Lab 01 — 正弦振盪器與 limit cycle 的相位/振幅幾何

這是整個 ISF（Impulse Sensitivity Function，脈衝敏感度函數；振盪器對 noise 的「相位敏感度」權重） 故事的第一個 lab。我們先不碰任何公式裡的常數，只用一張 2-D 平面圖建立一個會跟你 一輩子的幾何直覺：振盪器的狀態在一條封閉軌跡（limit cycle，極限環）上轉圈；一個 擾動把狀態點推開後，沿著環的方向（切向）那一份變成相位、離開環的方向（徑向） 那一份變成振幅；而相位沒有恢復力、振幅有——這就是「為什麼相位雜訊會永久累積」的根。

物理直覺（先講結論）：把振盪想成一顆珠子沿著一圈軌道等速繞行。你從側面推它 （切向）→ 它在軌道上的位置（相位）被永久挪動，沒有任何力把它推回原來的時刻。你從 外側往內推它（徑向）→ 軌道半徑（振幅）變了，但振盪器的 AGC／device 非線性會把 半徑慢慢拉回穩態。所以只有切向那一份會變成永久的相位誤差。同一個 impulse，注在 波形的哪個相位，切向／徑向的分配比例不同——這就是 ISF $\Gamma(\omega_0\tau)$ 在描述的事。

1. 教學目標

• 在 2-D state space 看見 limit cycle，分清楚 phase（相位，切向） 與 amplitude（振幅，徑向） 兩種擾動的幾何方向。
• 理解振幅擾動會被 restoring（恢復）機制拉回 limit cycle，相位擾動則永久殘留。
• 看懂為什麼同樣大小的 current impulse（電流脈衝），注在波峰幾乎只改振幅 （$\Gamma\approx0$）、注在過零點幾乎只改相位（$|\Gamma|$ 最大）——這正是 ISF 是 「時變（LTV）」而非「時不變（LTI）」的最直接證據。
• 為後面 lab_02 的 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$ 與 impulse_to_phase_shift 的推導鋪好幾何地基。

2. 數學模型

我們用一個 normalized（無因次化）的 2-D 振盪器 state model。狀態 $z=(x,y)$，其中可以把 $x$ 想成電容電壓、$y$ 想成（正比於）電感電流：

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt}&=-\omega_0\,y+\mu\,(1-r^2)\,x,\\ \frac{dy}{dt}&=\;\;\omega_0\,x+\mu\,(1-r^2)\,y,\qquad r^2=x^2+y^2. \end{aligned}$$

• 第一項 $\pm\omega_0$ 的耦合：是純旋轉。若 $\mu=0$，這就是理想無耗 LC：狀態以角速度 $\omega_0$ 等速繞單位圓，振幅 marginally stable（不增不減），對應 $V(t)=\cos\omega_0 t$。
• 第二項 $\mu(1-r^2)z$：是 Van der Pol 式的振幅恢復。當 $r>1$（被推到圓外）此項向內拉、 $r<1$（被推到圓內）此項向外推，把軌跡拉回 $r=1$ 的 limit cycle。它模擬每個真實振盪器 都必須有的 AGC／device 非線性（沒有它，振幅會發散或衰減）。
• dimension check：式子已 normalize，$x,y,r$ 皆無因次，$\omega_0,\mu$ 量綱為 rad/s， 兩邊都是「無因次 ÷ 秒」✓。

擾動如何進來：一個注入到電容節點的 current impulse，沉積電荷 $\Delta q=\int i\,dt$，造成瞬間電壓步階 $\Delta V=\Delta q/C_{node}$（[P1] Eq.(9), p.182）：

$$\Delta V=\frac{\Delta q}{C_{node}}.$$

在 normalized 單位（$A=1$、$q_{max}=C_{node}\cdot A=C_{node}$）下，這就是對 $x$ 狀態加上一步 $\Delta x=\Delta q/q_{max}$。注意它只動電容電壓 $x$、不動電感電流 $y$（電感電流不能瞬變）， 所以在 state space 裡是一個沿 $x$ 軸的水平跳變——這一點在 impulse_to_phase_shift 第 2 步講得更細。

toy model 聲明：這是 pedagogical toy model（教學用玩具模型），非 transistor-level。 它忠實重現「相位/振幅分解」與「相位無恢復力」這些機制，但不產生任何真實電路的雜訊數字。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

以下節錄自實際 script（已對照 simulations/lab_01_sinusoidal_oscillator.py）。 fig_limit_cycle 從一個離環的起點 $(x_0,y_0)=(1.7,0)$ 開始積分，於是你會看到軌跡 鬆弛回 limit cycle；再用兩支箭頭標出切向（相位）與徑向（振幅）方向：

from oscillator_models import simulate_lc, sinusoidal_oscillator

def fig_limit_cycle():
    f0 = 1.0          # normalized
    fs = 4000.0
    # 從離環起點開始：軌跡會鬆弛回單位圓 limit cycle (mu=0.6 提供 amplitude restoration)
    t, x, y = simulate_lc(f0, t_end=3.0, fs=fs, mu=0.6, x0=1.7, y0=0.0)

    # 操作點選在 theta = pi/4
    p = np.array([np.cos(np.pi / 4), np.sin(np.pi / 4)])
    tang = np.array([-p[1], p[0]]) * 0.45   # 切向(相位)方向：垂直於半徑
    rad  = p * 0.45                          # 徑向(振幅)方向：沿著半徑
    # tang 那一份 -> 永久相位 Δφ ; rad 那一份 -> 振幅 ΔA, 會被拉回

第二張圖把同樣大小的 impulse 標在波峰（$\theta=0$）與過零點（$\theta=\pi/2$，即 $t=0.25T$）， 凸顯「注入相位決定效果」：

def fig_impulse_markers():
    f0, fs = 1.0, 4000.0
    t = np.arange(int(2.0 * fs)) / fs
    v = sinusoidal_oscillator(t, f0, amp=1.0)   # V(t)=cos(2*pi*f0*t)

    t_peak = 0.0          # 波峰 theta=0  -> 只改振幅 (Gamma ~ 0)
    t_zc   = 0.25 / f0    # 過零 theta=pi/2 -> 只改相位 (|Gamma| 最大)

底層的 state 積分（RK4）與 impulse 注入在 simulate_lc() 內，注入即 xi += impulse_dx，亦即對 $x$ 狀態加上 $\Delta q/q_{max}$ 的步階。

5. 完整 script path

simulations/lab_01_sinusoidal_oscillator.py （依賴 simulations/common/oscillator_models.py 的 simulate_lc、sinusoidal_oscillator， 以及 simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。）

跑法：python scripts/run_all_sims.py（會產生全站圖到 static/figures/）， 或單獨 python simulations/lab_01_sinusoidal_oscillator.py。

6. 參數表

參數	程式變數	值	意義
振盪頻率	f0	1.0（normalized）	本 lab 只看形狀，用無因次頻率
取樣率	fs	4000	每週期 4000 點，足夠平滑
振幅恢復強度	mu	0.6（limit cycle 圖）/ 1.0	Van der Pol 係數；越大越快拉回環
起始狀態	x0, y0	(1.7, 0.0)	故意離環，展示鬆弛回 limit cycle
波峰注入相位	$\theta$	0	$\Gamma\approx0$：只改振幅
過零注入相位	$\theta$	$\pi/2$（$t=0.25T$）	$\vert \Gamma\vert$ 最大：只改相位

7. 單位表

量	符號	單位	備註
時間	$t$	週期數（normalized）	圖上橫軸以週期計
state $x$	$x$	normalized（≈ 電容電壓）	無因次
state $y$	$y$	normalized（≈ 電感電流）	無因次
角頻率	$\omega_0=2\pi f_0$	rad/s	normalized 下 $=2\pi$
相位擾動	$\Delta\phi$	rad	切向分量，永久
振幅擾動	$\Delta A$	normalized	徑向分量，會衰減
ISF	$\Gamma(\omega_0\tau)$	無因次	切向/徑向分配比例

8. 模擬圖

(圖一) limit cycle 上的相位 vs 振幅擾動

(圖二) 同樣大小的 impulse 注入相位不同 → 效果完全不同

9. 如何解讀圖

圖一（state space）：

• 黑色虛線單位圓是穩態 limit cycle；藍色實線是從 $(1.7,0)$ 出發、被 $\mu(1-r^2)z$ 項一圈圈拉回單位圓的軌跡——這就是「振幅擾動會被恢復」的眼見為憑。
• 黑點是操作點 $\theta=\pi/4$。綠色箭頭（切向） 是相位方向：沿著環移動，等於把珠子在 軌道上往前/往後挪，沒有任何力把它推回，所以這份永久累積。
• 紅色箭頭（徑向） 是振幅方向：把點推離/推近圓心，會被 restoring 拉回，不留痕跡。
• 關鍵心法：任何擾動向量都可以分解成這兩個正交分量；只有投影到綠色切向的那一份才會 變成永久相位誤差。

圖二（波形）：

• 藍線是 $V(t)=\cos(2\pi f_0 t)$。紅色三角標在波峰：此處波形斜率為 0，水平的電壓跳變 幾乎完全是徑向（改振幅），切向分量 $\approx0$，故 $\Gamma\approx0$。
• 綠色三角標在過零點：此處波形斜率最大，水平電壓跳變幾乎完全是切向（改相位）， 故 $|\Gamma|$ 最大。
• 把這兩點連起來看：同樣的 $\Delta q$、不同的注入時刻 $\tau$ → 完全不同的 $\Delta\phi$。 系統對 impulse 的響應依賴絕對注入相位，這正是 LTV 的定義性特徵（對照 lti_vs_ltv）。

10. 對應 paper 公式／figure

• 概念來源：[P1] Fig. 4, p.182——Hajimiri–Lee 用 LC 與 ring 的 state-space limit cycle 示範「impulse 注在波峰（改振幅）vs 過零（改相位）」。本 lab 兩張圖是重畫的 toy 概念圖 （redrawn conceptual，非 transistor-level、非從論文圖逐點複製）。
• 電荷→電壓步階：[P1] Eq.(9), p.182，$\Delta V=\Delta q/C_{node}$。
• ISF 與脈衝響應（下一步會用到）：[P1] Eq.(10), p.182：

$$h_\phi(t,\tau)=\frac{\Gamma(\omega_0\tau)}{q_{max}}\,u(t-\tau).$$

其中 unit step $u(t-\tau)$ 正是圖一「相位擾動永久殘留」的數學寫法。

• 後續：理想 LC 的 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$（最大值在過零、零在波峰，與圖二吻合）在 lab_02 與 isf_definition 導出。

11. 限制與 approximation

• 這是 pedagogical toy model，非 transistor-level。$\mu(1-r^2)z$ 只是「有 amplitude restoring」的最簡寫法，不代表任何真實 device 的恢復動力學；真實振幅恢復時間常數、 AM–PM 轉換都需 transistor-level / Floquet 分析。
• 小訊號假設：把擾動投影成「切向＋徑向」是線性化，要求 $\Delta q\ll q_{max}$。大注入 會非線性地改變 ISF 本身（見 lab_02 的線性度驗證）。
• 窄脈衝假設：把 impulse 當成瞬間電壓跳變，要求脈衝寬度 $\ll T$；寬脈衝要回到 Eq.(11) 的積分形式。
• 本 lab 刻意不給絕對單位數字（用 normalized $f_0=1$）——它教的是幾何與符號方向， 真正帶單位的 canonical 數值（$q_{max}=1$ pC、$\Delta q=1$ fC、$f_0=5$ GHz、$\Delta\phi=5\times10^{-4}$ rad、 $\Delta t=15.9$ fs）見 impulse_to_phase_shift 例 A 與 numerical_feeling。

重點回顧

• 振盪器狀態在 limit cycle 上轉圈；擾動分解為切向（相位，永久）與徑向（振幅，會被拉回）。
• 相位沒有恢復力——這是相位雜訊得以無限累積（隨機漫步）的物理根源。
• 同樣大小的 impulse：注波峰 → 改振幅（$\Gamma\approx0$）；注過零 → 改相位（$|\Gamma|$ 最大）。
• 「效果依賴注入相位」= LTV 的本質，也是 ISF 存在的理由。
• 來源：[P1] Fig. 4 與 Eq.(9),(10)，p.182。