Lab 09 — 設計取捨綜合 scaling

麵包屑：模擬實驗室 › 雜訊與抖動 › 本頁（設計取捨入門）。上游：lab_06、lab_08；進階版：lab_17。

前面八個 lab 把每個機制各別跑通了。這個綜合 lab 不引入新模擬，而是把 [P1] Eq.(21) 這條招牌式當成設計旋鈕地圖：固定其他條件，分別掃 $q_{max}$、$\Gamma_{rms}$、 ring 級數 $N$，看 phase noise $\mathcal{L}$ 與 rms jitter $\sigma_t$ 怎麼動。 全程用 canonical 數值（規範第 8 節）做口算，建立「動哪個旋鈕、賺幾 dB」的反射。

物理直覺（先講結論）：$1/f^2$ phase noise $\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$。 想降相位雜訊只有兩條大路：把訊號電荷 $q_{max}$ 做大（多存能量，雜訊相對變小）， 或把 ISF $\Gamma_{rms}$ 做小（讓波形對雜訊不敏感）。 兩者都是 $20\log_{10}$ 的關係：$q_{max}$ 加倍 → 相位雜訊 $-6$ dB； $\Gamma_{rms}$ 減半 → 也是 $-6$ dB。ring 振盪器的 $N$ 同時動兩件事，要小心淨效果。

1. 教學目標

• 把 [P1] Eq.(21) 讀成 scaling law，建立 $q_{max}$、$\Gamma_{rms}$、$N$ 的設計直覺。
• 用 canonical 數值算出「動一個旋鈕賺幾 dB / 幾 fs」。
• 看懂 ring 振盪器 $N$ 的雙面性（$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$，但功率/面積也漲）。
• 把 scaling 結論連到各 design insight 頁。

2. 數學模型

起點是 [P1] Eq.(21), p.185：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right)$$

把對數展開成「相加的旋鈕」（固定 $\Delta\omega$、$S_i=\overline{i_n^2}/\Delta f$）：

$$\mathcal{L}=20\log_{10}\Gamma_{rms}-20\log_{10}q_{max}+10\log_{10}S_i-20\log_{10}(2\Delta\omega)+\text{const}.$$

• 讀法：每個旋鈕都是 $20\log_{10}$（電壓/電荷類）或 $10\log_{10}$（功率類）。 $q_{max}$ 與 $\Gamma_{rms}$ 都進 $20\log_{10}$，所以「加倍/減半 = $\pm6$ dB」。

jitter 與 phase noise 同源：對 $1/f^2$ skirt，$\sigma_t=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int S_\phi df}$ （規範公式 19），而 $S_\phi\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$，所以

$$\sigma_t\;\propto\;\frac{\Gamma_{rms}}{q_{max}}\qquad(\text{固定}f_0,\ S_i,\ \text{積分範圍}).$$

• dB 與 jitter 的橋：$\mathcal{L}$ 降 $6$ dB（功率 $\times\frac14$）→ $\sigma_t$ 減半（$\sqrt{}$）。

ring 振盪器：[P2] 給出兩條 scaling——級數越多，每級 ISF 越尖但 rms 越小（[P2] Eq.(16), p.794）：

$$\Gamma_{rms}=\sqrt{\dfrac{2\pi^2}{3\eta^3}}\;\dfrac{1}{N^{1.5}}\quad(\text{[P2] Eq.(16), p.794（v7 已重核：根號只蓋常數，}\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}\text{；η=0.75 時 ≈ 4/}N^{1.5}\text{，即 [P2] Fig.8 的實線）}),\qquad f_0=\frac{1}{2N\tau_D}\ \text{[P2] Eq.(15)}.$$

• 單看 phase noise，$N$ 從 5 → 15（$\times3$）：$\Gamma_{rms}$ 乘 $3^{-3/2}=0.192$， $\mathcal{L}$ 變化 $20\log_{10}0.192=-14.3$ dB。但級數多 → 功率、面積、$q_{max}$ 分配都變， 且 $f_0$ 下降（除非縮 $\tau_D$），所以這只是「孤立看 $\Gamma_{rms}$」的 toy scaling，非淨設計結論。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

本 lab 不產生新圖，scaling 直接用 [P1] Eq.(21) 口算。下面這段（沿用 simulations/lab_08_jitter_integration.py 的習慣）示範如何把旋鈕變化換成 dB 與 fs， 讓你能自己掃參數：

import math

def L_dbc(Grms, qmax, Si, df):
    """Hajimiri-Lee Eq.(21): 1/f^2 SSB phase noise [dBc/Hz]."""
    dw = 2 * math.pi * df
    return 10 * math.log10((Grms**2 / qmax**2) * (Si / (4 * dw**2)))

# canonical baseline (規範例 B)
f0, df, Si = 5e9, 1e6, 1e-24
base = L_dbc(Grms=0.5, qmax=1e-12, Si=Si, df=df)   # -148.0 dBc/Hz

print("baseline           :", round(base, 1), "dBc/Hz")
print("q_max x2           :", round(L_dbc(0.5, 2e-12, Si, df) - base, 1), "dB")  # -6.0
print("Gamma_rms /2       :", round(L_dbc(0.25, 1e-12, Si, df) - base, 1), "dB") # -6.0
# ring N: Gamma_rms ~ N^-1.5 ([P2] Eq.(16), p.794, re-verified v7: sqrt covers only the constant); show isolated scaling
for N in (5, 15, 45):
    rel = (N / 5.0) ** -1.5
    print(f"N={N:2d} Gamma_rms rel={rel:.3f}  dL={20*math.log10(rel):+.1f} dB")

# jitter scales as Gamma_rms / q_max  ->  -6 dB phase noise = sigma_t / 2

• L_dbc 與 lab_08 的 integrate_rms_jitter 不同：lab_08 從 $\mathcal{L}$ 積分出 jitter； 這裡反向用 Eq.(21) 產生 $\mathcal{L}$，再用 scaling 推 jitter。兩頁互為正反操作。

5. 完整 script path

本 lab 為綜合分析，無專屬 script。引用的計算來自： simulations/lab_06_white_noise_phase_noise.py（$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ scaling 的模擬證據）、 simulations/lab_03_ring_toy_model.py（LC vs ring ISF 與 $N$ scaling）、 simulations/lab_08_jitter_integration.py（$\mathcal{L}\to\sigma_t$）。 上面的口算片段可存成獨立小腳本自行掃參數。

6. 參數表

參數	符號	canonical 值	角色
載波頻率	$f_0$	$5$ GHz	固定
offset	$\Delta f$	$1$ MHz	固定（評估點）
電流雜訊 PSD	$S_i$	$1\times10^{-24}$ A²/Hz	固定（單一白噪源）
最大電荷擺幅	$q_{max}$	$1$ pC（基準）	旋鈕 1，掃 $0.5,1,2$ pC
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	$0.5$（基準）	旋鈕 2，掃 $0.25,0.5$
ring 級數	$N$	$5$（基準）	旋鈕 3，掃 $5,15,45$
基準相位雜訊	$\mathcal{L}$	$-148.0$ dBc/Hz	由 Eq.(21) 得（=規範例 B）

7. 單位表

量	符號	單位
最大電荷擺幅	$q_{max}$	C
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	無因次
ring 級數	$N$	無因次
相位雜訊	$\mathcal{L}$	dBc/Hz
rms jitter	$\sigma_t$	s
電流雜訊 PSD	$S_i$	A²/Hz

8. scaling 表（口算，toy scaling）

以 canonical 基準 $\mathcal{L}=-148.0$ dBc/Hz（$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$、 $S_i=10^{-24}$、5 GHz @ 1 MHz）為 $0$ dB 參考。$\sigma_t\propto\Gamma_{rms}/q_{max}$。

旋鈕變化	$\mathcal{L}$ 變化	$\sigma_t$ 變化	物理理由
$q_{max}\times2$（$\to2$ pC）	$-6.0$ dB	$\times0.5$	$-20\log_{10}q_{max}$；訊號電荷大、雜訊相對小
$q_{max}\times0.5$（$\to0.5$ pC）	$+6.0$ dB	$\times2$	同上反向
$\Gamma_{rms}\times0.5$（$\to0.25$）	$-6.0$ dB	$\times0.5$	$+20\log_{10}\Gamma_{rms}$；波形對雜訊不敏感
ring $N:5\to15$（$\times3$）	$-14.3$ dB	$\times0.192$	$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$（孤立看，[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核）
ring $N:5\to45$（$\times9$）	$-28.6$ dB	$\times0.037$	同上；但功率/面積/$f_0$ 也一起變

口算示範：$q_{max}$ 從 1 pC 加倍到 2 pC，$\mathcal{L}$ 改變 $20\log_{10}(1/2)=-6.0$ dB → $-154.0$ dBc/Hz；jitter 隨 $\sqrt{}$ 減半。 把 lab_08 的 $447.9$ fs（那是 $-100$ dBc/Hz 的情境）做同樣 $-6$ dB 操作，會降到 $\approx224$ fs。

9. 如何解讀圖（重用既有圖）

圖一：$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ scaling 的模擬證據。 lab_06 的白噪 PSD 圖，把 ISF 換成不同 $\Gamma_{rms}$（或改 $q_{max}$）時，整條 $1/f^2$ 線只是上下平移，斜率不變——這就是 scaling 表 「動旋鈕 = 平移 dB」的視覺版。

圖二：LC vs ring 的 ISF 形狀與 $N$。 lab_03 的對比圖：ring 的 ISF 敏感度集中在 transition， $N$ 越大每級 ISF 越尖、但 rms 越小（$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$）。這解釋了 scaling 表 旋鈕 3 的來源，也提醒這是孤立 scaling。

• 怎麼用兩張圖：圖一告訴你「$q_{max}$/$\Gamma_{rms}$ 旋鈕 = 垂直平移」； 圖二告訴你「ring 的 $\Gamma_{rms}$ 怎麼隨 $N$ 變」。合起來就是設計地圖。

10. 對應 paper 公式/figure

• 主 scaling：[P1] Eq.(21), p.185，$\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$。
• Parseval / $\Gamma_{rms}$：[P1] Eq.(20), p.185。
• ring $\Gamma_{rms}$ scaling：[P2] Eq.(16), p.794（v7 已重核：根號只蓋常數，$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$； 正文 4/N^1.5@η=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N^-0.75）。
• ring 頻率：[P2] Eq.(15), p.794，$f_0=1/(2N\tau_D)$。
• ring 白噪 FOM：[P2] Eq.(23), p.796，$\mathcal{L}|_{1/f^2}\approx\frac{8}{3\eta}\,\frac{V_{DD}}{V_{char}}\,\frac{kT}{P}(\omega_0/\Delta\omega)^2$（$\eta$ 為級延遲比例常數 [P2] Eq.(14)，$\approx1$；$\gamma$ 僅透過 $V_{char}=\Delta V/\gamma$ 進入）。
• 概念圖：重用 white_noise_phase_noise_psd.png（lab_06）與 lc_vs_ring_isf_comparison.png（lab_03）。

11. 限制與 approximation

• toy scaling，非 transistor-level：scaling 假設「只動一個旋鈕、其他完全不變」。 真實電路裡 $q_{max}$、$\Gamma_{rms}$、$N$、功率、面積、$f_0$ 彼此耦合，不能孤立調。
• ring $N$ scaling（[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核：根號只蓋常數，$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$； 正文 4/N^1.5@η=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N^-0.75）： $\Gamma_{rms}=\sqrt{2\pi^2/(3\eta^3)}\cdot\dfrac{1}{N^{1.5}}$（$\eta\approx1$）；級數變多也改 $f_0=1/(2N\tau_D)$、功率與面積，淨 phase noise/jitter 要看完整 FOM，不能只看 $\Gamma_{rms}$。
• 單一白噪源：忽略多源、cyclostationary（$\Gamma_{eff}=\Gamma\cdot\alpha$）、flicker 上轉 （$1/f^3$，見 lab_07）。close-in 區此表不適用。
• factor-of-2：用 Eq.(21) 的分母 $4\Delta\omega^2$；與時域版差 SSB 記帳 2 倍， 不影響任何 scaling 結論（所有 dB 變化都是相對量）。
• jitter scaling：$\sigma_t\propto\Gamma_{rms}/q_{max}$ 假設固定積分範圍與 $1/f^2$ 形狀； 若 close-in $1/f^3$ 主導，jitter 由 $c_0$ 與積分下限決定，需另算。

重點回顧

• $1/f^2$ phase noise $\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$；jitter $\propto\Gamma_{rms}/q_{max}$。
• $q_{max}$ 加倍或 $\Gamma_{rms}$ 減半 → phase noise $-6$ dB、jitter 減半（$20\log_{10}$）。
• ring $N$ 孤立看 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$（$N\times3\to-14.3$ dB），但 $f_0$/功率/面積同時變，是 toy scaling。
• 基準數字：$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$、5 GHz @ 1 MHz、$S_i=10^{-24}$ → $\mathcal{L}=-148.0$ dBc/Hz。

延伸閱讀

• $q_{max}$ 設計：power_and_qmax
• 對稱性砍 $1/f^3$：symmetry_and_1overf
• SerDes 時脈：serdes_clocking_connection
• 用在設計/理論：把 $\Gamma_{rms}$、$q_{max}$、$N$ 的 scaling 落到拓樸抉擇 → lc_vs_ring
• 上游模擬：lab_06_white_noise_phase_noise、 lab_08_jitter_integration