注入鎖定的雜訊整形與 injection pulling 頻譜

先備：paper_003（[P3] 廣義 Adler、lock characteristic）、white_noise_to_phase_noise（白噪 → $1/f^2$ 的機器）、lorentzian_linewidth（自由跑振盪器近載波在做什麼）｜接下來：quadrature_and_coupled_oscillators（互注入＝兩條 Adler）、pll_noise_budget（二階迴路怎麼記帳）。

paper_003 講完了「鎖不鎖得住」（lock range、穩定性）。 這一頁講 [P3] 那條方程剩下的兩份紅利：

這頁要回答什麼：

1. 鎖定之後，振盪器自己的 phase noise 去哪了？被壓多少？壓到哪個頻率為止？（Part A）
2. 為什麼「還鎖著」不代表「還乾淨」——鎖定邊緣的抑制消失是怎麼回事？（Part A）
3. 鎖不住（$\lvert\Delta\omega\rvert \gt \omega_L$）時，頻譜長什麼樣？為什麼是間距 $\omega_b$、 只長在一邊的梳狀 sideband？那個 $\omega_b=\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}$ 怎麼來的？（Part B）

物理直覺（先講結論）：注入鎖定的振盪器就是一顆一階 PLL——注入提供一股把相位「拉回 鎖定點」的恢復力，恢復力的強度（單位 rad/s）就是迴路頻寬。於是：自身雜訊在恢復力管得到的 頻率以下被壓平（高通整形）、參考的雜訊在同一頻率以下被照單全收（低通）；恢復力 $\omega_c=\omega_L\cos\theta_{ss}$ 在鎖定範圍正中央最強、邊緣歸零。鎖不住時，恢復力輸給失諧， 相位以「逗留—滑走」的鋸齒方式一圈圈滑掉，每滑一圈吐出一根 sideband——這就是 pulling 的梳狀頻譜。

本頁定位：進階設計頁。相位方程本體（[P3] Eq.(26)/(28)–(30)/(33)–(35)/(38)–(40)）與拍頻 （[P4] Eq.(31)–(34)）皆已對照原始 PDF 核實；把雜訊放進 Adler 方程並讀出整形後 PSD 這一步 是教科書級標準結果但不在本站 5 篇 PDF 的推導內（[P4] p.2130 明言 noise 分析放在其參考文獻 [29, Ch. 7]，即 Hong 的博士論文；經典出處為 Kurokawa 1973，見文末外部文獻），本頁自行逐步推導並用模擬對數。

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Part A — 鎖定振盪器的雜訊整形（一階 PLL）

第 0 步：從 [P3] 廣義 Adler 退化到經典 Adler（符號對映講清楚）

出發點是本站已核實的 time-averaged 廣義 Adler 方程（[P3] Eq.(30), p.2113，平均項前為加號）：

$$\frac{d\theta}{dt}=(\omega_0-\omega_{inj})+\underbrace{\frac{1}{T_{inj}}\int_{T_{inj}}\tilde\Gamma(\omega_{inj}t+\theta)\,i_{inj}(t)\,dt}_{\equiv\ \Omega(\theta)\ \text{（lock characteristic，[P3] Eq.(33), p.2114）}}$$

各量單位：$\theta$ [rad]（振盪器相位相對注入的相位差）、$\omega_0,\omega_{inj}$ [rad/s]、 $\tilde\Gamma=\Gamma/q_{max}$ [rad/C]（有單位 ISF，[P3] Eq.(26), p.2113）、$i_{inj}$ [A]。 被積項 $\tilde\Gamma\cdot i_{inj}$：rad/C × C/s = rad/s ✓，$\Omega(\theta)$ 是「注入造成的平均頻率偏移」。

代入正弦注入 + ideal-LC ISF。取 $i_{inj}(t)=I_{inj}\cos(\omega_{inj}t)$、 $\tilde\Gamma(x)=-\sin(x)/q_{max}$（ideal LC 的嚴格 ISF，見 isf_definition）。 一步一步算那個平均：

$$\begin{aligned} \Omega(\theta)&=\frac{1}{T_{inj}}\int_{T_{inj}}\Big[-\frac{\sin(\omega_{inj}t+\theta)}{q_{max}}\Big]\,I_{inj}\cos(\omega_{inj}t)\,dt\\[4pt] &=-\frac{I_{inj}}{q_{max}}\cdot\frac{1}{T_{inj}}\int_{T_{inj}}\big[\sin(\omega_{inj}t)\cos\theta+\cos(\omega_{inj}t)\sin\theta\big]\cos(\omega_{inj}t)\,dt\\[4pt] &=-\frac{I_{inj}}{q_{max}}\Big[\cos\theta\cdot\underbrace{\langle\sin\cos\rangle}_{=0}+\sin\theta\cdot\underbrace{\langle\cos^2\rangle}_{=1/2}\Big] =-\frac{I_{inj}}{2q_{max}}\sin\theta . \end{aligned}$$

定義 $\Delta\omega\equiv\omega_0-\omega_{inj}$（失諧）與 $\omega_L\equiv\dfrac{I_{inj}}{2q_{max}}$（半 lock range），得經典 Adler 形式：

$$\boxed{\ \frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta\ }$$

符號/慣例對映（factor 與正負號記帳）：

本頁	[P3]	說明
$\Omega(\theta)=-\omega_L\sin\theta$	Eq.(34)：$\Omega=\tfrac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert\cos(\theta+\angle\tilde\Gamma_1)$	$-\sin x=\cos(x+90^\circ)$，故 $\angle\tilde\Gamma_1=+90^\circ$、$\lvert\tilde\Gamma_1\rvert=1/q_{max}$ ✓
$\omega_L=I_{inj}/(2q_{max})$	Eq.(35)：$\omega_L=\tfrac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert$	完全一致；負號來自 ideal-LC ISF 自帶的 $-\sin$，不是慣例翻轉
$\Delta\omega=\omega_0-\omega_{inj}$	Eq.(38) 用 $\Delta\omega_{[P3]}=\omega_{inj}-\omega_0$	差一個整體正負號；[P4] Eq.(34) 亦用 $\omega_{inj}/N-\omega_0$。本頁所有結果只依賴 $\Delta\omega^2$ 或明寫分支，不受影響

單位/量級檢查：$\omega_L=I_{inj}/(2q_{max})$：A/C = 1/s（rad/s）✓。用本站 canonical 數字 $f_0=5$ GHz、$q_{max}=1$ pC，若要 $f_L=\omega_L/2\pi=5$ MHz，需 $I_{inj}=2q_{max}\omega_L=2\times10^{-12}\times(2\pi\times5\times10^6)=62.8\ \mu$A。 弱注入線性化的適用檢查（[P3] Eq.(36)–(37), p.2115）：$I_{max}=\omega_0 q_{max}=2\pi\times5\times10^9\times10^{-12}=31.4$ mA， $I_{inj}/I_{max}=0.002\ll1$ ✓——妥妥落在 [P3] 模型的線性區。

第 1 步：鎖定點與穩定分支

穩態 $d\theta/dt=0$ 要求 $\sin\theta_{ss}=\Delta\omega/\omega_L$，存在條件 $\lvert\Delta\omega\rvert\le\omega_L$（這就是 lock range）。解有兩個：

$$\theta_{ss}=\arcsin\!\Big(\frac{\Delta\omega}{\omega_L}\Big)\quad\text{或}\quad\pi-\arcsin\!\Big(\frac{\Delta\omega}{\omega_L}\Big).$$

哪個穩定？照 [P3] 的穩定性判準（Eq.(38)–(39), p.2115）：把 $\theta=\theta_0+\hat\theta$ 代入、 一階 Taylor 展開，得 $d\hat\theta/dt=\Omega'(\theta_0)\hat\theta$，穩定 ⟺ $\Omega'(\theta_0)\lt0$。 這裡 $\Omega'(\theta)=-\omega_L\cos\theta$，所以穩定分支是 $\cos\theta_{ss}\gt0$，即主值 $\theta_{ss}=\arcsin(\Delta\omega/\omega_L)\in(-\pi/2,\pi/2)$；另一解不穩定。

機械類比：傾斜洗衣板。經典 Adler 方程 $d\theta/dt=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$ 剛好是一顆球在過阻尼（overdamped，慣性可忽略、速度正比於力）運動下沿位能 $U(\theta)=-\Delta\omega\cdot\theta-\omega_L\cos\theta$ 滾動的方程——過阻尼粒子服從 $d\theta/dt=-dU/d\theta$，直接代入驗證：$-dU/d\theta=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$ ✓。 $U(\theta)$ 是「餘弦皺摺」疊在「線性斜坡」上，斜率由 $\Delta\omega$ 決定、皺摺深度由 $\omega_L$ 決定——這就是「傾斜洗衣板」的由來。$r\equiv\Delta\omega/\omega_L\lt1$ 時斜坡不夠陡，皺摺仍有局部凹陷（井），球會掉進井裡定住——正是上面 $\theta_{ss}$ 的幾何意義；$r\gt1$ 時斜坡蓋過皺摺，井全部消失，球再也停不下來，一路滾對應到 下面 Part B 的 pulling。下面這個動畫把這個直覺做成可以互動、可以看見 cycle slip 的形式：

Adler 傾斜洗衣板動畫（機械類比：一顆球在 U(θ) = −Δω·θ − ω_L·cos θ 裡滾動）

Δω / ω_L（r）0.60

雜訊強度0.00

狀態

LOCKED（沉降中）

r < 1

井心 θ*

36.9

deg

cycle slip 次數

0

次

讀圖：曲線是傾斜洗衣板位能 U(θ)；球的水平位置就是 Adler 相位 θ，球永遠往「下坡」滾 （dθ/dt = −dU/dθ = Δω − ω_L sin θ，本頁上方推導的經典 Adler 方程）。當 r = Δω/ω_L < 1時傾斜還不夠猛，U(θ) 仍有局部井——球掉進井裡就停住，這就是鎖定。當 r > 1時傾斜已經把井填平，球永不停止地滾，每滾完一整圈 2π 就是一拍，拍週期 T_b = 2π/ω_b（ω_b = √(Δω²−ω_L²)，下方 Part B 逐步推導）。把「雜訊強度」調高會在每一幀對 dθ/dt 加一個隨機漫步的踢動；在 r ≈ 1 附近，運氣不好的一踢可能把球從變淺的井裡踢出去—— 這種提前逃逸就是一次 cycle slip，即時計數顯示在上方。

模型：教學用機械類比（過阻尼粒子在週期性傾斜位能中運動），非電路的逐項對應。ω_L 固定為 1（正規化單位）；Δω = r·ω_L。數值積分：顯式 Euler，每幀切成 4 個子步以求穩定；雜訊是縮放過的均勻分布疊加隨機漫步項（非精確高斯白噪，但用於本示意在統計上已足夠接近）。

第 2 步：把雜訊放進來，線性化

振盪器自己的 device 雜訊電流 $i_n(t)$ 走的是同一台 ISF 機器（[P1] Eq.(11)；[P3] Eq.(28) 的 $\tilde\Gamma\cdot i$ 對雜訊電流一樣成立）。對白噪，經一週期的 ISF 加權平均後它等效成一個 白色頻率雜訊（white FM）驅動 $n(t)$，加在 Adler 方程右邊：

$$\frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta+n(t),$$

其中 $n(t)$ [rad/s] 的單邊 PSD 記為 $S_n$，單位 rad²/s（＝(rad/s)²/Hz）。它就是讓自由跑 振盪器長出 $1/f^2$ skirt 的那個驅動：拿掉注入（$\omega_L=0$）時 $\phi=\int n\,dt$，轉移函數記帳 （單邊進、單邊出）給出

$$S_{\phi,free}(\omega)=\frac{S_n}{\omega^2},\qquad S_n=\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\,\frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}$$

（與 white_noise_to_phase_noise 的時域推導 $S_\phi=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2\omega^2)$ 同一條，時域 $/2$ 慣例那一支）。 Canonical 數字（true LC：$\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz、$q_{max}=1$ pC）： $S_n=0.5\times10^{-24}/10^{-24}=0.5$ rad²/s——這正是 lab_26 用的值（若用代表值 $\Gamma_{rms}=0.5$ 則 $S_n=0.25$ rad²/s）。 單位檢查：$\dfrac{(-)^2}{\text{C}^2}\cdot\dfrac{\text{A}^2}{\text{Hz}}=\dfrac{\text{A}^2\text{s}}{\text{C}^2}=\dfrac{1}{\text{s}}$（即 rad²/s）✓。

線性化。鎖得穩的時候 $\theta$ 只在 $\theta_{ss}$ 附近小幅抖動。令 $\theta=\theta_{ss}+\delta\theta$， $\sin(\theta_{ss}+\delta\theta)\approx\sin\theta_{ss}+\cos\theta_{ss}\cdot\delta\theta$， $\Delta\omega-\omega_L\sin\theta_{ss}=0$ 消掉常數項：

$$\boxed{\ \frac{d(\delta\theta)}{dt}=-\omega_c\,\delta\theta+n(t),\qquad \omega_c\equiv\omega_L\cos\theta_{ss}=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}\ }$$

（第二個等號用 $\cos\theta_{ss}=\sqrt{1-(\Delta\omega/\omega_L)^2}$，穩定分支取正根。）

這個 $\omega_c$ 不是新東西：它正是 [P3] Eq.(40), p.2115 定義的 pull-in frequency $\omega_p:=-\Omega'(\theta_0)$（把 $\Omega'=-\omega_L\cos\theta$ 代入即得），也是 [P4] Eq.(32), p.2130 的 $\omega_p=N\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$ 取 $N=1$。[P3] 用它描述「擾動衰減多快」 （$\hat\theta\propto e^{-t/\tau_p}$，$\tau_p=1/\omega_p$）；我們現在要說的是：同一個頻率， 就是雜訊整形的 corner。 而且這個對應是一般的：任意注入波形、任意拓樸下，雜訊整形 corner $=-\Omega'(\theta_{ss})$——lock characteristic 在鎖定點的斜率。

第 3 步：整形後的 PSD（一階 Lorentzian）

對線性化方程做 Fourier 轉換（$\delta\theta\to\Theta(\omega)$、$n\to N(\omega)$）：

$$j\omega\,\Theta=-\omega_c\,\Theta+N \quad\Longrightarrow\quad \Theta(\omega)=\frac{N(\omega)}{\omega_c+j\omega} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ S_\theta(\omega)=\frac{S_n}{\omega_c^2+\omega^2}\ }$$

這就是 Ornstein–Uhlenbeck 過程的 Lorentzian PSD。dimension check： $\dfrac{\text{rad}^2/\text{s}}{1/\text{s}^2}=\text{rad}^2\cdot\text{s}=\text{rad}^2/\text{Hz}$ ✓。

factor-of-2 紀律：$S_\theta=S_n/(\omega_c^2+\omega^2)$ 是「同邊進、同邊出」的轉移函數記帳—— $S_n$ 用單邊，$S_\theta$ 就是單邊（本頁與模擬全程單邊）；換成雙邊則兩邊同乘 $1/2$，公式形狀不變。 而抑制比 $S_\theta/S_{\phi,free}=\omega^2/(\omega_c^2+\omega^2)$ 把 $S_n$ 整個約掉， 與任何單/雙邊、$/2$/$/4$ 慣例無關——模擬就用這個比值量 corner，最乾淨。

三個極限，三句話：

• $\omega\gg\omega_c$：$S_\theta\to S_n/\omega^2=S_{\phi,free}$——遠端跟自由跑一模一樣。 注入的恢復力（頻寬 $\omega_c$）追不上快的抖動，管不到。
• $\omega\ll\omega_c$：$S_\theta\to S_n/\omega_c^2$＝有限平台。自由跑的 $1/f^2$ 在 $\omega\to0$ 的發散被鎖定「治好了」：相位不再 random walk，而是被錨在 $\theta_{ss}$ 的 有限抖動。（對照 lorentzian_linewidth：自由跑靠 「線寬」把發散變成有限 Lorentzian 峰，但方差仍隨時間長大；鎖定是真的把方差鎖成常數—— 這是兩種不同的「治法」。）
• 交界 $\omega=\omega_c$：抑制比恰為 $1/2$（$-3$ dB）——corner 的操作型定義，模擬據此量測。

整段時間的相位方差（單邊積分）：

$$\sigma_\theta^2=\int_0^\infty \frac{S_n}{\omega_c^2+(2\pi f)^2}\,df =\frac{S_n}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2\omega_c}=\frac{S_n}{4\omega_c}.$$

數值（lab_26 case A：$S_n=0.5$ rad²/s、$\omega_c=2\pi\times5\times10^6$ rad/s）： $\sigma_\theta^2=0.5/(4\times3.14\times10^7)=3.98\times10^{-9}$ rad² → $\sigma_\theta=63.1\ \mu$rad； 換成時間 jitter（$f_0=5$ GHz）$\sigma_t=\sigma_\theta/(2\pi f_0)=2.0$ fs。 dimension check：rad²/s ÷ rad/s = rad² ✓；rad ÷ (rad/s) = s ✓。 這就是拿乾淨參考鎖住一顆振盪器的威力：無界的累積 jitter 變成 2 fs 的有限抖動。

第 4 步：參考的雜訊呢？（一階 PLL 的另一半）

若注入本身相位會動：$i_{inj}=I_{inj}\cos(\omega_{inj}t+\psi(t))$（$\psi$ 慢變）， 重跑第 0 步的平均（積化和差，快項被平均掉）得 $\Omega=-\omega_L\sin(\theta-\psi)$，線性化：

$$\frac{d(\delta\theta)}{dt}=-\omega_c(\delta\theta-\psi)+n \quad\Longrightarrow\quad \Theta(\omega)=\underbrace{\frac{\omega_c}{\omega_c+j\omega}}_{\text{低通}}\Psi(\omega)+\underbrace{\frac{1}{\omega_c+j\omega}}_{\text{自身 FM}\to\text{整形}}N(\omega)$$ $$S_{\theta,out}=\frac{\omega_c^2}{\omega_c^2+\omega^2}\,S_\psi+\frac{1}{\omega_c^2+\omega^2}\,S_n .$$

• 參考相位雜訊被低通（corner 同樣是 $\omega_c$）：低於 $\omega_c$ 全收（照單全抄參考）， 高於 $\omega_c$ 被拒收。
• 自身雜訊被高通：相對自由跑 $N/(j\omega)$，比值是 $j\omega/(\omega_c+j\omega)$， $\lvert\cdot\rvert^2=\omega^2/(\omega_c^2+\omega^2)$。

這正是一階（type-I）PLL 的 transfer 對——和本站 lab_13 的二階 $\lvert H_{lp}\rvert^2/\lvert H_{hp}\rvert^2$ 同一邏輯，只是迴路退化成一階、頻寬就是 $\omega_c$。方塊圖：

誠實標註：$\omega_c$ 作為 pull-in frequency 是 [P3] Eq.(40) 的原生結果；把 $n(t)$、$\psi(t)$ 掛上去讀出高通/低通 PSD 是標準的注入鎖定雜訊理論（外部文獻，非本站 5 篇 PDF：Kurokawa 1973； Razavi 2004 亦有易讀推導；[P4] p.2130 則把 noise 分析指向其參考文獻 [29, Ch. 7]）。

鎖定邊緣的退化（真正的設計洞見）

$\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$ 對 $\Delta\omega$ 的依賴是圓弧：中心最高、邊緣垂直墜地。

• $\Delta\omega=0$：$\omega_c=\omega_L$（corner ＝ 整個半 lock range，抑制頻寬最大）。 這也解釋了 [P3] Eq.(35) 的另一層意義：$\omega_L$ 不只是「鎖得住的範圍」，更是「雜訊抑制頻寬的上限」（$\omega_c\le\omega_L$，等號在正中央）。
• $\Delta\omega=0.95\,\omega_L$：$\cos\theta_{ss}=\sqrt{1-0.95^2}=0.312$，$\omega_c$ 剩 31%， 低頻平台抬高 $1/\cos^2\theta_{ss}=10.3$ 倍（$+10.1$ dB）——還鎖著，但已經髒了。
• $\Delta\omega\to\pm\omega_L$：$\cos\theta_{ss}\to0$，$\omega_c\to0$，抑制完全消失； 且線性化本身失效（恢復力的位能井變淺，雜訊開始踢出 cycle slip，往 Part B 的 pulling 頻譜過渡）。

一句白話：lock range 的邊緣不是牆，是斜坡——你在失鎖之前很早就開始付 phase-noise 的代價。 PVT 讓 $\omega_0$ 漂移時，$\Delta\omega$ 會悄悄往邊緣走，phase noise 平台以 $1/\cos^2\theta_{ss}$ 抬升，這常常比「失鎖」本身更早咬人。設計上要盯的是 $\Delta\omega/\omega_L$ 的餘裕， 例如 $\lvert\Delta\omega\rvert\le0.5\,\omega_L$ 保住 $\omega_c\ge0.87\,\omega_L$（平台代價只 $+1.2$ dB）。

lab_26：SDE 模擬 vs 一階理論

模型：Euler–Maruyama 積分 $d\theta/dt=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta+n(t)$（乾淨注入、 自身白噪 FM），同一條雜訊序列同時餵給自由跑（$\omega_L=0$）作對照，Welch 估單邊 PSD。

參數	值	單位	說明
$f_L=\omega_L/2\pi$	5.0	MHz	半 lock range（$I_{inj}=62.8\ \mu$A @ $q_{max}=1$ pC）
$S_n$	0.5	rad²/s	單邊白噪 FM 驅動（true-LC $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz）
$\Delta\omega$	0 與 $0.95\,\omega_L$	rad/s	case A（中心）／case B（鎖定邊緣）
$f_s$	400	MHz	相位 SDE 的取樣率（只積慢動態，不積 5 GHz 載波）
長度	$2^{22}$ 點 ≈ 10.5 ms	—	Welch $2^{15}$ 點/段，256 段平均

核心 code（完整 script：simulations/lab_26_injlock_noise.py）：

n  = white_noise(2**22, S_n, fs)                  # 白噪 FM 驅動 [rad/s]，單邊 PSD = S_n
th = 0.0
for k in range(n.size):                           # Euler–Maruyama
    th += (dw - wL*np.sin(th) + n[k])*dt          # [P3] Eq.(30) 正弦退化 + 雜訊
    theta[k] = th
f, S_lock = estimate_psd(theta[trans:], fs)       # 單邊 PSD [rad^2/Hz]
ratio = S_lock / S_free                           # 抑制比（慣例無關）

跑出來的核對數字（PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_26_injlock_noise.py）：

print(mean_ratio_free)                # -> 1.004 自由跑 PSD / (S_n/ω²)，0.5–5 MHz 平均
print(theta_mean_B)                   # -> 1.2532 rad，＝asin(0.95) 的理論鎖定相位
print(plateau_A_ratio)               # -> 0.969 量測平台 / (S_n/ω_c²)，case A
print(plateau_B_ratio)               # -> 0.995 量測平台 / (S_n/ω_c²)，case B
print(edge_penalty)                  # -> 10.53 平台 B/平台 A（理論 1/cos²θ_ss = 10.26，+10.1 dB）
print(fc_meas_A, ratio_A)            # -> 4.816 MHz, 0.963 corner A（理論 5.000 MHz）
print(fc_meas_B, ratio_B)            # -> 1.543 MHz, 0.988 corner B（理論 1.561 MHz）
print(suppression_100kHz)            # -> -34.0 dB（理論 −34.2 dB）

corner 量測值比理論低約 3–4%，來自 Euler 離散化（$\omega_c\,dt\approx0.08$）與 Welch bin 平均，屬預期的數值偏差；平台、抑制量、鎖定相位全部對上。

怎麼讀這張圖：(a) 灰線是自由跑的 $1/f^2$；藍/橘是鎖定後的 $S_\theta$——高頻端三條線疊在 一起（注入管不到），低頻端被壓平成 $S_n/\omega_c^2$ 的平台；虛線是一階理論，整條吻合。 (b) 把兩條鎖定 PSD 除以自由跑，得到乾淨的一階高通 $\omega^2/(\omega_c^2+\omega^2)$； $-3$ dB 交叉點就是 corner——case B（$\Delta\omega=0.95\,\omega_L$）的 corner 從 5 MHz 縮到 1.56 MHz、平台抬高 10 dB：鎖定邊緣的退化肉眼可見。

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Part B — 鎖不住的時候：injection pulling 的頻譜

第 1 步：沒有穩態，只有「逗留—滑走」

當 $\lvert\Delta\omega\rvert\gt\omega_L$（取 $\Delta\omega\gt\omega_L\gt0$ 討論），

$$\frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta\ \ge\ \Delta\omega-\omega_L\ \gt\ 0$$

處處為正：$\theta$ 單調上升、永不停——鎖定失敗，但上升得很不均勻：

• 在 $\theta=\pi/2$（$\sin\theta=1$）附近最慢：$d\theta/dt=\Delta\omega-\omega_L$。 振盪器「幾乎要鎖上」，在最接近鎖定的相位逗留（quasi-lock）——[P3] Sec. V-G, p.2115–2116 的描述：spends a considerable amount of time "trying" to lock。
• 在 $\theta=-\pi/2$ 附近最快：$d\theta/dt=\Delta\omega+\omega_L$——快速滑走（slip）， 一口氣補完一整圈。

所以 $\theta(t)$ 是「平台＋陡坡」的鋸齒狀階梯（見下方模擬圖 (a)），每一「拍」淨滑 $2\pi$。

第 2 步：拍頻 $\omega_b$——逐步推導

一拍的週期就是 $\theta$ 走完 $2\pi$ 所需時間。分離變數：

$$T_b=\int_0^{T_b}dt=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\theta}{\Delta\omega-\omega_L\sin\theta}.$$

用 Weierstrass 半角代換 $u=\tan(\theta/2)$（$\theta:-\pi\to\pi$ 對應 $u:-\infty\to\infty$）， $\sin\theta=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$d\theta=\dfrac{2\,du}{1+u^2}$：

$$\begin{aligned} T_b&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\Delta\omega-\omega_L\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2\,du}{1+u^2} =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,du}{\Delta\omega(1+u^2)-2\omega_L u}\\[4pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,du}{\Delta\omega\,u^2-2\omega_L u+\Delta\omega} \qquad\text{（分母配方）}\\[4pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\,du}{\Delta\omega\Big(u-\frac{\omega_L}{\Delta\omega}\Big)^2+\frac{\Delta\omega^2-\omega_L^2}{\Delta\omega}} =\frac{2}{\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}}\Big[\arctan\Big(\frac{\Delta\omega\,u-\omega_L}{\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}}\Big)\Big]_{-\infty}^{\infty}\\[4pt] &=\frac{2}{\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}}\cdot\pi . \end{aligned}$$

（倒數第二步用 $\int\frac{du}{a(u-u_0)^2+c}=\frac{1}{\sqrt{ac}}\arctan\big(\sqrt{a/c}\,(u-u_0)\big)$， $a=\Delta\omega\gt0$、$c=(\Delta\omega^2-\omega_L^2)/\Delta\omega\gt0$，$\arctan$ 全跨 $=\pi$。）

$$\boxed{\ \omega_b\equiv\frac{2\pi}{T_b}=\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}\ } \qquad\text{（[P4] Eq.(34), p.2130，取 }N=1\text{）}$$

同一套代換也給出未鎖定的閉式解（等價於 [P4] Eq.(33), p.2130 的 ideal-LC 特例）：

$$\tan\frac{\theta(t)}{2}=\frac{\omega_L}{\Delta\omega}+\frac{\omega_b}{\Delta\omega}\tan\frac{\omega_b (t-t_0)}{2}.$$

單位：rad/s ✓（$\Delta\omega,\omega_L$ 同單位取平方差開根號）。兩個極限：

• $\Delta\omega\gg\omega_L$：$\omega_b\to\Delta\omega$——sideband 間距趨近失諧本身， 注入退化成一根小 spur，振盪器幾乎自由跑 ✓（自洽檢查）。
• $\Delta\omega\to\omega_L^+$：$\omega_b\to0$——臨界慢化：逗留段無限拉長、拍頻歸零、 梳齒全部縮向注入頻率——這就是「鎖上」的瞬間。注意它和 Part A 的 $\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$ 是同一個根號的兩側：鎖內叫 pull-in frequency，鎖外叫 beat frequency（[P4] Eq.(32) vs Eq.(34)——一對畢氏關係）。

數值（lab_27 用 3–4–5 直角三角形，心算可驗）：$\Delta f=100$ kHz、$f_L=60$ kHz → $f_b=\sqrt{100^2-60^2}=80$ kHz。

第 3 步：頻譜結構——梳距 $\omega_b$、一端貼著注入

$\theta$ 每 $T_b$ 淨走 $2\pi$，故 $\theta(t)=\omega_b t+p(t)$，$p$ 是週期 $T_b$ 的週期函數。輸出電壓

$$V(t)=\cos\big(\omega_{inj}t+\theta(t)\big)$$

的解析訊號含 $e^{j\theta}=e^{j\omega_b t}e^{jp(t)}$，而 $e^{jp(t)}$ 的 Fourier 級數只有 $k\omega_b$ 的成分——所以頻譜是間距 $\omega_b$ 的梳，線位於

$$\omega=\omega_{inj}+k\,\omega_b,\qquad k\in\mathbb{Z},$$

其中 $k=0$ 那根恰好落在注入頻率上（[P4] Sec. V-B, p.2130：the tone at one edge of the spectrum always occurs right at the injection frequency）。振盪器的平均頻率是 $\omega_{inj}+\omega_b$（$k=1$ 主線附近），它落在 $\omega_{inj}$ 與 $\omega_0$ 之間： 被「拉」離自由跑 $\Delta\omega-\omega_b$（lab_27 數值：$100-80=20$ kHz）——pulling 這個名字就是這麼來的。細節提醒（[P3] 註 18, p.2116）：除非 $\omega_{inj}$ 恰為 $\omega_b$ 的整數倍，$V(t)$ 本身不是週期訊號——pulling 從根本上破壞了振盪器的週期性。

下面這個互動元件把 Adler ODE 直接在瀏覽器裡積分（RK2）、對 $V(t)=\cos(\omega_{inj}t+\theta(t))$ 做 FFT，讓你親手把 $r=\Delta\omega/\omega_L$ 從鎖定滑到 pulling，看頻譜從「一根純音」變成 「單邊梳」的過程；$\omega_b$ 的量測值即時與上面推出的閉式 $\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}$ 比對：

Injection pulling 頻譜互動探索器（RK2 積分 Adler → FFT）

Δω / ω_L（r）1.50

FFT 點數

狀態

PULLING — 梳狀頻譜

r > 1

ω_b （理論）

1.1180

√(Δω²−ω_L²)

ω_b （量測，FFT）

1.1115

誤差 0.59%

讀圖：紅色虛線是注入頻率 ω_inj。把 r = Δω/ω_L 滑到 1 以下，頻譜會收成 ω_inj 上的一根乾淨純音——振盪器鎖定在注入上，θ(t) 已沉降成常數， 所以 V(t) = cos(ω_inj t + θ_ss) 是純音。把 r 推過 1，會冒出單邊梳， 間距 ω_b = √(Δω²−ω_L²)，其中一端的梳齒恰好貼在 ω_inj 上——這正是上方 Part B 推導出的閉式解（[P4] Eq.(34)）。「ω_b（量測，FFT）」讀數取最強幾根梳齒間距的中位數 （用拋物線次頻段內插提高精度），即時與理論閉式比對。

模型：RK2（中點法）積分 dθ/dt = Δω − ω_L·sin(θ) 共 4096 步（dt = 0.02，ω_L=1 正規化），對 V(t) = cos(ω_inj t + θ(t)) 取最後 {1024 或 2048} 點做 Hann 窗 FFT（radix-2 Cooley–Tukey，本檔內建、無外部套件），峰值位置以拋物線內插細修。離線核對（Node/Python，同一套演算法）：在 r = 1.5 時，用 2048 點 FFT 量到的梳距與 √(Δω²−ω_L²) 誤差 ≈0.1% ——參見上方 Part B 正文與 lab_27 的參考數字。

第 4 步：為什麼「單邊」不對稱？

物理論證。瞬時頻率是

$$\omega_{osc}(t)=\omega_{inj}+\frac{d\theta}{dt}\in[\,\omega_{inj}+\Delta\omega-\omega_L,\ \omega_{inj}+\Delta\omega+\omega_L\,],$$

整個範圍都在注入的同一側（$\Delta\omega\gt\omega_L$ 保證下限為正）。而且時間權重極度偏斜： $\theta$ 在逗留段（$\omega_{osc}\approx\omega_{inj}+\Delta\omega-\omega_L$，離注入最近處） 待最久，滑走段一閃而過——所以頻譜能量堆在「注入頻率往 $\omega_0$ 那一側」，緊貼注入、 往外遞減；注入的另一側幾乎空白。這跟對稱的 FM（正弦調相 → 對稱 Bessel sideband） 形成鮮明對比：pulling 的調相波形是鋸齒，不是正弦。

嚴格論證（進階，一段講完）。令 $z=e^{j\theta}$，Adler 方程變成 Riccati 方程 $\dot z=j\Delta\omega\,z-\tfrac{\omega_L}{2}(z^2-1)$；Riccati 的解是係數的 Möbius（分式線性） 變換，把週期解寫成 $z=\dfrac{c+d\,w}{1+b\,w}$（$w=e^{j\omega_b t}$、$\lvert b\rvert\lt1$）， 幾何級數展開 $\dfrac{1}{1+bw}=\sum_k(-b)^k w^k$ 後只有 $k\ge0$ 的冪次——所以在這個 理想 Adler 模型裡梳嚴格單邊，且振幅幾何遞減，比值

$$r=\frac{\omega_L}{\Delta\omega+\omega_b}$$

（每根線功率降 $r^2$）。此閉式頻譜為標準結果（外部文獻，非本站 5 篇 PDF：Armand 1969， 見文末），本頁以下用模擬數值驗證。lab_27 的 3–4–5 參數：$r=60/(100+80)=1/3$， 每根線 $20\log_{10}3=9.54$ dB。

lab_27：積分未鎖定 Adler ODE → FFT

模型：RK4 積分 $d\theta/dt=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$（決定論；關掉雜訊以分離 pulling 梳本身），建 $V(t)=\cos(\omega_{inj}t+\theta(t))$，Hann 窗 FFT。

參數	值	單位	說明
$f_{inj}$	1.000	MHz	注入頻率（toy 尺度，Adler 方程本身已是平均後的慢動態）
$f_0$	1.100	MHz	自由跑頻率（$\Delta f=+100$ kHz）
$f_L$	60	kHz	半 lock range（$\Delta f\gt f_L$ → 鎖不住）
$f_b$（理論）	80.000	kHz	$\sqrt{100^2-60^2}$（3–4–5）
$f_s$、長度	16 MHz、$2^{21}$ 點	—	131 ms ≈ 10486 拍，FFT 解析度 7.6 Hz

核心 code（完整 script：simulations/lab_27_pulling_spectrum.py）：

def rhs(th):                                   # 未鎖定 Adler（[P3] Eq.(30) 正弦退化）
    return DW - OMEGA_L*np.sin(th)             # [rad/s]
# ... RK4 積分得 theta[k] ...
V    = np.cos(OMEGA_INJ*t + theta)             # 被拉扯的輸出電壓
spec = np.abs(np.fft.rfft(V*np.hanning(V.size)))**2

跑出來的核對數字（PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_27_pulling_spectrum.py）：

print(f_b_from_slope)                 # -> 79.999 kHz 由 ⟨dθ/dt⟩，理論 80.000 → ratio 1.0000
print(f_b_from_fft)                   # -> 80.000 kHz 由頻譜梳距 → ratio 1.0000
print(step_k1_k2, step_k2_k3)         # -> -9.54 dB, -9.54 dB 相鄰梳線功率步階（理論 20log10(3)=−9.54）
print(mirror_side)                    # -> -194.1 dB f_inj−f_b vs f_inj+f_b：鏡像側＝數值零（嚴格單邊）
print(edge_tone)                      # -> -8.52 dB 注入頻率上那根邊緣線相對 k=+1 主線
print(pulled_by)                      # -> 20.0 kHz 平均頻率 1.080 MHz，被拉離 f_0=1.100 MHz

頻譜主線（相對最強線）：1.080 MHz（0 dB，$k{=}1$）、1.000 MHz（$-8.2$ dB，$k{=}0$＝注入）、 1.160（$-10.5$）、1.240（$-19.2$）、1.320（$-28.3$）、1.400 MHz（$-38.1$ dB）—— $k\ge2$ 起每根正好降 9.54 dB，幾何比 $r^2=(1/3)^2$ 分毫不差。

怎麼讀這張圖：(a) $\theta/2\pi$ 每拍爬一格，平緩段就是 quasi-lock 逗留；(b) 瞬時頻率大部分 時間貼著 1.04 MHz（$f_{inj}+\Delta f-f_L$，離注入最近的「逗留頻率」），短暫掃到 1.16 MHz； (c) 頻譜：紅虛線＝注入 1.000 MHz（梳的邊緣）、灰虛線＝自由跑 1.100 MHz（已經沒有線在 那裡——被拉走了）、綠 ▽＝理論位置 $f_{inj}+k\,f_b$；注入左側乾乾淨淨——單邊梳是 pulling 最好認的指紋。

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注入波形設計：lock range 的上限（[P3] Sec. VI, Cauchy–Schwarz）

Part A 的結論之一是：$\omega_L$ 不只是「鎖得住的範圍」，還是雜訊抑制頻寬的上限（$\omega_c\le\omega_L$）。 所以「同樣的注入功耗，$\omega_L$ 能推到多大」是一個真金白銀的設計問題。[P3] Sec. VI （pp. 2119–2120）給了一個乾淨到可以背起來的答案，這節照原文逐步推一次，並用三個 ISF 數值驗證。

物理直覺（先講結論）：ISF 就是「振盪器此刻多好說話」的儀表板。固定的電流預算應該全部 押在 $\lvert\tilde\Gamma\rvert$ 大的相位（node 電壓轉換最陡、相位最容易被推動的時刻）， 在 $\tilde\Gamma\approx0$ 的相位一毛都不花。正弦注入做不到這件事——它被迫在整個週期均勻花錢。 最佳解就是「把注入波形做成 ISF 自己的形狀」（[P3] Fig. 18, p.2118 的概念圖）。

第 0 步：先把「注入多大」定義清楚——為什麼用 rms？

要比較不同形狀的波形，得先固定一個「一樣大」的量尺。多諧波波形沒有唯一的「振幅」， [P3] 用 rms 注入電流（[P3] Eq.(43), p.2119，逐字）：

$$I_{rms}\equiv\sqrt{\langle i_{inj}^2\rangle}:=\sqrt{\frac{1}{T_{inj}}\int_{T_{inj}}i_{inj}(t)^2\,dt}\ .$$

單位：$\sqrt{\text{A}^2}=\text{A}$ ✓。為什麼 rms 是「功率」的正確代理？[P3] p.2119 + Fig. 17： 實際的注入電路多半是一個把靜態尾電流 $I_{bias}$ commutate 出去的差動對，瞬時 $\lvert i_{inj}\rvert$ 被尾電流蓋頂，所以 $I_{rms}\le I_{bias}$；而注入電路的平均功耗至少是 $I_{rms}V_{DD}$——固定 $I_{rms}$ ≈ 固定注入電路的功耗下限，而且對任意波形都定義得出來。

三步推導：內積 → Cauchy–Schwarz → 等號條件

第 1 步：lock range 是一個內積的極值。 出發點還是已核實的 lock characteristic （[P3] Eq.(33), p.2114）：

$$\Omega(\theta)=\frac{1}{T_{inj}}\int_{T_{inj}}\tilde\Gamma(\omega_{inj}t+\theta)\,i_{inj}(t)\,dt .$$

固定 $\theta$ 看，這正是兩個週期訊號的時間平均內積 $\langle u,v\rangle=\frac{1}{T}\int_T uv\,dt$： $u_\theta(t)=\tilde\Gamma(\omega_{inj}t+\theta)$ [rad/C]、$v(t)=i_{inj}(t)$ [A]。 鎖定條件（Part A 第 1 步的一般化；[P3] Eq.(38) 的定態）是 $\Delta\omega$ 落在 $\Omega$ 的值域內： 上／下 lock edge 就是 $\max_\theta\Omega$ 與 $\min_\theta\Omega$。於是「把 lock range 做大」 ＝「把這個內積的極值做大」——電路問題變成了一道泛函不等式。

第 2 步：Cauchy–Schwarz 上界。 對任何 $\theta$、任何波形（積分形式的 Cauchy–Schwarz： $\lvert\langle u,v\rangle\rvert\le\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert$）：

$$\lvert\Omega(\theta)\rvert\;\le\;\underbrace{\sqrt{\tfrac{1}{T_{inj}}\!\int_{T_{inj}}\!\tilde\Gamma^2(\omega_{inj}t+\theta)\,dt}}_{=\ \tilde\Gamma_{rms}\ \text{（與 }\theta\text{ 無關）}}\cdot\underbrace{\sqrt{\tfrac{1}{T_{inj}}\!\int_{T_{inj}}\!i_{inj}^2(t)\,dt}}_{=\ I_{rms}\ \text{（Eq.(43)）}}$$

第一個因子與 $\theta$ 無關：一個注入週期恰好把 $\tilde\Gamma$ 的整段 $2\pi$ 掃過一遍， 平方平均不在乎從哪個相位開始掃。單位：$\text{rad/C}\times\text{A}=\text{rad/s}$ ✓。 於是不管把波形做成什麼形狀，lock range 都跨不過（[P3] Eq.(45), p.2120，逐字）

$$\omega_L^*=I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}\ .$$

第 3 步：等號條件——波形＝ISF 的形狀。 Cauchy–Schwarz 取等號 ⟺ 兩「向量」平行： $i_{inj}(t)=\lambda\,\tilde\Gamma(\omega_{inj}t+\text{const})$。用 Eq.(43) 把 $\lambda$ 的大小歸一到 給定的 $I_{rms}$，就是最佳注入波形（[P3] Eq.(44), p.2119，逐字；$x=\omega_{inj}t$ 是線性注入相位）：

$$i_{inj,0}^{*}(x)=\pm\frac{I_{rms}}{\tilde\Gamma_{rms}}\,\tilde\Gamma(x)\ .$$

三個要點：

• 取**＋號時 $\Omega(\theta)$ 變成 ISF 的自相關 $\times\,I_{rms}/\tilde\Gamma_{rms}$，在對齊點達到 $+I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}$——最佳化上 lock edge；取−**號同理最佳化下 edge （[P3] p.2120 明講：正解對上緣、負解對下緣）。同一個波形不能同時把兩邊都推到上限—— 見下面檢查 2 的數值。
• 對齊不用手動：$\theta$ 是振盪器自己的自由度，鎖定機制會把它調到滿足 $\Delta\omega=\Omega(\theta)$ 的穩定分支；波形設計只要形狀對，相位由物理自己找。
• factor 記帳：Eq.(45) 裡沒有 2 也沒有 4——兩邊都是 rms 量。經典正弦結果 $\omega_L=\tfrac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert$（[P3] Eq.(35)）的 $\tfrac12$ 是投影積分 $\langle\cos^2\rangle=\tfrac12$、$I_{inj}$ 是峰值；改寫成 rms（$I_{rms}=I_{inj}/\sqrt2$） 它就是 $\omega_{L,sine}=I_{rms}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert/\sqrt2$。這些 $\sqrt2$、$2$ 全是 peak↔rms 換算與投影常數，與 SSB 記帳的 $/2$、$/4$ 慣例無關。

檢查 1：純弦 ISF——正弦注入「本來就」最佳（比值必須是 1）

ideal LC 的 $\tilde\Gamma(x)=-\sin(x)/q_{max}$ 本身就是單頻正弦，「跟 ISF 同形狀」的波形就是 正弦——定理預言正弦注入已經達到上限。兩邊各算一次（true-LC $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$ 那一支， 不是代表值 0.5）：

$$\omega_{L,sine}=\frac{I_{rms}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert}{\sqrt2}=\frac{I_{rms}}{\sqrt2\,q_{max}},\qquad \omega_L^*=I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}=\frac{I_{rms}}{\sqrt2\,q_{max}}\quad\Rightarrow\quad\text{比值}=1 .$$

數值（沿用 Part A 的 canonical case：$q_{max}=1$ pC、峰值 $62.83\ \mu$A 即 $I_{rms}=44.43\ \mu$A）： $\omega_L^*=4.443\times10^{-5}\times0.7071/10^{-12}=3.14\times10^7$ rad/s → $f_L^*=5.000$ MHz， 與 Part A 的正弦 lock range 一模一樣。dimension check：A × rad/C = (C/s)(rad/C) = rad/s ✓。 （模擬印出 f_L sine = 5.0000 MHz、f_L matched = 5.0000 MHz、gain = 1.0000。）

教學重點：這不是巧合，是「ISF 只有一根諧波」的必然——正弦注入唯一買得到的是 $\tilde\Gamma_1$，而純弦 ISF 的全部 rms 都在 $\tilde\Gamma_1$。要讓波形設計「賺錢」， ISF 必須把能量藏在正弦搆不到的地方：DC（$c_0$）或高次諧波。下面兩個檢查各示範一種。

檢查 2：不對稱 toy ISF——匹配注入賺在 DC（而且只賺一邊）

site toy $\Gamma(\theta)=\cos\theta+0.3$（$\alpha=0.3$、DC 值 $c_0/2=0.3$）： $\Gamma_{rms}=\sqrt{\alpha^2+\tfrac12}=0.7681$、$c_1=1$。增益閉式：

$$G=\frac{\omega_L^*}{\omega_{L,sine}}=\frac{I_{rms}\Gamma_{rms}/q_{max}}{I_{rms}\,c_1/(\sqrt2\,q_{max})}=\frac{\sqrt2\,\Gamma_{rms}}{c_1}=\sqrt{1+2\alpha^2}=1.0863 .$$

（模擬：gain = 1.0863、$f_L$ 從 5.0000 → 5.4314 MHz。）匹配波形就是 $\cos+\alpha$ 的形狀—— 多出來的那份 DC 電流耦合到 ISF 的 $c_0$，是零均值的正弦永遠買不到的。但注意單邊性 （$\pm$ 的抉擇）：以 $I_{rms}/q_{max}$ 為單位，模擬印出 matched(+) 的上／下 edge ＝ $+0.7681$／$-0.5338$，正弦是 $\pm0.7071$——上緣賺 8.6%、下緣反而輸 24%；要下緣就換 $-$ 號。DC 注入把 lock characteristic 整條上移，這正是 [P3] Fig. 10 caption 說 「上、下 lock edge 可以同號」的機制。

檢查 3：ring 型窄脈衝 ISF——增益 $\approx\sqrt{\eta N/3}$，17 級 ≈ ×2

ring 的 ISF 能量集中在 transition。用 [P2] App.B 的三角脈衝構造（$A=1$ 對稱升降）當 toy： 兩個反號三角脈衝、高 $h=1/f'$、半寬 $w=1/f'$ rad，$f'=\eta N/\pi$（由 [P2] Eq.(54), p.803 取 $A=1$）。健檢：這個構造的 $\Gamma_{rms}$ 正好回到 [P2] Eq.(55)（$A=1$）：模擬印出 0.05634 ＝ 閉式 $\sqrt{2\pi^2/3\eta^3}/N^{1.5}=$ 0.05634 ✓。

窄脈衝極限的增益閉式（三行推完）：單一脈衝面積 $hw$ 給 $c_1\approx 2hw/\pi$（兩個反號脈衝 相隔 $\pi$，對 $\sin$ 的投影同號相加）；$\Gamma_{rms}^2=\tfrac{1}{2\pi}\cdot2\cdot\tfrac23h^2w=\tfrac{2h^2w}{3\pi}$；代 $h=w=1/f'$、$f'=\eta N/\pi$：

$$G=\frac{\sqrt2\,\Gamma_{rms}}{c_1}\approx\sqrt{\frac{2\cdot\frac{2h^2w}{3\pi}}{\frac{4h^2w^2}{\pi^2}}}=\sqrt{\frac{\pi}{3w}}=\sqrt{\frac{\eta N}{3}}\ .$$

$N=17$、$\eta=0.75$：$G=\sqrt{4.25}=2.0616$（模擬全數值 2.0720，差的 0.5% 是脈衝有限寬度的 $\mathrm{sinc}^2$ 修正）。加上單位：同一個 $I_{rms}=44.43\ \mu$A、$q_{max}=1$ pC， 正弦 192.3 kHz → 匹配 398.4 kHz。

這個 ×2 不是 toy 的自嗨：[P3] Fig. 19（p.2119）對一顆 17 級單端 ring 做了電晶體級模擬—— 用貼近 ISF 形狀的脈衝注入（Fig. 19(b)，非嚴格複製 ISF），p.2120 原文："the lock range is almost doubled compared to a sinusoidal injection of the same power." toy 的 $\sqrt{\eta N/3}\approx2.06$ 與真電路的「almost doubled」對齊的是 2 這個量級，不是小數點 （真 ISF 的細節不同）。增益 $\propto\sqrt N$：級數越多、transition 佔的相位比例越小、 正弦浪費得越兇——長 ring 是波形設計回報最高的地方。

一個誠實的 toy 註腳：本站更粗的 gamma_triangular toy 是 $\pi$-週期（升、降兩個三角形完全 對稱重複），只有偶次諧波——模擬印出它的 $c_1=0.000000$、$c_2=0.3625$，基頻正弦根本鎖不住它 （等效上只能做 superharmonic injection）。這是 toy 的 artifact（真 ring 的升降緣不會對稱到 只剩偶次），但它用最極端的方式示範同一件事：正弦只買得到 $c_1$；ISF 沒把能量放在 $c_1$， 錢就白花。

lab_33：數值驗證 + 圖

模型：在 4096 點相位格上把 [P3] Eq.(33) 的週期平均寫成循環相關，對三個 ISF 分別算 正弦注入與匹配注入（同一個 $I_{rms}$）的 lock characteristic，取極值即 lock edge。

核心 code（完整 script：simulations/lab_39_optimal_injection.py）：

def lock_characteristic(gt, i_wave):                  # [P3] Eq.(33)：循環相關
    Gf, If = np.fft.rfft(gt), np.fft.rfft(i_wave)
    return np.fft.irfft(np.conj(If) * Gf, gt.size) / gt.size   # Ω(θ) [rad/s]

i_sine = np.sqrt(2)*I_RMS*np.cos(X)                   # 同 I_rms 的正弦
i_star = (I_RMS/gt_rms) * gt_p                        # [P3] Eq.(44) 取 + 號
wl_sine = lock_characteristic(gt_p, i_sine).max()     # 上 lock edge [rad/s]
wl_star = lock_characteristic(gt_p, i_star).max()     # 應碰到 I_rms·Γ̃_rms

跑出來的核對數字（PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_39_optimal_injection.py）：

print(fL_sine_LC, fL_matched_LC)      # -> 5.0000 MHz, 5.0000 MHz 純弦 ISF：正弦已最佳（gain = 1.0000）
print(gain_asym)                      # -> 1.0863 cos+0.3 匹配增益＝解析 sqrt(1+2α²)=1.0863
print(edges_asym)                     # -> +0.7681/-0.5338 matched(+) 上/下 edge（I_rms/q_max 單位；正弦 ±0.7071）
print(gamma_rms_ring)                 # -> 0.05634 ＝ [P2] Eq.(55) 閉式 0.05634（構造健檢）
print(fL_sine_ring, fL_matched_ring)  # -> 0.1923 MHz, 0.3984 MHz N=17 ring toy，同 I_rms=44.43 μA
print(gain_ring)                      # -> 2.0720 閉式 sqrt(ηN/3)=2.0616（差 0.5%＝sinc² 修正）
print(matched_over_bound)             # -> 1.0000 匹配注入恰好碰到 Cauchy–Schwarz 上限（三案皆然）
print(c1_site_triangular)             # -> 0.000000 site toy gamma_triangular 是 π-週期：基頻正弦鎖不住（artifact）

怎麼讀這張圖：(a) 兩條波形的 rms 完全相同（都是 44.43 μA），差別只在錢花在哪—— 匹配注入（紅）把電流集中成跟 ISF 同形的窄脈衝，正弦（藍虛）大半電流花在 $\tilde\Gamma\approx0$ 的死區；(b) 對應的 lock characteristic：極值就是 lock edge，紅色恰好 碰到黑點線的理論上限 $\pm I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}/2\pi=\pm398$ kHz，正弦只到 192 kHz—— 同樣的功耗，×2.07 的 lock range（Part A 的雜訊抑制頻寬上限 $\omega_c\le\omega_L$ 也跟著 ×2.07）。

適用與失效條件（本節）

條件	成立時	失效時會怎樣
弱注入線性（[P3] Eq.(36)–(37)：$I_{inj}\ll I_{max}=\omega_0 q_{max}$）	Eq.(33) 線性於 $i_{inj}$，Cauchy–Schwarz 論證成立	強注入：$\Omega$ 偏離線性預測；[P3] Fig. 19 的模擬用到 $I_{rms}$ 超過 $I_{max}=0.72$ mA 仍大致吻合（Sec. V-H 的觀察）
「大小」以 $I_{rms}$ 度量（Eq.(43)）	最佳解＝Eq.(44)、上限＝Eq.(45)	換約束就換最佳解：若限制的是峰值電流 $\lvert i_{inj}\rvert\le I_{pk}$，最佳解變成方波型 $i=I_{pk}\,\mathrm{sign}(\tilde\Gamma)$、上限 $I_{pk}\langle\lvert\tilde\Gamma\rvert\rangle$（本站延伸推論，非 [P3] 原文）
注入電路做得出該波形	拿滿 $G$	窄脈衝需要 $\sim N$ 次諧波的頻寬：$f_0=5$ GHz、17 級的脈衝要有到 ~85 GHz 的頻譜內容——實務上把脈衝加寬，$G$ 沿 ISF 自相關平滑退化（不是懸崖）
ISF 已知且穩定	波形可離線設計	ISF 要靠模擬（[P3] Sec. V-H 的 impulse-response 法）或閉式（[P2] App.B）取得；PVT 讓 ISF 漂移時 $G$ 打折，但鎖定相位 $\theta_{ss}$ 會自動重新對齊
目標是「最大」lock range	本節全部	有時要最小化（多振盪器互擾、降低 coupling），同一套框架反著用（[P3] p.2120 結尾明講此方向）

設計上的三句話：(i) LC（近弦 ISF）別費工——正弦注入已在上限上（純弦恰為 gain 1.0000， 近弦 ISF 的殘餘增益是二階小量）；(ii) ring／relaxation（脈衝型 ISF）最值得做波形設計， 增益 $\approx\sqrt{\eta N/3}$ 隨級數開根號長；(iii) 這個增益同時放大 Part A 的 $\omega_c$——同功耗下雜訊抑制頻寬的上限也 ×G，這才是 SerDes ILO deskew 真正在乎的數字。

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Design knobs（把兩部分收成可操作的清單）

1. 把 $\Delta\omega$ 壓到 lock range 正中央：雜訊抑制頻寬 $\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$ 在 $\Delta\omega=0$ 才拿滿。校準／tuning 迴路的目標不只是「鎖住」，是「鎖在中間」。
2. 加大 $\omega_L$ 的兩條路（[P3] Eq.(35)：$\omega_L=\tfrac12 I_{inj}\lvert\tilde\Gamma_1\rvert$）： 加注入電流（付功耗與 spur），或波形設計讓注入諧波對齊 ISF 諧波（[P3] Sec. VI 的 injection waveform design，等於免費放大 $\omega_L$ 與 $\omega_c$；定量上限與最佳波形見上面 〈注入波形設計〉一節：$\omega_L^*=I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}$，ring 型 ISF 增益 $\approx\sqrt{\eta N/3}$）。上限提醒：$I_{inj}\ll I_{max}=\omega_0 q_{max}$（[P3] Eq.(36)–(37)）。
3. 留邊緣餘裕：平台代價 $=1/\cos^2\theta_{ss}$。$\lvert\Delta\omega\rvert/\omega_L=0.5$ 只付 $+1.2$ dB；$0.95$ 付 $+10.1$ dB。PVT 漂移的 budget 要算在 $\Delta\omega/\omega_L$ 上。
4. 認得 pulling 的指紋：載波旁出現單邊、等間距 $\omega_b$、一端恰在某個固定頻率的梳 → 那個固定頻率就是侵擾源（aggressor）的頻率。對策依序：加隔離（layout、guard ring、 supply/substrate 濾波）、挪頻率規劃（把 $\Delta\omega$ 拉大，梳距 $\omega_b\to\Delta\omega$ 變遠、 幅度 $r\to0$ 變小）、或反過來乾脆把它鎖上（把 $\omega_L$ 做大超過 $\lvert\Delta\omega\rvert$， spur 梳收斂成乾淨的鎖定載波）。最危險的是不遠不近：$\Delta\omega$ 略大於 $\omega_L$ 時 $\omega_b$ 很小，spur 貼著載波（in-band，濾不掉）且 $r\to1$（衰減慢、梳又密又高）。
5. 與 SerDes 的關聯：injection-locked 時脈分配（forwarded-clock／multi-lane 的 ILO deskew） 就是在用 $\omega_c$ 當 jitter tracking bandwidth——低於 $\omega_c$ 的參考 jitter 被複製 （對 common jitter 的 lane 是好事：收發同源、相關抵消），高於 $\omega_c$ 靠本地振盪器自己乾淨 （$q_{max}$、$\Gamma_{rms}$ 的老功課，design_tradeoffs）。 取捨結構與 CDR 完全同構：見 serdes_clocking_connection、 lab_13。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
弱注入 $I_{inj}\ll I_{max}=\omega_0q_{max}$（[P3] Eq.(36)–(37), p.2115）	廣義 Adler／lock characteristic 線性於 $i_{inj}$	強注入：$\Omega(\theta)$ 預測偏差變大（[P3] Sec. V-H 模擬顯示 $I_{inj}\sim I_{max}$ 仍大致可用）
$\theta$ 慢變（一週期內近似常數）	time-synchronous 平均（Eq.(30)）成立	失諧太大或 $\omega_b$ 接近 $\omega_{inj}$：平均失效
正弦注入 + ideal-LC ISF	本頁的 $-\omega_L\sin\theta$ 閉式	任意波形/拓樸：回到 $\Omega(\theta)$ 通式；corner 一般化為 $\omega_c=-\Omega'(\theta_{ss})$（[P3] Eq.(40)），單邊梳的幾何比不再是簡單閉式
雜訊小、$\lvert\Delta\omega\rvert$ 離邊緣夠遠	線性化（OU）成立，$S_\theta=S_n/(\omega_c^2+\omega^2)$	邊緣：位能井變淺 → cycle slip → 頻譜長出 pulling 狀的殘餘 spur，OU 公式失效
忽略振幅動態	純相位模型（本頁全部）	強注入 LC：要 [P4] 的 APF/AM 修正（paper_004；[P4] Fig. 14(c) 顯示加了 APF 後 pulled 頻譜準確度大增）
雜訊整形推導本身	標準注入鎖定雜訊理論	不在 5 篇 PDF 內（Kurokawa 1973；[P4] 指向 [29, Ch. 7]）；本頁已自行推導並模擬對數

重點回顧

• 注入鎖定＝一階 PLL：線性化 [P3] 廣義 Adler 得 $d(\delta\theta)/dt=-\omega_c\delta\theta+n$， 迴路頻寬 $\omega_c=\omega_L\cos\theta_{ss}=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$——就是 [P3] Eq.(40) 的 pull-in frequency（一般拓樸：$\omega_c=-\Omega'(\theta_{ss})$）。
• 自身雜訊高通、參考雜訊低通，corner 同為 $\omega_c\le\omega_L$；白噪 FM 驅動下 $S_\theta=S_n/(\omega_c^2+\omega^2)$，低頻平台 $S_n/\omega_c^2$、總方差 $S_n/(4\omega_c)$ 有限 （模擬：corner 與平台皆對到理論的 0.96–1.00 倍）。
• 鎖定邊緣抑制消失：$\Delta\omega\to\omega_L$ 時 $\cos\theta_{ss}\to0$，平台以 $1/\cos^2\theta_{ss}$ 抬升（$0.95\,\omega_L$ 時 $+10.1$ dB）——鎖著不等於乾淨，餘裕要算。
• 鎖不住時：$\theta$ 鋸齒滑動（逗留＋滑走），拍頻 $\omega_b=\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}$ （逐步積分導出；[P4] Eq.(34)）；頻譜是單邊梳：線在 $\omega_{inj}+k\omega_b$、一端恰為注入 頻率（[P4] Sec. V-B）、振幅幾何遞減 $r=\omega_L/(\Delta\omega+\omega_b)$（外部 Armand 1969； 模擬 $-9.54$ dB/線分毫不差）。
• 同一個根號的兩面：鎖內 $\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$＝雜訊抑制 corner； 鎖外 $\sqrt{\Delta\omega^2-\omega_L^2}$＝spur 梳距。設計上一個要大（抑制寬）、 一個要嘛大要嘛零（spur 遠 or 鎖掉）。
• 波形設計的上限：固定 $I_{rms}$（＝注入功耗的代理，[P3] Eq.(43)）下，lock range 的 Cauchy–Schwarz 上限是 $\omega_L^*=I_{rms}\tilde\Gamma_{rms}$（[P3] Eq.(45)），等號 ⟺ $i_{inj}\propto\tilde\Gamma$（Eq.(44)，$\pm$ 選上／下緣）。純弦 ISF：正弦已最佳 （gain = 1.0000）；ring 型脈衝 ISF：$G\approx\sqrt{\eta N/3}$，$N=17$ 時 ×2.07——與 [P3] Fig. 19 的「almost doubled」同量級。

延伸閱讀

• lab_36_lock_acquisition（v8）：鎖定捕獲暫態、臨界慢化與 noise-induced cycle slips 的 SDE 實驗。

• 廣義 Adler 與 lock characteristic 的來源與核實：paper_003（[P3] Eq.(26)/(30)/(33)/(35)/(38)–(40)）

• 最佳注入波形與 rms 約束的原始出處：[P3] Sec. VI, Eq.(43)–(45), pp.2119–2120（Fig. 17：rms＝功耗代理；Fig. 18：概念圖；Fig. 19：17 級 ring 的 ×2 示範）；ring ISF 三角脈衝構造：[P2] App.B Eq.(52)–(55), p.803

• 拍頻閉式解與 pulled 頻譜的原始出處（含 APF 修正）：paper_004（[P4] Eq.(31)–(34), p.2130；Fig. 14）

• 互注入＝兩條 Adler（QVCO 的 $90^\circ$ 與 3 dB 記帳）：quadrature_and_coupled_oscillators

• 二階迴路版的同一件事（ref 低通/VCO 高通、最佳頻寬）：pll_noise_budget、lab_13

• 自由跑振盪器近載波的「另一種治法」（Lorentzian 線寬）：lorentzian_linewidth

• 白噪 FM 驅動 $S_n=\Gamma_{rms}^2S_i/q_{max}^2$ 的出處：white_noise_to_phase_noise

• 次諧波（×N）注入的離散時間版——同一個 $\omega_c$ 換成 realignment factor $\beta$、鎖定振盪器＝一階 PLL 的離散版：subharmonic_injection

• 對偶的另一半——M:N 除頻（ILFD）的完整推導：injection_locked_division

• 大注入下的精確暫態解、APF 驅動的振幅暫態與大注入 pulling 頻譜：paper_004_large_injection_transient

外部文獻（不在下載的 5 篇 PDF 內）

• [E-Adler] R. Adler, "A Study of Locking Phenomena in Oscillators," Proc. IRE, vol. 34, no. 6, pp. 351–357, Jun. 1946.（經典 Adler 方程與拍現象的原始論文。）
• [E-Kurokawa] K. Kurokawa, "Injection Locking of Microwave Solid-State Oscillators," Proc. IEEE, vol. 61, no. 10, pp. 1386–1410, Oct. 1973.（注入鎖定振盪器的雜訊整形 ——本頁 Part A 高通/低通結果的經典出處。）
• [E-Armand] M. Armand, "On the Output Spectrum of Unlocked Driven Oscillators," Proc. IEEE, vol. 57, no. 5, pp. 798–799, May 1969.（未鎖定被驅動振盪器的單邊幾何梳 閉式頻譜——本頁 Part B 的 $r=\omega_L/(\Delta\omega+\omega_b)$。）
• [E-Razavi04] B. Razavi, "A Study of Injection Locking and Pulling in Oscillators," IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 39, no. 9, pp. 1415–1424, Sep. 2004.（易讀的現代推導 與 pulled 頻譜圖像；與 [P3]/[P4] 的 ISF 一般化互補。）
• 另：[P4] p.2130 將鎖定/自由跑振盪器的 noise 分析指向其參考文獻 [29, Ch. 7]（B. Hong 博士論文）。