rms ISF 與 Parseval 關係

前置閱讀：fourier_series_of_isf（$\Gamma$ 的 $c_n$ 係數）、stochastic_noise_basics（Parseval / 功率譜）、convolution_derivation（相位積分式）。

上一頁 fourier_series_of_isf 把 ISF 拆成一組 Fourier 係數 $c_0,c_1,c_2,\dots$，並指出每個 $c_n$ 把 $n\omega_0$ 附近的 noise 折回 carrier。 這頁要回答：

當 device noise 是平坦白噪、各個 band 的貢獻都要加總時，能不能用「一個數」描述整支 ISF 對 phase noise 的貢獻？ 能——那個數就是 ISF 的 rms 值 $\Gamma_{rms}$，由 Parseval 定理 把它和係數平方和綁在一起（[P1] Eq.(20), p.185）：

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2dx=2\,\Gamma_{rms}^2$$

物理直覺（先講結論）：白噪在每個 $n\omega_0$ band 都一樣強，所以「總折回功率」正比於 所有係數的平方和 $\sum c_n^2$。Parseval 告訴我們，這個平方和等於 ISF 在一個週期上的 均方（mean-square）的兩倍，也就是 $2\Gamma_{rms}^2$。於是雜亂的「逐 band 加總」被收成 一個乾淨的形狀指標 $\Gamma_{rms}$——它（連同 $q_{max}$）就決定了 $1/f^2$ phase noise 的高低。 直覺上：ISF 整體越「平靜」（rms 越小），振盪器對白噪越不敏感。

第 1 步：Parseval 定理——時域能量 = 頻域係數平方和

Parseval（帕塞瓦爾）定理說：一個週期函數在「一個週期上的均方」等於它各 Fourier 分量的「均方之和」。 對標準 cos/sin 展開 $\Gamma(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\ge1}[a_n\cos nx+b_n\sin nx]$：

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2\,dx =\left(\frac{a_0}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).$$

• 用到的數學：基底 $\{1,\cos nx,\sin nx\}$ 正交。展開 $|\Gamma|^2$ 後，所有交叉項 $\int\cos mx\cos nx\,dx$（$m\neq n$）等都積成 0，只剩「自己跟自己」的項。
• 每一項的係數從哪來：$\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2(nx)\,dx=\dfrac12$（$n\ge1$）， 所以每個 $a_n\cos nx$ 的均方貢獻是 $\dfrac12 a_n^2$；而常數項 $\dfrac{a_0}{2}$ 的均方就是 $\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2$（常數的均方等於自己平方，沒有 $\frac12$）。這個 DC 與 AC 項的 factor 差異是整段推導最容易出錯的地方，第 4 步會專門講。

逐步代數（把交叉項一項一項消掉，不跳步）：先把 $\Gamma$ 的平方完整展開，再逐類積分。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma|^2dx &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\!\left[\frac{a_0}{2}+\sum_{m\ge1}(a_m\cos mx+b_m\sin mx)\right]^2 dx\\ &=\underbrace{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\frac{a_0}{2}\right)^2 dx}_{\text{(I) DC×DC}} +\underbrace{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2\cdot\frac{a_0}{2}\sum_{m\ge1}(a_m\cos mx+b_m\sin mx)\,dx}_{\text{(II) DC×AC}}\\ &\quad+\underbrace{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Big[\sum_{m\ge1}(a_m\cos mx+b_m\sin mx)\Big]^2 dx}_{\text{(III) AC×AC}}. \end{aligned}$$

逐項算（每一步用到的正交性都標出來）：

• (I)：被積函數是常數，$\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2dx=\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2$。
• (II)：每個 $\int_0^{2\pi}\cos mx\,dx=\int_0^{2\pi}\sin mx\,dx=0$（$m\ge1$），整塊 = 0。這就是「常數與任何諧波正交」。
• (III)：展開平方會出現三種積分。其一 $\int_0^{2\pi}\cos mx\cos nx\,dx=\pi\,\delta_{mn}$、$\int_0^{2\pi}\sin mx\sin nx\,dx=\pi\,\delta_{mn}$（$m,n\ge1$），其二 $\int_0^{2\pi}\cos mx\sin nx\,dx=0$（全部消失，cos 與 sin 互相正交）。只有 $m=n$ 的「自己對自己」存活，各給 $\dfrac{1}{2\pi}\cdot\pi=\dfrac12$ 的權重：

$$\text{(III)}=\frac12\sum_{n\ge1}(a_n^2+b_n^2).$$

把 (I)+(II)+(III) 收回去，就回到上面那條 $\left(\frac{a_0}{2}\right)^2+\frac12\sum_{n\ge1}(a_n^2+b_n^2)$。整段的靈魂只有一句話：基底正交，所以平方積分只留「對角線」項。

第 2 步：換成 amplitude–phase 係數 $c_n$

用上一頁的對應：$c_n^2=a_n^2+b_n^2$（$n\ge1$），以及 DC 係數 $c_0\equiv a_0$。代入第 1 步：

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma|^2\,dx =\left(\frac{c_0}{2}\right)^2+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2 =\frac{c_0^2}{4}+\frac12\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2.$$

• 化簡技巧：注意 $\dfrac{c_0^2}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{c_0^2}{2}$。為了把 DC 併進同一個求和， Hajimiri–Lee 採用「$c_0$ 在求和裡權重減半」的記帳——也就是讓 $n=0$ 那項貢獻 $\dfrac12\cdot\dfrac{c_0^2}{2}$。下一步會看到這正好讓總和寫成最乾淨的形式。

第 3 步：得到 [P1] Eq.(20)，定義 $\Gamma_{rms}$

把第 2 步兩邊乘以 2：

$$\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma|^2\,dx =\frac{c_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n^2.$$

Hajimiri–Lee 在 [P1] Eq.(20) 把左邊定義為 $2\Gamma_{rms}^2$，並把右邊寫成 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2$——也就是約定求和裡的 $n=0$ 項代表 $\dfrac{c_0^2}{2}$（而非 $c_0^2$）。 於是得到本頁開頭的招牌式：

$$\boxed{\ \sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2dx=2\,\Gamma_{rms}^2\ }\qquad[\text{P1] Eq.(20), p.185}$$

其中 $\Gamma_{rms}$ 就是 ISF 的均方根：

$$\Gamma_{rms}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma(x)|^2\,dx}.$$

• 量綱檢查：$\Gamma$ 無因次 ⟹ $|\Gamma|^2$ 無因次 ⟹ 積分除以 $2\pi$（rad）後開根號仍無因次 ✓。 $c_n$ 也無因次，兩邊一致。
• 本站 Python：gamma_rms(theta, gamma) 算的就是 $\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Gamma^2}$ （見 simulations/common/isf_utils.py docstring，明確對應 Eq.(20)）。

第 4 步：DC 項 factor 的教學註記（最容易出錯的地方）

這一段務必看清楚，否則算 $1/f^3$ corner（[P1] Eq.(24)）時會差一個 factor。把三種「$c_0$」釐清：

名稱	表達式	出現在
ISF 的 DC 值（平均值）	$\dfrac{c_0}{2}$	Eq.(12) 的常數項、Eq.(15) 的單音響應
Fourier DC 係數	$c_0$（$=a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\Gamma\,dx$）	bar chart、Eq.(20) 的 $n=0$ 項
Parseval 求和裡 $n=0$ 的貢獻	$\dfrac{c_0^2}{2}$（不是 $c_0^2$！）	Eq.(20) 右邊 $\sum_{n=0}^\infty c_n^2$

• 為何 DC 要「減半」進求和：AC 諧波 $c_n\cos(nx+\theta_n)$ 的均方是 $\dfrac12 c_n^2$（餘弦的 時間平均 $\langle\cos^2\rangle=\frac12$）；但 DC 是常數，其均方是 $\left(\dfrac{c_0}{2}\right)^2 =\dfrac{c_0^2}{4}$。為了讓「$\times2$ 後寫成 $\sum_{n\ge0}c_n^2$」對所有 $n$ 形式一致， 必須讓 $n=0$ 項只算 $\dfrac{c_0^2}{2}$（即把 $c_0$ 在 rms 求和中視為「半個」）。
• 教學提醒：很多教科書（與本站 notation 的符號陷阱）反覆強調這點—— $c_0$ 是「係數」，DC「值」是 $c_0/2$。算 phase noise 的式子（如 Eq.(23) 用 $c_0^2/8$、 Eq.(24) 用 $c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)$）裡的常數，正是把這個 factor 一路帶下來的結果。直接照抄 規範第 3 節的式子，不要自己重新塞 factor，就不會錯。

第 5 步：$\Gamma_{rms}$ 如何決定 $1/f^2$ phase noise

把 Eq.(20) 代進白噪 phase-noise 求和式（[P1] Eq.(19), p.185）：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f\;\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2}{8\,q_{max}^2\,\Delta\omega^2}\right).$$

用 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$ 把 $\sum c_n^2$ 換掉，分母的 $8$ 與分子的 $2$ 約成 $4$，得到那條招牌結果（[P1] Eq.(21), p.185）：

$$\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\left(\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}\right).$$

• 讀法：phase noise 正比於 $\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}$，並隨 offset $\Delta\omega$ 以 $1/\Delta\omega^2$ 下降（即 $-20$ dB/dec，$1/f^2$ region）。設計上兩個旋鈕：加大 $q_{max}$ （訊號電荷擺幅）、壓小 $\Gamma_{rms}$（讓 ISF 整體平靜）。
• factor-of-2 教學註記：用時域「白噪×ISF→積分」乾淨推導會得到 $S_\phi(f)=\Gamma_{rms}^2 S_i/(q_{max}^2(2\pi f)^2)$，對應 $\mathcal{L}=\Gamma_{rms}^2 S_i/(2q_{max}^2\Delta\omega^2)$；而 [P1] Eq.(21) 寫成 $/(4\Delta\omega^2)$。差的 2 倍來自 SSB（單邊帶）記帳慣例，是文獻上著名的小爭議，不影響 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ scaling 與 $-20$ dB/dec 斜率。完整討論見 white_noise_to_phase_noise。

數值例子（建立手感）

例 1：理想 LC 的 $\Gamma_{rms}$（兩種算法互相驗證）

取 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$。

算法 A（積分）：

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{2\pi}\cdot\pi=\frac12 \ \Rightarrow\ \Gamma_{rms}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.707.$$

算法 B（係數）：上一頁得 $c_0=0,\ c_1=1$，其餘為 0。由 Eq.(20) $\sum c_n^2=c_1^2=1=2\Gamma_{rms}^2$ ⟹ $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2\approx0.707$。兩者一致 ✓。

• 手感：$\Gamma_{rms}\approx0.707$ 是「乾淨單頻 ISF」的基準值。本站 canonical 例題（例 B）用 $\Gamma_{rms}=0.5$ 當代表值——比理想 $-\sin$ 略小，對應 ISF 被 $q_{max}$ 之外因素略為攤平的情形。

例 2：用 $\Gamma_{rms}=0.5$ 算 $1/f^2$ phase noise（canonical 例 B）

$f_0=5$ GHz、$\Delta f=1$ MHz、$q_{max}=1$ pC、$\Gamma_{rms}=0.5$、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz。

先算 $\Delta\omega=2\pi\times10^6=6.283\times10^6$ rad/s，$\Delta\omega^2=3.948\times10^{13}$。 用 Eq.(21)（即 SSB 的 $/(4\Delta\omega^2)$ 慣例，見第 5 步的 factor-of-2 註記；若改用時域乾淨版 $/(2\Delta\omega^2)$ 會高 3 dB）：

$$\mathcal{L}=10\log_{10}\!\left[\frac{0.25}{10^{-24}}\cdot\frac{10^{-24}}{4\times3.948\times10^{13}}\right] =10\log_{10}\!\left[\frac{0.25}{4\times3.948\times10^{13}}\right].$$

括號內 $=\dfrac{0.25}{1.579\times10^{14}}=1.583\times10^{-15}$，故

$$\mathcal{L}=10\log_{10}(1.583\times10^{-15})\approx-148.0\ \text{dBc/Hz}.$$

• 量綱檢查：$\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\dfrac{S_i}{\Delta\omega^2} =\dfrac{1}{[\text{C}]^2}\cdot\dfrac{[\text{A}^2/\text{Hz}]}{[\text{rad/s}]^2}$；因 $\text{C}=\text{A}\cdot\text{s}$、$\text{Hz}=1/\text{s}$、rad 無因次，化簡為 $\dfrac{\text{A}^2\cdot\text{s}}{\text{A}^2\text{s}^2}\cdot\text{s}=$ 無因次（per Hz 已含），$\log$ 後得 dBc/Hz ✓。
• 手感：這是「單一理想白噪源」的數值；真實電路有多個源、cyclostationary、flicker，會比這更高 （更差）。完整推導見 white_noise_to_phase_noise。

圖一：用係數頻譜驗證 $\sum c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$

下圖（lab_05 的 fig_coefficients，n_harmonics=8）把 $c_n$ 畫成 bar chart，並在圖上比對 「$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2$（係數那邊算）」與「$2\Gamma_{rms}^2$（積分那邊算）」——兩者吻合， 正是 Parseval（[P1] Eq.(20)）的數值驗證。

• 對應公式：[P1] Eq.(20)。
• 怎麼解讀：把每根 bar 高度平方再相加（記得 $n=0$ 那根要按「半權重」$c_0^2/2$ 計），會等於 $2\Gamma_{rms}^2$。這提供一個實用的健全性檢查：算完係數後，用 Parseval 對一次帳，能立刻抓出 數值積分窗口沒對齊（沒含端點 $2\pi$）之類的錯誤。
• 程式驗證：

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import (
    gamma_lc_ideal, compute_fourier_coefficients, gamma_rms,
)

theta = np.linspace(0.0, 2 * np.pi, 4096, endpoint=True)  # 必含端點 2*pi
gamma = gamma_lc_ideal(theta)                              # -sin(theta)

a0, a, b, c, phase = compute_fourier_coefficients(theta, gamma, n_harmonics=8)

# 左邊：sum c_n^2，n=0 用半權重 (c0^2 / 2)
lhs = 0.5 * c[0] ** 2 + np.sum(c[1:] ** 2)
# 右邊：2 * Gamma_rms^2
rhs = 2.0 * gamma_rms(theta, gamma) ** 2

print(lhs, rhs)        # -> 1.0 , 1.0   (理想 LC：c1=1，其餘≈0)
print(gamma_rms(theta, gamma))  # -> 0.7071  (= 1/sqrt(2))

• toy model 註記：使用的 ISF 為 pedagogical toy / 理想 LC 解析式，非 transistor-level。
• 完整 script：simulations/lab_05_fourier_isf.py。

圖二：LC vs ring 的 ISF——$\Gamma_{rms}$ 隨 $N$ 怎麼變

下圖（lab_03 的 fig_lc_vs_ring_isf）對比理想 LC 的 $-\sin$ 與 ring 的 toy 三角形 ISF （$N=5,15$）。ring 的敏感度集中在 transition（轉態）處；級數 $N$ 越多，ISF 整體越被攤平、 $\Gamma_{rms}$ 越小。

• 對應公式：[P1] Fig. 7（LC vs ring 的波形與 ISF）；[P2] Fig. 8（$\Gamma_{rms}$ vs $N$）。
• 怎麼解讀：LC 的 ISF 是平滑的單頻；ring 的能量擠在窄窄的 transition，級數越多、每次轉態 佔週期比例越小，$\Gamma_{rms}$ 下降。
• toy model 註記：本站 gamma_triangular 是「能量集中在 transition」的 pedagogical toy ISF， 非 transistor-level萃取結果（見 isf_utils.py docstring）。

ring 的 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ scaling

[P2] 把上面的觀察量化為一條 scaling law（[P2] Eq.(16), p.794）：

$$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$$

• 直覺：級數 $N$ 增加時，(i) 每級 transition 變陡、ISF 脈衝變窄（rms 降），(ii) 每週期內 transition 次數增加但被週期長度稀釋。綜合給出 $\Gamma_{rms}^2\propto N^{-3}$（即 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$）。

• 完整式：[P2] Eq.(16) 為

  $$\Gamma_{rms}=\sqrt{\frac{2\pi^2}{3\eta^3}}\;\dfrac{1}{N^{1.5}},$$

  其中 $\eta$ 為級延遲比例常數（[P2] Eq.(14)，$\eta\approx1$，非 $\gamma$）；根號只蓋常數 $2\pi^2/(3\eta^3)$， $1/N^{1.5}$ 在根號外，故 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ （$\eta=0.75$ 時 $\approx4/N^{1.5}$，即 [P2] Fig.8 的實線；[P2] Eq.(16), p.794，v7 已重核：正文 「$1/N^{1.5}$ dependence of $\Gamma_{rms}$」一句、$\eta=0.75$ 數值錨、App.B Eq.(52)+(54) 獨立代數 三者一致指向 $N^{-3/2}$。v3 稽核曾把根號範圍看錯、誤改為 $N^{-3/4}$ 並誤標「已核實」，此為誤讀，非公式與文字不一致——v7 已修回）。

• 重要結論：[P2] 進一步指出，在固定 $f_0$ 與功率 $P$ 的約束下，single-ended ring 的 $1/f^2$ phase noise／jitter 幾乎與級數 $N$ 無關（[P2] Sec.V，Eq.(23)/(25), p.796， $\mathcal{L}\big|_{1/f^2}\approx\dfrac{8}{3\eta}\,\dfrac{V_{DD}}{V_{char}}\,\dfrac{kT}{P}(\omega_0/\Delta\omega)^2$）。

• 前置係數說明：[P2] Eq.(23) 的前置係數是 $\dfrac{8}{3\eta}$（$\eta$ 為級延遲比例常數 Eq.(14)，$\approx1$）； $\gamma$ 僅透過 $V_{char}=\Delta V/\gamma$ 進入。其 $V_T=0$ 下限（[P2] Eq.(25)）為 $\dfrac{16\gamma}{3\eta}$。 （v2 曾誤改為 $8/(3\gamma)$ 並誤標「逐字核實」，v3 已對照原始 PDF p.796 更正。）

• 完整 LC vs ring 討論見 lc_vs_ring；累積 jitter 的隨機漫步 $\sigma_{\Delta t}=\kappa\sqrt{\Delta t}$（[P2] Eq.(8)）見 lab_03_ring_oscillator_toy_model。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
$\Gamma$ 為 $2\pi$ 週期穩態函數	Parseval 嚴格成立	非週期（暫態/injection）時不可用
白噪平坦（各 band 同強）	可用 $\sum c_n^2$ 一次加總	有色噪要逐 band 加權，不能只用 $\Gamma_{rms}$
數值積分窗對齊一週期	係數與 Parseval 對得上	窗沒含端點 $2\pi$ → off-by-one，Parseval 對不起來
stationary noise	$\Gamma_{rms}$ 直接用	cyclostationary 要改用 $\Gamma_{eff}$（見 effective_isf）

Worked examples 數值例題

這三題照規範第 10.4 格式：題目 → 逐步代入（帶單位）→ 結果 → dimension check → 一行 Python 驗證。

例題 1：$\Gamma=-\sin$ 的 $\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$

題目：理想 LC 的 $\Gamma(\theta)=-\sin\theta$，求 $\Gamma_{rms}$。

逐步代入：直接套定義 $\Gamma_{rms}^2=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\Gamma^2\,d\theta$。

$$\begin{aligned} \Gamma_{rms}^2 &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(-\sin\theta)^2\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{2}=\frac12. \end{aligned}$$

結果：$\Gamma_{rms}=\sqrt{1/2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0.707$。其中第二行用了半角恆等式 $\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)$，$\cos2\theta$ 在整個週期上積分為 0。

dimension check：$\Gamma=-\sin\theta$ 無因次 → $\Gamma^2$ 無因次 → 對 $\theta$（rad）積分再除以 $2\pi$（rad）後開根號，仍無因次 ✓。

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import gamma_lc_ideal, gamma_rms
theta = np.linspace(0.0, 2*np.pi, 4096, endpoint=True)   # 含端點 2*pi
print(gamma_rms(theta, gamma_lc_ideal(theta)))            # -> 0.7071  (= 1/sqrt(2))

例題 2：三角形（ring toy）ISF 的 $\Gamma_{rms}$

題目：ring 的 pedagogical toy ISF 用本站 gamma_triangular（$N=5$）：它是一個峰值 $P=1/\sqrt N=1/\sqrt5$、在 $[-P,P]$ 之間線性來回的三角波（每週期兩個 transition）。求 $\Gamma_{rms}$。（toy model，非 transistor-level。）

逐步代入：三角波在一個基本斜邊上是線性的，均方可用「線性段 $[-P,P]$ 的均方 $=P^2/3$」這個標準結果。理由：設線性段 $\Gamma=P\,s$（$s$ 從 $-1$ 均勻掃到 $1$），

$$\langle\Gamma^2\rangle=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(P s)^2\,ds=\frac{P^2}{2}\cdot\frac{s^3}{3}\Big|_{-1}^{1}=\frac{P^2}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{P^2}{3}.$$

代 $P=1/\sqrt5$：

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{P^2}{3}=\frac{1/5}{3}=\frac{1}{15}\approx0.0667 \ \Rightarrow\ \Gamma_{rms}=\frac{1}{\sqrt{15}}\approx0.258.$$

結果：$\Gamma_{rms}\approx0.258$，遠小於 LC 的 0.707——和「ring 把敏感度擠進窄 transition、能量被攤平、$\Gamma_{rms}$ 隨 $N$ 變小」的物理一致（呼應 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 的趨勢；此處 toy 的 $N$ 依賴是 $1/\sqrt N$，非真實 scaling）。

dimension check：$P$ 無因次（ISF 無因次）→ $\Gamma_{rms}$ 無因次 ✓。

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import gamma_triangular, gamma_rms
theta = np.linspace(0.0, 2*np.pi, 200001, endpoint=True)
print(gamma_rms(theta, gamma_triangular(theta, n_stages=5)))  # -> 0.2582  (= 1/sqrt(15))

例題 3：數值驗證 $\sum c_n^2=2\Gamma_{rms}^2$（Parseval 對帳）

題目：對例題 2 的三角形 ISF（$N=5$），分別從係數那邊算 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2$、從積分那邊算 $2\Gamma_{rms}^2$，驗證兩者相等。

逐步代入：由例題 2，$2\Gamma_{rms}^2=2\times\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{15}\approx0.1333$。係數側則把 $c_n$ 平方相加，記得 $n=0$ 用半權重 $c_0^2/2$（三角波對稱、$c_0=0$，所以 DC 不貢獻）。Parseval 保證兩數相等。

結果：$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=2\Gamma_{rms}^2\approx0.1333$ ✓。

dimension check：$c_n$、$\Gamma_{rms}$ 皆無因次，兩邊一致 ✓。

import numpy as np
from simulations.common.isf_utils import (
    gamma_triangular, compute_fourier_coefficients, gamma_rms,
)
theta = np.linspace(0.0, 2*np.pi, 4096, endpoint=True)
gamma = gamma_triangular(theta, n_stages=5)
a0, a, b, c, ph = compute_fourier_coefficients(theta, gamma, n_harmonics=32)
lhs = 0.5*c[0]**2 + np.sum(c[1:]**2)   # n=0 半權重
rhs = 2.0*gamma_rms(theta, gamma)**2
print(lhs, rhs)                        # -> ~0.1333 , 0.1333  (諧波越多越逼近)

• 手感：三角波是「無窮多奇次諧波」，所以係數側要取夠多 n_harmonics（如 32）才會逼近 $2\Gamma_{rms}^2$；諧波取太少（如 8）會略低於積分值——這本身就是「ring ISF 能量散在高次諧波」的數值寫照。
• 完整 script：simulations/lab_05_fourier_isf.py、函式庫 simulations/common/isf_utils.py。

重點回顧

• Parseval：$\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|\Gamma|^2dx=2\Gamma_{rms}^2$（[P1] Eq.(20), p.185）。
• $\Gamma_{rms}$ 把「逐 band 折回」收成一個形狀指標；它（與 $q_{max}$）決定 $1/f^2$ phase noise：$\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$（[P1] Eq.(21)）。
• DC factor 慣例：$c_0$ 是係數、DC 值是 $c_0/2$；Parseval 求和裡 $n=0$ 項貢獻 $c_0^2/2$（不是 $c_0^2$）。照抄規範式子即可。
• 理想 LC：$\Gamma_{rms}=1/\sqrt2\approx0.707$；canonical 例 B 用 $\Gamma_{rms}=0.5$ 得 $\mathcal{L}(1\text{MHz})\approx-148$ dBc/Hz。
• ring：$\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$（[P2] Eq.(16), p.794；根號只蓋常數，$\eta=0.75$ 時 $\approx4/N^{1.5}$， 與正文、App.B 三重一致；v3 曾誤讀根號範圍為 $N^{-3/4}$，v7 已修回）。

延伸閱讀

• ISF 的 Fourier 係數（前一步）：fourier_series_of_isf
• 用 $\Gamma_{rms}$ 算 $1/f^2$（下一步）：white_noise_to_phase_noise
• LC vs ring 的設計取捨：lc_vs_ring
• cyclostationary 修正：effective_isf
• 數值手感速查：numerical_feeling