Lab 07 — 1/f 噪聲上轉與 ISF 對稱性

這個 lab 回答一個對振盪器設計最賺錢的問題：為什麼有些振盪器的近載波相位雜訊 （close-in phase noise）很糟（很陡的 $1/f^3$），有些卻乾淨？ 答案不在噪聲源， 而在波形的對稱性——具體說，在 ISF 的 DC 傅立葉係數 $c_0$。

物理直覺（先講結論）：device 的 $1/f$（flicker，閃爍）噪聲集中在很低頻（近 DC）。 它能不能「上轉」（upconvert，被搬到載波附近變成相位雜訊），取決於 ISF 有沒有 DC 成分。 ISF 的 DC 值就是 $c_0/2$。若波形完全對稱（上升、下降鏡像對稱），$c_0=0$， 近 DC 的 $1/f$ 噪聲乘上「平均為零」的 ISF 後被抵消，不會上轉； 若波形不對稱，$c_0\neq0$，近 DC 噪聲存活下來，再被積分器染成又陡又高的 $1/f^3$。 對稱性是免費的午餐：把波形做對稱，等於免費砍掉 $1/f^3$ 相位雜訊。

1. 教學目標

• 看懂 device $1/f$ 噪聲如何「上轉」成 close-in 相位雜訊。
• 用模擬對比對稱 ISF（$c_0=0$） 與不對稱 ISF（$c_0\neq0$） 的 close-in 行為。
• 親眼確認：$c_0=0$ → close-in $1/f^3$ 被抑制；$c_0\neq0$ → 出現陡峭 $1/f^3$。
• 把這個現象連到 [P1] Eq.(23)（$1/f^3$ 表達式）與 Eq.(24)（$1/f^3$ corner）。

2. 數學模型

device flicker 電流噪聲的單邊 PSD 是 $1/f$ 形（[P1] Eq.(22), p.185）：

$$\overline{i_{n,1/f}^2}=\overline{i_n^2}\cdot\frac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}$$

• 意義：$\omega_{1/f}$ 是 device 的 $1/f$ corner（轉角頻率），低於它噪聲呈 $1/f$，高於它趨白噪。
• 單位：$\overline{i_n^2}$ 是 $A^2/$Hz；$\omega_{1/f}/\Delta\omega$ 無因次，整體仍是 $A^2/$Hz ✓。

把這個 $1/f$ 噪聲打進 ISF 的 DC 通道，再積分，得到 close-in 相位雜訊（[P1] Eq.(23), p.185）：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{c_0^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{8\,\Delta\omega^2}\cdot\frac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}\right)$$

• 斜率怎麼來：$\frac{1}{\Delta\omega^2}$（積分器，$-20$ dB/dec）$\times\frac{1}{\Delta\omega}$（$1/f$ 噪聲源， $-10$ dB/dec）$=\frac{1}{\Delta\omega^3}$，也就是 $1/f^3$（$-30$ dB/dec）。
• $c_0$ 是開關：整個式子前面乘 $c_0^2$。$c_0=0$ → 這條 $1/f^3$ 消失（被抑制）， close-in 退回到白噪主導的 $1/f^2$；$c_0\neq0$ → $1/f^3$ 出現且高度正比 $c_0^2$。

$1/f^3$ 與 $1/f^2$ 兩段相交的轉角頻率（[P1] Eq.(24), p.185）：

$$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}\approx\omega_{1/f}\left(\frac{c_0}{c_1}\right)^2$$

• 設計含義：把 $c_0$（波形不對稱度）壓小，corner 就往左移、close-in $1/f^3$ 區變窄。
• 符號陷阱：$c_0$ 是傅立葉「係數」，ISF 的 DC值是 $c_0/2$（見 notation）。

在本 lab 的 toy 寫法裡，不對稱 ISF 取 gamma_asym = cos(theta) + 0.5，DC 值 $=0.5$， 對應 $c_0=1.0$；對稱 ISF 取 gamma_sym = cos(theta)，DC 值 $=0$，$c_0=0$。 用 cos 而非 LC 的 $-\sin$ 只是讓「對稱基底 + DC 平移」的對比更直觀；兩者皆為 toy。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

逐字摘自 simulations/lab_07_flicker_noise.py：同一條 flicker 噪聲分別過對稱與不對稱 ISF， 再各自積分、估 PSD。注意 phase_from_isf 就是「ISF 加權 → cumsum 積分」。

def phase_from_isf(i_n, gamma_vals, q_max, fs):
    g = gamma_vals * i_n / q_max
    phi = np.cumsum(g) / fs
    return phi - np.mean(phi)


def main():
    f0 = 1.0
    fs = 256.0
    n = 2 ** 20
    t = np.arange(n) / fs
    q_max = 1.0

    theta = 2 * np.pi * f0 * t
    gamma_sym = np.cos(theta)            # c0 = 0
    gamma_asym = np.cos(theta) + 0.5     # c0 = 1.0 (DC = 0.5)

    i_flicker = flicker_noise(n, fs, k_flicker=1e-4, rng=RNG)

    phi_sym = phase_from_isf(i_flicker, gamma_sym, q_max, fs)
    phi_asym = phase_from_isf(i_flicker, gamma_asym, q_max, fs)

    f, S_sym = estimate_psd(phi_sym, fs, nperseg=2 ** 16)
    _, S_asym = estimate_psd(phi_asym, fs, nperseg=2 ** 16)

• 兩條 ISF 的唯一差別是那個 + 0.5（DC 平移）。其他完全相同——所以兩條輸出 PSD 的差異 只可能來自 $c_0$。這是把「$c_0$ 是不是 $1/f^3$ 的開關」做成一個受控實驗。

5. 完整 script path

simulations/lab_07_flicker_noise.py （相依模組：simulations/common/noise_utils.py 的 flicker_noise、estimate_psd。 flicker_noise 以頻域整形法：白噪 → rFFT → 乘 $1/\sqrt{f}$ → irFFT 生成 $S\propto1/f$。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
振盪頻率	f0	$1.0$（normalized）	$f_0=1$ 正規化
取樣率	fs	$256$	每週期 256 點
樣本數	n	$2^{20}$	約 4096 週期，低頻解析度足夠
最大電荷擺幅	q_max	$1.0$	normalize
flicker 強度	k_flicker	$1\times10^{-4}$	$S_i\approx k_{flicker}/f$
對稱 ISF	gamma_sym	$\cos\theta$	$c_0=0$，DC$=0$
不對稱 ISF	gamma_asym	$\cos\theta+0.5$	$c_0=1.0$，DC$=0.5$
隨機種子	RNG	default_rng(7)	結果可重現

7. 單位表

量	符號	單位
flicker 電流噪聲 PSD	$\overline{i_{n,1/f}^2}$	A²/Hz
device 1/f corner	$\omega_{1/f}$	rad/s
ISF DC 係數	$c_0$	無因次
ISF 第 1 諧波	$c_1$	無因次
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	無因次
相位 PSD	$S_\phi(f)$	rad²/Hz
offset 頻率	$f$	Hz（normalized）
1/f³ corner	$\Delta\omega_{1/f^3}$	rad/s

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

• 紅線（asymmetric，$c_0\neq0$）：在 close-in（低 offset）區出現又高又陡的曲線， 斜率接近 $-30$ dB/dec（$1/f^3$）。黑點線就是純 $1/f^3$ 斜率參考，紅線貼著它。
• 綠線（symmetric，$c_0=0$）：在 close-in 區明顯低很多、且斜率較緩（接近 $1/f^2$， 灰虛線參考）。$1/f^3$ 被抑制——這就是「波形對稱免費砍 close-in 噪聲」的視覺證據。
• 兩線在較高 offset 收斂：遠離載波時，$1/f^3$ 與 $1/f^2$ 的差距縮小，因為 flicker 噪聲本身在高頻已經很弱。
• 重點：兩條 ISF 唯一差別是 $c_0$。紅綠之間 close-in 的巨大落差，完全由 $c_0$ 造成。 $c_0\to0$，紅線就會塌向綠線。

10. 對應 paper 公式/figure

• flicker 噪聲源：[P1] Eq.(22), p.185，$\overline{i_{n,1/f}^2}=\overline{i_n^2}\cdot\omega_{1/f}/\Delta\omega$。
• $1/f^3$ close-in：[P1] Eq.(23), p.185，前置因子 $c_0^2$ 正是本 lab 的開關。
• $1/f^3$ corner：[P1] Eq.(24), p.185，$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\,c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)\approx\omega_{1/f}(c_0/c_1)^2$。
• 概念圖出處：paper_001 Eqs (23),(24)；paper_002 的對稱性論述。對應網站圖 flicker_upconversion_symmetric_vs_asymmetric.png。$c_0$ 的幾何意義另見 lab_05 的 symmetric_vs_asymmetric_isf_c0.png。

11. 限制與 approximation

• pedagogical toy model，非 transistor-level：兩條 ISF（cos、cos+0.5）是教學玩具， 不是萃取自真實電路。+0.5 是人為設定的 $c_0$，只為做受控對比。
• normalized 單位：$f_0=1$、$q_{max}=1$、k_flicker 為任意刻度，無絕對 dBc/Hz。 曲線的相對形狀（斜率、紅綠落差）才是教學重點。
• flicker 生成是近似：flicker_noise 用頻域 $1/\sqrt f$ 整形，靠 f_low 馴服 DC bin 發散； 極低頻的精確度受 f_low 與總長度限制。
• stationary 噪聲假設：真實 flicker 上轉還涉及 cyclostationary 調變 （device 只在導通時漏噪聲），完整處理要用 $\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha$ （見 effective_isf）；本 lab 只示範 $c_0$ 這一個機制。
• Welch 低頻起伏：close-in 區點數少、統計起伏大，圖上只畫 $f>0.02$ 的可信段。

重點回顧

• device $1/f$ 噪聲集中在近 DC；能否上轉成相位雜訊由 ISF 的 DC 成分（$c_0/2$）決定。
• $c_0\neq0$ → close-in $1/f^3$（$-30$ dB/dec）；$c_0=0$ → 抑制，退回 $1/f^2$。
• $1/f^3$ 高度正比 $c_0^2$，corner $\propto c_0^2/\Gamma_{rms}^2$。
• 設計啟示：把波形做對稱（壓 $c_0$）是免費降低 close-in 相位雜訊的手段。

延伸閱讀

• 理論推導全文：flicker_noise_upconversion
• $c_0$ 的傅立葉幾何：lab_05_fourier_isf
• 上一個 lab（白噪 → 1/f²）：lab_06_white_noise_phase_noise
• 用在設計/理論：把波形做對稱（壓 $c_0$）降 close-in $1/f^3$ → symmetry