Lab 10 — phase noise 如何把載波塗成 RF 裙帶

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這個 lab 把抽象的相位雜訊 PSD $S_\phi(f)$ 跟你在頻譜分析儀（spectrum analyzer）上真正看到的東西連起來：一個理想載波是頻譜上的一條線；有了 phase noise，這條線就被「塗開」成一片 skirt（裙帶，載波兩側連續下滑的 sidebands）。我們在時域直接合成 $v(t)=\cos(\omega_0 t+\phi(t))$ 、做 FFT，眼見為憑——這正是 [P1] Fig. 8 的圖像，也是 **dBc/Hz（相對載波每赫茲的功率，decibels relative to carrier per Hz）**這個單位的由來。

物理直覺（先講結論）：相位雜訊不是「另外加一個雜訊源在旁邊」，而是載波自己的相位在抖。把抖動的相位 $\phi(t)$ 塞進餘弦的相位裡，做 phase modulation（相位調變，PM），載波的能量就會從那條乾淨的譜線「漏」到鄰近的 offset 頻率上。漏多遠、漏多少，由 $\phi(t)$ 的頻譜形狀決定： $1/f^2$ 的相位雜訊 → 載波兩側 $-20$ dB/dec 下滑的裙帶。看到裙帶，就是看到了 $S_\phi(f)$ 被「搬到」載波旁邊。

1. 教學目標

從時域 PM 訊號 $v(t)=\cos(\omega_0 t+\phi(t))$ 出發，用 FFT 看出 phase noise 造成的 sideband skirt（裙帶）。
對照「理想載波（幾乎只有單一譜線）」與「有 phase noise（連續裙帶）」，理解 dBc/Hz 的物理意義。
把 $1/f^2$ 的相位雜訊（白噪積分而成）對應到載波兩側 $-20$ dB/dec 的裙帶斜率。
把這張圖認成 [P1] Fig. 8 的時域版本。

2. 數學模型

載波 + excess phase。 一個被相位雜訊污染的振盪輸出寫成（規範公式 1 的特例， $A(t)$ 視為常數）：

v(t)=\cos\!\big(\omega_0 t+\phi(t)\big),\qquad \omega_0=2\pi f_0 .

$\phi(t)$ 是 $1/f^2$ 的相位雜訊。 白噪 $w(t)$ 經過相位積分器（規範公式 11 的精神：noise 先被 $\Gamma/q_{max}$ 加權、再被 $\int dt$ 積分），得到一個隨機漫步式的相位：

\phi(t)=\frac{1}{f_s}\sum_{k\le t f_s} w_k\;\;\Longrightarrow\;\; S_\phi(f)\propto\frac{1}{f^2}.

為什麼積分白噪得到 $1/f^2$ ：積分器在頻域是 $1/(j2\pi f)$ ，功率轉移為 $1/f^2$ ；白噪 ( $S_w$ 平坦) 通過後得 $S_\phi(f)\propto S_w/f^2$ 。這正是 free-running 振盪器最招牌的 $1/f^2$ skirt（規範公式 21 的頻譜形狀）。

RF 頻譜 = PM 訊號的功率譜。 對 $v(t)$ 加窗（Hanning）後做 FFT、取模平方、normalize 到載波峰值：

P(f)=\frac{\lvert\mathcal{F}\{v(t)\,w_{\text{win}}(t)\}\rvert^2}{\max_f\lvert\cdots\rvert^2},\qquad P_{\text{dBc}}(\Delta f)=10\log_{10}P(f_0+\Delta f).

小角近似下的 sideband 機制（規範第 10.2 節「 $L\approx\tfrac12 S_\phi$ 」）：令 $\phi(t)=\phi_p\sin\omega_m t$ ，小角下

\cos(\omega_0 t+\phi)\approx\cos\omega_0 t-\frac{\phi_p}{2}\big[\cos(\omega_0-\omega_m)t-\cos(\omega_0+\omega_m)t\big].

每個 sideband 相對載波的功率是 $(\phi_p/2)^2$ ；對連續譜的 $\phi(t)$ 疊加起來，就是裙帶。

Dimension check： $\phi$ 、 $\phi_p$ 都是 rad（無因次）， $P/P_{\max}$ 無因次，取 $10\log_{10}$ 得 dBc ✓。offset $\Delta f$ 與 $f$ 同單位（此 lab 用 normalized 單位）。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

逐字摘自 simulations/lab_10_rf_spectrum.py 的 main()：先把白噪 cumsum 成 $1/f^2$ 的相位 phi（scale 到 ~0.03 rad rms 以維持小角），再合成乾淨載波與含雜訊載波，最後加 Hanning 窗做 rFFT、normalize 到峰值、轉 dB。

fs = 8192.0
n = 2 ** 18
t = np.arange(n) / fs
f0 = 512.0  # carrier (normalized units), 16 samples/cycle

# 1/f^2 phase noise: integrate white noise, scale to a visible (small) rms
white = RNG.standard_normal(n)
phi = np.cumsum(white) / fs
phi -= phi.mean()
phi *= 0.03 / np.std(phi)  # ~0.03 rad rms -> small-angle regime

v_clean = np.cos(2 * np.pi * f0 * t)
v_noisy = np.cos(2 * np.pi * f0 * t + phi)

win = np.hanning(n)
def spec(x):
    X = np.fft.rfft(x * win)
    P = np.abs(X) ** 2
    return P / P.max()
f = np.fft.rfftfreq(n, 1 / fs)
Pc = spec(v_clean)
Pn = spec(v_noisy)

off = f - f0  # offset from carrier

phi = np.cumsum(white) / fs 就是離散積分器（ $1/f^2$ 的來源）。
phi *= 0.03 / np.std(phi) 把 rms 壓到 ~0.03 rad，確保停留在小角區（這樣裙帶才正比 $S_\phi$ ，不會冒出強的高階諧波 sideband）。
P / P.max() 把功率 normalize 到載波峰值，於是縱軸自然是 dBc。

5. 完整 script path

simulations/lab_10_rf_spectrum.py （相依模組：simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。其餘全用 numpy/matplotlib。）

執行方式：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	變數	值	說明
取樣率	`fs`	$8192$ （normalized）	每秒取樣數（無因次單位）
樣本數	`n`	$2^{18}=262144$	FFT 長度，決定頻率解析度
載波頻率	`f0`	$512$ （normalized）	每週期 16 個取樣點
相位 rms	—	$\approx0.03$ rad	scale 後的 $\phi$ rms（小角）
相位形狀	—	$1/f^2$ （cumsum 白噪）	free-running 招牌 skirt
窗函數	`win`	Hanning	降低 FFT 旁瓣洩漏
顯示 offset	`off`	$1\sim2000$ （normalized）	載波右側裙帶範圍
隨機種子	`RNG`	`default_rng(10)`	結果可重現

註：此 lab 刻意用 normalized 單位（fs、f0 無物理量綱），重點在形狀（裙帶斜率與單線 vs 連續譜的對比），不是絕對 Hz。

7. 單位表

量	符號	單位	本 lab 取值
時間	$t$	（normalized）s	$0\sim n/f_s$
載波頻率	$f_0$	（normalized）Hz	$512$
excess phase	$\phi(t)$	rad	rms $\approx0.03$
offset 頻率	$\Delta f$	（normalized）Hz	$1\sim2000$
相對功率	$P/P_{\max}$	dBc	$-90\sim0$
相位 PSD	$S_\phi(f)$	rad²/Hz	$\propto1/f^2$

8. 模擬圖

phase noise 把載波塗成裙帶：藍線為理想載波（近單一譜線），紅線為含 1/f² phase noise 的連續 sideband 裙帶，橫軸為對載波 offset、縱軸為 dBc

9. 如何解讀圖

藍線（理想載波）：能量幾乎全集中在載波本身，offset 一拉開就掉到很低——在頻譜上「幾乎只有一條線」。殘留的小裙帶來自 FFT 的有限長度與窗洩漏，不是物理 phase noise。
紅線（有 phase noise）：載波兩側出現連續、隨 offset 增大而下滑的 skirt。在 log-offset 軸上接近直線下滑，對應 $1/f^2$ 的 $-20$ dB/dec：這就是 dBc/Hz 曲線的時域起源。
單線 vs 裙帶的對比就是這張圖的核心訊息：相位在抖 → 載波能量外漏 → 譜線變裙帶。「裙帶越低、越陡」代表相位雜訊越小。
怎麼用：頻譜分析儀上量到的裙帶高度（相對載波、每 Hz），就是 $\mathcal{L}(\Delta f)$ (dBc/Hz)。把它積分（見 lab_08）就得到 rms jitter。本 lab 讓你「看見」這條曲線是怎麼從時域 PM 長出來的。

10. 對應 paper 公式/figure

核心對應：[P1] A. Hajimiri and T. H. Lee, "A General Theory of Phase Noise in Electrical Oscillators," IEEE JSSC, 33(2), 1998，Fig. 8——展示相位雜訊把載波塗成 sideband 裙帶。本 lab 是它的時域合成版本。 [P1] Fig. 8 在 p.183（已對照原始 PDF）。
載波分解：規範公式 1， $V_{out}(t)=A(t)f(\omega_0 t+\phi(t))$ （此處取 $A$ 常數、 $f=\cos$ ）。
sideband 機制（小角 PM → $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$ ）：規範第 10.2 節「 $L\approx\tfrac12 S_\phi$ （小角 PM）」。
$1/f^2$ skirt 的根源：相位積分白噪，與規範公式 21（[P1] Eq.(21), p.185）的頻譜形狀一致。
對應網站圖 rf_spectrum_phase_noise_sidebands.png；延伸見 white_noise_to_phase_noise、 psd_phase_noise_jitter。

11. 限制與 approximation

這是 pedagogical toy model，非 transistor-level：我們直接「注入」一個 $1/f^2$ 相位雜訊，沒有真正模擬電晶體 noise 經 ISF 加權的全流程；目的是看「裙帶長什麼樣」。
小角假設： $\phi$ rms $\approx0.03$ rad $\ll1$ ，所以裙帶正比 $S_\phi$ 、無強高階 sideband。相位偏移大時 PM 會生出載波壓縮與高階 sidebands，本圖不涵蓋。
normalized 單位：fs、f0 無物理量綱，橫軸 offset 也是 normalized；重點是形狀與對比，不是絕對 Hz。要對到真實 5 GHz、dBc/Hz，需設定真實取樣率與 $S_\phi$ 絕對位準。
FFT 假象：藍線的殘留裙帶與紅線遠端的地板，部分來自有限長度 FFT 與 Hanning 窗洩漏，不全是物理 phase noise。加大 n、換更尖的窗可降低。
單一隨機實現：圖來自固定種子的一條 $\phi(t)$ ；嚴格的 $\mathcal{L}(f)$ 要對多次實現做 ensemble 平均（Welch），見 lab_06。

重點回顧

phase noise 不是旁邊多一個源，而是載波自己的相位在抖 → 能量從單線外漏成 sideband 裙帶。
時域 $v(t)=\cos(\omega_0 t+\phi(t))$ 做 FFT，就能「看見」[P1] Fig. 8 的裙帶。
$1/f^2$ 相位雜訊（積分白噪）→ 載波兩側 $-20$ dB/dec 的裙帶；裙帶高度即 dBc/Hz。
小角 PM 下每個 sideband 相對功率 $(\phi_p/2)^2$ ，疊加成連續譜（ $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$ ）。

1. 教學目標​

2. 數學模型​

3. Block diagram​

4. Python 核心 code​

5. 完整 script path​

6. 參數表​

7. 單位表​

8. 模擬圖​

9. 如何解讀圖​

10. 對應 paper 公式/figure​

11. 限制與 approximation​

重點回顧​

延伸閱讀​