Lab 03 — Ring 振盪器 toy model：累積 jitter 隨機漫步與 ISF 比較

lab_02 看的是單一 impulse 的相位跳變。 真實世界裡 noise 是持續踢的，於是相位誤差會一步步累積。Ring oscillator（環形振盪器， 由 $N$ 級反相器接成環、每級延遲 $\tau_D$）是觀察這件事最乾淨的對象，因為它沒有絕對時間 參考：每一個 edge（轉態）的時刻都建立在前一個 edge 之上，前面的誤差會永久傳遞下去。

這個 lab 做兩件事：(1) 用 edge-time 模型展示累積 jitter 的隨機漫步 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8), p.792；κ 由 Eq.(12), p.793）；(2) 對比 LC 平滑的 $-\sin\theta$ 與 ring「集中在 transition、隨級數 $N$ 變小」的 toy ISF，並指出 這個 toy model 看得見什麼、看不見什麼。

物理直覺（先講結論）：每一拍（每個 edge）都被獨立的雜訊踢出一點點 timing error， 而且這個 error 加到累積的 edge 時刻上、永遠不會被修正（開環、無參考）。獨立小步累加 = 隨機漫步（random walk）：走 $m$ 步後的位置變異數 $\propto m$，所以標準差 $\propto\sqrt{m}$， 也就是時間誤差 $\sigma_{\Delta t}\propto\sqrt{\Delta t}$。這跟「醉漢走路離原點的距離隨步數開根號」 是同一回事。

1. 教學目標

• 理解 ring 振盪器沒有絕對時間參考 → 每個 edge 的誤差持續傳遞 → 形成 random walk。
• 用模擬看 accumulated（long-term）jitter $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$ 的 $\sqrt{\Delta t}$（斜率 $1/2$，log–log 上）標度（[P2] Eq.(8)）。
• 對比 LC 的平滑 ISF $-\sin\theta$（$\Gamma_{rms}=0.707$）與 ring 的 toy ISF：能量集中在 transition、峰高 $\sim1/\sqrt N$、隨級數 $N$ 增加 $\Gamma_{rms}$ 下降。
• 釐清 toy model 的邊界：看得見機制（random walk、ISF 形狀差異），看不見真實常數 （$\kappa$、$\Gamma_{rms}$ 的精確值、correlated noise 的不同標度）。

2. 數學模型

(A) Edge-time 隨機漫步。把 ring 的輸出抽象成一串轉態時刻 $\{t_k\}$。理想時每拍長度為 週期 $T=1/f_0$；實際每拍加上一個獨立的高斯 timing 擾動，標準差 $\sigma_{edge}$：

$$t_{k}=t_{k-1}+T+\delta_k,\qquad \delta_k\sim\mathcal{N}(0,\sigma_{edge}^2)\ \text{i.i.d.}$$

於是相隔 $m$ 拍的 edge 時間差 $t_{k+m}-t_k$ 的擾動部分是 $\sum_{j=1}^{m}\delta_j$。獨立相加 → 變異數相加：

$$\operatorname{Var}\!\Big(\sum_{j=1}^{m}\delta_j\Big)=m\,\sigma_{edge}^2 \;\Longrightarrow\; \sigma_{\Delta t}(m)=\sigma_{edge}\sqrt{m}.$$

把步數 $m$ 換成時間 $\Delta t=mT$，即得 [P2] Eq.(8), p.792：

$$\boxed{\;\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}\;},\qquad \kappa=\frac{\sigma_{edge}}{\sqrt{T}}.$$

• dimension check：$[\kappa]=[\text{s}]/[\text{s}]^{1/2}=[\text{s}]^{1/2}=\sqrt{\text{s}}$， 與 notation 表一致；$\kappa\sqrt{\Delta t}=\sqrt{\text{s}}\cdot\sqrt{\text{s}}=\text{s}$ ✓。
• 關鍵假設：各拍擾動互相獨立（uncorrelated）。論文（[P2] Sec. III, p.793）明確區分： thermal noise 這類不相關源 → 變異數相加 → $\sigma\propto\sqrt{\Delta t}$（本 lab）；而 substrate/supply/$1/f$ 這類**完全相關（correlated）**源 → 標準差相加 → $\sigma\propto\Delta t$（本 toy model 不模擬這支，見第 11 節）。

(B) Ring vs LC ISF 形狀。ring 的能量集中在 transition（轉態瞬間斜率最大、最敏感），ISF 不像 LC 的平滑 $-\sin$，而是在每次轉態附近有尖峰。本 lab 用一個三角波 toy ISF 來「示意」 這件事，峰高隨級數 $N$ 縮小：

$$\Gamma_{ring}^{toy}(\theta)\propto\frac{1}{\sqrt N}\times(\text{每半週期一個三角脈衝}).$$

這呼應 [P2] 主張的 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 標度趨勢（越多級、每級對總相位影響越小）。

toy model 聲明：兩部分都是 pedagogical toy model，非 transistor-level。隨機漫步用 抽象的 per-edge 高斯擾動（不是從 device thermal noise 算出來的）；三角 ISF 只是「能量集中在 transition」的示意形狀，不是萃取出來的 ring ISF，常數待真實萃取驗證。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

節錄自 simulations/lab_03_ring_toy_model.py（已對照原始碼）。累積 jitter 用 accumulated_jitter_curve（內部對 n_trials 個 trial 做 per-period 高斯增量的 cumsum， 即隨機漫步），ISF 比較用 gamma_lc_ideal、gamma_triangular、gamma_rms：

from oscillator_models import accumulated_jitter_curve
from simulations.common.isf_utils import gamma_lc_ideal, gamma_triangular, gamma_rms

RNG = np.random.default_rng(12345)

def fig_accumulation():
    f0 = 5e9              # 5 GHz
    sigma_edge = 50e-15   # 每拍 50 fs rms 的獨立 timing 擾動
    # 對 2000 個 trial 做 per-period 高斯增量的 cumsum -> random walk
    lags, sigma_dt = accumulated_jitter_curve(
        f0, sigma_edge, max_lag_periods=500, n_trials=2000, rng=RNG)
    # 模擬點 vs 理論 sigma_edge*sqrt(lags)，在 log-log 上應為斜率 1/2 的直線

def fig_lc_vs_ring_isf():
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000, endpoint=True)
    g_lc  = gamma_lc_ideal(theta)               # -sin(theta), 平滑
    g_r5  = gamma_triangular(theta, n_stages=5)  # toy 三角, 峰高 ~ 1/sqrt(5)
    g_r15 = gamma_triangular(theta, n_stages=15) # toy 三角, 峰高 ~ 1/sqrt(15)
    # gamma_rms(theta, g_lc)=0.707, g_r5=0.258, g_r15=0.149 -> N↑ 則 rms↓

accumulated_jitter_curve 的核心就是 walk = np.cumsum(incr, axis=1)，再對 trial 取 np.std——這把「隨機漫步的變異數隨步數線性成長」直接量出來。

5. 完整 script path

simulations/lab_03_ring_toy_model.py （依賴 simulations/common/oscillator_models.py 的 accumulated_jitter_curve（與 ring_edge_times）； simulations/common/isf_utils.py 的 gamma_lc_ideal、gamma_triangular、gamma_rms； simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。）

跑法：python scripts/run_all_sims.py 或 python simulations/lab_03_ring_toy_model.py。

6. 參數表

參數	程式變數	值	意義
振盪頻率	f0	$5\times10^{9}$ Hz（5 GHz）	與全站 canonical $f_0$ 一致
每拍 timing 擾動	sigma_edge	$50\times10^{-15}$ s（50 fs）	單拍獨立高斯擾動 rms
最大量測間隔	max_lag_periods	500 週期（$=100$ ns @ 5 GHz）	累積到的最長 lag
trial 數	n_trials	2000	Monte-Carlo 統計樣本
亂數種子	RNG	12345	結果可重現
LC ISF	gamma_lc_ideal	$-\sin\theta$	$\Gamma_{rms}=0.707$
ring toy ISF（N=5）	gamma_triangular(.,5)	峰高 $1/\sqrt5$	$\Gamma_{rms}=0.258$
ring toy ISF（N=15）	gamma_triangular(.,15)	峰高 $1/\sqrt{15}$	$\Gamma_{rms}=0.149$

7. 單位表

量	符號	單位	備註
量測間隔	$\Delta N$（週期）／$\Delta t$（秒）	週期 / s	$\Delta t=\Delta N\cdot T$
累積 jitter	$\sigma_{\Delta t}$	s（圖上 fs）	rms
每拍擾動	$\sigma_{edge}$	s	50 fs
比例常數	$\kappa$	$\sqrt{\text{s}}$	$\kappa=\sigma_{edge}/\sqrt T$
相位	$\theta$	rad	ISF 自變數
ISF	$\Gamma(\theta)$	無因次	LC 與 ring 比較
rms ISF	$\Gamma_{rms}$	無因次	$\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Gamma^2\,d\theta}$
級數	$N$	無因次	ring 反相器級數

8. 模擬圖

(圖一) 累積 jitter 的 √Δt 隨機漫步

(圖二) LC vs ring ISF 比較

9. 如何解讀圖

圖一（累積 jitter，log–log）：

• 藍點是 2000 個 trial 模擬出的 $\sigma_{\Delta t}$，黑虛線是理論 $\sigma_{\Delta t}=\sigma_{edge}\sqrt{\Delta N}$。兩者貼合成一條斜率 $1/2$ 的直線 （log–log 上 $\sqrt{}$ 就是斜率 $1/2$）——這就是隨機漫步的指紋。
• 數值手感：$\sigma_{edge}=50$ fs，走 1 拍 $\sigma=50$ fs；走 500 拍 $\sigma=50\times\sqrt{500}\approx1118$ fs $\approx1.12$ ps（@ 5 GHz，500 拍 $=100$ ns）。 量測時間拉長 100 倍（1→100 拍），jitter 只長 $\sqrt{100}=10$ 倍——這就是「為什麼開環 振盪器越跑越偏、但偏得越來越慢」。
• 對照：若是 PLL 鎖定，有了絕對參考，累積會被截斷（不在本 toy 範圍）。

圖二（ISF 比較）：

• 藍線是 LC 的 $-\sin\theta$，平滑、$\Gamma_{rms}=0.707$。紅線（N=5）與綠線（N=15）是 ring 的 toy 三角 ISF：能量集中在 transition（每半週期一個尖峰），且峰越來越矮。
• 讀出的 $\Gamma_{rms}$：LC $=0.707$、ring N=5 $=0.258$、ring N=15 $=0.149$。級數 $N$ 越大、 $\Gamma_{rms}$ 越小——這定性地呼應 [P2] 的 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 趨勢（更多級， 每級對總相位的權重被攤薄）。因為 $1/f^2$ phase noise $\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ （[P1] Eq.(21)），這解釋了「設計上 ring 的級數/功耗如何影響相位雜訊」（見 lc_vs_ring）。
• 注意：本 toy 三角的絕對峰高與精確 $N^{-3/2}$ 係數未經真實萃取驗證，只示意趨勢。

10. 對應 paper 公式／figure

• 累積 jitter（核心）：[P2] Eq.(8), p.792：

$$\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}.$$

論文 [P2] Sec. III（p.793）的敘述明確說明：因為「任何較早 transition 的不確定性會影響其後 所有 transition，且其效應 persists indefinitely」，故 uncorrelated 源下變異數相加、 $\sigma\propto\sqrt{\Delta t}$；本 lab 圖一直接重現此式（對照 [P2] Fig. 3、Fig. 4 的 「rms jitter vs 量測時間 log–log」概念）。

• 相關源的另一支：[P2] 同節指出 correlated 源（substrate/supply/$1/f$）下標準差相加， $\sigma\propto\Delta t$（斜率 1，非 1/2）。本 toy 只模擬 uncorrelated。
• ring 頻率（背景）：[P2] Eq.(15), p.794：$f_0=\dfrac{1}{2N\tau_D}$。
• $\Gamma_{rms}$ 標度：[P2] Eq.(16), p.794：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$（[P2] Eq.(16), p.794（v7 已重核：根號只蓋常數， $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$；正文 4/N^1.5@η=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N^-0.75）， 本 lab 只定性呼應；對照 [P2] Fig. 8 的 $\Gamma_{rms}$ vs $N$）。本 lab 兩張圖為 重畫的 toy 概念圖（非從論文圖逐點複製、非 transistor-level）。
• 與 phase noise 連結：$\Gamma_{rms}$ 透過 [P1] Eq.(21), p.185 影響 $1/f^2$ phase noise。

11. 限制與 approximation — toy model 看得見/看不見什麼

看得見（這個 toy model 教得對的機制）：

• 開環振盪器無絕對時間參考 → 誤差永久傳遞 → 累積 jitter 的 random walk 本質。
• uncorrelated noise 下 $\sigma_{\Delta t}\propto\sqrt{\Delta t}$（log–log 斜率 $1/2$）。
• ring ISF 能量集中在 transition 的定性形狀，與 LC 平滑 $-\sin$ 的對比。
• $N$ 越大 $\Gamma_{rms}$ 越小的趨勢方向。

看不見（toy model 抓不到、需 transistor-level / 真實萃取的東西）：

• 真實的 $\kappa$、$\sigma_{edge}$：本 lab 的 50 fs 是手放的數字，不是從 device thermal noise + $\Gamma$ + $q_{max}$ 算出來的（那要 [P1] Eq.(21) 與真實 ISF）。
• correlated noise 的不同標度：substrate/supply/$1/f$ 造成 $\sigma\propto\Delta t$（斜率 1）， 本模型完全不含這支；真實 ring 兩種趨勢都會出現（[P2] Sec. III）。
• 精確的 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 常數與真實 ring ISF 形狀：三角波只是示意， 真實 ISF 要靠 transient/adjoint 萃取（相關的 PPV/adjoint/Floquet 不在下載的 5 篇 PDF 內， 以標準文獻補充，見 effective_isf）。
• flicker（$1/f$）upconversion 與 cyclostationary：本 lab 的 per-edge 擾動是純白、對稱， 不含 $1/f^3$ close-in 行為（見 lab_07）。
• small-lag 飽和：[P2] 註腳提到更精確處理下 phase noise 在 $f_0\to0$ 不會無限成長（會變平）， 本隨機漫步在大 lag 不含此修正——但如論文所言，對本討論「無實際差別」。

重點回顧

• ring 無絕對時間參考 → 誤差永久傳遞 → 累積 jitter 是 random walk。
• uncorrelated noise：$\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8)）；模擬 log–log 斜率 $1/2$，50 fs/拍 → 500 拍 ≈ 1.12 ps。
• correlated noise 則 $\sigma\propto\Delta t$（本 toy 不含）。
• ring ISF 集中在 transition、峰高 $\sim1/\sqrt N$；$\Gamma_{rms}$（LC 0.707 → ring N=5 0.258 → N=15 0.149）隨 $N$ 下降，呼應 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$。
• 來源：[P2] Eq.(8),(14),(16)、Sec. III、Fig. 3,4,8；連結 [P1] Eq.(21)。