Lab 11 — Monte-Carlo 累積 jitter：RJ 是高斯、σ 隨 √ΔN

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這個 lab 用最直接的方式——Monte-Carlo（蒙地卡羅，大量隨機抽樣統計）——證明 free-running （自由振盪、未鎖相）振盪器累積的 **random jitter（RJ，隨機抖動，高斯、無上界）**有兩個關鍵性質：

1. 它的分布是高斯的；
2. 它的標準差隨累積週期數開根號成長：$\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}$。

這是「統計（時域）觀點」與「頻譜觀點」的接合點，也是 [P2] Eq.(8) 那條 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$ 的微觀起源。

物理直覺（先講結論）：每個週期，振盪器的 edge（過零/翻轉時刻）都會被 noise 推一個 獨立的小量，平均 0、標準差 $\sigma_{edge}$。相位沒有恢復力（見 oscillator_phase），所以這些小推不會被拉回， 而是一路累加——這就是一維隨機漫步（random walk）。隨機漫步走 $\Delta N$ 步後的 位置：均值仍是 0，但 variance 是單步 variance 的 $\Delta N$ 倍，所以 standard deviation 隨 $\sqrt{\Delta N}$ 成長。而獨立小量相加，由中央極限定理趨於高斯。

1. 教學目標

• 用 Monte-Carlo 直接「看見」累積 jitter 的高斯分布。
• 驗證隨機漫步定律 $\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}$：把 $\Delta N$ 加 4 倍， $\sigma$ 只加 2 倍。
• 把這個時域結果連到 [P2] Eq.(8) 的 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（$\kappa$ 比例常數）。
• 理解「為何相位/jitter 會累積」——因為相位無 restoring（與振幅不同）。

2. 數學模型

單週期增量。 第 $k$ 個週期的 edge 時刻誤差是一個獨立同分布的高斯增量：

$$\delta_k\sim\mathcal{N}(0,\;\sigma_{edge}^2).$$

累積 jitter = 增量之和（隨機漫步）。 累積 $\Delta N$ 個週期後，相對理想 edge 的時間誤差：

$$\Delta t_{\Delta N}=\sum_{k=1}^{\Delta N}\delta_k .$$

統計性質（逐步推）。 增量獨立、均值 0：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[\Delta t_{\Delta N}]&=\sum_{k=1}^{\Delta N}\mathbb{E}[\delta_k]=0,\\ \operatorname{Var}[\Delta t_{\Delta N}]&=\sum_{k=1}^{\Delta N}\operatorname{Var}[\delta_k]=\Delta N\cdot\sigma_{edge}^2,\\ \sigma_{\Delta t}&=\sqrt{\operatorname{Var}}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}. \end{aligned}$$

• 為什麼 variance 相加：獨立隨機變數之和的 variance 等於各 variance 之和（協方差為 0）。 這是「$\sqrt{\Delta N}$」的全部來源。
• 為什麼是高斯：$\Delta N$ 個獨立增量相加，由中央極限定理趨近高斯（且每個增量本就高斯， 高斯之和精確仍是高斯）。
• Dimension check：$\sigma_{edge}$ 是 s，$\sqrt{\Delta N}$ 無因次（$\Delta N$ 是週期計數）， 故 $\sigma_{\Delta t}$ 是 s ✓。

連到 [P2] Eq.(8)。 把累積週期數換成累積時間 $\Delta t=\Delta N\cdot T=\Delta N/f_0$：

$$\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}=\sigma_{edge}\sqrt{f_0\,\Delta t}=\underbrace{\big(\sigma_{edge}\sqrt{f_0}\big)}_{\kappa}\sqrt{\Delta t},$$

即 [P2] Eq.(8), p.792 的 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$，且 $\kappa=\sigma_{edge}\sqrt{f_0}$。

• Dimension check（$\kappa$）：$[\text{s}]\cdot[\text{Hz}]^{1/2}=[\text{s}]\cdot[\text{s}^{-1/2}]=[\text{s}^{1/2}]$， 與規範符號表 $\kappa$ 的單位 $\sqrt{s}$ 一致 ✓。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

逐字摘自 simulations/lab_11_monte_carlo_jitter.py 的 main()：對每個累積長度 lag（=$\Delta N$）， 抽 n_trials × lag 個獨立高斯增量、沿週期軸求和得累積誤差 acc，量其 std，再疊上理論高斯。

f0 = 5e9
sigma_edge = 50e-15  # 50 fs per period
n_trials = 200000
lags = [25, 100, 400]  # number of periods accumulated

for lag, c in zip(lags, colors):
    incr = sigma_edge * RNG.standard_normal((n_trials, lag))
    acc = incr.sum(axis=1)  # accumulated timing error after `lag` periods
    sigma_meas = np.std(acc)
    sigma_theory = sigma_edge * np.sqrt(lag)
    # histogram (in fs)
    ax.hist(acc / 1e-15, bins=120, density=True, alpha=0.35, color=c,
            label=fr"$\Delta N$={lag}: 量得 $\sigma$={sigma_meas/1e-15:.0f} fs "
                  fr"(理論 {sigma_theory/1e-15:.0f} fs)")
    # gaussian overlay
    xx = np.linspace(acc.min(), acc.max(), 300)
    g = np.exp(-xx ** 2 / (2 * sigma_theory ** 2)) / (sigma_theory * np.sqrt(2 * np.pi))
    ax.plot(xx / 1e-15, g * 1e-15, color=c, lw=1.6)

• incr.sum(axis=1) 就是把 lag 個獨立增量加起來——一維隨機漫步。
• sigma_meas = np.std(acc)（量測）會逐位逼近 sigma_theory = sigma_edge*np.sqrt(lag)（理論）， 因為 n_trials=200000 夠大。
• 高斯疊圖 g 用的是理論 $\sigma$，貼合直方圖即證明分布為高斯。

預期數字（$\sigma_{edge}=50$ fs）：$\Delta N=25\to250$ fs、$\Delta N=100\to500$ fs、 $\Delta N=400\to1000$ fs（每 $\times4$ 步、$\sigma$ 就 $\times2$）。

5. 完整 script path

simulations/lab_11_monte_carlo_jitter.py （相依模組：simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。其餘用 numpy/matplotlib。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
振盪頻率	f0	$5\times10^{9}$ Hz	5 GHz（用於 $\Delta N\leftrightarrow\Delta t$ 換算）
單週期 jitter	sigma_edge	$50\times10^{-15}$ s	每週期 edge 的 rms 增量（50 fs）
Monte-Carlo 次數	n_trials	$200000$	每個 $\Delta N$ 的試驗數
累積週期數	lags	$\{25,100,400\}$	$\Delta N$，呈 $\times4$ 等比
直方圖 bins	—	$120$	density 直方圖
隨機種子	RNG	default_rng(11)	結果可重現

7. 單位表

量	符號	單位	本 lab 取值
單週期增量	$\delta_k,\ \sigma_{edge}$	s	$\sigma_{edge}=50$ fs
累積週期數	$\Delta N$	—（計數）	25 / 100 / 400
累積 jitter	$\Delta t,\ \sigma_{\Delta t}$	s	250 / 500 / 1000 fs
累積時間	$\Delta t=\Delta N/f_0$	s	$\Delta N$ 個週期的時間
比例常數	$\kappa=\sigma_{edge}\sqrt{f_0}$	$\sqrt{s}$	$\approx3.5\times10^{-12}\,\sqrt{s}$
機率密度	—	1/s（圖上 1/fs）	高斯曲線

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

• 三條鐘形曲線（藍/橘/紅對應 $\Delta N=25/100/400$）：直方圖（半透明）與理論高斯曲線 （實線）幾乎完全重合——這就是「RJ 是高斯」的直接證據。
• 越寬代表累積越久：$\Delta N$ 越大，鐘形越矮越寬。注意寬度（$\sigma$）只隨 $\sqrt{\Delta N}$ 成長：$25\to100$（$\times4$）時 $\sigma$ 從 250 fs 變 500 fs（只 $\times2$）； $100\to400$（再 $\times4$）時 500 fs 變 1000 fs（再 $\times2$）。
• legend 的「量得 σ vs 理論」：兩個數字幾乎相同，定量驗證 $\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}$。
• 怎麼用：這解釋了為何 free-running 振盪器不能只用「單週期 jitter」描述長期穩定度 ——jitter 會隨觀測時間長大。要止住累積，必須用 PLL/CDR 把相位鎖回參考（見 lab_13）。

10. 對應 paper 公式/figure

• 核心對應：[P2] A. Hajimiri, S. Limotyrakis, and T. H. Lee, "Jitter and Phase Noise in Ring Oscillators," IEEE JSSC, 34(6), 1999，Eq.(8), p.792： $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$。本 lab 證明其微觀起源是 per-edge 高斯增量的隨機漫步， 並導出 $\kappa=\sigma_{edge}\sqrt{f_0}$。
• 規範第 10.2 節「period / cycle-to-cycle jitter 核」：accumulated jitter「不含差分（低頻 主導）」，對應這裡的純累加（無高通差分核）。
• 相位無 restoring（故累積）：[P1] 的 LTV 相位模型（規範公式 11），與 oscillator_phase 的幾何一致。
• 對應網站圖 monte_carlo_jitter_histogram.png；與 lab_03 的時域累積圖 ring_oscillator_timing_noise_accumulation.png 互為呼應。

11. 限制與 approximation

• 這是 pedagogical toy model，非 transistor-level：我們直接假設每週期一個獨立高斯增量 $\sigma_{edge}$，沒有從 ISF + device noise 推 $\sigma_{edge}$ 的數值（那要 [P2] 的 $\kappa$/FOM 公式，規範公式 22–23，已核實（[P2] Eq.(8)/(12) p.792-793、Eq.(16) p.794、Eq.(23) p.796）)。
• 純 RJ、增量獨立：假設週期間 noise 不相關（白噪在週期尺度上）。真實有 $1/f$ (flicker) 會帶來相關增量，使長期累積偏離單純 $\sqrt{\Delta N}$（close-in $1/f^3$，見 lab_07）。
• 只含 accumulated/long-term jitter：period jitter（單週期偏差）與 cycle-to-cycle jitter（相鄰差）是相位的一/二階差分，不在本圖範圍（規範第 10.2 節）。
• 高斯、無上界：RJ 用 $\sigma$ 描述、尾巴延伸到無窮——這正是 SerDes BER 永遠 $>0$ 的根源 （見 lab_12）。deterministic jitter（DJ，有界） 不在本模型內。
• 有限取樣誤差：sigma_meas 與 sigma_theory 的微小差異來自 n_trials 有限，加大可收斂。

重點回顧

• 累積 jitter = per-edge 高斯增量的隨機漫步：均值 0、variance $\propto\Delta N$、分布高斯。
• $\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}$：$\Delta N$ 加 4 倍、$\sigma$ 只加 2 倍。
• 換成時間即 [P2] Eq.(8) 的 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$，$\kappa=\sigma_{edge}\sqrt{f_0}$。
• 相位無 restoring → jitter 會累積 → free-running 長期穩定度差 → 需 PLL/CDR 鎖回。

延伸閱讀

• 相位為何無恢復力：oscillator_phase
• ring 振盪器的時域累積圖：lab_03_ring_oscillator_toy_model
• PLL/CDR 如何止住累積：lab_13_pll_cdr_transfer
• RJ → SerDes BER：lab_12_serdes_eye_ber
• 用在設計/理論：累積 jitter 如何吃掉 SerDes 時脈預算 → serdes_clocking_connection