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數值手感 Numerical Feeling

理論再漂亮，沒有數字就沒有手感。這頁用三個小例子，把 phase、time、dBc/Hz、jitter 之間的換算練成反射動作。每個例子都附 Python 驗證；完整函式庫在 simulations/common/。

公式來源：相位/時間/jitter 換算與 1/f² 積分皆為標準結果，並與 [P1] A. Hajimiri and T. H. Lee, "A General Theory of Phase Noise in Electrical Oscillators," IEEE JSSC, 33(2), 1998（尤其 Eq.(21)）一致；逐步推導見 impulse_to_phase_shift 與 psd_phase_noise_jitter。

為什麼先練數字：類比設計師在白板上估數量級的能力，比記公式重要。看到 「−100-100 dBc/Hz @ 1 MHz、5 GHz」，你要能在 30 秒內估出「大概幾百 fs jitter」。

Example 1：phase → time​

若 f0=5f_0=5 GHz、Δϕ=1\Delta\phi=1 mrad，求 timing error。

Δt=Δϕ2πf0=1×10−3 rad2π×5×109 Hz=10−33.1416×1010 s≈3.18×10−14 s=31.8 fs.\Delta t=\frac{\Delta\phi}{2\pi f_0}=\frac{1\times10^{-3}\ \text{rad}}{2\pi\times5\times10^{9}\ \text{Hz}}=\frac{10^{-3}}{3.1416\times10^{10}}\ \text{s}\approx3.18\times10^{-14}\ \text{s}=31.8\ \text{fs}.
  • Dimension check：[rad]/[rad/s]=[s][\text{rad}]/[\text{rad/s}]=[\text{s}] ✓（2πf02\pi f_0 是 rad/s）。
  • 手感：5 GHz 下「1 mrad ≈ 32 fs」。週期是 200 ps，所以 1 mrad 約是週期的 1.6×10−41.6\times10^{-4}。
from simulations.common.noise_utils import phase_to_time_error
print(phase_to_time_error(1e-3, 5e9) * 1e15, "fs")   # -> 31.83 fs

Example 2：injected charge → phase step → time​

若 qmax=1q_{max}=1 pC、Δq=1\Delta q=1 fC、Γ=0.5\Gamma=0.5，求 phase step 與（在 5 GHz 的）timing error。

相位步階：

Δϕ=Γ Δqqmax=0.5×10−1510−12=5×10−4 rad  (≈0.0286∘).\Delta\phi=\frac{\Gamma\,\Delta q}{q_{max}}=\frac{0.5\times10^{-15}}{10^{-12}}=5\times10^{-4}\ \text{rad}\;(\approx0.0286^\circ).

時間誤差（f0=5f_0=5 GHz）：

Δt=5×10−42π×5×109≈15.9 fs.\Delta t=\frac{5\times10^{-4}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx15.9\ \text{fs}.
  • 手感：1 fC ≈ 6240 個電子；在最敏感相位也只踢出 ~16 fs。單顆很小，但 noise 持續踢、 會被相位積分器累積（見 convolution_derivation）。
  • 完整推導見 impulse_to_phase_shift（例 A）。
from simulations.common.isf_utils import impulse_to_phase_step
from simulations.common.noise_utils import phase_to_time_error
dphi = impulse_to_phase_step(1e-15, 0.5, 1e-12)
print(dphi, "rad ->", phase_to_time_error(dphi, 5e9)*1e15, "fs")  # 0.0005 rad -> 15.92 fs

Example 3：phase noise plot → rms jitter（要會積分）​

若 L(1 MHz)=−100\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=-100 dBc/Hz、假設 1/f² 斜率、由 1 MHz 積到 100 MHz、 f0=5f_0=5 GHz，估 rms jitter。

步驟 1：dBc/Hz 換成 linear 並還原 phase PSD。 單音小角近似下 L(f)≈12Sϕ(f)\mathcal{L}(f)\approx\frac12 S_\phi(f)，所以 Sϕ(f)=2⋅10L(f)/10S_\phi(f)=2\cdot10^{\mathcal{L}(f)/10}。 在 1 MHz：L=−100\mathcal{L}=-100 dBc/Hz ⇒10−10\Rightarrow 10^{-10}，Sϕ(1MHz)=2×10−10S_\phi(1\text{MHz})=2\times10^{-10} rad²/Hz。

步驟 2：寫出 1/f² 形狀。 以 fref=1f_{ref}=1 MHz 錨定：

Sϕ(f)=Sϕ(fref)(freff)2=2×10−10(106f)2.S_\phi(f)=S_\phi(f_{ref})\left(\frac{f_{ref}}{f}\right)^2=2\times10^{-10}\left(\frac{10^6}{f}\right)^2.

步驟 3：積分得 phase variance。

σϕ2=∫f1f2Sϕ(f) df=2×10−10 (106)2 ⁣∫106108dff2=2×102(1106−1108).\sigma_\phi^2=\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df=2\times10^{-10}\,(10^6)^2\!\int_{10^6}^{10^8}\frac{df}{f^2}=2\times10^{2}\left(\frac{1}{10^6}-\frac{1}{10^8}\right). σϕ2=200×(10−6−10−8)=200×9.9×10−7=1.98×10−4 rad2⇒σϕ=1.407×10−2 rad=14.07 mrad.\sigma_\phi^2=200\times(10^{-6}-10^{-8})=200\times9.9\times10^{-7}=1.98\times10^{-4}\ \text{rad}^2\Rightarrow\sigma_\phi=1.407\times10^{-2}\ \text{rad}=14.07\ \text{mrad}.

步驟 4：換成 rms jitter。

σt=σϕ2πf0=1.407×10−22π×5×109≈4.48×10−13 s=447.9 fs.\sigma_t=\frac{\sigma_\phi}{2\pi f_0}=\frac{1.407\times10^{-2}}{2\pi\times5\times10^{9}}\approx4.48\times10^{-13}\ \text{s}=447.9\ \text{fs}.
  • 手感：積分被下限 f1f_1 主導（1/f11/f_1 項最大）——所以「從哪裡開始積」對 1/f² 很關鍵。
  • 參考點：若這顆是 −120-120 dBc/Hz @ 1 MHz（好 10 倍功率、102=10\sqrt{10^2}=10 倍電壓），jitter 約縮到 ~45 fs。
  • 這正是 lab_08 的圖；數值積分與解析式完全一致。

由 L(f) 積分得 rms jitter

import numpy as np
from simulations.common.noise_utils import leeson_one_over_f2, integrate_rms_jitter

f  = np.logspace(6, 8, 4000)                 # 1 MHz -> 100 MHz
L  = leeson_one_over_f2(f, L_ref_dbc=-100, f_ref=1e6)   # 1/f^2 skirt
sigma_t, sigma_phi = integrate_rms_jitter(f, L, f0=5e9, fmin=1e6, fmax=100e6)
print(sigma_phi*1e3, "mrad ;", sigma_t*1e15, "fs")   # -> 14.07 mrad ; 447.9 fs

完整 script：simulations/lab_08_jitter_integration.py。

參數與單位速查​

量符號單位換算
相位誤差Δϕ,σϕ\Delta\phi,\sigma_\phirad11 rad =180/π≈57.3∘=180/\pi\approx57.3^\circ
時間誤差Δt,σt\Delta t,\sigma_tsΔt=Δϕ/(2πf0)\Delta t=\Delta\phi/(2\pi f_0)
phase PSDSϕS_\phirad²/HzSϕ=2⋅10L/10S_\phi=2\cdot10^{\mathcal{L}/10}
SSB phase noiseL\mathcal{L}dBc/HzL≈12Sϕ\mathcal{L}\approx\frac12 S_\phi（→ dB）
電荷Δq,qmax\Delta q,q_{max}C1 fC =10−15=10^{-15} C

重點回顧​

  • 5 GHz 換算記憶點：1 mrad ≈ 32 fs；1 rad ≈ 31.8 ps。
  • dBc/Hz → linear → Sϕ=2×S_\phi=2\timeslinear → 積分 → 開根號 → ÷(2πf0)\div(2\pi f_0) = rms jitter。
  • 1/f² 的 jitter 由積分下限主導。
  • 三個例子的數字都能用 simulations/common/ 內建函式一行驗證。