Lab 17 — 設計掃描：swing / Γrms / N 三條設計曲線

麵包屑：模擬實驗室 › 系統與進階 › 本頁（設計掃描進階）。口算入門版：lab_09；上游：lab_06、lab_08。

lab_09 用口算把 [P1] Eq.(21) 讀成 scaling law。 這個 lab 把同一條式子真的掃出來、畫成三條曲線：固定其他條件，分別掃節點電荷擺幅 $q_{max}$（swing）、ISF rms $\Gamma_{rms}$、ring 級數 $N$，看 $1$ MHz offset 的 phase noise $\mathcal{L}$ 怎麼動。圖上你會親眼看到「$-20$ dB/decade」的直線斜率、「$2\times$ swing $\to-6$ dB」 的箭頭，以及 ring 振盪器那條幾乎水平的 $N$ 曲線（著名的 $N$-無關性）。

物理直覺（先講結論）：$1/f^2$ phase noise $\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$。 兩個旋鈕都進 $20\log_{10}$：$q_{max}$ 加倍 → $-6$ dB；$\Gamma_{rms}$ 減半 → $-6$ dB。 ring 的 $N$ 比較陰險：增級雖讓 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 變小，但每節 $q_{max}$ 變小、 吵的 device 變多，三者在固定 $f_0$／功率下大致抵消，淨 phase noise 幾乎與 $N$ 無關。

1. 教學目標

• 把 [P1] Eq.(21) 的 $\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ 畫成三條設計曲線。
• 在 $q_{max}$ 曲線上量化「$-20$ dB/decade」與「$2\times$ swing $\to-6$ dB」。
• 在 $\Gamma_{rms}$ 曲線上看「對稱波形／低 $\Gamma_{rms}\to$ PN↓」。
• 在 ring $N$ 曲線上看 $N$-無關性的由來（[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$）。
• 把曲線連回 lab_09 與第 06 章 design insight 頁。

2. 數學模型

起點同樣是 [P1] Eq.(21), p.185（$1/f^2$ 區、固定 offset）：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right)$$

把對數展開，看出每個旋鈕各自的斜率：

$$\mathcal{L}=20\log_{10}\Gamma_{rms}-20\log_{10}q_{max}+10\log_{10}\!\big(\overline{i_n^2}/\Delta f\big)-20\log_{10}(2\Delta\omega)+\text{const}.$$

• 旋鈕 1（$q_{max}$）：$-20\log_{10}q_{max}$ → 對 $q_{max}$ 取 $\log$ 橫軸是斜率 $-20$ dB/decade 的直線；$q_{max}\times2\Rightarrow20\log_{10}2=6.02$ dB → $-6$ dB。
• 旋鈕 2（$\Gamma_{rms}$）：$+20\log_{10}\Gamma_{rms}$ → $\Gamma_{rms}$ 減半 → $-6$ dB； 本 lab 用 linear 橫軸，曲線是 $20\log_{10}\Gamma_{rms}$ 的對數型上升。

ring 的 $N$（[P2] Eq.(16), p.794（v7 已重核：根號只蓋常數，$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$； 正文 4/N^1.5@η=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N^-0.75））：增級同時動三件事，三者在固定 $f_0$／功率下相互抵消：

$$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}\ \text{[P2] Eq.(16)},\qquad q_{max}\propto N^{-1}\ (\text{每節擺幅變小}),\qquad \overline{i_n^2}\propto N\ (\text{device 變多}).$$

代入 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2\cdot\overline{i_n^2}$：

$$\frac{(N^{-3/2})^2}{(N^{-1})^2}\cdot N=\frac{N^{-3}}{N^{-2}}\cdot N=N^{-1}\cdot N=N^{0}=\text{const}.$$

• 結論：在這組 toy scaling 下淨效果 $\propto N^0$ → phase noise 與 $N$ 無關（[P2] 的招牌結論）。
• Dimension check：$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2\cdot(\text{A}^2/\text{Hz})/(\text{rad/s})^2$ → 括號內無因次（取 $10\log_{10}$ 前），合法 ✓；$N$ 全程無因次 ✓。

本 lab 的數值：在 $\Delta f=1$ MHz 評估，$\overline{i_n^2}/\Delta f=10^{-22}$ A²/Hz；基準 $q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$ 給 $\mathcal{L}=-128.0$ dBc/Hz。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

simulations/lab_17_design_sweep.py 用一個共用的 L_dbc 把 [P1] Eq.(21) 算成 dBc/Hz， 再對三個旋鈕各掃一條曲線：

import numpy as np


def L_dbc(Grms, qmax, in2_df, dw):
    return 10 * np.log10(Grms ** 2 / qmax ** 2 * in2_df / (4 * dw ** 2))


dw = 2 * np.pi * 1e6        # evaluate at 1 MHz offset
in2_df = 1e-22

# (a) sweep q_max: 0.1 pC .. 10 pC  -> slope -20 dB/decade, 2x -> -6 dB
q = np.logspace(-13, -11, 50)
L_q = L_dbc(0.5, q, in2_df, dw)                # baseline qmax=1pC -> -128 dBc/Hz

# (b) sweep Gamma_rms: low Grms -> lower PN
g = np.linspace(0.1, 1.5, 50)
L_g = L_dbc(g, 1e-12, in2_df, dw)

# (c) ring N: Gamma_rms ~ N^-3/2, per-node qmax ~ 1/N, more noisy devices ~ N
N = np.arange(3, 31)
Grms_N = 0.5 * (5.0 / N) ** 1.5                # scaling (illustrative; [P2])
qmax_N = 1e-12 * (5.0 / N)                      # lower per-node swing as N grows
noise_N = in2_df * (N / 5.0)                    # more noisy devices
L_N = 10 * np.log10(Grms_N ** 2 / qmax_N ** 2 * noise_N / (4 * dw ** 2))
print(round(L_N[0], 1), round(L_N[-1], 1))
# -> -128.0 -128.0  (essentially flat for all N: the famous N-independence)

• L_dbc 與 lab_08 的差別：lab_08 從量到的 $\mathcal{L}$ 積分出 jitter；這裡反向用 Eq.(21) 產生 $\mathcal{L}$ 再掃旋鈕。兩頁互為正反操作（同 lab_09 的說明）。
• (c) 的三個 scaling 是 illustrative：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 的常數與每節 $q_{max}$、 device 數的指數都是 toy 假設，目的是把「為何 $N$ 大致抵消」具體畫出來。

5. 完整 script path

simulations/lab_17_design_sweep.py（main() 畫三個子圖；L_dbc 為 [P1] Eq.(21) 的 dBc/Hz 封裝；(c) 用 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$、$q_{max}\propto N^{-1}$、$\overline{i_n^2}\propto N$ 的 toy scaling）。重跑：python scripts/run_all_sims.py。

註：此頁檔名為 lab_17_design_tradeoffs.md（對齊 sidebar 命名慣例），對應的 script 是 lab_17_design_sweep.py，圖檔 design_tradeoff_sweeps.png。

6. 參數表

參數	符號	值 / 掃描範圍	角色
offset（評估點）	$\Delta f$	$1$ MHz	固定
電流雜訊 PSD	$\overline{i_n^2}/\Delta f$	$10^{-22}$ A²/Hz	固定（基準）；(c) 隨 $N$ 變
最大電荷擺幅	$q_{max}$	(a) $0.1$–$10$ pC；基準 $1$ pC	旋鈕 1
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	(b) $0.1$–$1.5$；基準 $0.5$	旋鈕 2
ring 級數	$N$	(c) $3$–$30$；基準 $5$	旋鈕 3
基準相位雜訊	$\mathcal{L}$	$-128.0$ dBc/Hz	由 Eq.(21) 得（$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$）

7. 單位表

量	符號	單位
最大電荷擺幅	$q_{max}$	C
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	無因次
ring 級數	$N$	無因次
offset 頻率	$\Delta f,\ \Delta\omega$	Hz, rad/s
相位雜訊	$\mathcal{L}$	dBc/Hz
電流雜訊 PSD	$\overline{i_n^2}/\Delta f$	A²/Hz

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

• (a) swing 掃描（藍）：log 橫軸 $q_{max}$（0.1–10 pC）對 $\mathcal{L}$ 是一條直線，斜率 $-20$ dB/decade——$q_{max}$ 從 0.1 → 10 pC（兩個 decade）$\mathcal{L}$ 從 $-108$ → $-148$ dBc/Hz 剛好降 $40$ dB。紅箭頭標出「$2\times$ swing $\to-6$ dB」（$1\to2$ pC，$-128\to-134$ dBc/Hz）。 記憶點：swing 加倍，phase noise 賺 6 dB。
• (b) $\Gamma_{rms}$ 掃描（綠）：linear 橫軸，$\mathcal{L}=20\log_{10}\Gamma_{rms}+$const 的對數型 曲線——$\Gamma_{rms}$ 越小 phase noise 越低，且在小 $\Gamma_{rms}$ 端下降最陡（$\Gamma_{rms}$ 從 0.5 減半到 0.25 → $-6$ dB）。這就是「對稱波形／低敏感度」的回報。
• (c) ring $N$ 掃描（紫）：一條幾乎完全水平的線（$\approx-128$ dBc/Hz，與 $N$ 無關）。 這不是巧合，是第 2 節算出的 $N^0$：增級讓 $\Gamma_{rms}$ 小（好）、但 $q_{max}$ 也小、device 也 多（壞），三者在固定 $f_0$／功率下抵消。ring 多加級數不會白白改善 phase noise（[P2]）。
• 怎麼合起來用：(a)(b) 是「真正能賺 dB 的旋鈕」（提 swing、壓 $\Gamma_{rms}$）；(c) 是 「看似能調、其實抵消」的旋鈕——選 $N$ 要看 $f_0$、功率、面積、相位數需求，不是為了 phase noise。

10. 對應 paper 公式/figure

• 主 scaling：[P1] Eq.(21), p.185，$\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$。
• Parseval / $\Gamma_{rms}$：[P1] Eq.(20), p.185。
• ring $\Gamma_{rms}$ scaling：[P2] Eq.(16), p.794（v7 已重核：根號只蓋常數，$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$； 正文 4/N^1.5@η=0.75 與 App.B Eq.(55) 三重驗證。v3 曾誤讀為 N^-0.75）。
• ring 頻率：[P2] Eq.(15), p.794，$f_0=1/(2N\tau_D)$。
• ring 白噪 FOM / $N$-無關性：[P2], p.795，$\mathcal{L}\vert_{1/f^2}\approx\frac{8}{3\eta}\,\frac{V_{DD}}{V_{char}}\,\frac{kT}{P}(\omega_0/\Delta\omega)^2$ （[P2] Eq.(23), p.796 的前置係數是 $8/(3\eta)$（$\eta$ 為級延遲比例常數 Eq.14，$\approx1$）；$\gamma$ 僅透過 $V_{char}=\Delta V/\gamma$ 進入。v2 曾誤改為 $8/(3\gamma)$ 並誤標『逐字核實』，v3 已對照原始 PDF p.796 更正）。

11. 限制與 approximation

• toy scaling，非 transistor-level：(a)(b) 假設「只動一個旋鈕、其他完全不變」；真實電路 $q_{max}$、$\Gamma_{rms}$、$N$、功率、面積、$f_0$ 彼此耦合，不能孤立調。
• ring (c) 的三個指數是 illustrative：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$、$q_{max}\propto N^{-1}$、 $\overline{i_n^2}\propto N$ 都是 toy 假設以演示抵消；確切常數標 TODO: manual verification needed from [P2] page 794–796。$N$ 改變也改 $f_0=1/(2N\tau_D)$（除非縮 $\tau_D$），本圖未一併呈現。
• 只看 $1/f^2$ 區、固定 offset：在 $1$ MHz 評估；close-in $1/f^3$ 由 $c_0$ 與積分下限主導， 此三圖不適用（見 lab_07）。
• 單一白噪源：忽略多源、cyclostationary（$\Gamma_{eff}=\Gamma\alpha$， lab_14）與 AM–PM。
• factor-of-2：用 Eq.(21) 的 $4\Delta\omega^2$ 慣例；SSB 記帳 2 倍差不影響任何相對（dB）斜率。
• jitter 推論：$\sigma_t\propto\Gamma_{rms}/q_{max}$（$-6$ dB phase noise = jitter 減半）需固定 積分範圍與 $1/f^2$ 形狀；見 lab_08、lab_09。

重點回顧

• $q_{max}$ 曲線：$-20$ dB/decade；$2\times$ swing $\to-6$ dB（基準 $-128$ → $-134$ dBc/Hz）。
• $\Gamma_{rms}$ 曲線：$20\log_{10}\Gamma_{rms}$，減半 $\to-6$ dB；對稱波形／低敏感度有回報。
• ring $N$ 曲線：幾乎水平——$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2\cdot\overline{i_n^2}\propto N^0$，phase noise 與 $N$ 無關（[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$）。
• 基準：$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$、$\overline{i_n^2}/\Delta f=10^{-22}$、$1$ MHz $\to\mathcal{L}=-128.0$ dBc/Hz。

延伸閱讀

• 口算版設計取捨：lab_09_design_tradeoffs
• swing / $q_{max}$ 設計：tank_swing
• 波形斜率與 $\Gamma_{rms}$：waveform_slope
• 對稱性砍 $1/f^3$：symmetry
• 上游模擬：lab_06_white_noise_phase_noise、lab_08_jitter_integration
• 用在設計/理論：三條 scaling 曲線（swing／$\Gamma_{rms}$／$N$-無關性）落到 LC vs ring 拓樸抉擇 → lc_vs_ring