Lab 40 — 次諧波（×N）脈衝注入：impulse-train map vs 未平均時間同步 ODE

先備：subharmonic_injection（本 lab 驗證的全部閉式推導——lock range、realignment factor $\beta$ 、離散時間雜訊整形、輸出 jitter、reference spur）、paper_003（[P3] Sec. IV 脈衝列、footnote 7 的 subharmonic 算術）、paper_004（[P4] Eq.(28)–(30) 的 M:N 平均方程）｜接下來：injection_locked_division（對偶的除頻方向）、sampling_pll、clock_chain_budget

subharmonic_injection 頁已經把「注入鎖定時脈倍頻器」（ILCM）的每一條公式逐步推導過一遍：從 [P4] Eq.(29) 推出倍頻閉式 $\omega_L=\tfrac12\vert I_N\vert\vert\tilde\Gamma_1\vert$ 、從 [P3] footnote 7 的離散算術推出 $\Delta\omega_L\propto1/N$ 、線性化 per-pulse map 得 realignment factor $\beta$ 、把雜訊掛上一階離散迴路得 $H_{ref}$ / $H_{osc}$ 與輸出 jitter 閉式。這一頁不重推—— 它用兩具獨立的數值引擎，把那一頁的每一條閉式逐項打分。

這個 lab 要驗證什麼：

lock range 是否真的 $\propto1/N$ （引擎二：未平均 ODE 掃 $N$ ）？

有限脈寬怎麼吃掉 lock range——LC 是乾淨的 sinc，ring 呢（引擎二：掃脈寬）？

同一根 rms 電流，脈衝串鎖得住、純正弦真的鎖不住（引擎二：脈衝 vs 正弦對照）？

realignment factor $\beta$ 的一階預測 $-q_{inj}\tilde\Gamma'(\theta_{ss})$ 準到什麼程度（引擎二：步階響應）？

鎖定後的相位雜訊真的是一階離散高通、corner $\approx\beta f_{ref}/2\pi$ 嗎（引擎一：map ＋白噪 FM）？

輸出 jitter 真的 $\propto\sqrt N$ 、reference spur 真的與 $\beta$ 無關嗎（引擎一：edge-level 模擬）？

物理直覺：兩具引擎測的是同一個物理，只是解析度不同。**引擎一（map）**把一根脈衝的效果壓縮成一個瞬間跳變 $\theta_{k+1}=\theta_k+\Delta\omega_0NT_0+q_{inj}\tilde\Gamma(\theta_k)+n_k$ —— 快、適合做長時間雜訊統計（PSD、jitter），但假設脈衝夠窄。**引擎二（未平均 ODE）**老老實實用 RK4 積分脈衝期間的瞬時方程 $\dot\theta=\Delta\omega+\tilde\Gamma(N\omega_{inj}t+\theta)(q_{inj}/\tau_p)$ ，看得到脈寬效應、 $\beta$ 的二階修正（脈衝期間相位已經在動），但每個資料點都要積上千個週期，適合做「鎖不鎖得住」的邊緣掃描。兩具引擎在 canonical 參數下互相對到 0.1%–1% 量級——這正是本 lab 的驗收標準。

本頁定位：獨立驗證 lab。所有理論已在 subharmonic_injection 逐步推導並標明來源（[P3]/[P4] 已核實部分 vs 本站自行推導部分 vs 外部文獻），這裡只列 驗證用的核心 code 與跑出來的數字。pedagogical toy model：phase-only、弱注入、無 transistor。

1. 教學目標

用未平均的時間同步 ODE（而非已平均的 map）獨立驗證 lock range $\propto1/N$ （log-log 斜率 $-1.000$ ，LC 與 ring 皆同）——避免「拿平均後的式子驗證平均後的式子」的循環論證。
掃脈寬 $\tau_p$ ：LC 的 lock range 精確跟著 $\mathrm{sinc}(\tau_p/T_0)$ （單一諧波，最大偏差 $10^{-4}$ ）；ring 的尖 ISF 能量分散在多個諧波，plain sinc 不夠（偏差達 0.74），要用「箱形平均整條 ISF」才對得上（偏差 $\le0.0074$ ）。
同一 rms 電流下，脈衝串在整個 lock range 內鎖定（15/15 網格點）、純正弦一階內完全鎖不住（0/15）——數值上釘死 subharmonic_injection 第 1 節「純正弦鎖不住」那句話。
realignment factor $\beta$ 的 ODE 步階響應對一階預測 $-q_{inj}\tilde\Gamma'(\theta_{ss})/q_{max}$ ：比值 $0.98$ – $1.03$ （ $q_{inj}/q_{max}=0.05$ ）到 $0.995$ – $1.03$ （ $q_{inj}/q_{max}=0.01$ ）—— 偏差是 $O(q_{inj}/q_{max})$ 的二階效應（脈衝期間相位已經在動），符合線性理論的精度承諾。
把白噪 FM 掛上 map，量出鎖定相位的 PSD：低頻平台對離散理論比值 $0.991$ 、corner 量到 $1.934$ MHz（理論 $1.981$ MHz，exact discrete closed form $1.934$ MHz——量測騎在精確式上）。
edge-level 模擬輸出 jitter 對 $N$ 的冪次：擬合斜率 $0.497$ （理論 $0.5$ ）；canonical $N=20$ 給 $2.226$ fs（閉式 $2.228$ fs）。
失諧鎖定的 reference spur： $k=1$ 誤差 $0.00$ dB、 $k=2$ 誤差 $0.01$ dB——一階鋸齒近似在 canonical 參數下幾乎是精確式。

2. 數學模型（引擎與符號；完整推導見 subharmonic_injection）

2.1 引擎一：impulse-train 線性化 map

\theta_{k+1}=\theta_k+\Delta\omega_0\,NT_0+\frac{q_{inj}}{q_{max}}\,\bar\Gamma(\theta_k)+n_k,\qquad n_k\sim\mathcal N(0,\kappa^2T_{inj})

$\bar\Gamma$ 是 ISF 在脈衝寬度上的箱形平均（ $k$ 次諧波乘 $\mathrm{sinc}(k\tau_p/T_0)$ ，脈衝極限 $\bar\Gamma\to\Gamma$ ）； $\kappa^2=0.125$ rad²/s 為 canonical 白噪 FM 方差成長率（見 diffusion_dictionary）。線性化得 realignment factor $\beta\equiv-\dfrac{q_{inj}}{q_{max}}\bar\Gamma'(\theta_{ss})$ ，corner $\omega_c=\beta/T_{inj}$ ，一階離散雜訊整形 $H_{ref}(z)=\dfrac{\beta}{1-(1-\beta)z^{-1}}$ 、 $H_{osc}(z)=\dfrac{1-z^{-1}}{1-(1-\beta)z^{-1}}$ 。

2.2 引擎二：未平均時間同步 ODE

\frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega+\tilde\Gamma\big(N\omega_{inj}t+\theta\big)\,i_{inj}(t),\qquad i_{inj}(t)=\begin{cases}q_{inj}/\tau_p,&\vert t-kT_{inj}\vert<\tau_p/2\\0,&\text{否則}\end{cases}

脈衝期間用 RK4（子步數依 ISF 曲率調整：LC 每步 $\le0.2$ rad、ring 三角尖角每步 $\le0.05$ – $0.08$ rad，對 512-子步參考誤差 $\le0.4\%$ / $0.85\%$ ）；脈衝之間 $\dot\theta=\Delta\omega$ 解析跳過。「鎖不鎖得住」用lock characteristic 的淨修正 $J(\theta)=\theta_{\text{脈衝後}}-\theta_{\text{脈衝前}}$ （ $\Delta\omega=0$ 時單次積分）直接讀出邊緣 $A_\pm=\mp\min/\max J(\theta)$ ，或用長時間收斂測試（2500–4000 週期，鎖定 $\Leftrightarrow$ 尾端 800–1300 週期內 $\vert\theta(\text{end})-\theta(\text{end}-n_{tail})\vert<5\times10^{-3}$ ）交叉確認。

2.3 兩個 toy ISF（與站上其他 lab 共用）

\Gamma_{LC}(\theta)=-\sin\theta,\qquad \Gamma_{ring}(\theta)=\text{[P2] App.B 三角脈衝（}\eta=0.75,\ N_{st}=17\text{，與 lab\_39 相同構造）}

ring toy 是兩個反號三角脈衝，高＝半寬 $=1/f'$ （ $f'=\eta N_{st}/\pi=4.0585$ 1/rad）， $\max\vert\Gamma_{ring}\vert=1/f'=0.2464$ ——pedagogical toy，非 transistor-level。

2.4 適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
弱注入 $q_{inj}\ll q_{max}$	引擎一線性化成立、 $\beta$ 一階預測準	大注入： $\beta$ 的 ODE/map 比值系統性偏離 1（本 lab (d) 量到 $O(q_{inj}/q_{max})$ ）
脈寬 $\ll T_0$	$\bar\Gamma\approx\Gamma$ 、引擎一/二一致	$\tau_p\to T_0$ ：LC lock range 掉到 0（(b) 的 null）
$\theta$ 在 $T_{inj}$ 內慢變	兩具引擎互相對帳	接近 lock range 邊緣：臨界慢化，長時間收斂測試需要更多週期
白噪 FM 驅動（引擎一雜訊部分）	$\sigma_w^2=\kappa^2T_{inj}$ 、PSD 閉式成立	flicker FM：本 lab 不涵蓋

3. Block diagram

4. Python 核心 code

節錄自 simulations/lab_40_subharmonic_injection.py（已對照原始碼）。箱形平均表、per-pulse map、與未平均 ODE 的一個脈衝週期（RK4）：

def isf_tables(gamma_func, tp):
    """Gbar(theta) = ISF box-averaged over the pulse (width tp/T0), via FFT:
    k-th harmonic multiplied by sinc(k*tp/T0)."""
    g = gamma_func(XG)
    G = np.fft.rfft(g)
    k = np.arange(G.size)
    Gb = G * np.sinc(k * tp)
    gbar = np.fft.irfft(Gb, NG)
    gbar_p = np.fft.irfft(1j * k * Gb, NG)          # d Gbar / d theta
    return gbar, gbar_p

def pulse_period_step(theta, dw, n_div, qt, gamma_func, tp, nsub):
    """ENGINE 2: one injection period T_inj = n_div*T0 of the UNAVERAGED ODE —
    RK4 through the rectangular pulse (width tp), analytic free-run in between."""
    h = tp / nsub
    amp = qt / tp
    t = -tp / 2.0
    for _ in range(nsub):
        k1 = dw + amp * gamma_func(TWO_PI * t + theta)
        k2 = dw + amp * gamma_func(TWO_PI * (t + 0.5 * h) + theta + 0.5 * h * k1)
        k3 = dw + amp * gamma_func(TWO_PI * (t + 0.5 * h) + theta + 0.5 * h * k2)
        k4 = dw + amp * gamma_func(TWO_PI * (t + h) + theta + h * k3)
        theta = theta + (h / 6.0) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
        t += h
    return theta + dw * (n_div - tp)

def gbar_prime_exact(gamma_func, theta, tp):
    """Exact derivative of the box-averaged ISF (difference of raw Gamma at the
    two box ends over the box width) -- used for beta = -q_t * Gbar'(theta*)."""
    half_w = np.pi * tp
    return (gamma_func(theta + half_w) - gamma_func(theta - half_w)) / (2.0 * half_w)

跑出來的核對數字（PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_40_subharmonic_injection.py，單機約 35 秒；seed 固定 default_rng(40)，結果可重現）：

print(A_edge_pred['LC'])                    # -> 0.04979 rad/period（qt·max|Gbar|，N=20）
print(fL_pred['LC']/1e6)                    # -> 1.9813 MHz（含 10 ps 脈寬 sinc 修正）
print(slope_N['LC'], slope_N['ring'])       # -> -1.000 -1.000（(a) log-log 斜率，理論 -1）
print(ratio_N['LC'].min(), ratio_N['LC'].max())   # -> 1.0000 1.0000（LC 量測/理論）
print(dev_lc_sinc)                          # -> 0.0001（(b) LC：ODE/f_L(0) 對 sinc 最大偏差）
print(dev_ring_box, dev_ring_sinc)          # -> 0.0074 0.7434（ring：箱形平均對，plain sinc 錯）
print(n_lock_pulse, n_plateau_sine)         # -> 15 0（(c)：15/15 網格點內 LC 脈衝串鎖定，純正弦 0）
print(beta_c_lc[5], beta_c_lc[4])           # -> 0.04858 0.04979（(d) headline beta：ODE vs 一階）
print(r_plateau, fc_meas/1e6, fc_pred/1e6)  # -> 0.991 1.9343 1.9813（(e) 平台比值、量測/理論 corner）
print(slope_j, sig_all[10]/(2*np.pi*5e9)*1e15)  # -> 0.497 2.226（(f1) jitter 對 N 冪次、N=20 輸出 fs）
print(round(spur1[0], 2))                   # -> -67.96（(f2) 100 kHz 失諧的 reference spur, dBc）

5. 完整 script path

simulations/lab_40_subharmonic_injection.py（依賴 simulations/common/plot_utils.py 的 savefig、simulations/common/isf_utils.py 的 gamma_lc_ideal；scipy.signal.welch 做 PSD、 scipy.optimize.brentq 解精確離散 corner）。

跑法：PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_40_subharmonic_injection.py（單機約 35 秒； seed 固定 default_rng(40)）。

6. 參數表

參數	程式變數	值	意義
載波	`F0`	5 GHz	canonical $f_0$
$q_{max}$	`QMAX`	1 pC	canonical
$q_{inj}$	`QINJ`	50 fC	每根脈衝電荷（ $q_{inj}/q_{max}=0.05$ ）
脈衝寬	`TAUP`	10 ps	$\tau_p/T_0=0.05$
倍頻比	`N_HEAD`	20	$f_{ref}=250$ MHz、 $T_{inj}=4$ ns
$N$ 掃描（(a)）	`N_list`	2, 4, 8, 16, 20	lock range vs $N$
脈寬掃描（(b)）	`tp_list`	2–175 ps（9 點）	lock range vs $\tau_p$
失諧掃描（(c)）	`r_grid`	$-1.5$ – $1.5$ （25 點， $\times\omega_L/N$ ）	脈衝串 vs 純正弦漂移曲線
$q_{inj}/q_{max}$ （(d)）	`qt_arr`	0.05、0.01	$\beta$ 步階響應兩組強度
$\kappa^2$	`KAPPA2`	0.125 rad²/s	canonical（diffusion_dictionary）
PSD 樣本數（(e)）	`K_PSD`/`M_W`	$2^{18}$ /32 walkers	Welch，`nperseg` $=2^{14}$
edge-level 樣本（(f1)）	`K`（依 $N$ ）	$\ge4096$ ，共 8 walkers	對每個 $N$ 重跑
ring toy	`ETA`, `NST`	0.75, 17	[P2] App.B 構造，同 lab_39

7. 單位表

量	符號	單位
相位	$\theta$	rad
半 lock range	$\omega_L$ 、 $f_L$	rad/s、Hz
realignment factor	$\beta$	無因次
雜訊 corner	$\omega_c$ 、 $f_c$	rad/s、Hz
白噪方差成長率	$\kappa^2$	rad²/s
相位 PSD	$S(f)$	rad²/Hz
輸出 jitter	$\sigma_t$	s（fs）
reference spur	—	dBc

8. 模擬圖

次諧波（×N）脈衝注入鎖定：(a) lock range 對 N 的 log-log 掃描（理論斜率 −1，LC/ring 未平均 ODE 量測重疊）；(b) lock range 對脈寬——LC 精確 sinc、ring 需箱形平均；(c) 脈衝串 vs 同 rms 純正弦的失諧-漂移曲線，脈衝串在 lock range 內鎖定、正弦不鎖；(d) realignment factor β 的 ODE 步階響應 vs 一階預測 −q_inj·Γ̄′(θ*)/q_max；(e) 鎖定相位 PSD 與自由跑對照，一階離散高通整形與 corner；(f) 輸出 jitter 對 N（∝√N）與失諧鎖定的 reference spur 內嵌圖

9. 如何解讀圖

(a) lock range 對 $N$ ：兩條理論虛線（LC、ring） $f_L=\dfrac{q_{inj}}{2\pi q_{max}}\dfrac{\max\vert\bar\Gamma\vert}{NT_0}$ ，圈/方塊是未平均 ODE 在 $N=2,4,8,16,20$ 的量測——LC 疊在理論線上（比值 $1.0000$ ），ring 高 $0.30\%$ （三角尖角的有限脈寬效應略大）。log-log 斜率兩者都是 $-1.000$ ：同一根脈衝要替 $N$ 倍長的時間買單，這條 $1/N$ 律沒有例外。

(b) lock range 對脈寬：黑虛線是「純 sinc」參考（ $k=N$ 這一根諧波的衰減）。LC 的藍色量測點精確貼著這條線（最大偏差 $10^{-4}$ ）——因為 LC 的 ISF 只有一個諧波（ $-\sin$ ），鎖定只吃第 $N$ 諧波。ring 的綠色量測點掉得快得多、且明顯偏離 plain sinc（偏差到 $0.74$ ）：ring 三角脈衝的能量分散在許多諧波（ $m=1,2,3,\dots$ 各配 $mN$ ），脈衝的箱形視窗同時削掉這些諧波，所以要用「箱形平均整條 ISF 再取極值」（綠色實線）才對得上量測（偏差 $\le0.0074$ ）——這是「plain sinc 對 ring 不夠」的直接數值證據。

(c) 脈衝串 vs 純正弦：横軸是正規化失諧 $\Delta\omega/\omega_L$ 。脈衝串（圓圈/方塊）在 $\vert x\vert<1$ 內漂移率釘死在 0（鎖定平台）；同一 rms 電流的純正弦（叉號）沒有平台，只有一條被二階 pushing 效應輕輕位移的斜線（LC 的擬合截距 $-0.0801\,\omega_L=-158.7$ kHz，與解析 pushing 公式 $-(I/q_{max})^2\omega_0/(4(\omega_0^2-\omega_{inj}^2))$ 逐位吻合，比值 $1.000$ ）。灰虛線是 Adler 連續極限拍頻 $\mathrm{sgn}\sqrt{(\Delta\omega/\omega_L)^2-1}$ ——脈衝串在鎖外的漂移率精確貼著它（中位比值 $1.001$ ）。這張圖是「純正弦鎖不住」最直接的視覺證據。

(d) $\beta$ 步階響應：黑虛線是一階預測 $\beta=-q_{inj}\bar\Gamma'(\theta^*)/q_{max}$ ，灰實線是 $1-e^{-\beta}$ （脈衝期間相位自身移動的二階修正——未平均 ODE 的指數步階本質上量到的是 $1-e^{-\beta_{map}}$ 而非 $\beta_{map}$ 本身）。LC／ring 在 $q_{inj}/q_{max}=0.05$ 與 $0.01$ 兩組強度的量測點都貼著灰線；對到一階預測本身時 LC 中心點的比值 $0.9755\approx1-\beta/2=0.9751$ ——精確對上「二階修正的第一項」。這是「 $\beta$ 一階理論精度為 $O(q_{inj}/q_{max})$ 」的直接展示。

(e) PSD：灰線是量測的自由跑 $S_\phi$ （貼著 $2\kappa^2/\omega^2$ 的離散版，比值 $0.999$ ），藍線是鎖定後的量測 PSD，黑虛線是一階離散理論 $2\sigma_n^2T_{inj}/\vert e^{j\omega T_{inj}}-(1-\beta)\vert^2$ 。低頻平台（ $1.613\times10^{-15}$ rad²/Hz）對理論比值 $0.991$ ；紅色豎線標出 corner，量測 $1.934$ MHz 對簡化預測 $\beta f_{ref}/2\pi=1.981$ MHz 差 $2.4\%$ ，但對精確離散閉式 $f_c'=\frac{f_{ref}}{2\pi}\arccos(1-\beta^2/(2(1+\beta)))=1.934$ MHz 幾乎完全吻合（比值 $1.0002$ ）——簡化式的 $2.4\%$ 差是 $O(\beta)$ 的已知修正，不是模型錯誤。

(f) 輸出 jitter 與 spur：主圖圓圈是 edge-level 模擬在固定 $\beta$ （即固定 $q_{inj}$ ）下對不同 $N$ 的全部輸出邊緣 jitter，黑虛線是閉式 $\sqrt{\kappa^2NT_0[(1-\beta)^2/(\beta(2-\beta))+1/2]}$ ；擬合斜率 $0.497$ 對理論 $0.5$ —— $\sigma_t\propto\sqrt N$ 成立， $N=20$ 給 $2.226$ fs（閉式 $2.228$ fs）。內嵌小圖是失諧鎖定時的 reference spur： $k=1$ 、 $k=2$ 的量測點精確貼著 $20\log_{10}(\Delta f_0/(kf_{ref}))$ （最大誤差 $0.00$ / $0.01$ dB）——spur 是一階、確定性、與 $\beta$ 無關的效應。

10. 對應 paper 公式／figure

[P3] Sec. IV footnote 7, p.2112（已核實）：脈衝可以每 $M$ 個週期打一根——本 lab 的 impulse-train map（引擎一）與 (a)(b) 的未平均 ODE lock range 掃描，就是這句話的離散算術與數值驗證。
[P4] Eq.(28)–(30), p.2129（已核實）： $M{:}N$ 時間同步平均方程；本 lab 取 $(M,N)_{[P4]}=(N,1)$ 代入，逐項推出倍頻閉式的過程完整寫在 subharmonic_injection 第 1 節，本 lab 用引擎二的未平均 ODE 獨立驗證其結論（不循環論證）。
[P4] footnote 10, p.2129（已核實）： $M\neq1$ 所需的注入諧波「not explicitly captured by our framework」——本 lab (c) 的「純正弦 0/15 vs 脈衝串 15/15」正是這句話的數值展示：假設注入自帶第 $N$ 諧波（脈衝），一階理論就直接適用。
雜訊整形與輸出 jitter 閉式：本站自行推導（不在 5 篇 PDF 內），完整推導見 subharmonic_injection 第 4 節；本 lab (e)(f1) 是該推導的獨立數值裁決。
reference spur 的一階鋸齒公式：本站自行推導（subharmonic_injection 第 4.4 節），本 lab (f2) 用 FFT 對確定性鋸齒相位調變驗證。

11. 限制與 approximation

phase-only toy model：忽略振幅動態（APF）；零失諧的 LC 鎖定點在波峰，脈衝會踢振幅（[P4] APF）， $q_{inj}\ll q_{max}$ 時是二階小量，本 lab 不涵蓋。
弱注入： $q_{inj}/q_{max}=0.05$ 或 $0.01$ ；(d) 已量到一階理論的 $O(q_{inj}/q_{max})$ 偏差，更強注入需要 paper_004_large_injection_transient 的 APF 修正。
白噪 FM 假設（引擎一雜訊部分）： $\sigma_w^2=\kappa^2T_{inj}$ 是白噪 FM 的精確結果； flicker FM 下方差不再 $\propto t$ ，本 lab 不涵蓋。
ring toy 是三角構造：真實 ring ISF 的 flank 非嚴格三角、死區非嚴格零； $q_{max}$ 帶來的量級結論（ring 的 $\beta$ 靠小 $q_{max}$ 贏，不是靠斜率）不受這個簡化影響——見 subharmonic_injection 第 3 節 ring vs LC 表。
$f\ll f_{ref}/2$ ：(e) 的離散 $\vert H\vert^2$ 只在遠低於 $f_{ref}/2$ 時等於連續一階 PLL；接近 $f_{ref}/2$ 處取樣效應開始顯現（本 lab 只在 $f<f_{ref}/8$ 附近對數）。
spur 一階：(f2) 的鋸齒近似忽略脈衝直接耦合（feedthrough）、APF 造成的 AM、脈寬效應—— 這些不在 phase-only 模型內，誠實留白（見 subharmonic_injection 第 4.4 節）。

重點回顧

(a) lock range $\propto1/N$ ：未平均 ODE 掃 $N=2$ – $20$ ，log-log 斜率 $-1.000$ （LC、ring 皆同），量測/理論比值 LC $1.0000$ 、ring $1.0030$ 。
(b) 脈寬效應：LC 精確跟 $\mathrm{sinc}(\tau_p/T_0)$ （偏差 $10^{-4}$ ）；ring 的多諧波能量讓 plain sinc 失效（偏差 $0.74$ ），要用箱形平均 ISF 的極值才對得上（偏差 $0.0074$ ）。
(c) 純正弦鎖不住：同 $I_{rms}=250\ \mu$ A，脈衝串 15/15 網格點鎖定、純正弦 0/15——一階內完全鎖不住，只剩二階 pushing（LC： $-158.7$ kHz，與解析式比值 $1.000$ ）。
(d) $\beta$ 的一階精度：ODE 步階響應對一階預測比值 $0.98$ – $1.03$ （ $q_{inj}/q_{max}=0.05$ ）、更準在 $0.01$ ；偏差本質是 $1-e^{-\beta}$ 這個二階項，headline $\beta_{ODE}=0.04858$ vs 一階 $0.04979$ 。
(e) 雜訊整形：鎖定 PSD 低頻平台對理論比值 $0.991$ 、corner 量到 $1.934$ MHz——對精確離散閉式（非簡化 $\beta f_{ref}/2\pi$ ）幾乎完全吻合（比值 $1.0002$ ）。
(f) jitter 與 spur：輸出 jitter 擬合斜率 $0.497\approx1/2$ ， $N=20$ 給 $2.226$ fs（閉式 $2.228$ fs）；reference spur 對一階鋸齒公式誤差 $\le0.01$ dB。
兩具獨立引擎（線性化 map、未平均 ODE）在 canonical 參數下互相對到 $0.1$ – $1\%$ 量級—— subharmonic_injection 的每一條閉式都通過了本 lab 的數值裁決。

1. 教學目標​

2. 數學模型（引擎與符號；完整推導見 subharmonic_injection）​

2.1 引擎一：impulse-train 線性化 map​

2.2 引擎二：未平均時間同步 ODE​

2.3 兩個 toy ISF（與站上其他 lab 共用）​

2.4 適用與失效條件​

3. Block diagram​

4. Python 核心 code​

5. 完整 script path​

6. 參數表​

7. 單位表​

8. 模擬圖​

9. 如何解讀圖​

10. 對應 paper 公式／figure​

11. 限制與 approximation​

重點回顧​

延伸閱讀​