Lorentzian 線寬：解開 1/f² 在 Δf→0 發散的矛盾

前置閱讀：white_noise_to_phase_noise（$1/f^2$ 招牌結果 [P1] Eq.(21)）、rms_isf（$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ 設定 phase diffusion）、stochastic_noise_basics（自相關 ↔ Wiener–Khinchin）。

上一頁 white_noise_to_phase_noise 推出了振盪器 phase noise 的招牌結果 [P1] Eq.(21)：白噪造成的相位雜訊裙邊是

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right).$$

這條式子很美，但藏了一個令人不安的數學病灶：分母有 $\Delta\omega^2$，當 offset $\Delta\omega\to0$（無限靠近載波）時，括號內 $\to\infty$，$\mathcal{L}\to+\infty$。 照字面讀，載波正中央的雜訊功率密度是無窮大——這顯然是錯的：一個真實振盪器 總功率是有限的（就是它的輸出功率），不可能在某個頻率點塞進無限大功率密度。

這頁就是要正面解開這個矛盾。結論先講：$1/\Delta\omega^2$ 是「相位線性化」近似下的遠端漸近， 不是近載波的真相。把相位的**隨機漫步（random walk）**本質老實算進去，載波頻譜會在近載波處 轉平成一條 Lorentzian（洛倫茲線型），峰值有限、總功率守恆、而且自然定義出一個 有限的 3-dB 線寬（linewidth） $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=D/\pi$。

物理直覺（先講結論）：白噪持續踢相位，相位 $\phi(t)$ 不是停在某個值，而是像醉漢走路一樣 無界地隨機漫步（Wiener process，維納過程）。相位的方差線性成長 $\mathrm{Var}[\Delta\phi]=2D|t|$。 載波 $\cos(\omega_0t+\phi)$ 因此逐漸失憶：隔得越久，相位差越大、越不相關，自相關 $R_x(\tau)$ 指數衰減。一個指數衰減的自相關，傅立葉變換出來就是 Lorentzian—— 一條有限高、有限寬的鐘形線。$1/f^2$ 只是這條 Lorentzian「遠離中心」時的尾巴。 近中心它必然轉平，因為「相位完全失憶」這件事最多只能讓功率攤平，不可能讓它發散。

本頁全程用規範 11.2 的 Lorentzian 全套逐步推導。所用的「相位擴散 → 指數自相關 → Lorentzian」 這套機制屬外部文獻，主要對應 [E2] A. Demir, A. Mehrotra, and J. Roychowdhury, "Phase Noise in Oscillators: A Unifying Theory and Numerical Methods for Characterization," IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. 47, no. 5, pp. 655–674, May 2000（DOI: 10.1109/81.847872）， 不在本站下載的 5 篇 PDF 內（卷期/頁碼/DOI 已查證，見 references 的 [E2]）。 [P1] 本身用線性化得到 $1/f^2$，但 [P1] 並未處理 $\Delta\omega\to0$ 的發散；Demir 等人的相位擴散 模型正是補上這塊的標準工具。

第 0 步：問題的根——相位是 random walk，不是一個固定值

回到 [P1] Eq.(11) 的相位積分（見 convolution_derivation）：

$$\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i_n(\tau)\,d\tau .$$

白噪 $i_n$ 的積分是一個 Wiener process（維納過程）——也就是布朗運動式的隨機漫步。 它的關鍵性質：沒有恢復力（相位是 Floquet 的 $\lambda_1=0$ 中性方向，見 derivation_floquet_ppv），所以相位不會回到某個平衡值， 而是無界地擴散開來。

• 數學特徵：白噪積分的方差隨時間線性成長（這是 Wiener process 的定義性質）。我們把比例常數 記為 $2D$：

$$\operatorname{Var}[\Delta\phi(t)]=\big\langle(\phi(t+t_0)-\phi(t_0))^2\big\rangle=2D\,|t|.$$

這裡 $D$ 叫 phase diffusion constant（相位擴散常數），單位 $\text{rad}^2/\text{s}$ （規範 11.2）。$|t|$ 取絕對值是因為往前往後看方差都一樣大（過程平穩增量）。

• 單位檢查：$[\operatorname{Var}\Delta\phi]=\text{rad}^2$；右邊 $[2D]\cdot[t]=(\text{rad}^2/\text{s})\cdot\text{s}=\text{rad}^2$ ✓。

• 為什麼是線性而不是別的：白噪不同時刻不相關，積分 $N$ 個獨立增量，方差像「擲 $N$ 次骰子求和」 一樣線性疊加（$N\propto t$）——這就是 $\sqrt{t}$ 漫步、$t$ 方差的由來，也正是 numerical_feeling 裡 $\sigma_{\Delta t}\propto\sqrt{\Delta t}$ 的同一件事（accumulated jitter 是相位漫步的時間版）。

這一步就把矛盾的種子點破了：$1/f^2$ 推導把 $\phi$ 當成「小、可線性化、有界」；但真實 $\phi$ 是無界漫步。當你問「無限靠近載波（$\Delta\omega\to0$，即觀察無限久 $t\to\infty$）會怎樣」， $\phi$ 早就漫步到 $\gg 1$ rad，線性化失效。所以發散不是物理、是近似用在它失效的地方。

第 1 步：載波自相關——用高斯特徵函數把相位漫步轉成指數衰減

把載波寫成（[P1] Eq.(1) 的純相位版，振幅 $A$ 設為常數、只看相位）：

$$x(t)=A\cos\big(\omega_0 t+\phi(t)\big).$$

我們要算它的自相關函數（autocorrelation，訊號與自己延遲 $\tau$ 後的平均相乘）：

$$R_x(\tau)=\big\langle x(t)\,x(t+\tau)\big\rangle .$$

第 (i) 步：用積化和差展開兩個餘弦。 令 $\Delta\phi\equiv\phi(t+\tau)-\phi(t)$：

$$x(t)x(t+\tau)=A^2\cos(\omega_0t+\phi(t))\cos(\omega_0(t+\tau)+\phi(t+\tau)).$$

用 $\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$：

$$x(t)x(t+\tau)=\frac{A^2}{2}\Big[\cos\big(\omega_0\tau+\Delta\phi\big)+\cos\big(2\omega_0t+\omega_0\tau+\phi(t)+\phi(t+\tau)\big)\Big].$$

• 慢項 $\cos(\omega_0\tau+\Delta\phi)$ 與絕對時間 $t$ 無關（只含 $\tau$ 與相位差），平均後存活。
• 快項 含 $2\omega_0t$，對 $t$ 做時間平均（或對隨機相位平均）後歸零——它在 $2\omega_0$ 附近振盪， 載波長期平均看不到。丟掉它。

於是

$$R_x(\tau)=\frac{A^2}{2}\big\langle\cos(\omega_0\tau+\Delta\phi)\big\rangle.$$

第 (ii) 步：把平均搬進來，用高斯特徵函數。 展開 $\cos(\omega_0\tau+\Delta\phi)= \cos\omega_0\tau\cos\Delta\phi-\sin\omega_0\tau\sin\Delta\phi$。$\Delta\phi$ 是零均值高斯 （白噪積分 → 高斯；且對稱分佈 $\langle\sin\Delta\phi\rangle=0$）：

$$R_x(\tau)=\frac{A^2}{2}\Big[\cos\omega_0\tau\,\langle\cos\Delta\phi\rangle-\sin\omega_0\tau\,\underbrace{\langle\sin\Delta\phi\rangle}_{=0}\Big]=\frac{A^2}{2}\cos\omega_0\tau\,\langle\cos\Delta\phi\rangle.$$

剩下的 $\langle\cos\Delta\phi\rangle$ 用高斯特徵函數（characteristic function）——對零均值高斯 變數 $\Delta\phi\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$，

$$\big\langle e^{j\Delta\phi}\big\rangle=e^{-\sigma^2/2}\quad\Longrightarrow\quad\langle\cos\Delta\phi\rangle=\operatorname{Re}\big\langle e^{j\Delta\phi}\big\rangle=e^{-\sigma^2/2}.$$

這是本頁的數學樞紐：高斯的「平均一個複指數」等於「$e^{-\tfrac12\text{方差}}$」。把第 0 步的 $\sigma^2=\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]=2D|\tau|$ 代進去：

$$\langle\cos\Delta\phi\rangle=e^{-\tfrac12\cdot 2D|\tau|}=e^{-D|\tau|}.$$

第 (iii) 步：合起來得到載波自相關（規範 11.2）。 把 $A^2$ 吸收進歸一化（取單位功率 $A^2/2\to\tfrac12$ 慣例，與 lab_18 一致）：

$$\boxed{\ R_x(\tau)=\frac{1}{2}\cos(\omega_0\tau)\,e^{-D|\tau|}\ }$$

• 物理意義：$\cos(\omega_0\tau)$ 是載波本身的振盪；$e^{-D|\tau|}$ 是失憶包絡——隔越久， 相位差累積越大、$\langle\cos\Delta\phi\rangle$ 越小，自相關指數衰減。$D$ 越大（噪越凶），失憶越快。
• 單位檢查：$[D|\tau|]=(\text{rad}^2/\text{s})\cdot\text{s}=\text{rad}^2$？——注意 $D|\tau|$ 出現在指數裡 必須無因次。這裡的慣例是把 $D$ 的「$\text{rad}^2$」當無因次（相位本就是無因次弧度），故 $D$ 等效 $[1/\text{s}]$、$D|\tau|$ 無因次 ✓。$R_x$ 無因次（功率歸一化）✓。
• 與 [P1] 的銜接：[P1] 從沒寫過這條 $e^{-D|\tau|}$；它停在「相位小、線性」。一旦承認相位是 無界漫步，這條指數衰減是唯一自洽的結果（[E2] Demir 2000 的核心）。

第 2 步：Wiener-Khinchin——指數衰減的自相關 ⇒ Lorentzian 頻譜

Wiener-Khinchin 定理：平穩隨機過程的功率譜密度 $S_x(\omega)$ 是自相關 $R_x(\tau)$ 的傅立葉變換：

$$S_x(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_x(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau .$$

代入第 1 步的 $R_x(\tau)=\tfrac12\cos(\omega_0\tau)e^{-D|\tau|}$。把 $\cos(\omega_0\tau)= \tfrac12(e^{j\omega_0\tau}+e^{-j\omega_0\tau})$ 拆開，得到兩個一樣的雙邊指數變換，分別搬到 $\pm\omega_0$。我們只需要其中繞 $+\omega_0$ 那一支（正頻載波附近）。

用到的標準變換（雙邊指數的傅立葉變換，是 Lorentzian 的標準對）：

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-D|\tau|}\,e^{-j\Omega\tau}\,d\tau=\frac{2D}{D^2+\Omega^2}.$$

把它親手算一遍（拆 $\tau>0$ 與 $\tau<0$ 兩段）：

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-D|\tau|}e^{-j\Omega\tau}d\tau &=\int_{0}^{\infty}e^{-(D+j\Omega)\tau}d\tau+\int_{0}^{\infty}e^{-(D-j\Omega)\tau}d\tau\\ &=\frac{1}{D+j\Omega}+\frac{1}{D-j\Omega}=\frac{(D-j\Omega)+(D+j\Omega)}{D^2+\Omega^2}=\frac{2D}{D^2+\Omega^2}. \end{aligned}$$

令載波附近的 offset 角頻率 $\Omega=\omega-\omega_0\equiv\Delta\omega$（把 $\cos$ 的 $e^{j\omega_0\tau}$ 那支吸收掉，等於把頻率原點平移到載波），並帶上 $R_x$ 的前置 $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$：

$$\boxed{\ S_x(\Delta\omega)\propto\frac{D}{D^2+\Delta\omega^2}\ }\qquad(\textbf{Lorentzian，規範 11.2}).$$

• 這就是 Lorentzian：一條以載波為中心、峰值有限、左右對稱的鐘形線。
• 看出「不再發散」了嗎：$\Delta\omega\to0$ 時 $S_x\to D/D^2=1/D$——有限！峰值是 $1/D$， 不是無窮大。發散被治好了。
• 單位/形狀檢查：分母 $D^2+\Delta\omega^2$ 兩項同因次（都是 $[\text{s}^{-2}]$），比值形狀正確； 整體常數由總功率歸一化（見第 4 步）固定。

為什麼遠端又回到 $1/f^2$（與 [P1] 一致）

當 $\Delta\omega\gg D$（離載波夠遠），分母 $D^2+\Delta\omega^2\approx\Delta\omega^2$：

$$S_x(\Delta\omega)\xrightarrow[\Delta\omega\gg D]{}\frac{D}{\Delta\omega^2}\propto\frac{1}{\Delta\omega^2}.$$

遠端漸近正是 $1/f^2$——與 [P1] Eq.(21) 完全吻合。所以 Lorentzian 不是推翻 [P1]，而是 把 [P1] 的 $1/f^2$ 嵌進一條近載波轉平的完整線型裡：遠端 $1/f^2$、近端 flat，轉折點就在 $\Delta\omega\approx D$。下圖把這三件事（模擬 / Lorentzian 理論 / $1/f^2$ 漸近）疊在一起。

第 3 步：3-dB 線寬（FWHM）= D/π

Lorentzian 的**半高全寬（FWHM，full width at half maximum）**就是工程上講的「3-dB 線寬」 或「linewidth」。求它：峰值在 $\Delta\omega=0$ 為 $D/D^2=1/D$；半高處 $S_x=\tfrac12\cdot\tfrac1D$：

$$\frac{D}{D^2+\Delta\omega^2}=\frac{1}{2D}\quad\Longrightarrow\quad D^2+\Delta\omega^2=2D^2\quad\Longrightarrow\quad\Delta\omega=\pm D.$$

所以半高處在 $\Delta\omega=\pm D$（rad/s）。

• HWHM（半寬）：$\Delta\omega_{\text{HWHM}}=D$ rad/s $\Rightarrow$ $\Delta f_{\text{HWHM}}=\dfrac{D}{2\pi}$ Hz。
• FWHM（3-dB 全寬）：是 HWHM 的兩倍，$\Delta\omega_{\text{FWHM}}=2D$ rad/s $\Rightarrow$

$$\boxed{\ \Delta f_{3\mathrm{dB}}=\frac{2D}{2\pi}=\frac{D}{\pi}\ \text{Hz}\ }\qquad(\textbf{規範 11.2}).$$

• 物理意義：$D$ 越大（噪越凶、相位失憶越快），線寬越寬、載波越「胖」。理想無噪振盪器 $D\to0$ → 線寬 $\to0$ → 退化成 delta 線（純載波）。
• 單位檢查：$[D/\pi]=(1/\text{s})/(\text{無因次})=\text{Hz}$ ✓。
• 「3-dB」的由來：半高 $=$ 功率掉一半 $=10\log_{10}(1/2)=-3.01$ dB，故稱 3-dB 線寬。

第 4 步：總功率守恆——Lorentzian 把無限大攤平成有限積分

$1/f^2$ 在近載波發散最致命的後果是：對 $1/\Delta\omega^2$ 從 $0$ 積分發散 （$\int_0 d(\Delta\omega)/\Delta\omega^2=\infty$），等於說相位雜訊功率無限大。Lorentzian 治好了它， 因為 Lorentzian 的積分收斂。用標準積分 $\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{d\Omega}{D^2+\Omega^2}=\dfrac{\pi}{D}$：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{D}{D^2+\Delta\omega^2}\,d(\Delta\omega)=D\cdot\frac{\pi}{D}=\pi\quad(\text{有限}).$$

• 物理意義：把所有 offset 的功率加起來是有限的常數——正好等於載波的總功率 （經適當歸一化）。相位漫步只是把原本集中在 delta 線的功率塗抹成一條有限寬的 Lorentzian， 總功率一點沒少（能量守恆）。這就是「總功率守恆」（規範 11.2 的關鍵教學點）。
• 對照 delta 線：$D\to0$ 時 Lorentzian $\to\pi\,\delta(\Delta\omega)$（高瘦無限），退化回理想載波； $D > 0$ 時被攤平成有限峰。功率從未發散，只是被重新分佈。

一句話解開矛盾：$1/f^2$ 的發散是「假發散」——它源自把無界的相位漫步硬塞進有界的線性近似。 真實頻譜近載波必然轉平成 Lorentzian（峰 $=1/D$、寬 $=D/\pi$、總功率 $=$ 載波功率守恆）。 [P1] Eq.(21) 的 $1/f^2$ 只在 $\Delta\omega\gg D$ 成立，是 Lorentzian 的遠端尾巴。

第 5 步：與 ISF 連結——把 D 寫成 Γrms 與 qmax

現在把抽象的 $D$ 接回 [P1] 的 ISF 物理量。比對「兩種寫法的近載波 $1/f^2$ skirt」即可定出 $D$。

從 Lorentzian 端：遠端 $S_x\to D/\Delta\omega^2$。把它寫成 phase PSD——Wiener 相位（$\mathrm{Var}=2D|t|$）的雙邊 phase PSD 是 $2D/\Delta\omega^2$；本站全站用單邊 PSD 記帳（與 jitter_kernels 一致），故

$$S_\phi(\Delta\omega)=\frac{4D}{\Delta\omega^2}\qquad[\text{rad}^2/\text{Hz}]\ (\text{單邊}).$$

從 ISF 端（上一頁的時域乾淨版 $S_\phi=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2\Delta\omega^2)$， 記 $S_i=\overline{i_n^2}/\Delta f$）：

$$S_\phi(\Delta\omega)=\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{\Delta\omega^2}.$$

令兩者相等（同一條 $1/\Delta\omega^2$ skirt，係數必須一致）：

$$4D=\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\ D=\frac{\Gamma_{rms}^2}{4q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}=\frac{\kappa^2}{2}\ }\qquad(\textbf{規範 11.2，v5 更正}).$$

代進第 3 步的線寬公式，得到用 ISF 物理量直接算 3-dB 線寬：

$$\boxed{\ \Delta f_{3\mathrm{dB}}=\frac{D}{\pi}=\frac{\Gamma_{rms}^2}{4\pi\,q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}=\frac{\kappa^2}{2\pi}\ }\qquad(\textbf{規範 11.2，v5 更正}).$$

• 設計訊息：線寬 $\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2\cdot S_i$——和 [P1] Eq.(21) 的 $\mathcal{L}$ 同一組旋鈕！要窄線寬（乾淨載波），一樣是加大電荷擺幅 $q_{max}$、壓低 $\Gamma_{rms}$、降低 noise PSD $S_i$。Lorentzian 沒有引入任何新旋鈕，只是把同一組物理量重新包裝成「線寬」這個 直接可量的數字。
• 單位檢查：$[D]=\dfrac{1}{\text{C}^2}\cdot\dfrac{\text{A}^2}{\text{Hz}}=\dfrac{\text{A}^2}{\text{A}^2\text{s}^2}\cdot\text{s}=\dfrac{1}{\text{s}}$ （用 $\text{C}=\text{A}\cdot\text{s}$、$\text{Hz}^{-1}=\text{s}$）✓，故 $D/\pi$ 是 Hz ✓。
• factor-of-2 註記（v5 更正後的乾淨版本）：$D$ 是物理量（$R_x$ 的衰減率、$\kappa^2/2$），與 $\mathcal{L}$ 的記帳慣例無關。變的只是 $\mathcal{L}$：時域乾淨版 $\mathcal{L}=2D/\Delta\omega^2=\kappa^2/\Delta\omega^2$；[P1] Eq.(21) 的 SSB $/4$ 版 $\mathcal{L}=D/\Delta\omega^2$——那著名的 3 dB 住在 $\mathcal{L}$ 裡，不在 $D$ 裡。（v3 曾把 $\kappa^2$ 誤當 $D$ 塞進 $D/\pi$，線寬大 2×；v5 已修，MC 裁決見 diffusion_dictionary 與 lab_23。）本頁與 lab_18 全程一致（lab_18 直接以 $\mathrm{Var}=2D\,dt$ 生成，機制驗證不受映射影響）。

對應模擬圖

simulations/lab_18_lorentzian.py 用一段 Wiener 相位（白噪累積 $\phi=\operatorname{cumsum}(\text{N}(0,2D\,dt))$） 合成載波 $x=\cos(2\pi f_0t+\phi)$，用 Welch 估其頻譜，疊上 Lorentzian 理論與 $1/f^2$ 漸近； 右圖直接量 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]$ 驗證它線性成長（$=2D\tau$）。

項目	值（lab_18）	說明
模型	toy / illustrative（非 transistor-level）	直接合成 Wiener 相位，標 normalized 單位
載波 $f_0$	$400$（normalized）	任意載波，只看相對 offset
相位擴散 $D$	$2.0\ \text{rad}^2/\text{s}$	控制線寬的唯一旋鈕
相位增量	$d\phi\sim\mathcal{N}(0,\,2D/f_s)$	Wiener：方差 $=2D\,dt$
3-dB 線寬	$\Delta f_{3\mathrm{dB}}=D/\pi\approx0.64$ Hz	FWHM；HWHM $=D/2\pi\approx0.32$ Hz
近載波	轉平成有限峰 $\propto1/D$	不再發散
遠載波	$\propto1/\Delta f^2$ 漸近	與 [P1] Eq.(21) 一致

如何解讀左圖：藍線（模擬頻譜）在大 offset 沿著紅色點線（$1/\Delta f^2$ 漸近）下滑；越靠近載波， 藍線離開 $1/f^2$、貼上黑色虛線（Lorentzian）並轉平；綠色點劃線標出 HWHM $=D/2\pi$ 的位置， 正是「轉折」發生處。這張圖一眼就說明：$1/f^2$ 是尾巴、Lorentzian 才是全貌。 如何解讀右圖：量到的 $\operatorname{Var}[\Delta\phi(\tau)]$（藍）精準落在 $2D\tau$（黑虛）直線上， 證實相位確實是線性擴散的 random walk——這就是指數自相關、進而 Lorentzian 的根。

互動：同一個 L(f_ref) 規格，兩種線形，RBW 一抹就沒了

上面的圖是白噪 FM 的個案；beyond_lorentzian 會證明 flicker FM 之下同一套機制給出近高斯線核而不是 Lorentzian，而且線寬可以差到兩個數量級。 下面這個互動小工具把兩種線形疊在同一組軸上，並讓你調頻譜儀的解析頻寬（RBW）—— 親手看看「轉平」這件事在 RBW 太寬時怎麼被儀器自己的解析度抹平：

線形 explorer：同一個 L(f_ref) 規格、兩種雜訊顏色、RBW 抹平

近載波主導雜訊：

L(10 kHz)-71.0 dBc/Hz

RBW（對數）100 = 100 Hz

FWHM_true

49.9 Hz

目前 RBW 下的表觀寬度

130 Hz

RBW

100 Hz

模型：同一個規格點——10 kHz 處的 L（時域「/2」慣例）——用兩種方式映成近載波線形。White FM（lorentzian_linewidth.md）：單邊 S_phi = 4D / Delta-omega^2 定出相位擴散常數 D，得到精確 Lorentzian，FWHM = D/π。Flicker FM（beyond_lorentzian.md Part A）： b_-3 = S_phi 乘 f_ref^3 定出 1/f^3 強度；配上低頻截止 f_l = 1/32 Hz （這是觀察時間的產物、不是元件參數——原頁指出對 f_l 只有對數弱依賴）， 用凍結 log 的高斯包絡近似得到 FWHM ≈ 2·sqrt(2 ln 2)·sqrt(b_-3 · L*)—— 原頁自己就標明這個近似與精確數值傅立葉變換差約 2%，不是精確解。兩條線再各自與 FWHM = RBW 的高斯解析度核卷積（直接 512 點離散卷積，不用 FFT）得到「量測」曲線。 Toy／illustrative：真實頻譜儀、cross-correlation 儀器、殘餘 white FM 裙邊 （見 beyond_lorentzian.md）都會再改變這張圖。

讀法：固定 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz})$ 這一個規格點，切換 white FM／flicker FM 看 FWHM_true 差多少（白噪版數十至數百 Hz、flicker 版數千 Hz，同一數字差可達百倍）；再把 RBW 滑桿往右拉，看灰色虛線（真實線形）與藍色實線（RBW 卷積後的「量測」線）何時分道揚鑣—— RBW 遠大於線寬時，量到的只是一個寬而無特徵的鼓包，轉平／近高斯肩部的資訊已經丟了。

核心 Python（完整 script：simulations/lab_18_lorentzian.py）：

import numpy as np
from scipy.signal import welch

RNG = np.random.default_rng(18)
fs, n, f0, D = 4096.0, 2**20, 400.0, 2.0          # D = phase diffusion [rad^2/s]
t = np.arange(n) / fs

# Wiener 相位：增量 ~ N(0, 2 D dt) -> Var[phi(t)] = 2 D t
dphi = RNG.standard_normal(n) * np.sqrt(2 * D / fs)
phi = np.cumsum(dphi)
x = np.cos(2 * np.pi * f0 * t + phi)

f, P = welch(x, fs=fs, nperseg=2**16, scaling="density")   # 頻譜：載波是 Lorentzian
off = f - f0
lor = D / (D**2 + (2 * np.pi * off)**2)                     # Lorentzian 理論
fwhm = D / np.pi                                            # 3-dB 線寬 = D/pi Hz

Worked examples 數值例題

兩題都用嚴格格式：題目 → 逐步代入（帶單位）→ 結果 → dimension check → 一行 Python 驗證。 例 1 由「實際 PN 規格」反推 $D$ 與線寬（最有設計感的算法）；例 2 由「ISF 物理量」正推。

例 1（canonical：由 5 GHz、$-100$ dBc/Hz @ 1 MHz 反推 $D$ 與線寬）：一顆 $f_0=5$ GHz 振盪器， 量到 $\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=-100$ dBc/Hz、$1/f^2$ 斜率。求相位擴散 $D$ 與 3-dB 線寬 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}$。

逐步代入：

1. 把 dBc/Hz 還原成 linear。 $\mathcal{L}=-100$ dBc/Hz 表示 $\mathcal{L}_{\text{lin}}(1\,\text{MHz})=10^{-100/10}=10^{-10}\ /\text{Hz}$。

2. 由 $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$ 得 phase PSD。 $S_\phi(1\,\text{MHz})=2\mathcal{L}_{\text{lin}}=2\times10^{-10}\ \text{rad}^2/\text{Hz}$。

3. 用 $1/f^2$ 形狀外推係數。 單邊 $S_\phi(\Delta\omega)=\dfrac{4D}{\Delta\omega^2}$，在 $\Delta f=1$ MHz： $\Delta\omega=2\pi\times10^6=6.283\times10^6$ rad/s，$\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}$。故

$$4D=S_\phi\cdot\Delta\omega^2=2\times10^{-10}\times3.948\times10^{13}=7.896\times10^{3}\ \text{rad}^2/\text{s}.$$

4. 解出 $D$。 $D=\dfrac{7.896\times10^3}{4}=1.974\times10^{3}\ \text{rad}^2/\text{s}$。

5. 算 3-dB 線寬。 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\dfrac{D}{\pi}=\dfrac{1.974\times10^3}{3.1416}\approx6.28\times10^{2}\ \text{Hz}\approx0.63\ \text{kHz}$。

結果： $D\approx1.97\times10^{3}\ \text{rad}^2/\text{s}$，3-dB 線寬 $\approx628$ Hz $\approx0.63$ kHz。

手感檢查：一顆 5 GHz、$-100$ dBc/Hz@1MHz 的振盪器，其載波其實是一條約 0.63 kHz 寬的 Lorentzian——相對 5 GHz 載波是 $1.26\times10^{-7}$ 的相對線寬（$Q$ 等級 $\sim 8\times10^6$ 的等效）。 量測時若解析頻寬（RBW）遠大於 0.63 kHz，你看到的是被 RBW 抹平的「尖峰」，根本看不到 Lorentzian 轉平；要看到轉平得用 $\sim100$ Hz 級 RBW 或 cross-correlation 法。這就是為什麼日常 PN 圖只看到 $1/f^2$ 而看不到 Lorentzian 平頂——量測解析度不夠近載波。

Dimension check： $[4D]=[S_\phi]\cdot[\Delta\omega^2]=\dfrac{\text{rad}^2}{\text{Hz}}\cdot\dfrac{\text{rad}^2}{\text{s}^2}$； 以 $\text{Hz}^{-1}=\text{s}$ 且把 rad 當無因次，$=\dfrac{1}{\text{s}}\cdot\text{s}\cdot\dfrac{1}{\text{s}^2}\cdot\text{s}=\dfrac{1}{\text{s}}$... 化簡得 $[D]=\text{rad}^2/\text{s}=1/\text{s}$，$[D/\pi]=\text{Hz}$ ✓。

import numpy as np
L_dbc = -100.0                      # dBc/Hz @ 1 MHz, 1/f^2 slope
df = 1e6
L_lin = 10**(L_dbc/10)             # = 1e-10 /Hz (中間值)
S_phi = 2 * L_lin                  # L ~ S_phi/2  -> rad^2/Hz
dw = 2*np.pi*df
D = S_phi * dw**2 / 4              # 單邊 S_phi = 4D/dw^2  -> D
linewidth = D / np.pi             # 3-dB linewidth [Hz]
print(round(D), "rad^2/s ;", round(linewidth), "Hz")   # -> 1974 rad^2/s ; 628 Hz

例 2（由 ISF 物理量正推 $D$ 與線寬）：用上一頁 canonical 例 B 的數字——$q_{max}=1$ pC、 $\Gamma_{rms}=0.5$、$S_i=\overline{i_n^2}/\Delta f=10^{-24}\ \text{A}^2/\text{Hz}$。求 $D$ 與 3-dB 線寬。

逐步代入：

1. 算 $D=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{4q_{max}^2}\,S_i$。 $\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{4q_{max}^2}=\dfrac{0.25}{4\times(10^{-12})^2}=\dfrac{0.25}{4\times10^{-24}}=6.25\times10^{22}\ \text{C}^{-2}$。

2. 乘上 $S_i$：$D=6.25\times10^{22}\times10^{-24}=0.0625\ \text{rad}^2/\text{s}$。

3. 線寬。 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\dfrac{D}{\pi}=\dfrac{0.0625}{3.1416}\approx0.0199\ \text{Hz}\approx20\ \text{mHz}$。

結果： $D=0.0625\ \text{rad}^2/\text{s}$，3-dB 線寬 $\approx20$ mHz。

手感對照：這組「單一理想白噪源」的數字對應上一頁時域乾淨版的 $\mathcal{L}(1\text{MHz})\approx-145$ dBc/Hz （SSB $/4$ 慣例為 $-148$；本頁全程用時域 $/2$ 版，故以 $-145$ 為自洽基準）——比例 1 的 $-100$ dBc/Hz 乾淨約 45 dB（$-100-(-145)=45$），所以線寬也窄得多（20 mHz vs 628 Hz， 窄約 $3\times10^4$ 倍 $\approx 45$ dB 的功率比，自洽 ✓）。驗證了「線寬與 $\mathcal{L}$ 同一組物理、 只差包裝」：$\mathcal{L}$ 低 45 dB $\Leftrightarrow$ $D$ 與線寬小約 $10^{4.5}$ 倍。

與 capstone 的 $40$ mHz 對齊（$\Gamma_{rms}^2$ 包裝，非誤差）：本例用規範代表值 $\Gamma_{rms}=0.5$（$\Gamma_{rms}^2=0.25$）得 $D=0.0625\ \text{rad}^2/\text{s}$、線寬 $\approx20$ mHz； 而 capstone_lc_end_to_end 主脊用真・理想 LC 的 $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$（$\Gamma_{rms}^2=0.5$，剛好兩倍）得 $D=0.125\ \text{rad}^2/\text{s}$、線寬 $\approx40$ mHz。 兩個數字都對——差的 $2\times$ 正是 $\Gamma_{rms}^2$（$0.5$ vs $0.25$）的包裝，不是哪一頁算錯（對應 capstone 站⑤的 $-145$ vs $-148$ dBc/Hz 那 3 dB 差，$10\log_{10}2=3.01$，同一件事）。本頁取代表值 $0.5$ 以與全站 canonical 例 B 對齊；capstone 取 $-\sin$ 的理想值 $1/\sqrt2$ 一以貫之。

Dimension check： $[D]=\text{C}^{-2}\cdot\dfrac{\text{A}^2}{\text{Hz}}=\text{A}^{-2}\text{s}^{-2}\cdot\text{A}^2\text{s}=\dfrac{1}{\text{s}}$ ✓，$[D/\pi]=\text{Hz}$ ✓。

import numpy as np
gamma_rms, qmax, Si = 0.5, 1e-12, 1e-24
D = gamma_rms**2 / (4 * qmax**2) * Si      # rad^2/s (v5: 4q^2)
linewidth = D / np.pi                       # Hz
print(D, "rad^2/s ;", round(linewidth, 4), "Hz")   # -> 0.0625 rad^2/s ; 0.0199 Hz

（兩題都用 v5 更正後的映射 $D=\Gamma_{rms}^2S_i/(4q_{max}^2)=\kappa^2/2$。$D$ 與線寬是物理量、與 $\mathcal{L}$ 記帳慣例無關；SSB $/2$ vs $/4$ 的 3 dB 只影響 $\mathcal{L}$——見 step-5 註記與 diffusion_dictionary。 完整函式庫：simulations/common/noise_utils.py、simulations/lab_18_lorentzian.py。）

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
相位為純 random walk（白噪主導）	自相關 $e^{-D\lvert\tau\rvert}$、頻譜純 Lorentzian	含 flicker（$1/f^3$）時近載波不是單純 Lorentzian，要 Demir 一般式
相位差 $\Delta\phi$ 為高斯	特徵函數 $\langle\cos\Delta\phi\rangle=e^{-\sigma^2/2}$ 精確	強非線性/大注入使 $\Delta\phi$ 非高斯時近似失準
小 $D$（窄線寬、高 $Q$）	Lorentzian 與遠端 $1/f^2$ 清楚分離	$D$ 大（很吵）時整條被展寬，$1/f^2$ 區縮小
振幅穩定（只追相位）	只需 $D$ 一個參數	強 AM-PM 時要把振幅 noise 一起算
量測 RBW $\ll D/\pi$	量得到 Lorentzian 平頂	RBW 太寬時只看到 $1/f^2$ 尖峰、看不到轉平

與哪些 paper／公式對應

• 本頁機制（相位擴散 → 指數自相關 → Lorentzian → 線寬 $D/\pi$）屬外部文獻、不在 5 篇 PDF 內： [E2] Demir–Mehrotra–Roychowdhury 2000（DOI 10.1109/81.847872，見 references）。
• 遠端 $1/f^2$ 漸近與**$D=\Gamma_{rms}^2S_i/(4q_{max}^2)$ 的連結**接回 [P1] Eq.(21), p.185 （見 white_noise_to_phase_noise）。
• 相位積分／random walk 的根：[P1] Eq.(11), p.182（見 convolution_derivation、 derivation_floquet_ppv 的 $\lambda_1=0$ 中性方向）。
• accumulated jitter $\propto\sqrt{\Delta t}$ 是同一個 random walk 的時間版（[P2] Eq.(8), p.792，見 lab_03）。

重點回顧

• $1/f^2$ 在 $\Delta\omega\to0$ 的發散是假發散：源自把無界的相位 random walk 硬套線性近似。
• 相位是 Wiener process：$\operatorname{Var}[\Delta\phi]=2D|t|$（$D$=phase diffusion，$\text{rad}^2/\text{s}$）。
• 高斯特徵函數 $\langle e^{j\Delta\phi}\rangle=e^{-\sigma^2/2}$ → 載波自相關 $R_x(\tau)=\tfrac12\cos(\omega_0\tau)e^{-D|\tau|}$。
• Wiener-Khinchin → Lorentzian $S\propto\dfrac{D}{D^2+\Delta\omega^2}$：近載波轉平（峰 $=1/D$、不發散）、 遠端回到 $1/f^2$、總功率守恆（積分 $=\pi$，有限）。
• 3-dB 線寬 $\Delta f_{3\mathrm{dB}}=\dfrac{D}{\pi}$ Hz；與 ISF 連結 $D=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{4q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}=\dfrac{\kappa^2}{2}$， 故線寬 $=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{4\pi q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}=\dfrac{\kappa^2}{2\pi}$——和 $\mathcal{L}$ 同一組旋鈕（v5 更正映射）。
• canonical：5 GHz、$-100$ dBc/Hz@1MHz → $D\approx1.97\times10^3\ \text{rad}^2/\text{s}$、線寬 $\approx628$ Hz； 代表值 ISF 例 → $D=0.0625$、線寬 $\approx20$ mHz（真 LC $D=0.125$、$\approx40$ mHz）。
• 全套屬 [E2] Demir 2000 外部文獻、不在 5 篇 PDF 內（DOI 已查證）。

延伸閱讀

• diffusion_dictionary（v5）：κ↔D↔線寬↔ADEV↔S_φ 五件衣服一次對帳（本頁 D 映射的 MC 裁決出處）。

• beyond_lorentzian（v5）：白噪假設失效時（1/f³）線形不再是 Lorentzian；以及「自由振盪器嚴格上沒有 S_φ」的非平穩性觀點。

• 上游 $1/f^2$ 推導（本頁修正的對象）：white_noise_to_phase_noise

• 相位積分的根（Wiener process 來源）：convolution_derivation

• $\lambda_1=0$ 中性方向（為何相位無界漫步）：derivation_floquet_ppv

• 時間版的同一漫步（accumulated jitter）：lab_03

• 把 $\mathcal{L}$ 積回 rms jitter：numerical_feeling

• 外部文獻 [E2] Demir 2000 完整 citation：references