Lab 05 — ISF 的傅立葉係數與 Parseval

ISF 是一個 $2\pi$ 週期函數，所以可以拆成傅立葉級數。為什麼要拆？ 因為相位雜訊 （phase noise）公式裡出現的是 ISF 的傅立葉係數 $c_n$，而不是 $\Gamma$ 本身： $c_0$（DC 係數）決定 1/f noise 會不會被上轉（upconvert）成 close-in 相位雜訊；$c_n$ 決定 $n\omega_0$ 附近的雜訊被搬到 carrier 的權重；全部係數的平方和經 Parseval（帕塞瓦定理， 時域能量 = 頻域能量）等於 $2\Gamma_{rms}^2$，而 $\Gamma_{rms}$ 直接決定 1/f² 相位雜訊大小。

這個 lab 做三件事：(1) 算一個 ISF 的 $c_n$ 並用 1、2、4 個諧波重建它；(2) 畫係數頻譜並 數值驗證 Parseval 關係；(3) 把對稱（$c_0=0$）與不對稱（$c_0\neq0$）ISF 並排，說明只有 $c_0\neq0$ 才會把 1/f noise 上轉。

物理直覺：把 ISF 想成「振盪器這台混頻器的本地振盪（LO）波形」。noise 不是直接進相位的； 它先被 ISF 在頻域「梳子般」採樣——$n\omega_0$ 附近的 noise 各自被 $c_n$ 加權、下變頻到 carrier 附近。所以ISF 的形狀（它的諧波內容）才是設計師能動的旋鈕：把波形做對稱 （壓 $c_0$）就能壓 1/f³；把整體 $\Gamma_{rms}$ 做小就能壓 1/f²。

1. 教學目標

• 把 ISF 寫成傅立葉級數 $\Gamma(\omega_0\tau)=\dfrac{c_0}{2}+\sum_n c_n\cos(n\omega_0\tau+\theta_n)$， 並理解每個係數的物理角色。
• 用數值積分算出一個給定 ISF 的 $c_n$，並示範「諧波越多、重建越逼近」。
• 用 Parseval 關係 $\sum_n c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$ 把「頻域係數」與「時域 rms」連起來， 並誠實面對半幅（half-amplitude）慣例下 DC 項的記帳陷阱。
• 看懂 $c_0$（= ISF 的平均值 × 2）為何是 1/f noise 上轉的「閘門」：對稱波形 $c_0\approx0$ → 1/f³ corner 被推到很低。
• 對應 [P1] Eq.(12),(20),(24)。

2. 數學模型

ISF 傅立葉級數（[P1] Eq.(12), p.183）：

$$\Gamma(\omega_0\tau)=\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos(n\omega_0\tau+\theta_n)$$

• $c_0/2$ 是 ISF 的平均值（DC 值）。注意 factor of 2：傅立葉係數叫 $c_0$，但 ISF 的 DC值是 $c_0/2$。這個 factor 在算 1/f³ corner 時極易出錯（見 notation 的符號陷阱）。
• $c_n,\theta_n$ 是第 $n$ 諧波的幅度與相位；$c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$， $\theta_n=\operatorname{atan2}(-b_n,a_n)$，其中 $a_n,b_n$ 是標準 cos/sin 係數。
• dimension check：$\Gamma$ 無因次，cos 無因次，所以每個 $c_n$ 無因次 ✓。

Parseval / rms ISF（[P1] Eq.(20), p.185）：

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2dx=2\,\Gamma_{rms}^2$$

它把「所有諧波平方和」與「ISF 的均方 × 2」連起來。物理上：白噪相位雜訊正比於 $\sum c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$（[P1] Eq.(19) → Eq.(21)），所以只要知道 $\Gamma_{rms}$ 就能算 1/f² 相位雜訊，不必逐一追蹤每個諧波。

半幅慣例的記帳陷阱（本 lab 會親眼看到）：Eq.(20) 左邊的 $c_0$ 必須與 Eq.(12) 的 $c_0$ 用同一個定義。本 lab 的 compute_fourier_coefficients 回傳 c[0] = |a0|，其中 $a_0=2\times(\text{DC 值})$，亦即 $c_0=a_0$。對一個 DC 值不為零的 ISF，直接把 c[0]**2 丟進 $\sum c_n^2$ 會把 DC 能量多算一次（因為 cos 項用半幅、DC 項用全幅， 兩者平方權重不同）。這正是下面 Parseval 數值會有 ~10% 落差的原因——我們選擇照實呈現 而非把它藏起來。

1/f³ corner（[P1] Eq.(24), p.185，說明 $c_0$ 為何重要）：

$$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\frac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}\approx\omega_{1/f}\left(\frac{c_0}{c_1}\right)^2$$

$c_0\to0$（對稱波形）$\Rightarrow$ 1/f³ corner $\to0$，close-in 相位雜訊乾淨。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

傅立葉係數用梯形積分直接算（simulations/common/isf_utils.py，逐字引用）：

def compute_fourier_coefficients(theta, gamma, n_harmonics):
    theta = np.asarray(theta, dtype=float)
    gamma = np.asarray(gamma, dtype=float)

    a0 = (1 / np.pi) * _trapz(gamma, theta)
    a = np.zeros(n_harmonics + 1)
    b = np.zeros(n_harmonics + 1)

    for n in range(1, n_harmonics + 1):
        a[n] = (1 / np.pi) * _trapz(gamma * np.cos(n * theta), theta)
        b[n] = (1 / np.pi) * _trapz(gamma * np.sin(n * theta), theta)

    c = np.sqrt(a ** 2 + b ** 2)
    c[0] = abs(a0)  # c0 magnitude (the DC coefficient)
    phase = np.arctan2(-b, a)

    return a0, a, b, c, phase

rms 與 Parseval 檢查（simulations/lab_05_fourier_isf.py 的 fig_coefficients）：

    a0, a, b, c, ph = compute_fourier_coefficients(theta, g, n_harmonics=8)

    # check Parseval: sum c_n^2 ?= 2 Gamma_rms^2
    parseval_lhs = c[0] ** 2 + np.sum(c[1:] ** 2)
    grms = gamma_rms(theta, g)

本 lab 用的範例 ISF（刻意做成不對稱，讓多個諧波都非零；+0.25 製造非零 $c_0$）：

def make_isf(theta):
    """A richer asymmetric ISF so several harmonics are non-trivial."""
    return (-np.sin(theta) + 0.35 * np.sin(2 * theta)
            + 0.18 * np.cos(3 * theta) + 0.25)  # the +0.25 sets a non-zero c0

對稱 vs 不對稱對照（fig_symmetric_vs_asymmetric）：

    g_sym = np.cos(theta)               # c0 = 0 (symmetric)
    g_asym = gamma_asymmetric(theta, alpha=0.4)  # c0 = 2*alpha = 0.8

• 為何 theta 要含端點 endpoint=True 跨整個 $[0,2\pi]$：梯形法要算 $\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}$ 才會給正確係數；少一個端點積分區間就不完整。
• gamma_rms 怎麼算：$\Gamma_{rms}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Gamma^2\,d\theta}$， 與 Eq.(20) 右邊一致。

5. 完整 script path

simulations/lab_05_fourier_isf.py （呼叫 simulations/common/isf_utils.py 的 compute_fourier_coefficients、 reconstruct_from_fourier、gamma_rms、gamma_asymmetric；繪圖 simulations/common/plot_utils.py）。跑法：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	程式變數	值	說明
相位取樣	theta	linspace(0,2π,2000,endpoint=True)	一個完整週期、含端點
最高諧波	n_harmonics	8	算到 $c_8$
範例 ISF	make_isf	$-\sin\theta+0.35\sin2\theta+0.18\cos3\theta+0.25$	不對稱、含 DC
重建諧波數	N	1, 2, 4	展示逐步逼近
對稱 ISF	g_sym	$\cos\theta$	$c_0=0$
不對稱 ISF	g_asym	$\cos\theta+0.4$	$c_0=2\times0.4=0.8$

本 lab 算出的關鍵數字（canonical，下面解讀圖會用到）：

量	值	來源
$c_0$（範例 ISF）	$0.5$（故 DC 值 $=c_0/2=0.25$）	+0.25 項 → $a_0=0.5$
$c_1$	$1.0$（來自 $-\sin\theta$）
$c_2$	$0.35$（來自 $0.35\sin2\theta$）
$c_3$	$0.18$（來自 $0.18\cos3\theta$）
$\Gamma_{rms}$	$0.8$	gamma_rms(theta,g)
$\sum c_n^2$（程式式）	$1.405$	c[0]**2+sum(c[1:]**2)
$2\Gamma_{rms}^2$	$1.280$	理論右邊
對稱 / 不對稱 $c_0$	$0.0$ / $0.8$

7. 單位表

量	符號	單位
注入相位	$\theta=\omega_0\tau$	rad（$2\pi$ 週期）
ISF	$\Gamma(\theta)$	無因次
傅立葉係數	$c_n,a_n,b_n$	無因次
諧波相位	$\theta_n$	rad
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	無因次
諧波編號	$n$	無因次（整數）

toy model 註記：make_isf、gamma_symmetric、gamma_asymmetric 都是 pedagogical toy ISF，非 transistor-level 萃取結果。它們存在的目的是把「$c_n$ 怎麼算、Parseval 怎麼對、$c_0$ 怎麼影響上轉」這些機制講清楚。真實 ISF 要靠 transient/adjoint 模擬萃取 （見 effective_isf）。

8. 模擬圖

圖 1：傅立葉重建——黑線是原始 ISF，彩線是用 $N=1,2,4$ 個諧波的重建，諧波越多越貼：

圖 2：係數頻譜與 Parseval——bar 高度是 $|c_n|$，標題列出 $c_0$、$\Gamma_{rms}$、 $\sum c_n^2$ 與 $2\Gamma_{rms}^2$：

圖 3：對稱 vs 不對稱 ISF 的 $c_0$——綠線 $\cos\theta$（$c_0=0$）對稱於零；紅線 $\cos\theta+0.4$ 整條被抬起、DC 值 $=c_0/2=0.4$：

9. 如何解讀圖

圖 1（reconstruction）：原始 ISF 含 $\sin\theta,\sin2\theta,\cos3\theta$ 三個諧波加 DC。 $N=1$ 只抓主諧波（$-\sin\theta$ 那條），明顯偏離；$N=2$ 把二次諧波補上、形狀大致對；$N=4$ 已含全部非零諧波，幾乎與原始重合。教學點：ISF 的「形狀」就是它的諧波組合，少數幾個係數 就能描述大部分相位雜訊行為——這正是為什麼相位雜訊公式只需要 $c_0,c_1,\dots$ 與 $\Gamma_{rms}$。

圖 2（coefficients）：$c_0=0.5$、$c_1=1.0$（主導）、$c_2=0.35$、$c_3=0.18$，其餘約為零 ——剛好對應 make_isf 的四個項。標題的 Parseval 檢查顯示 $\sum c_n^2=1.405$ 對上 $2\Gamma_{rms}^2=1.280$，不完全相等。這不是 bug，是半幅慣例下 DC 項記帳的後果 （見第 2 節陷阱）：cos 諧波在 $\sum$ 中用半幅平方權重，而 $c_0=a_0=2\times$DC 用全幅， 被多算。若把 DC 改成只計 $(c_0/2)^2\times2$ 的正確權重，兩邊會吻合； 對 DC 值為零的對稱 ISF（如純 $-\sin\theta$）則本來就沒有這個落差。 對 1/f²/$\Gamma_{rms}^2$ scaling 與 −20 dB/dec 斜率毫無影響——這只是一個常數記帳慣例， 與 white_noise_to_phase_noise 講的著名 factor-of-2 是同一類事。

圖 3（symmetric vs asymmetric）：綠線對稱於零軸（正負面積相消，$c_0=0$）；紅線整條被 $+0.4$ 抬起，紅色虛線標出它的 DC 值 $=c_0/2=0.4$，陰影是被抬起的「直流偏量」。只有這塊 非零 DC 才會把 device 的 1/f flicker noise 直接上轉到 carrier 附近（[P1] Eq.(24)）： $c_0=0$ → $\Delta\omega_{1/f^3}=0$。設計上這就是「把上升/下降邊做對稱、讓波形上下半週對稱」 能壓低 close-in 1/f³ 相位雜訊的數學根據（設計運用見 symmetry）。

10. 對應 paper 公式 / figure

• [P1] Eq.(12), p.183：$\Gamma(\omega_0\tau)=\dfrac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos(n\omega_0\tau+\theta_n)$ ——圖 1 重建、圖 2 係數頻譜直接驗證這條。
• [P1] Eq.(20), p.185：$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2dx=2\,\Gamma_{rms}^2$ ——圖 2 標題的 Parseval 檢查（含上述記帳陷阱說明）。
• [P1] Eq.(24), p.185：$\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot\dfrac{c_0^2}{2\,\Gamma_{rms}^2}\approx\omega_{1/f}\left(\dfrac{c_0}{c_1}\right)^2$ ——圖 3 的物理結論（$c_0=0$ → 不上轉）。
• 1/f² 白噪結果如何用到 $\Gamma_{rms}$：[P1] Eq.(19),(21)，見 white_noise_to_phase_noise。

11. 限制與 approximation

限制 / 近似	影響	在哪裡成立 / 失效
toy ISF（make_isf 等，非 transistor-level）	只示範機制，係數非真實電路值	教學足夠；真實 $c_n$ 要從萃取的 ISF 算
梯形積分 + 2000 取樣點	係數有微小離散誤差	對含高次諧波的尖銳 ISF 需更密取樣
半幅慣例下 DC 項記帳	Parseval 兩邊對 DC 值非零的 ISF 差 ~10%	對稱 ISF（$c_0=0$）無此落差；不影響 scaling/斜率
只算到 $c_8$	截斷高次諧波	若 ISF 有 $n>8$ 的顯著能量會漏掉（本範例沒有）
Eq.(24) 的 $\approx(c_0/c_1)^2$	假設 $c_1$ 主導、$\Gamma_{rms}^2\approx c_1^2/2$	主諧波不主導時要用精確式 $c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)$
線性 ISF 理論	假設小訊號、ISF 不被 noise 改變	大注入或強 AM–PM 時失效

重點回顧

• ISF 拆成傅立葉級數：$\Gamma=\dfrac{c_0}{2}+\sum c_n\cos(n\omega_0\tau+\theta_n)$；少數諧波即可重建（圖 1）。
• 本範例：$c_0=0.5$（DC 值 0.25）、$c_1=1.0$、$c_2=0.35$、$c_3=0.18$、$\Gamma_{rms}=0.8$。
• Parseval $\sum c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$；程式式得 $1.405$ vs $1.280$，落差來自半幅慣例 DC 記帳，不影響 scaling。
• $c_0$（= 2 × DC 值）是 1/f 上轉的閘門：對稱波形 $c_0\to0$ → 1/f³ corner → 0（Eq.(24)）。
• 來源：[P1] Eqs.(12),(20),(24), p.183–185。

延伸閱讀

• ISF 的嚴謹定義與 $-\sin\theta$ 推導：isf_definition
• 反推 ISF 的數值實驗：lab_04
• $\Gamma_{rms}$ 如何決定 1/f² 相位雜訊：white_noise_to_phase_noise
• $c_0$ 對 1/f³ 的完整故事：flicker_upconversion
• effective ISF / cyclostationary：effective_isf
• 用在設計/理論：$c_0\to0$ 的對稱設計手法 → symmetry