Lab 08 — 從 L(f) 積分得 rms jitter

這個 lab 把一張 datasheet 上常見的東西——單邊帶相位雜訊曲線 $\mathcal{L}(f)$（dBc/Hz） ——變成設計師真正在意的數字：rms timing jitter（時間抖動均方根） $\sigma_t$。 我們用一個 canonical 情境（$f_0=5$ GHz、$\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100$ dBc/Hz、$1/f^2$ 斜率、 積 1→100 MHz），讓數值積分與解析閉式逐位吻合：$\sigma_t=447.9$ fs。

物理直覺（先講結論）：相位雜訊是「每個 offset 頻率上有多少相位功率密度」， jitter 是「全部加起來、開根號、換算成時間」。所以從 $\mathcal{L}(f)$ 到 $\sigma_t$ 就是三件事：(1) dBc/Hz 換回 linear 並乘 2 還原 $S_\phi$；(2) 對 offset 頻率積分得相位 variance； (3) 開根號再除以 $2\pi f_0$ 換成時間。對 $1/f^2$ 形狀，積分被下限 $f_1$ 主導 ——「從哪裡開始積」比「積到多高」重要得多。

1. 教學目標

• 把 $\mathcal{L}(f)$（dBc/Hz）一步步換成 rms phase $\sigma_\phi$ 與 rms jitter $\sigma_t$。
• 建立 5 GHz 的換算手感：$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、$1/f^2$、積 1→100 MHz → 約 448 fs。
• 驗證數值積分 = 解析閉式（$1/f^2$ 有 closed form）。
• 理解為何 $1/f^2$ 的 jitter 由積分下限主導。

2. 數學模型

步驟 1：$\mathcal{L}$ → $S_\phi$。 小角／單邊帶近似下（規範公式 16）：

$$\mathcal{L}(\Delta f)\approx\tfrac12 S_\phi(\Delta f)\;\Rightarrow\;S_\phi(f)=2\cdot10^{\mathcal{L}(f)/10}.$$

步驟 2：寫出 $1/f^2$ 形狀（以 $f_{ref}=1$ MHz 錨定，規範例 C）：

$$S_\phi(f)=S_\phi(f_{ref})\left(\frac{f_{ref}}{f}\right)^2.$$

步驟 3：積分得相位 variance（規範公式 18）：

$$\sigma_\phi^2=\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df.$$

對 $1/f^2$ 形狀，這個積分有閉式（$\int f^{-2}df=-1/f$）：

$$\sigma_\phi^2=S_\phi(f_{ref})\,f_{ref}^2\!\int_{f_1}^{f_2}\frac{df}{f^2}=S_\phi(f_{ref})\,f_{ref}^2\left(\frac{1}{f_1}-\frac{1}{f_2}\right).$$

步驟 4：換成 rms jitter（規範公式 19）：

$$\sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df}.$$

• Dimension check（步驟 4）：$\sigma_\phi$ 是 rad，$2\pi f_0$ 是 rad/s， $[\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}]$ ✓。
• 下限主導：$\big(\tfrac1{f_1}-\tfrac1{f_2}\big)=10^{-6}-10^{-8}=9.9\times10^{-7}$， 其中 $1/f_1=10^{-6}$ 佔 99%。所以積分結果幾乎只看 $f_1$。

逐位代入 canonical 數字（與 numerical_feeling 例 C 完全一致）：

$$\begin{aligned} S_\phi(1\text{MHz})&=2\times10^{-100/10}=2\times10^{-10}\ \text{rad}^2/\text{Hz},\\ \sigma_\phi^2&=2\times10^{-10}\,(10^6)^2\,(10^{-6}-10^{-8})=200\times9.9\times10^{-7}=1.98\times10^{-4}\ \text{rad}^2,\\ \sigma_\phi&=1.407\times10^{-2}\ \text{rad}=14.07\ \text{mrad},\\ \sigma_t&=\frac{1.407\times10^{-2}}{2\pi\times5\times10^{9}}=4.479\times10^{-13}\ \text{s}=447.9\ \text{fs}. \end{aligned}$$

3. Block diagram

4. Python 核心 code

逐字摘自 simulations/lab_08_jitter_integration.py 的 main()：先用 leeson_one_over_f2 造出 $1/f^2$ 曲線，再以 integrate_rms_jitter 做數值積分， 最後手算 $1/f^2$ 閉式對拍。

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter

f0 = 5e9
f_ref = 1e6
L_ref = -100.0  # dBc/Hz
f1, f2 = 1e6, 100e6

f = np.logspace(np.log10(f1), np.log10(f2), 4000)
L = leeson_one_over_f2(f, L_ref, f_ref)

# numerical integration
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0, f1, f2)

# analytic closed form (1/f^2)
L_ref_lin = 10 ** (L_ref / 10)
sigma_phi2_analytic = 2 * L_ref_lin * f_ref ** 2 * (1 / f1 - 1 / f2)
sigma_phi_analytic = np.sqrt(sigma_phi2_analytic)
sigma_t_analytic = sigma_phi_analytic / (2 * np.pi * f0)

print(round(sigma_t * 1e15, 1))    # -> 447.9   (sigma_t in fs)
print(round(sigma_phi * 1e3, 2))   # -> 14.07   (sigma_phi in mrad)

底層函式 integrate_rms_jitter（noise_utils.py）做的就是步驟 1、3、4：

l_linear   = 10 ** (l_dbc_per_hz[mask] / 10)   # dBc/Hz -> linear
s_phi      = 2 * l_linear                       # L ~= 0.5 * S_phi
sigma_phi  = np.sqrt(_trapz(s_phi, f[mask]))    # 積分 + 開根號
sigma_t    = sigma_phi / (2 * np.pi * f0)        # 換成時間

• 程式印出 sigma_phi (numeric) ≈ sigma_phi (analytic)、sigma_t ≈ 447.9 fs， 數值與解析逐位一致（差異只來自 logspace 取樣與梯形積分的離散誤差，可忽略）。

5. 完整 script path

simulations/lab_08_jitter_integration.py （相依模組：simulations/common/noise_utils.py 的 leeson_one_over_f2、integrate_rms_jitter。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
振盪頻率	f0	$5\times10^{9}$ Hz	5 GHz carrier
參考 offset	f_ref	$1\times10^{6}$ Hz	1 MHz，錨定點
參考相位雜訊	L_ref	$-100$ dBc/Hz	datasheet 式單一數字
積分下限	f1	$1\times10^{6}$ Hz	1 MHz（主導積分）
積分上限	f2	$100\times10^{6}$ Hz	100 MHz
取樣點數	—	$4000$（logspace）	對數均勻取樣
斜率	—	$1/f^2$（$-20$ dB/dec）	純 skirt

7. 單位表

量	符號	單位	本 lab 結果
相位雜訊	$\mathcal{L}(f)$	dBc/Hz	$-100$ @ 1 MHz
相位 PSD	$S_\phi(f)$	rad²/Hz	$2\times10^{-10}$ @ 1 MHz
相位 variance	$\sigma_\phi^2$	rad²	$1.98\times10^{-4}$
rms phase	$\sigma_\phi$	rad	$14.07$ mrad
rms jitter	$\sigma_t$	s	$447.9$ fs
offset 頻率	$f$	Hz	1–100 MHz
載波頻率	$f_0$	Hz	5 GHz

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

• 藍線（$L(f)$）：在 semilog（x 軸對數）上是一條直線，因為 $1/f^2$ 在 dBc/Hz 對 log-f 下斜率固定（$-20$ dB/dec）。紅點標出錨定點 $\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100$ dBc/Hz。
• 藍色陰影：示意「相位功率分布在哪個 offset 頻率」。$1/f^2$ 下，最靠近 $f_1$ 的部分 貢獻最多——這正是「下限主導」的視覺呈現。
• 文字框：列出積分結果 $\sigma_\phi=14.07$ mrad、$\sigma_t=447.9$ fs，並標註解析值 與數值值相同，證明 closed form 與梯形積分一致。
• 怎麼用：拿到任何 datasheet 的 $\mathcal{L}(f)$ 曲線，照藍線下的面積積分、開根號、 除以 $2\pi f_0$，就得到 jitter。記住 5 GHz 換算點：本例 $\approx448$ fs。 若相位雜訊好 20 dB（$-120$ dBc/Hz @ 1 MHz），功率小 100 倍、$\sigma$ 小 10 倍 → $\approx45$ fs。

10. 對應 paper 公式/figure

• 本 lab 用的是標準 jitter 積分（規範公式 16–19），屬通用 DSP/通訊實務，不在 5 篇 PDF 內 以標準文獻補充；與 [P2] 的 jitter 討論（period/accumulated jitter）精神一致。
• $\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$：規範公式 16（小角近似）。
• phase variance：規範公式 18，$\sigma_\phi^2=\int_{f_1}^{f_2}S_\phi df$。
• rms jitter：規範公式 19，$\sigma_t=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int S_\phi df}$。
• 概念圖出處：standard jitter integration / SerDes practice。對應網站圖 phase_noise_to_jitter_integration.png，並於 numerical_feeling 例 C、 psd_phase_noise_jitter、 serdes_clocking_connection 重複引用。

11. 限制與 approximation

• 小角近似 $\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi$：相位偏移大時失準；本例 $\sigma_\phi=14$ mrad $\ll1$ rad， 近似很好。
• 純 $1/f^2$ skirt 假設：真實曲線還有 $1/f^3$（close-in，見 lab_07） 與遠端的 white floor（雜訊地板）。本 lab 只取單一 $1/f^2$ 段，是教學簡化。 這部分非 toy（積分流程本身是真實工程做法），但 $L(f)$ 形狀是理想化的。
• 積分範圍敏感：$1/f^2$ 由下限 $f_1$ 主導，換 $f_1$ 會明顯改 $\sigma_t$；上限影響小。 實務上 $f_1$、$f_2$ 要依應用（PLL 環路頻寬、資料率）選定。
• 數值=解析：兩者只差離散積分誤差（logspace + 梯形法），在本設定下可忽略。

重點回顧

• $\mathcal{L}$(dBc/Hz) → linear → $\times2$ 得 $S_\phi$ → 積分 → 開根號 → $\div(2\pi f_0)$ = rms jitter。
• canonical：5 GHz、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz、$1/f^2$、積 1→100 MHz → $\sigma_\phi=14.07$ mrad、$\sigma_t=447.9$ fs。
• $1/f^2$ 的 jitter 由積分下限主導（$1/f_1$ 項）。
• 數值積分與 $1/f^2$ 解析閉式逐位一致。

延伸閱讀

• 口算版同題：numerical_feeling（例 C）
• PSD 與 jitter 種類：psd_phase_noise_jitter
• close-in $1/f^3$ 來源：lab_07_flicker_noise_upconversion
• 用在設計/理論：rms jitter 如何決定 eye 與 BER → serdes_clocking_connection