvert^2$ 積分。

$$\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=\int_0^\infty S_{\dot\phi}^{\text{單邊}}(f)\,\lvert H_\tau(f)\rvert^2\,df .$$

• 單位檢查：$(\text{rad}^2/\text{s})\cdot\text{s}^2\cdot\text{Hz}=\text{rad}^2$ ✓。

(iv) 換成 $S_\phi$ 寫法。 用 $S_{\dot\phi}(f)=(2\pi f)^2S_\phi(f)$（微分器）代入， $(2\pi f)^2\cdot\frac{\sin^2(\pi f\tau)}{(\pi f)^2}=4\sin^2(\pi f\tau)=2\big(1-\cos 2\pi f\tau\big)$：

$$\boxed{\ \operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=2\int_0^\infty S_\phi^{\text{單邊}}(f)\,\big(1-\cos 2\pi f\tau\big)\,df\ }$$

• 物理意義：核 $\big(1-\cos2\pi f\tau\big)$ 是「增量高通」——比 $1/\tau$ 慢的成分 （$f\tau\ll1$）被壓成 $2\pi^2f^2\tau^2$（慢漂移在短窗裡看不出來），比 $1/\tau$ 快的成分平均貢獻 $2S_\phi$。正因為有這個高通，即使 $\phi$ 本身發散，增量方差仍可有限（Part B 的伏筆）。
• 白噪自我檢查（收回 $2D|t|$）：代 $S_\phi=4D/(2\pi f)^2$，用標準積分 $\int_0^\infty\frac{1-\cos u}{u^2}\,du=\frac{\pi}{2}$（變數代換 $u=2\pi f\tau$，見 math_identities）：

$$\operatorname{Var}=2\int_0^\infty\frac{4D}{(2\pi f)^2}\big(1-\cos2\pi f\tau\big)\,df =\frac{8D}{(2\pi)^2}\cdot 2\pi\tau\int_0^\infty\frac{1-\cos u}{u^2}\,du =\frac{8D}{4\pi^2}\cdot2\pi\tau\cdot\frac{\pi}{2}=2D\tau\ \checkmark$$

這同時再次驗證第 0 步的記帳：單邊 $4D/\Delta\omega^2$ 才會收回 $2D|t|$。

• 與 [P2] 的連結：這條通式就是 ring 論文累積 jitter 律的引擎——[P2] Eq.(8), p.792 的 $\sigma_{\Delta\phi}=\kappa\sqrt{\Delta t}$ 正是「白噪 FM → 方差線性」這個特例（$\kappa$ 由 [P2] Eq.(12), p.793 給出，不含 $\omega_0$）。

第 2 步：flicker FM 是什麼——$S_\phi=b_{-3}/f^3$，以及它在 ISF 理論的出處

定義（頻域）：flicker FM 指頻率漲落 $\dot\phi$ 帶 $1/f$ 譜：

$$S_{\dot\phi}^{\text{單邊}}(f)=\frac{k_f}{f} \quad\Longleftrightarrow\quad S_\phi^{\text{單邊}}(f)=\frac{S_{\dot\phi}}{(2\pi f)^2}=\frac{b_{-3}}{f^3}, \qquad b_{-3}\equiv\frac{k_f}{4\pi^2}.$$

• 單位：$[k_f]=\text{rad}^2/\text{s}^2$（$S_{\dot\phi}$ 是 $\text{rad}^2/\text{s}$、乘回 $f$）； $[b_{-3}]=\text{rad}^2\cdot\text{Hz}^2$（$S_\phi$ 是 $\text{rad}^2/\text{Hz}$、乘 $f^3$）✓。 用相對頻率 $y=\dot\phi/\omega_0$ 的話 $S_y=h_{-1}/f$、$b_{-3}=h_{-1}f_0^2$ （allan_variance 用的就是 $h_{-1}$ 記法）。
• ISF 理論的出處：$1/f^3$ 裙邊來自 device flicker 經 ISF 的 DC 項 $c_0$ 上轉—— [P1] Eq.(22)→(23), p.185（推導見 flicker_noise_upconversion）。把 [P1] Eq.(23) 的 $\mathcal{L}$ 用小角 $\mathcal{L}\approx\tfrac12S_\phi$ 反解成 $S_\phi$， 可讀出對應的係數：

$$b_{-3}=\frac{c_0^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f\ \cdot\ \omega_{1/f}}{32\,\pi^3}.$$

• 單位檢查：$\dfrac{1}{\text{C}^2}\cdot\dfrac{\text{A}^2}{\text{Hz}}\cdot\dfrac{1}{\text{s}} =\dfrac{1}{\text{A}^2\text{s}^2}\cdot\text{A}^2\text{s}\cdot\dfrac{1}{\text{s}}=\dfrac{1}{\text{s}^2}=\text{Hz}^2$ ✓ （rad 無因次）。
• 慣例註記：Eq.(23) 沿用 [P1] 的 SSB 記帳（與 Eq.(21) 同族）；上式又疊了 $\mathcal{L}\approx\tfrac12S_\phi$。這些 2 的組合屬「包裝」，不影響 $1/f^3$ 斜率與 $c_0^2/q_{max}^2$ scaling——本頁後續一律以 $b_{-3}$（可直接從量測讀出： $b_{-3}=S_\phi f^3$）為單一參數，避免把包裝爭議帶進線形推導。

第 3 步：帶低頻截止的積分——$\operatorname{Var}\propto t^2\times\log$

把 $S_\phi=b_{-3}/f^3$ 代入第 1 步通式。先看為什麼必須有低頻截止 $f_l$： 被積函數在 $f\to0$ 時

$$\frac{b_{-3}}{f^3}\big(1-\cos2\pi f\tau\big)\approx\frac{b_{-3}}{f^3}\cdot2\pi^2f^2\tau^2=\frac{2\pi^2 b_{-3}\tau^2}{f},$$

是 $1/f$——對數發散。白噪時 $(1-\cos)$ 核的 $f^2$ 壓制剛好夠用（$1/f^2\cdot f^2=$ 常數，可積）； flicker 多出一個 $1/f$，核壓不住。所以積分下限必須放一個物理的低頻截止 $f_l$：

$$\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=2\int_{f_l}^{\infty}\frac{b_{-3}}{f^3}\big(1-\cos2\pi f\tau\big)\,df .$$

$f_l$ 從哪來？三個常見來源，效果相同：(a) 觀察時間——量 $T_{obs}$ 秒就看不到比 $1/T_{obs}$ 慢的漲落（頻譜儀、我們的模擬都是這種）；(b) 物理機制——flicker 的 trap 時間常數再長也有限；(c) 系統——PLL 把載波鎖住，迴路頻寬以下的漂移被吃掉。 截止的角色是「對數弱」的：下面會看到 $f_l$ 只進到 $\ln$ 裡。

逐步算積分。 變數代換 $u=2\pi f\tau$（$f=u/2\pi\tau$、$df=du/2\pi\tau$、$1/f^3=(2\pi\tau)^3/u^3$）：

$$\operatorname{Var}=2b_{-3}\,(2\pi\tau)^2\int_{u_0}^{\infty}\frac{1-\cos u}{u^3}\,du \equiv 8\pi^2b_{-3}\tau^2\,K(u_0),\qquad u_0=2\pi f_l\tau .$$

剩下就是把 $K(x)=\displaystyle\int_x^\infty\frac{1-\cos u}{u^3}\,du$ 在 $x\ll1$ 算出來。分部積分兩次：

(i) 第一次分部（$dw=u^{-3}du\Rightarrow w=-\tfrac{1}{2u^2}$）：

$$K(x)=\Big[-\frac{1-\cos u}{2u^2}\Big]_x^\infty+\frac12\int_x^\infty\frac{\sin u}{u^2}\,du =\frac{1-\cos x}{2x^2}+\frac12\int_x^\infty\frac{\sin u}{u^2}\,du .$$

(ii) 第二次分部（$dw=u^{-2}du\Rightarrow w=-\tfrac1u$）：

$$\int_x^\infty\frac{\sin u}{u^2}\,du=\Big[-\frac{\sin u}{u}\Big]_x^\infty+\int_x^\infty\frac{\cos u}{u}\,du =\frac{\sin x}{x}-\operatorname{Ci}(x),$$

其中 $\operatorname{Ci}(x)\equiv-\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt$ 是標準餘弦積分函數，小 $x$ 展開 $\operatorname{Ci}(x)=\gamma_E+\ln x+O(x^2)$。這裡 $\gamma_E\approx0.5772$ 是 Euler–Mascheroni 常數——注意它不是 ISF 的 $\Gamma$、也不是 MOS 雜訊係數 $\gamma$， 為避免撞名一律寫 $\gamma_E$。

(iii) 合併取小 $x$ 極限（$\frac{1-\cos x}{2x^2}\to\frac14$、$\frac{\sin x}{x}\to1$）：

$$K(x)=\frac14+\frac12\big[1-\gamma_E-\ln x\big]+O(x^2)=\frac34-\frac{\gamma_E}{2}+\frac12\ln\frac1x+O(x^2).$$

(iv) 代回，得本頁 Part A 的主結果：

$$\boxed{\ \operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=4\pi^2 b_{-3}\,\tau^2\left[\ln\frac{1}{2\pi f_l\tau}+\frac32-\gamma_E\right]\ } \qquad(2\pi f_l\tau\ll1).$$

• 物理意義：主導行為是 $\tau^2$——不是白噪的 $\tau^1$。$\tau^2$ 意味「準相干的頻率偏移」： 在 $\tau$ 這個時間尺度上，比 $1/\tau$ 慢的 flicker 成分像一個暫時固定的頻率誤差 $\delta\omega$， 相位誤差 $=\delta\omega\cdot\tau$、方差 $\propto\tau^2$。$\log$ 因子則是把「有多少十倍頻的慢成分 在扮演這個角色」（從 $f_l$ 到 $\sim1/\tau$ 的每個 decade 貢獻相同）數出來。
• 單位檢查：$[4\pi^2b_{-3}\tau^2]=\text{rad}^2\text{Hz}^2\cdot\text{s}^2=\text{rad}^2$ ✓； $\ln$ 內 $f_l\tau$ 無因次 ✓。
• 截止的角色（明確講）：$f_l$ 只出現在 $\ln$ 裡——把 $f_l$ 改 10 倍，中括號只多/少 $\ln10\approx2.30$（相對典型值 $\sim10$ 是 $\pm20\%$ 量級），方差有限但永遠忘不掉截止。 對照白噪：$f_l\to0$ 完全無感。這正是 flicker「無限記憶」的數學指紋，也是 Part B 「量測值弱依賴觀察時間」的根源。
• 適用/失效：(a) 需 $2\pi f_l\tau\ll1$，否則 $O(x^2)$ 修正進場（$\tau$ 長到看得到截止時， 方差成長趨緩）；(b) 需 $\dot\phi$ 在 $f\ge f_l$ 平穩；(c) 上限 $f\to\infty$ 收斂沒問題 （核飽和、$1/f^3$ 可積），實務上高頻端會先被白噪 FM（$1/f^2$ 段）接手——本推導只管 $1/f^3$ 主導的近載波段。
• 數值驗證（lab_29）：量測增量方差 ÷ 閉式，在 $\tau=1$ ms 得 $0.957$、$\tau=10$ ms 得 $0.944$（6 條 32 s 紀錄的 ensemble；殘差是 flicker 最慢成分的紀錄間漲落，見 Part B）； 閉式 ÷「離散頻點精確和」在 10 ms 得 $1.000$——閉式本身是準的。

第 4 步：特徵函數 → 近高斯線核（不是 Lorentzian）

特徵函數那一步與 lorentzian_linewidth 完全相同： $\Delta\phi$ 是零均值高斯（我們的合成是「高斯白噪過線性濾波」，精確高斯；實際電路近似成立）， 所以

$$R_x(\tau)=\frac12\cos(\omega_0\tau)\,E(\tau),\qquad E(\tau)=\big\langle\cos\Delta\phi\big\rangle=e^{-\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]/2}.$$

代入第 3 步的方差：

$$\boxed{\ E(\tau)=\exp\!\left(-2\pi^2b_{-3}\,\tau^2\left[\ln\frac{1}{2\pi f_l\tau}+\frac32-\gamma_E\right]\right)\ }$$

• 這是（差一個慢變 log 的）高斯包絡：$e^{-(\text{const})\tau^2}$ 型。對比白噪的 $e^{-D|\tau|}$ 指數包絡。
• 高斯的傅立葉變換還是高斯：所以線核（載波附近的 $S_x$）是近高斯鐘形， 不是 Lorentzian。把 $\log$ 凍結在失憶時刻 $\tau^\*$（$E(\tau^\*)=e^{-1}$）得到工程近似：

$$S_x(\Delta f)\ \propto\ \exp\!\big(-2\pi^2\sigma_\tau^2\,\Delta f^2\big),\quad \sigma_\tau=\frac{1}{2\pi\sqrt{b_{-3}L^\*}},\qquad \Delta f_{3\mathrm{dB}}\approx2\sqrt{2\ln2}\,\sqrt{b_{-3}L^\*},$$

其中 $L^\*=\ln\frac{1}{2\pi f_l\tau^\*}+\frac32-\gamma_E$。lab_29 的參數下 $\tau^\*=1.64\times10^{-4}$ s、$L^\*\approx12.1$，近似線寬 $3233$ Hz，對照「不做凍結、 直接數值傅立葉」的精確線寬 $3176$ Hz——凍結近似誤差 $\approx2\%$。

• 線寬 scaling 的對比（工程記憶點）：白噪 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\pi b_{-2}$ （$S_\phi=b_{-2}/f^2$，即 $D/\pi$ 的另一種寫法），正比於雜訊強度；flicker $\Delta f_{3\mathrm{dB}}\approx2.355\sqrt{b_{-3}L^\*}$，正比於雜訊強度的平方根（差一個 log）。 雜訊降 6 dB：白噪線寬變 1/4，flicker 線寬只變約 1/2。
• 形狀指紋（$-3$ dB／$-10$ dB 半寬比）——這是可直接量的線形判別量。令 $x=\Delta f/\text{HWHM}$：
  • Lorentzian：$S\propto\dfrac{1}{1+x^2}$。$-3$ dB（$S=\tfrac12$）在 $x=1$；$-10$ dB （$S=\tfrac1{10}$）在 $1+x^2=10\Rightarrow x=3$。比值恰為 $3.00$。
  • Gaussian：$S\propto e^{-\ln2\,x^2}$（這樣寫使 $x=1$ 正好 $-3$ dB）。$-10$ dB 在 $\ln2\,x^2=\ln10\Rightarrow x=\sqrt{\ln10/\ln2}=1.8226$。比值 $1.82$。
  • flicker 線（含 log 修正的精確數值理論）：$1.86$——比純高斯略「厚尾」，因為 log 使包絡比凍結高斯稍慢衰減；量測得 $1.89$。Lorentzian 的 $3.00$ 與高斯族的 $1.8$ 上下 相距甚遠，一量便知。

誠實分工（外部理論 vs 本站自算）：「$f^{-\alpha}$ 雜訊下振盪器線形（含近高斯結論）」的 嚴格理論屬外部文獻、不在本站 5 篇 PDF 內： [E3] F. X. Kärtner, "Analysis of White and $f^{-\alpha}$ Noise in Oscillators," Int. J. Circuit Theory Appl., vol. 18, no. 5, pp. 485–519, 1990（本站 references 已收）；colored-noise 的嚴格隨機模型見 A. Demir, "Phase Noise and Timing Jitter in Oscillators with Colored-Noise Sources," IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. 49, no. 12, pp. 1782–1791, Dec. 2002（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）；教科書級整理見 E. Rubiola, "Phase Noise and Frequency Stability in Oscillators," Cambridge Univ. Press, Cambridge, U.K., 2009（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。本頁自己做的部分是：第 1–4 步的 初等推導（增量濾波器＋分部積分＋特徵函數，全程不跳步），以及 lab_29 的全部數值驗證 （方差 $t^2\log$ 律、線形、寬度比、線寬、$\mathcal{L}$ 匹配）。

lab_29：同一個 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})$，兩種線形

simulations/lab_29_flicker_lineshape.py 合成兩顆振盪器，刻意讓它們在 10 kHz offset 有 完全相同的 $\mathcal{L}$（時域 $/2$ 慣例）：

1. white FM：相位增量 $\sim\mathcal{N}(0,\,2D\,dt)$，$D=50\pi\approx157.08\ \text{rad}^2/\text{s}$ → 理論 Lorentzian、$\Delta f_{3\mathrm{dB}}=D/\pi=50.0$ Hz。
2. flicker FM：頻域校準合成 $S_{\dot\phi}=k_f/f$，取 $k_f=4D\cdot f_{match}$（$f_{match}=10$ kHz） → 兩者在 $f_{match}$ 處 $S_\phi$ 相同（$1/f^2$ 與 $1/f^3$ 線恰在 10 kHz 交叉，圖 (d)）。

參數	值	說明
$f_s$	$2^{18}=262144$ Hz	取樣率（toy／normalized，模型即「相位＋餘弦」，非 transistor-level）
$n$	$2^{23}$（$T=32$ s）	紀錄長度 → 合成低頻截止 $f_l=1/T=1/32$ Hz
$f_0$	$80$ kHz	載波（只看相對 offset）
$D$	$50\pi=157.08\ \text{rad}^2/\text{s}$	white FM 擴散常數（$\operatorname{Var}=2D\vert t\vert$ 慣例）
$k_f$	$4D\cdot10^4=6.283\times10^6\ \text{rad}^2/\text{s}^2$	flicker FM 強度（10 kHz 匹配設計）
$b_{-3}$	$k_f/4\pi^2=1.592\times10^5\ \text{rad}^2\text{Hz}^2$	$S_\phi=b_{-3}/f^3$
匹配點	$\mathcal{L}(10\,\text{kHz})=-71.0$ dBc/Hz	兩顆相同（時域 $/2$ 慣例；SSB $/4$ 引用低 3 dB）
flicker ensemble	6 條獨立 32 s 紀錄	慢成分不自平均（Part B），故做 ensemble 並回報單紀錄散佈

如何解讀四張子圖：

• (a) 左上（PN 視角）：兩條模擬 $\mathcal{L}(\Delta f)$ 在 10 kHz（黑點）重合於 $-71$ dBc/Hz； 往載波走，白噪沿 $-20$ dB/dec 的 Lorentzian 裙邊爬升、在 $\sim25$ Hz（HWHM）轉平；flicker 沿 $-30$ dB/dec 更陡地爬、在 $\sim1.6$ kHz 就轉平成一個寬而平的高斯頂。黑虛線 （Lorentzian）與暗紅虛線（第 4 步特徵函數的數值傅立葉，無自由參數）分別壓在兩條模擬上。
• (b) 右上（線核形狀，各自以 HWHM 歸一）：白噪點雲貼 Lorentzian 參考線（$-10$ dB 半寬在 $3\times$ HWHM）；flicker 點雲貼高斯參考線（$-10$ dB 半寬在 $1.82\times$ HWHM）， 尾端略高於純高斯——正是 log 修正（理論比值 1.86）。
• (c) 左下（增量方差）：白噪量測點落在斜率 1 的 $2D\tau$ 上；flicker 量測點落在斜率 $\approx2$ 的 $4\pi^2b_{-3}\tau^2[\ln(1/2\pi f_l\tau)+3/2-\gamma_E]$ 上（虛線，無自由參數）。
• (d) 右下（有限觀察時間的 $S_\phi$）：對非平穩的 $\phi(t)$ 直接做 Welch——這正是 Part B 說的「條件譜」——得到乾淨的 $1/f^2$（貼 $4D/\Delta\omega^2$ 單邊理論）與 $1/f^3$（貼 $b_{-3}/f^3$），在 10 kHz 交會。

核心 Python 與實跑輸出（完整 script：simulations/lab_29_flicker_lineshape.py， 以 PYTHONPATH=專案根目錄 python3 simulations/lab_29_flicker_lineshape.py 執行； 共用 simulations/common/plot_utils.py、noise_utils.py）：

# 匹配設計：K = 4D * f_match，使兩顆在 f_match 有同一個 S_phi（進而同一個 L）
D  = 50.0 * np.pi          # white FM: Var[dphi] = 2 D |t|  [rad^2/s]
K  = 4 * D * 1.0e4         # flicker FM: S_phidot = K/f     [rad^2/s^2]
B3 = K / (4 * np.pi**2)    # S_phi = B3 / f^3               [rad^2 Hz^2]

print(f"{cal_first:.3f}")   # -> 0.986 （合成校準：量測 S_phidot·f ÷ K，1 kHz 附近）
print(f"{L10_w:.1f}")       # -> -70.9 （white 量測 L(10 kHz)，理論 -71.0，時域 /2 慣例）
print(f"{L10_f:.1f}")       # -> -70.4 （flicker 量測 L(10 kHz)；精確線形理論也是 -70.4，見下）
print(f"{r_onesided:.3f}")  # -> 1.001 （單邊 S_phi(10 kHz) ÷ (4D/Δω²)：釘死「單邊是 4D」）
print(f"{fwhm_w:.1f}")      # -> 49.9 （white 線寬 FWHM [Hz]，理論 D/π = 50.0）
print(f"{fwhm_f:.0f}")      # -> 3067 （flicker 線寬 FWHM [Hz]，6 紀錄 ensemble；理論 3176）
print(f"{fwhm_f/fwhm_w:.1f}")  # -> 61.4 （同一個 L(10 kHz)，線寬差 61 倍！）
print(f"{ratio_w:.2f}")     # -> 2.87 （white −10dB/−3dB 半寬比；Lorentzian 理論 3.00）
print(f"{ratio_f:.2f}")     # -> 1.89 （flicker 半寬比；Gaussian 1.82、含 log 修正理論 1.86）
print(f"{rms_w:.2f}")       # -> 0.24 （white 對 Lorentzian 擬合 rms 誤差 [dB]，±4 HWHM：吻合）
print(f"{rms_f:.2f}")       # -> 4.37 （flicker 對 Lorentzian 擬合 rms 誤差 [dB]：明顯偏離）
print(f"{popt_w[1]:.1f}")   # -> 25.0 （white 擬合 HWHM [Hz]，理論 D/2π = 25.0）
print(f"{r_th_f:.2f}")      # -> 1.86 （特徵函數理論線的半寬比）
print(f"{2*hw_th_f[0.5]:.0f}")  # -> 3176 （特徵函數理論線寬 [Hz]；高斯凍結近似 3233）
print(f"{10*np.log10(L_th_f_10k):.1f}")  # -> -70.4 （精確線形在 10 kHz：比純 1/f³ 裙邊高 0.6 dB）
print(f"{slope_w/(2*D):.3f}")  # -> 1.010 （white 量測 Var/τ ÷ 2D：線性成長 ✓）
print(f"{var_f[i1ms]/var_f_cf[i1ms]:.3f}")   # -> 0.957 （flicker Var(1 ms) ÷ 閉式）
print(f"{var_f_cf[i10ms]/var_f_ex[i10ms]:.3f}")  # -> 1.000 （閉式 ÷ 離散精確和：推導無誤）
print(f"{r_cut:.2f}")       # -> 1.92 （截止實驗：f_l=1/32 Hz vs 1 Hz 的 Var(10 ms) 比，量測）
print(f"{r_cut_th:.2f}")    # -> 2.09 （同上、精確理論：截止以 ln(f_l) 進場）

三個值得停下來看的數字：

1. $-70.4$ vs $-71.0$（flicker 的 0.6 dB）：flicker 線只在 $\Delta f\gg$ 線寬時才收斂到 $1/f^3$ 裙邊；10 kHz 只有 $\approx3\times$ HWHM，精確線形（特徵函數數值傅立葉）本來就 預測 $-70.4$——量測與精確理論完全一致，偏離的是「純裙邊近似」。這順便量化了 「offset $\gg$ 線寬」到底要多遠：$3\times$ HWHM 處誤差還有 0.6 dB。
2. $61.4$ 倍線寬比：同一個 datasheet 數字 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})=-71$ dBc/Hz， 線寬可以差近兩個數量級。單點 $\mathcal{L}$ 不決定線寬；斜率（雜訊顏色）才決定。
3. $1.92$ vs $2.09$（截止實驗）：把合成截止從 $1/32$ Hz 挪到 1 Hz，$\tau=10$ ms 的相位 方差近乎砍半——方差確實記得 $f_l$（$\ln f_l$ 進場）；量測略低於理論是 6 條紀錄的 慢成分漲落（單紀錄線寬散佈 $2944\pm142$ Hz vs ensemble 3067 Hz），這本身就是 Part B 的 實物教材。

toy-model 誠實標註：lab_29 直接合成「相位 → 餘弦」，不含振幅動態、不含 transistor； 它驗證的是第 1–4 步的數學，不是任何特定電路。

---

Part B：非平穩性——$S_\phi$ 嚴格不存在，儀器量什麼？

第 5 步：自由振盪的 $\phi(t)$ 不是平穩過程

平穩（wide-sense stationary）要求兩件事：均值不隨時間變、自相關 $R_\phi(t_1,t_2)$ 只依賴 $\tau=t_2-t_1$。對白噪驅動、從 $t=0$ 起跑（$\phi(0)=0$）的 Wiener 相位，逐步算 $R_\phi$：

(i) 設 $t_2\ge t_1$，拆 $\phi(t_2)=\phi(t_1)+\Delta$，其中 $\Delta=\phi(t_2)-\phi(t_1)$ 是 $(t_1,t_2]$ 區間的噪音積分，與 $\phi(t_1)$ 獨立（白噪不同區間不相關；高斯下不相關=獨立）。

(ii)

$$R_\phi(t_1,t_2)=\big\langle\phi(t_1)\,[\phi(t_1)+\Delta]\big\rangle =\big\langle\phi(t_1)^2\big\rangle+\underbrace{\langle\phi(t_1)\rangle\langle\Delta\rangle}_{=0} =2D\,t_1 .$$

一般寫法（不假設排序）：

$$\boxed{\ R_\phi(t_1,t_2)=2D\min(t_1,t_2)\ }$$

• 這不是 $\tau$ 的函數——它依賴絕對時間（開機多久了）。且 $\operatorname{Var}[\phi(t)]=2Dt\to\infty$：方差無界。兩條都違反平穩性。
• 後果：Wiener–Khinchin 定理（stochastic_noise_basics） 的前提是平穩。所以「$S_\phi(f)$」作為平穩 PSD 嚴格來說不存在—— $S_\phi=2D/\Delta\omega^2$ 這類式子不能按定義讀。flicker FM 更嚴重：連增量方差都要 $f_l$ 才有限（第 3 步）。
• 但增量是平穩的：$\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=2D|\tau|$ 與 $t_0$ 無關（第 1 步 (i)）。 這就是為什麼 [P2] 用 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8), p.792）這種 增量語言描述 ring 的 jitter——增量統計是良定義的，PSD 不是。時域 jitter 語言在數學上 反而比「$S_\phi$」更根本。

第 6 步：存在的是 $V(t)$ 的頻譜（[E2] Demir 觀點）

雖然 $\phi$ 發散，$V(t)=\cos(\omega_0t+\phi(t))$ 有界，而且它的統計會收斂到平穩：

• 相位「絕對值」發散沒關係——$V$ 只看 $\phi\bmod 2\pi$，而 random walk 的 $\bmod 2\pi$ 分佈隨時間趨於均勻（初始相位被忘光）。
• 自相關只剩相位差：$\langle V(t)V(t+\tau)\rangle\to\tfrac12\cos(\omega_0\tau)E(\tau)$ （lorentzian_linewidth 第 1 步的計算， 用的正是平穩的增量 $\Delta\phi$）——只依賴 $\tau$ ✓。

這是 [E2] A. Demir, A. Mehrotra, and J. Roychowdhury, IEEE TCAS-I 47(5):655–674, 2000 （不在本站 5 篇 PDF 內，DOI 10.1109/81.847872） 的核心觀點之一：帶噪振盪器的輸出收斂為 平穩過程，其頻譜（白噪下是 Lorentzian）是嚴格良定義的物件——頻譜儀量的就是它。 本頁 Part A 只是把同一套機器換上 flicker 的 $\operatorname{Var}(\tau)$，線形從 Lorentzian 變近高斯，「$V$ 平穩、譜良定義」這件事不變（flicker 需 $f_l$ 截止使 $\dot\phi$ 平穩）。

一張表講清楚「什麼存在、誰在量它」：

物件	嚴格存在嗎	誰量它
$\phi(t)$ 樣本路徑	✓（但非平穩、無界漫步）	無人直接量（無限長相位計不存在）
$S_\phi(f)$ 作為平穩 PSD	✗（Wiener–Khinchin 前提不成立）	——（是個方便的記號，見第 7 步）
增量統計 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]$	✓（white 天生；flicker 需 $f_l$）	時間區間分析儀／jitter 量測（[P2] 的 $\kappa\sqrt{\Delta t}$）、allan_variance
有限觀察譜 $S_\phi^{(T)}(f)$，$f\gg1/T$	✓（期望值良定義、收斂）	phase-noise analyzer（相位鑑別＋FFT；PLL 把迴路頻寬以下的漫步吃掉）——lab_29 圖 (d) 的 Welch 就是它
$S_V(f)$（$V(t)$ 的 PSD）	✓（$V$ 平穩，[E2]）	頻譜儀直接量（linewidth、線形、$\mathcal{L}$ 皆由此讀出）
$\mathcal{L}(\Delta f)=\tfrac12S_\phi$	✓ 當 $\Delta f\gg$ 線寬（且 $\gg1/T$）	datasheet 上那個數字

第 7 步：和解——本站的 $S_\phi$ 公式在量什麼

那本站（與 [P1]）滿頁的 $S_\phi$、$\mathcal{L}$ 公式是什麼意思？它們是 有限觀察時間的條件譜：取一段長 $T$ 的紀錄（或讓 PLL/儀器把慢漂移扣掉），對「這一段裡 看起來平穩的增量」做譜估計。可以證明（且 lab_29 圖 (d) 數值演示）：對 $f\gg1/T$， 其期望值收斂到

$$S_\phi^{(T)}(f)\ \xrightarrow[f\gg1/T]{}\ \frac{4D}{(2\pi f)^2}\ \text{（單邊，white FM）},\qquad \frac{b_{-3}}{f^3}\ \text{（flicker FM）},$$

量測 ÷ 理論 $=1.001$（10 kHz，marker 見上）。所以本站全部 $S_\phi$ 公式在 $\Delta f\gg\max(1/T,\ \text{線寬})$ 的範圍內是嚴格可用的；它們失效的地方正是 lorentzian_linewidth 的「假發散」區—— $\Delta f\lesssim$ 線寬時要換 $S_V$（Lorentzian／近高斯線形）來讀。兩套描述在共同適用區 無縫銜接（Part A 的 0.6 dB 練習就是銜接處的量化）。

flicker 再補一刀（本頁獨有的教訓）：因為 $f_l$ 以 $\ln$ 進到方差，「有限觀察」對 flicker 永遠留下對數殘影——lab_29 的截止實驗（$f_l$ 從 $1/32$ Hz 挪到 1 Hz，$\operatorname{Var}(10\,\text{ms})$ 變一半）與單紀錄線寬散佈（$2944\pm142$ Hz，6 條紀錄各只有 32 s）都是它的直接展示。 實務語言：flicker 主導的振盪器，其「線寬」與 close-in 積分 jitter 是「量多久」的（弱）函數； 報告數字時要附觀察時間／量測頻寬——這也是 allan_variance 存在的理由（flicker FM 在 ADEV 上是乾淨的平台，不需要 $f_l$ 就良定義）。此觀點的教科書處理見 Rubiola 2009（前引，外部文獻）。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
$\Delta\phi$ 為高斯	特徵函數 $E=e^{-\operatorname{Var}/2}$ 精確（合成雜訊、小訊號線性累積）	強非線性／大注入使 $\Delta\phi$ 非高斯，線形偏離本頁兩族
$2\pi f_l\tau\ll1$	$t^2\log$ 閉式成立（誤差 $O((f_l\tau)^2)$）	$\tau\gtrsim1/f_l$ 時方差成長趨緩、包絡尾端偏離
純 flicker FM 段主導	線核近高斯、比值 $\approx1.86$	白噪 FM 混入時外圈回到 Lorentzian 裙邊、線形是兩族的卷積（[E3]、Demir 2002）
$\Delta f\gg$ 線寬	$\mathcal{L}=\tfrac12S_\phi$ 可用（$3\times$HWHM 處仍差 0.6 dB）	近線寬處必須用 $S_V$ 線形讀
觀察時間 $T\gg1/\Delta f$	條件譜 $S_\phi^{(T)}$ 收斂、與公式一致	太短的紀錄：譜估計偏差＋flicker 慢成分不自平均（單紀錄線寬散佈）
振幅穩定（只追相位）	單參數（$D$ 或 $b_{-3}$）描述線形	強 AM–PM 時需把振幅雜訊一起入模

與哪些 paper／公式對應

• $1/f^2$、$1/f^3$ 的 $S_\phi$ 輸入：[P1] Eq.(21), p.185（white）；[P1] Eq.(22)–(23), p.185（flicker 上轉，$b_{-3}$ 的 ISF 出處，含 SSB 記帳註記）。
• 增量語言：[P2] Eq.(8), p.792（$\sigma_{\Delta\phi}=\kappa\sqrt{\Delta t}$，相位增量）、 Eq.(12), p.793（$\kappa=\frac{\Gamma_{rms}}{q_{max}}\sqrt{\tfrac12\overline{i_n^2}/\Delta f}$， 不含 $\omega_0$）——正是本頁「PSD 不存在、增量存在」的工程體現。
• 外部文獻（皆不在本站 5 篇 PDF 內）：[E2] Demir–Mehrotra–Roychowdhury 2000 （$V$ 平穩、譜良定義；TCAS-I 47(5):655–674，DOI 10.1109/81.847872）；[E3] Kärtner 1990 （$f^{-\alpha}$ 線形；IJCTA 18(5):485–519）；A. Demir, IEEE TCAS-I 49(12):1782–1791, Dec. 2002（colored-noise 相位擴散）；E. Rubiola, Phase Noise and Frequency Stability in Oscillators, Cambridge Univ. Press, 2009（教科書整理）。

Worked example（帶單位、可一行驗證）

例（同一個 $\mathcal{L}$、兩種線寬）：某 5 GHz 振盪器在 10 kHz offset 量到 $\mathcal{L}=-71.0$ dBc/Hz（時域 $/2$ 慣例）。(a) 若該處是 $1/f^3$ 段、低頻截止 $f_l=0.0176$ Hz（32 s 觀察的有效截止），求 $b_{-3}$、$\operatorname{Var}[\Delta\phi(1\,\text{ms})]$ 與線寬；(b) 若該處是 $1/f^2$ 段，求線寬。比較兩者。

(a) flicker 情形，逐步：

1. 還原 $S_\phi$。 $\mathcal{L}_{\text{lin}}=10^{-71/10}=7.94\times10^{-8}\ /\text{Hz}$； $S_\phi(10\,\text{kHz})=2\mathcal{L}_{\text{lin}}=1.589\times10^{-7}\ \text{rad}^2/\text{Hz}$。
2. 讀出 $b_{-3}$。 $b_{-3}=S_\phi f^3=1.589\times10^{-7}\times(10^4)^3=1.589\times10^{5}\ \text{rad}^2\text{Hz}^2$。
3. 方差（$\tau=1$ ms）。 $2\pi f_l\tau=2\pi\times0.0176\times10^{-3}=1.10\times10^{-4}$； 中括號 $=\ln(1/1.10\times10^{-4})+1.5-0.5772=9.11+0.92=10.03$； $\operatorname{Var}=4\pi^2\times1.589\times10^5\times(10^{-3})^2\times10.03=6.27\times10.03\approx63.0\ \text{rad}^2$。 ——1 ms 內相位已散掉 $\sqrt{63}\approx8$ rad：完全失相干（失憶時間 $\tau^\*\approx0.16$ ms）。
4. 線寬（高斯凍結近似）。 $L^\*\approx12.1$（在 $\tau^\*$ 評估）： $\Delta f_{3\mathrm{dB}}\approx2.355\sqrt{b_{-3}L^\*}=2.355\sqrt{1.589\times10^5\times12.1}\approx3.3\ \text{kHz}$ （精確數值傅立葉：$3.2$ kHz）。

(b) white 情形，逐步： $b_{-2}=S_\phi f^2=1.589\times10^{-7}\times10^8=15.89\ \text{rad}^2\cdot\text{Hz}$； $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\pi b_{-2}=49.9\ \text{Hz}$（等價 $D=\pi^2b_{-2}=156.8\ \text{rad}^2/\text{s}$、 $D/\pi=49.9$ Hz）；$\operatorname{Var}(1\,\text{ms})=2D\tau=0.314\ \text{rad}^2$——1 ms 時仍相干。

比較： 同一個 $-71$ dBc/Hz@10 kHz——flicker 版線寬 $3.2$ kHz、white 版 $50$ Hz（64 倍）； 1 ms 相位方差 $63$ vs $0.31\ \text{rad}^2$（200 倍）。單點 $\mathcal{L}$ 規格不封頂 close-in 行為。

Dimension check： $[b_{-3}]=\text{rad}^2\text{Hz}^2$，$\sqrt{b_{-3}\cdot(\text{無因次})}=\text{rad}\cdot\text{Hz}\to$ （rad 無因次）$\text{Hz}$ ✓；$[b_{-2}]=\text{rad}^2\text{Hz}$，$\pi b_{-2}$ 是 Hz ✓； $[4\pi^2b_{-3}\tau^2]=\text{rad}^2$ ✓。

import numpy as np
gE = 0.5772156649
L = 10**(-71/10); Sphi = 2*L
b3 = Sphi*1e4**3; b2 = Sphi*1e4**2
var_1ms = 4*np.pi**2*b3*1e-6*(np.log(1/(2*np.pi*0.0176*1e-3))+1.5-gE)
print(round(b3), round(var_1ms,1), round(np.pi*b2,1))   # -> 158866 63.0 49.9

重點回顧

• Lorentzian 是白噪 FM 專屬：它繼承自 $\operatorname{Var}[\Delta\phi]=2D|t|$ 的線性成長。
• 萬用引擎：$\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=2\int_0^\infty S_\phi^{\text{單邊}}(f)(1-\cos2\pi f\tau)\,df$ （增量高通核；單邊記帳，white 代入 $4D/\Delta\omega^2$ 收回 $2D|t|$——lab_29 量測比 1.001）。
• flicker FM（$S_\phi=b_{-3}/f^3$，需低頻截止 $f_l$）： $\operatorname{Var}=4\pi^2b_{-3}\tau^2[\ln\frac{1}{2\pi f_l\tau}+\frac32-\gamma_E]$—— $t^2\times\log$ 成長，$f_l$ 只以 $\ln$ 進場（改 10 倍只差 $\ln10$）。
• 特徵函數 $E=e^{-\operatorname{Var}/2}$ ⇒ 近高斯包絡 ⇒ 近高斯線核；線寬 $\approx2.355\sqrt{b_{-3}L^\*}$（$\propto\sqrt{\text{噪}}$，白噪則 $\propto$ 噪）。
• 形狀指紋 $-10$ dB／$-3$ dB 半寬比：Lorentzian $3.00$、Gaussian $1.82$、flicker 含 log 修正 $1.86$（lab_29 量測 white $2.87$、flicker $1.89$；Lorentzian 擬合 rms 誤差 0.24 vs 4.37 dB）。
• 同一個 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})=-71$ dBc/Hz：白噪線寬 50 Hz、flicker 線寬 3.1 kHz （61 倍）——單點 PN 不決定線寬，雜訊顏色才決定。
• 自由振盪 $\phi$：$R_\phi=2D\min(t_1,t_2)$、方差無界 ⇒ 非平穩 ⇒ $S_\phi$ 作為平穩 PSD 嚴格不存在；存在的是增量統計（[P2] 的 $\kappa\sqrt{\Delta t}$）、有限觀察條件譜 （$f\gg1/T$ 收斂到本站公式）、與平穩的 $S_V$（[E2] Demir；頻譜儀量的東西）。
• flicker 的量測值（線寬、close-in jitter）以 $\ln$ 依賴觀察時間／截止——報數字要附條件。

延伸閱讀

• 白噪版全套（本頁的對照組）：lorentzian_linewidth
• $1/f^3$ 從哪來（$c_0$ 上轉、[P1] Eq.(22)–(24)）：flicker_noise_upconversion、lab_07
• 平穩性、Wiener–Khinchin、ergodicity：stochastic_noise_basics
• flicker FM 的時域正規刻畫（ADEV 平台、不需 $f_l$）：allan_variance
• 儀器怎麼量 $\mathcal{L}$（SA／discriminator／cross-correlation）：measurement_and_spurs
• jitter 語言與 $S_\phi$ 的橋：psd_phase_noise_jitter
• 端到端數值鏈（含 Lorentzian 一站）：capstone_lc_end_to_end
• 外部文獻完整 citation（[E2]、[E3]）：references