Lab 06 — 白噪 → 1/f² 相位雜訊

這個 lab 把整條因果鏈「白噪 → ISF 加權 → 積分 → 相位」用最乾淨的數值方式跑一次， 讓你親眼看到一條平的（white，白色，與頻率無關）電流雜訊功率譜，怎麼被振盪器 這個「相位積分器」染成 $1/f^2$（每十倍頻 $-20$ dB）的相位雜訊。

物理直覺（先講結論）：振盪器的相位沒有恢復力（restoring force，把擾動拉回的力）， 所以每一次 noise 踢出的相位步階都永久累加——這就是一個積分器（integrator， 對輸入做時間積分的系統，infinite memory）。積分器的轉移函數量值是 $1/(2\pi f)$， 對 PSD 是 $1/(2\pi f)^2$。輸入是平的（白噪），輸出就被乘上 $1/f^2$。白進、$1/f^2$ 出， 不是因為雜訊源是 $1/f^2$，而是因為相位是被積分出來的。

1. 教學目標

• 用模擬驗證 [P1] 的招牌結果：白色電流雜訊在振盪器中變成 $1/f^2$ 相位雜訊。
• 看懂 $-20$ dB/decade 斜率從哪裡來（來自積分器，不是來自噪聲源）。
• 量化驗證理論預測式 $S_\phi(f)=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$。
• 理解著名的 factor-of-2（2 倍因子）爭議：時域乾淨推導與 [P1] Eq.(21) 差一個 2 倍， 但 scaling 與斜率完全不受影響。

2. 數學模型

相位響應就是 LTV（linear time-variant，線性時變）卷積式 [P1] Eq.(11), p.182：

$$\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau$$

把它拆成三個 block：先用 ISF 對 noise 做相位加權，再做積分。輸入是白色電流雜訊， 其單邊 PSD（power spectral density，功率譜密度）為常數 $S_i$（$A^2/$Hz）。

對白色輸入做積分，輸出相位 PSD 的乾淨時域結果是

$$S_\phi(f)=\frac{\Gamma_{rms}^2\,S_i}{q_{max}^2\,(2\pi f)^2}.$$

• 怎麼來的：ISF 把白噪加權後，平均功率被 $\Gamma_{rms}^2$（ISF 的 rms 平方， 見 [P1] Eq.(20)）縮放，$q_{max}^2$ 在分母（normalize）；接著積分器在頻域是 $1/(j2\pi f)$，對 PSD 是 $1/(2\pi f)^2$。
• Dimension check：$\Gamma_{rms}^2$ 無因次、$S_i$ 是 $A^2/$Hz、$q_{max}^2$ 是 $C^2$、 $(2\pi f)^2$ 是 $(\text{rad/s})^2=\text{s}^{-2}$。整體 $=\dfrac{A^2/\text{Hz}}{C^2\cdot\text{s}^{-2}}=\dfrac{A^2\,\text{s}^2}{C^2}\cdot\dfrac{1}{\text{Hz}}$。 因為 $C=A\cdot s$，$A^2 s^2/C^2=1$（無因次=rad²），所以 $[S_\phi]=\text{rad}^2/\text{Hz}$ ✓。

這條與 [P1] 招牌式 Eq.(21), p.185 同一個 scaling：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right)$$

factor-of-2 教學註記（務必看）：時域「白噪 × ISF → 積分」乾淨推導得到 $S_\phi=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$，對應 SSB $\mathcal{L}=\Gamma_{rms}^2 S_i/(2q_{max}^2\Delta\omega^2)$（分母 $2$）； 而 [P1] Eq.(21) 寫成分母 $4\Delta\omega^2$。差的這個 2 倍來自 SSB（單邊帶）記帳慣例 ——是文獻上著名的小爭議。它不影響 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ 的 scaling， 也不影響 $-20$ dB/decade 斜率，那才是物理。本 lab 的模擬用的是乾淨時域版（分母 $(2\pi f)^2$）， 所以模擬曲線會貼著時域理論線。詳見 white_noise_to_phase_noise。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

以下逐字摘自 simulations/lab_06_white_noise_phase_noise.py 的 main()：三步驟 （生白噪 → ISF 加權 → cumsum 積分），再用 Welch 法估相位 PSD，疊上理論線。

f0 = 1.0
fs = 256.0                 # 256 samples per period
n = 2 ** 20                # ~4096 periods -> good low-freq resolution
t = np.arange(n) / fs

q_max = 1.0
S_i = 1.0e-4               # one-sided white current PSD [A^2/Hz] (normalized)

# ISF and its rms
theta_grid = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4000, endpoint=True)
Grms = gamma_rms(theta_grid, gamma_lc_ideal(theta_grid))  # = 1/sqrt(2)

# 1) white current noise
i_n = white_noise(n, psd=S_i, fs=fs, rng=RNG)
# 2) ISF weighting
g = gamma_lc_ideal(2 * np.pi * f0 * t) * i_n / q_max
# 3) integrate (cumulative) -> excess phase
dt = 1.0 / fs
phi = np.cumsum(g) * dt
phi = phi - np.mean(phi)   # remove the random-walk DC offset for PSD est.

# 4) estimate phase PSD
f, Sphi = estimate_psd(phi, fs, nperseg=2 ** 16)

# theory line
Sphi_theory = Grms ** 2 * S_i / (q_max ** 2 * (2 * np.pi * f) ** 2)

• 第 3 步 np.cumsum(g) * dt 就是把卷積式裡的 $\int d\tau$ 數值化——累積和就是積分器， 也就是相位「無限記憶」的來源。
• 用的是理想 LC 的 ISF gamma_lc_ideal（$\Gamma(\theta)=-\sin\theta$），其 $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2\approx0.707$（因為 $\langle\sin^2\rangle=1/2$）。

5. 完整 script path

simulations/lab_06_white_noise_phase_noise.py （相依模組：simulations/common/noise_utils.py 的 white_noise、estimate_psd； simulations/common/isf_utils.py 的 gamma_lc_ideal、gamma_rms。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py（產生全部圖到 static/figures/）。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
振盪頻率	f0	$1.0$（normalized）	整個 lab 用 $f_0=1$ 正規化；絕對 dBc/Hz 在 lab_08 算
取樣率	fs	$256$	每週期 256 取樣點
樣本數	n	$2^{20}=1{,}048{,}576$	約 4096 個週期，低頻解析度足夠
最大電荷擺幅	q_max	$1.0$	normalize 用
白噪電流 PSD	S_i	$1\times10^{-4}$	單邊、與頻率無關
ISF	gamma_lc_ideal	$-\sin\theta$	理想 LC，$\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$
PSD 區段長	nperseg	$2^{16}=65{,}536$	Welch 分段，換取低頻解析度
隨機種子	RNG	default_rng(2024)	結果可重現

7. 單位表

量	符號	單位（normalized lab）
時間	$t$	s（$f_0=1$ 時的「週期」為單位）
電流雜訊 PSD	$S_i$	A²/Hz
最大電荷擺幅	$q_{max}$	C
ISF	$\Gamma(\omega_0\tau)$	無因次
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	無因次
excess phase	$\phi(t)$	rad
相位 PSD	$S_\phi(f)$	rad²/Hz
offset 頻率	$f$	Hz（normalized，$f_0=1$）

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

• 藍線（simulated $S_\phi$）：實際從模擬相位序列估出的 PSD。它在 log–log 上是一條 斜率 $-2$ 的直線（每十倍頻下降 $20$ dB），帶有 Welch 估計的隨機起伏。
• 黑虛線（theory）：$\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$ 的解析線。藍線緊貼黑線 ——這就是「白噪 → $1/f^2$」被數值證實。
• 紅點線（$-20$ dB/dec guide）：純斜率參考線，確認斜率正是 $-2$。
• 重點：輸入是平的（$S_i$ 與 $f$ 無關），輸出卻是 $1/f^2$。多出來的 $1/f^2$ 完全來自第 3 步那個積分器。把 ISF 換成別的形狀，只會改變 $\Gamma_{rms}$（上下平移整條線）， 斜率永遠是 $-2$。整條線的高度由 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ 決定，所以放大 $q_{max}$（tank swing）是降低 $1/f^2$ 相位雜訊的主要旋鈕（設計運用見 tank_swing）。

代入本 lab 數字做一個 sanity check：$\Gamma_{rms}^2=0.5$、$S_i=10^{-4}$、$q_{max}=1$， 在 $f=0.1$（normalized）時，$2\pi f=0.6283$，$(2\pi f)^2=0.3948$， $S_\phi=0.5\times10^{-4}/0.3948=1.27\times10^{-4}$ rad²/Hz。圖上 $f=0.1$ 處的高度應在此量級。

10. 對應 paper 公式/figure

• 理論線來源：時域乾淨版 $S_\phi=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$，對應 [P1] Eq.(21), p.185 的 scaling（差 factor-of-2，見上方註記）。
• $\Gamma_{rms}$ 定義：[P1] Eq.(20), p.185，$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2dx=2\Gamma_{rms}^2$。
• 白噪求和式：[P1] Eq.(19), p.185，$\mathcal{L}=10\log_{10}\big(\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f\sum_n c_n^2}{8q_{max}^2\Delta\omega^2}\big)$， 用 Eq.(20) 把 $\sum c_n^2$ 換成 $2\Gamma_{rms}^2$ 即得 Eq.(21)。
• 概念圖出處：paper_001 Eq.(21)（factor-of-2 SSB 註記放在本 lab）。對應網站圖 white_noise_phase_noise_psd.png。

11. 限制與 approximation

• 這是 pedagogical toy model，非 transistor-level：ISF 用解析的 $-\sin\theta$（理想 LC）， 不是從真實電路萃取。$q_{max}=1$、$f_0=1$ 為 normalized 單位，沒有絕對 dBc/Hz （絕對值請見 lab_08 與 numerical_feeling 例 B）。
• 單一白噪源、stationary（穩態）假設：真實電路有多個源、且為 cyclostationary （週期穩態，雜訊強度隨工作點週期變化），要用 $\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha$ 修正 （見 effective_isf）。
• 小角近似：把相位當成可線性疊加且為小量；大相位偏移時 $\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$ 失準。
• factor-of-2：模擬與時域理論線一致（分母 $(2\pi f)^2$），與 [P1] Eq.(21) 的 $4\Delta\omega^2$ 差一個 SSB 記帳的 2 倍，不影響斜率與 scaling。
• 數值限制：低頻段受總模擬時間（$\approx4096$ 週期）與 nperseg 限制，最左端少數點 統計起伏較大；圖上只畫 $f>0.02$ 的可信區段。

重點回顧

• 白噪（平）→ ISF 加權（縮 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$）→ 積分器（乘 $1/(2\pi f)^2$）→ $1/f^2$ 相位雜訊。
• $-20$ dB/decade 斜率來自積分器，與噪聲源頻譜形狀無關。
• 模擬 PSD 緊貼理論線 $\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$。
• factor-of-2 是 SSB 記帳慣例差異，不改 scaling/斜率。

延伸閱讀

• 理論推導全文：white_noise_to_phase_noise
• 卷積/積分器來源：convolution_derivation
• 下一個 lab（1/f 上轉）：lab_07_flicker_noise_upconversion
• 換成絕對 jitter：lab_08_jitter_integration
• 用在設計/理論：用 $q_{max}$（tank swing）壓 $1/f^2$ → tank_swing