Lab 12 — 從 jitter 到 eye 到 BER（SerDes bathtub）

麵包屑：模擬實驗室 › 雜訊與抖動 › 本頁（eye / BER bathtub）。上游：lab_08、lab_11；下游：lab_13。

這個 lab 把整套 ISF 課程的「為什麼要在意 jitter」說到底：振盪器的相位雜訊積分成 rms timing jitter（時間抖動均方根） $\sigma_t$ （見 lab_08）；這個 $\sigma_t$ 就是 SerDes 取樣時鐘的 random jitter（RJ）；RJ 會讓眼圖（eye diagram，多個位元疊起來的開口）閉合，並決定 BER（bit-error rate，位元錯誤率）。我們畫出眼圖與 BER bathtub（浴缸曲線，BER 對取樣時刻的曲線形如浴缸）。

物理直覺（先講結論）：理想時鐘永遠在 UI（unit interval，一個位元的時間長度）正中央取樣，離兩側 data edge 各 $UI/2$ ，最安全。有了 jitter，取樣時刻會隨機左右抖；只要抖到越過某一側的 edge，就取錯位元。RJ 是高斯、無上界，所以永遠有一條尾巴會越過 edge ——BER 永遠 $>0$ ，只是大小由「離 edge 幾個 $\sigma$ 」決定。離得越多個 $\sigma$ ，錯誤機率以 $Q(\cdot)$ （高斯尾巴）指數般地掉，這就是浴缸底部又深又平的原因。

1. 教學目標

把 rms jitter $\sigma_t$ 對應到眼圖閉合與 BER。
寫出並理解 RJ-only 的 BER bathtub 公式（規範第 10.2 節 SerDes BER 式）。
看出「 $\sigma_t$ 越大 → 可用取樣窗（eye opening at a target BER）越窄」。
把 $Q$ -function（高斯尾巴）與「離 edge 幾個 $\sigma$ 」連起來，理解 BER 的指數敏感度。

2. 數學模型

$Q$ -function（高斯尾巴機率）。

Q(x)=\frac12\,\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x}{\sqrt2}\Big),

代表標準高斯超過 $x$ 個 $\sigma$ 的機率。 $x$ 越大、 $Q(x)$ 越小（指數般衰減）。

BER bathtub（RJ only）。 在 UI 內、相對眼中心 offset $t$ 取樣，左 edge 在 $-UI/2$ 、右 edge 在 $+UI/2$ 。取樣時刻被高斯 jitter $\sigma_t$ 抖動，越過任一 edge 就出錯（規範第 10.2 節「SerDes BER（RJ）」）：

\text{BER}(t)=\frac12\Big[\,Q\!\Big(\frac{UI/2-t}{\sigma_t}\Big)+Q\!\Big(\frac{UI/2+t}{\sigma_t}\Big)\Big].

逐項物理：第一項是抖過右 edge（距離 $UI/2-t$ ）的機率；第二項是抖過左 edge （距離 $UI/2+t$ ）的機率。前面的 $\tfrac12$ 是「transition 出現一半時間」的記帳（RJ-only 一階模型）。
眼中心 $t=0$ ：兩項對稱， $\text{BER}(0)=Q(UI/(2\sigma_t))$ ——離兩 edge 都是 $UI/(2\sigma_t)$ 個 $\sigma$ 。這個比值是一切：它叫「以 $\sigma$ 計的眼半寬」。
Dimension check： $Q$ 的引數 $(UI/2-t)/\sigma_t$ 是 $[\text{s}]/[\text{s}]$ 無因次 ✓； BER 是機率（無因次）✓。

眼半寬（以 $\sigma$ 計）決定 BER。 對 $UI=100$ ps：

\frac{UI/2}{\sigma_t}=\frac{50\ \text{ps}}{\sigma_t}.

$\sigma_t=4$ ps → $12.5\sigma$ ； $\sigma_t=8$ ps → $6.25\sigma$ 。 $Q(12.5)\sim10^{-36}$ （極深）， $Q(6.25)\sim2\times10^{-10}$ （淺很多）——jitter 加倍，浴缸底淺好幾十個數量級。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

逐字摘自 simulations/lab_12_serdes_eye_ber.py 的 main()：左圖用 eye_traces 疊出眼圖、右圖用 ber_bathtub 對三組 $\sigma_t$ 畫浴缸曲線。

ui = 100e-12       # 10 Gb/s -> 100 ps UI
sigma_t = 4e-12    # 4 ps rms RJ (e.g. from an integrated 5 GHz clock)

# (a) eye diagram
t, traces = eye_traces(sigma_t, ui, n_traces=300, rng=RNG)
for tr in traces:
    ax.plot(t, tr, color="tab:blue", alpha=0.05, lw=1.0)

# (b) BER bathtub
toff = np.linspace(-ui / 2 * 0.98, ui / 2 * 0.98, 400)
for st, c in zip([2e-12, 4e-12, 8e-12], ["tab:green", "tab:orange", "tab:red"]):
    ber = ber_bathtub(toff, st, ui)
    ax.semilogy(toff / ui, ber, color=c, label=fr"$\sigma_t$={st*1e12:.0f} ps")
ax.axhline(1e-12, color="gray", ls="--", lw=1, label="BER = $10^{-12}$")

底層 ber_bathtub 與 Q（serdes_utils.py）就是規範第 10.2 節的 BER 式逐字實現：

def Q(x):
    """Gaussian tail probability Q(x) = 0.5*erfc(x/sqrt(2))."""
    return 0.5 * erfc(np.asarray(x, dtype=float) / np.sqrt(2.0))

def ber_bathtub(t_offsets, sigma_t, ui):
    t = np.asarray(t_offsets, dtype=float)
    half = ui / 2.0
    ber = 0.5 * (Q((half - t) / sigma_t) + Q((half + t) / sigma_t))
    return np.maximum(ber, 1e-300)

eye_traces 把每個 transition 的 edge 時刻加上 $\mathcal{N}(0,\sigma_t/UI)$ 的抖動（UI 為單位），疊 300 條就成眼圖。
ber_bathtub 直接套 $Q$ -function；np.maximum(ber, 1e-300) 是給 log 圖一個底，避免 $\log 0$ 。

5. 完整 script path

simulations/lab_12_serdes_eye_ber.py （相依模組：simulations/common/serdes_utils.py 的 Q、ber_bathtub、eye_traces； simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。Q 用 scipy.special.erfc。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
單位間隔	`ui`	$100\times10^{-12}$ s	10 Gb/s NRZ → 100 ps UI
眼圖 jitter	`sigma_t`	$4\times10^{-12}$ s	4 ps rms RJ（例：5 GHz 時鐘積分而來）
bathtub jitter 掃	—	$\{2,4,8\}$ ps	三條浴缸曲線
眼圖 trace 數	`n_traces`	$300$	疊圖密度
BER 取樣點	`toff`	$400$ （ $\pm0.98\,UI/2$ ）	浴缸曲線解析度
目標 BER	—	$10^{-12}$	常見 SerDes 規格線
隨機種子	`RNG`	`default_rng(12)`	結果可重現

7. 單位表

量	符號	單位	本 lab 取值
單位間隔	$UI$	s	100 ps
rms jitter	$\sigma_t$	s	2 / 4 / 8 ps
取樣 offset	$t$	s（圖上以 UI 為單位）	$\pm UI/2$
眼半寬（以 σ 計）	$UI/(2\sigma_t)$	—（無因次）	25 / 12.5 / 6.25
BER	$\text{BER}(t)$	—（機率）	$1\sim10^{-18}$
$Q$ 引數	$(UI/2\mp t)/\sigma_t$	—（無因次）	距 edge 的 σ 數

8. 模擬圖

左：RJ σ_t=4 ps、UI=100 ps 的眼圖（中央開口）；右：σ_t=2/4/8 ps 三條 BER bathtub 曲線，jitter 越大浴缸越窄越淺，標註 BER=1e-12 目標線

9. 如何解讀圖

左圖（eye diagram）：300 條被 jitter 抖過的 transition 疊起來，中央留下一個菱形 開口（eye opening）。jitter 把 edge 抹開，開口左右收窄；jitter 再大，開口會閉到無法在任何時刻安全取樣。
右圖（BER bathtub）：三條浴缸曲線（綠/橘/紅 = $\sigma_t=2/4/8$ $σ_{t} = 2/4/8$ ps）。
- 底部深度： $\sigma_t$ 越小，浴缸底越深（BER 越低）。綠線（2 ps）底深到圖外（ $UI/(2\sigma_t)=25\sigma$ ， $Q$ 極小）；紅線（8 ps）底只到 $\sim10^{-10}$ 級。
- 左右壁：靠近 $\pm0.5$ UI（即 edge）BER 衝到 $\sim0.5$ （亂猜）。
- 可用窗（eye opening @ BER）：兩壁與 $10^{-12}$ 虛線的交點之間就是「在該 BER 下可安全取樣的時間窗」。 $\sigma_t$ 越大，這個窗越窄——這就是「jitter 吃掉 timing budget」。
怎麼用：給定資料率（UI）與目標 BER，反推可容忍的 $\sigma_t$ ；再回頭要求時鐘的相位雜訊積分要小於這個 $\sigma_t$ （接回 lab_08）。

10. 對應 paper 公式/figure

BER 式：規範第 10.2 節「SerDes BER（RJ）」： $\text{BER}(t)=\tfrac12[Q(\tfrac{UI/2-t}{\sigma_t})+Q(\tfrac{UI/2+t}{\sigma_t})]$ ， $Q(x)=\tfrac12\mathrm{erfc}(x/\sqrt2)$ 。屬通用通訊/SerDes 實務，不在 5 篇 PDF 內，以標準文獻補充。
jitter 來源： $\sigma_t$ 由相位雜訊積分而來（規範公式 19，見 lab_08）；其底層相位累積機制源自 [P1] 的 ISF/LTV 模型與 [P2] 的 jitter 討論。
RJ 高斯、無上界：與 lab_11 的 Monte-Carlo 結論一致（高斯尾巴 → BER 永遠 $>0$ ）。
對應網站圖 serdes_eye_ber_bathtub.png；設計層面的串接見 serdes_clocking_connection。

11. 限制與 approximation

這是 pedagogical toy model，非 transistor-level：眼圖用 tanh 平滑 edge 近似 NRZ transition、無真實通道/等化器；BER 用閉式 $Q$ 公式，非蒙地卡羅誤碼計數。
RJ-only（只含 random jitter）：忽略 DJ（deterministic jitter，有界，來自 ISI、 duty-cycle distortion、串擾等）。真實 jitter 是 dual-Dirac（RJ ⊛ DJ），浴缸壁會被 DJ 往內推、底部出現平台。本 lab 只示範 RJ 的高斯尾巴部分。
無 amplitude noise / 垂直眼閉：只看 timing（水平眼），不含電壓 noise 造成的垂直閉合。
理想兩位準、無 ISI：假設前後位元乾淨切換、無碼間干擾；高速通道實務需 CTLE/DFE 等化。
$\tfrac12$ 記帳：transition density 取 0.5（隨機資料平均），特定 pattern 會不同。

重點回顧

相位雜訊積分 → $\sigma_t$ → SerDes 取樣時鐘的 RJ → 眼圖閉合 → BER。
$\text{BER}(t)=\tfrac12[Q(\tfrac{UI/2-t}{\sigma_t})+Q(\tfrac{UI/2+t}{\sigma_t})]$ ；眼中心 $\text{BER}(0)=Q(UI/(2\sigma_t))$ 。
關鍵量是以 $\sigma$ 計的眼半寬 $UI/(2\sigma_t)$ ：jitter 加倍、BER 淺好幾十個數量級。
RJ 高斯無上界 → BER 永遠 $>0$ ；浴缸與目標 BER 線的交點界定可用取樣窗。

1. 教學目標​

2. 數學模型​

3. Block diagram​

4. Python 核心 code​

5. 完整 script path​

6. 參數表​

7. 單位表​

8. 模擬圖​

9. 如何解讀圖​

10. 對應 paper 公式/figure​

11. 限制與 approximation​

重點回顧​

延伸閱讀​