非對稱三角 ISF 的閉式解（[P2] 附錄 B）

先備：fourier_series_of_isf（$c_0$ 與 Parseval）、rms_isf（$\Gamma_{rms}$ 的定義與角色）、flicker_noise_upconversion（$c_0$ 為何是 flicker 上轉的唯一閘門）｜接下來：symmetry（把本頁閉式變成設計旋鈕）、lab_32（方程級 ring 的 ISF 萃取，看三角近似何時失真）

symmetry 頁講了「rise/fall 對稱 → $c_0\to0$ → 1/f³ 被壓下去」 這條定性法則，但那頁的數值例把 $c_0$ 當假設值代入。本頁把缺的那塊補上： 給定 ring oscillator 的級數 $N$ 與波形不對稱程度，$\Gamma_{rms}$、$c_0$、1/f³ corner 到底是多少？ [P2] Appendix B（p.803）用一個非對稱三角 ISF 模型給出了全套閉式解 Eq.(52)–(57)——這是全站少數「從拓樸參數直接算出 $c_0$」的地方，值得逐步走一遍。

物理直覺（先講結論）：ring 的 ISF 集中在兩個 transition（轉態）處：上升緣一個正葉、 下降緣一個負葉，葉的高度反比於該緣的斜率（緣越陡、越不敏感）。若 rise 比 fall 陡 （$A=f'_{rise}/f'_{fall}>1$），正葉又矮又窄、負葉又高又寬，兩葉面積不再相消—— 差出來的那塊淨面積就是 $\Gamma_{dc}$（即 $c_0/2$），它把 device 的 1/f noise 上轉成 close-in 的 1/f³。閉式解把這個幾何圖像變成三個公式：$\Gamma_{rms}^2$（Eq.55）、 $\Gamma_{dc}$（Eq.56）、corner（Eq.57），而且 corner 只由兩個無因次數 $A$ 與 $N$ 決定。

第 0 步：模型——[P2] Fig. 18 的非對稱三角 ISF

[P2] Fig. 18, p.803（本次由 PDF 渲染頁核實）："Approximate waveform and the ISF for asymmetric rising and falling edges." 圖中 $\Gamma(x)$ 對 $x$（一個週期 $0$ 到 $2\pi$）畫出兩個三角葉：

葉	高度（峰值）	底寬	對應
正葉	$1/f'_{rise}$	$2/f'_{rise}$	上升緣（rising edge）
負葉	$1/f'_{fall}$（深度）	$2/f'_{fall}$	下降緣（falling edge）

其中 $f'_{rise}$、$f'_{fall}$ 是正規化波形（振幅正規化到 1 的 $f(x)$，$x=\omega_0\tau$） 在上升／下降緣的最大斜率（原文："where $f'_{rise}$ and $f'_{fall}$ are the maximum slope during the rising and falling edge, respectively"，p.803）。

• 單位檢查：$x=\omega_0\tau$ 是 $[\text{rad/s}]\cdot[\text{s}]=[\text{rad}]$，本站把 rad 視為無因次純數；$f(x)$ 無因次，故 $f'=df/dx$ 無因次、$1/f'$ 也無因次——與 $\Gamma$ 無因次一致 ✓。
• 為什麼高度是 $1/f'$：ISF 峰值反比於波形斜率——緣越陡，同樣的電荷擾動造成的相位偏移越小 （見 waveform_slope；這是 [P2] 主文三角近似的出發點）。
• 關鍵幾何觀察（斜率 = 1）：每個葉「高度 $=1/f'$、底寬 $=2/f'$」，所以半寬＝高度， 三角形兩腰在 $x$ 座標上的斜率恰為 $\pm1$。這不是巧合：敏感峰值 $\propto 1/f'$、 敏感窗（transition 佔的相位寬）也 $\propto 1/f'$，兩者同源，比值固定為 1。 這個「單位斜率」讓下面的積分變得非常乾淨。
• 葉在 $x$ 軸上的位置（正葉在哪、負葉在哪）不影響 $\Gamma_{rms}$ 與 $\Gamma_{dc}$ （只影響諧波相位 $\theta_n$），所以推導時可以把葉放在任何不重疊的位置。

第 1 步：分段積分算 $\Gamma_{rms}^2$ —— Eq.(52)

從 $\Gamma_{rms}$ 的定義出發（[P1] Eq.(20) 的形式，見 rms_isf）， 對兩個三角葉分段積分。因為兩腰斜率 $=\pm1$，在每個半腰上可以直接用「ISF 的值」當積分變數 （$\Gamma$ 從 0 線性走到峰值 $1/f'$，$d\Gamma = \pm\,dx$），一個葉＝兩個半腰＝ $2\int_0^{1/f'}x^2\,dx$。原文逐字（[P2] Eq.(52), p.803，本次渲染核實）：

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Gamma^2(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\!\left[\int_0^{1/f'_{rise}}x^2\,dx+\int_0^{1/f'_{fall}}x^2\,dx\right] =\frac{1}{3\pi}\left(\frac{1}{f'_{rise}}\right)^{\!3}(1+A^3)$$

逐步展開中間那步到最後一步：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\!\left[2\!\int_0^{1/f'_{rise}}\!x^2dx+2\!\int_0^{1/f'_{fall}}\!x^2dx\right] &=\frac{1}{\pi}\!\left[\frac{x^3}{3}\Big\vert_0^{1/f'_{rise}}+\frac{x^3}{3}\Big\vert_0^{1/f'_{fall}}\right] \\[4pt] &=\frac{1}{3\pi}\!\left[\left(\frac{1}{f'_{rise}}\right)^{\!3}+\left(\frac{1}{f'_{fall}}\right)^{\!3}\right] \\[4pt] &=\frac{1}{3\pi}\left(\frac{1}{f'_{rise}}\right)^{\!3}\left(1+A^3\right). \end{aligned}$$

• 第 1 行：每葉兩個半腰，正負號在平方後消失，所以正、負葉各貢獻 $2\int_0^{h}x^2dx$（$h$=峰高）。
• 第 3 行：提出 $(1/f'_{rise})^3$，用到 $\dfrac{1}{f'_{fall}}=\dfrac{A}{f'_{rise}}$， 其中 $A$ 是不對稱比（[P2] Eq.(53), p.803，逐字）：

$$A\equiv\frac{f'_{rise}}{f'_{fall}}$$

• dimension check：$[x^2\,dx]=\text{rad}^3$（無因次），除以 $\pi$（rad）→ 無因次； $\Gamma_{rms}^2$ 無因次 ✓。
• 健全性檢查：$A=1$（對稱）時 $1+A^3=2$，兩葉貢獻相等；$A>1$（rise 陡）時 $1/f'_{fall}$ 大、負葉主導 $\Gamma_{rms}^2$——慢的那個緣決定 rms 敏感度。

第 2 步：把 $f'_{rise}$ 換成電路參數——週期約束 Eq.(54)

Eq.(52) 還含著波形斜率。要變成「設計者手上的參數」（級數 $N$），用 ring 的週期約束。 [P2] Eq.(14), p.794 定義正規化級延遲 $\hat t_D=\eta/f'_{max}$（$\eta\approx1$ 是比例常數： 一級的延遲約等於「transition 斜率的倒數」乘上 $\eta$）。在單端反相 ring 裡，一個完整週期 內訊號繞環兩圈（每個節點升一次、降一次），共 $2N$ 個級延遲——其中 $N$ 個是上升緣延遲 $\eta/f'_{rise}$、$N$ 個是下降緣延遲 $\eta/f'_{fall}$。把一個週期的相位長度 $2\pi$ 寫成 這些延遲之和（[P2] Eq.(54), p.803，逐字）：

$$2\pi=\eta N\!\left(\frac{1}{f'_{rise}}+\frac{1}{f'_{fall}}\right)=\frac{\eta N}{f'_{rise}}(1+A)$$

解出正葉峰高：

$$\frac{1}{f'_{rise}}=\frac{2\pi}{\eta N(1+A)},\qquad \frac{1}{f'_{fall}}=\frac{2\pi A}{\eta N(1+A)}.$$

• dimension check：兩邊都是 rad（無因次）✓；$\eta,N,A$ 皆無因次。
• 健全性檢查：$A=1$ 時回到對稱情形 $2\pi=2N\hat t_D$（正是 [P2] Eq.(15) $f_0=1/(2N\tau_D)$ 的相位域寫法）；$N$ 越大或 $A+1$ 越大，正葉越矮——一切幾何都被 $2\pi$ 的預算「攤薄」。

第 3 步：合併成 $\Gamma_{rms}^2(N,A)$ —— Eq.(55)，並驗證 $A=1$ 退化

把第 2 步的 $1/f'_{rise}$ 代入 Eq.(52)：

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{1}{3\pi}\cdot\frac{(2\pi)^3}{\eta^3N^3(1+A)^3}\,(1+A^3) =\frac{8\pi^2}{3\eta^3N^3}\cdot\frac{1+A^3}{(1+A)^3}$$

整理成原文形式（[P2] Eq.(55), p.803，逐字）：

$$\Gamma_{rms}^2=\frac{2\pi^2}{3\eta^3}\,\frac{1}{N^3}\left[4\,\frac{1+A^3}{(1+A)^3}\right]$$

• $A=1$ 檢查（必做）：括號 $=4\cdot\dfrac{2}{8}=1$，故 $\Gamma_{rms}^2=\dfrac{2\pi^2}{3\eta^3}\dfrac{1}{N^3}$——精確退化為 [P2] Eq.(16), p.794 的 v7 讀法 $\Gamma_{rms}=\sqrt{2\pi^2/(3\eta^3)}\cdot N^{-1.5}$（根號只蓋常數）。 數值：$N=5$、$\eta=1$ 時兩式同給 $\Gamma_{rms}=0.229429$（lab_33 印出）。 這也是 Eq.(16) N-scaling 的第三重驗證（見 paper_002 深讀）。
• 不對稱的代價很溫和：括號在 $A=1.5$ 時 $=1.12$、$A=3$ 時 $=1.75$—— $\Gamma_{rms}$ 只多 6%／32%。不對稱對 1/f²（白噪）區的傷害不大；它真正的殺傷力在下面的 $c_0$。
• 對 $A\to1/A$ 不變：$\dfrac{1+A^3}{(1+A)^3}$ 把 $A$ 換成 $1/A$ 後不變（上下同乘 $A^3$）。 「rise 陡 fall 慢」與「fall 陡 rise 慢」的 rms 敏感度相同——方向不重要，不對稱程度才重要。

第 4 步：DC 值 $\Gamma_{dc}$ —— Eq.(56)，接上 $c_0$

$\Gamma_{dc}$ 是 ISF 在一個週期上的平均。三角形面積 $=\tfrac12\cdot$底$\cdot$高： 正葉面積 $\tfrac12\cdot\dfrac{2}{f'_{rise}}\cdot\dfrac{1}{f'_{rise}}=\dfrac{1}{f'^2_{rise}}$， 負葉同理 $\dfrac{1}{f'^2_{fall}}$（帶負號）：

$$\Gamma_{dc}=\frac{1}{2\pi}\!\left[\frac{1}{f'^2_{rise}}-\frac{1}{f'^2_{fall}}\right] =\frac{1}{2\pi}\,\frac{1-A^2}{f'^2_{rise}} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{4\pi^2}{\eta^2N^2(1+A)^2}\,(1-A^2)$$

用 $1-A^2=(1-A)(1+A)$ 約掉一個 $(1+A)$，得原文形式（[P2] Eq.(56), p.803，逐字）：

$$\Gamma_{dc}=\frac{2\pi}{\eta^2}\,\frac{1}{N^2}\left(\frac{1-A}{1+A}\right)$$

• 接上傅立葉係數：ISF 級數（[P1] Eq.(12)）的 DC 值是 $c_0/2$，所以 $c_0=2\,\Gamma_{dc}$——這就是餵給 [P1] Eq.(24) corner 公式的那個 $c_0$ （符號陷阱同 symmetry 頁：$c_0$ 是係數、$c_0/2$ 才是 DC 值）。
• 符號：$A>1$（rise 陡）→ $\Gamma_{dc}<0$（負葉面積大）；$A<1$ 反號。上轉只看 $c_0^2$，符號不進 corner。
• scaling 重點：$\Gamma_{dc}\propto N^{-2}$ 掉得比 $\Gamma_{rms}\propto N^{-1.5}$ 快 （葉面積 $\propto$ 峰高平方 $\propto N^{-2}$，rms 平方 $\propto$ 峰高立方 $\propto N^{-3}$）。 這個「快半格」正是下一步 corner $\propto 1/N$ 的來源。
• dimension check：面積 $[\Gamma\cdot dx]=$ rad（無因次），除以 $2\pi$ → 無因次 ✓。

第 5 步：1/f³ corner —— Eq.(57)（含 2 倍慣例旗標）

[P2] 主文給的 corner 關係（[P2] Eq.(7), p.792，本次渲染核實，逐字）：

$$f_{1/f^3}=f_{1/f}\cdot\frac{\Gamma_{dc}^2}{\Gamma_{rms}^2}$$

把 Eq.(55)、(56) 代入，用 $1+A^3=(1+A)(1-A+A^2)$ 因式分解：

$$\frac{\Gamma_{dc}^2}{\Gamma_{rms}^2} =\frac{\dfrac{4\pi^2}{\eta^4N^4}\dfrac{(1-A)^2}{(1+A)^2}} {\dfrac{2\pi^2}{3\eta^3N^3}\cdot\dfrac{4(1+A^3)}{(1+A)^3}} =\frac{3}{2\eta N}\cdot\frac{(1-A)^2(1+A)}{1+A^3} =\frac{3}{2\eta N}\cdot\frac{(1-A)^2}{1-A+A^2}$$

得原文結果（[P2] Eq.(57), p.803，逐字）：

$$f_{1/f^3}=f_{1/f}\cdot\frac{3}{2\eta N}\cdot\frac{(1-A)^2}{(1-A+A^2)}$$

慣例 2 倍旗標（每次出現 2 或 4 都要標）：把 $c_0=2\Gamma_{dc}$ 代進 [P1] Eq.(24) $\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\cdot c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)$ 會得到 $2\,\omega_{1/f}\Gamma_{dc}^2/\Gamma_{rms}^2$——恰是 [P2] Eq.(7)/(57) 的 2 倍。 這與 white_noise 頁講的 SSB $/4$ vs 時域 $/2$ 是同一族記帳問題（DC 通道在 $\sum c_n^2$ 求和裡怎麼計權；[P2] Eq.(6), p.792 本身就用 $/(8\pi^2f^2)$ = 時域 $/2$ 慣例）。 兩篇論文內部各自自洽；scaling（$\propto(1-A)^2/(1-A+A^2)$、$\propto1/N$）與任何比值 都不受影響。本站數值：報 [P2] Eq.(57) 值為主，並附 [P1] Eq.(24) 慣例值（=2×）。

互動探索：下面的小工具讓你直接拉 $N$、$A$、$\eta$、$f_{1/f}$，即時看 Eq.(55)–(57) 算出的 $\Gamma_{rms}$、$c_0$、corner，以及左邊 Fig.18 三角葉形狀、右邊 corner 對 $A$ 的 V 形谷（本頁 Fig.17 式量測碗底的解析版）現在的位置：

非對稱三角 ISF 探索器（[P2] 附錄 B, Eq.52–57）

N (級數 stages)5

A = f'rise/f'fall3.00

f_{1/f} (device corner)1.0 MHz

η (stage-delay const.)1.00

Γ(x) — Fig.18 三角葉形狀

corner / f_{1/f} 對 A（log 軸，Fig.17 式 V 形谷）

Γ_rms — Eq.(55)

0.3035

無因次

c₀ = 2Γ_dc — Eq.(56)

-0.2513

無因次

f_{1/f³} — Eq.(57)

171.43

kHz

[P1] Eq.(24) 慣例（=2×）

342.86

kHz

閉式（[P2] 附錄 B，逐字）：Γ_rms² = (2π²/3η³)(1/N³)[4(1+A³)/(1+A)³]（Eq.55）； Γ_dc = (2π/η²N²)(1−A)/(1+A)，c₀ = 2Γ_dc（Eq.56）； f_{1/f³} = f_{1/f}·(3/2ηN)·(1−A)²/(1−A+A²)（Eq.57）。 健全性錨點：A=1 → c₀=0、corner=0（正負葉精確相消）； N=5、A=3、η=1、f_{1/f}=1 MHz → Γ_rms=0.3035、c₀=−0.2513、 corner=171.43 kHz（[P2] Eq.57）／342.86 kHz（[P1] Eq.24 慣例）。 Pedagogical 三角 toy model（線性斜坡邊緣、單位斜率），僅在 N ≥ 2/η（兩葉不重疊）時適用； 見 asymmetric_isf_closed_form。

Eq.(57) 有三個結構性質，每個都是設計訊息：

1. $A\to1$ 時 corner 二次趨零：分子 $(1-A)^2$——對稱點附近 corner 對不對稱度是 二次不敏感，但一旦偏離，惡化也是二次加速（lab_33：$A=1.01$ 時 corner$/f_{1/f}$ 只有 $2.97\times10^{-5}$，$A=1.10$ 已到 $2.70\times10^{-3}$，差近 100 倍）。 這就是 [P2] Fig. 17, p.802「phase noise vs 對稱控制電壓」在對稱點出現碗底的解析版。
2. 對 $A\to1/A$ 不變：$(1-A)^2/(1-A+A^2)$ 把 $A$ 換 $1/A$ 後不變（上下同乘 $A^2$； lab_33 驗證 corner$(A{=}2)=$ corner$(A{=}0.5)=1.000000\times10^{-1}\,f_{1/f}$）。 V 形谷在 log-$A$ 軸上左右對稱——「哪個緣比較陡」無所謂。
3. corner $\propto 1/N$：固定 $A$ 下，級數越多 corner 越低。原文逐字（p.803，App. B 結尾）： "As can be seen for a constant rise-to-fall ratio, the 1/f³ corner decreases inversely with the number of stages; therefore, ring oscillators with a smaller number of stages will have a larger 1/f³ noise corner. As a special case, if the rise and fall time are symmetric, A = 1, and the 1/f³ corner approaches zero." （中譯：固定 rise/fall 比之下，1/f³ corner 與級數成反比；所以級數少的 ring 有較高的 1/f³ corner。特例：rise/fall 對稱時 $A=1$，1/f³ corner 趨近於零。）

與「$N$ 無關」結論的和解：[P2] 主文 Eq.(23) 說固定 $f_0$、功率下白噪（1/f²）區的 phase noise 近似與 $N$ 無關（見 paper_002 深讀、 lc_vs_ring）。兩者不矛盾：$N$ 不動 1/f² 的高度， 但把 1/f³ 的轉折點往低頻推（$\propto1/N$）。設計訊息：若你的痛點是 close-in flicker （例如 PLL loop BW 不夠寬、洗不掉 VCO 的 1/f³），多級數是有效槓桿； 若痛點是白噪區 jitter，加級數沒有用。這是本頁新增、[P2] 原文自己點名的設計結論。

數值例子（canonical：$N=5$、$\eta=1$、$f_{1/f}=1$ MHz）

例 1（$A=1.5$：中度不對稱——rise 比 fall 陡 1.5 倍）

逐步代入（全部無因次，corner 才帶 Hz）：

$$\begin{aligned} \Gamma_{rms}^2&=\frac{2\pi^2}{3}\cdot\frac{1}{125}\cdot\left[4\cdot\frac{1+3.375}{(2.5)^3}\right] =6.5797\times0.008\times1.12=0.05895 \;\Rightarrow\;\Gamma_{rms}=0.2428 \\[4pt] \Gamma_{dc}&=\frac{2\pi}{25}\cdot\frac{1-1.5}{1+1.5}=0.25133\times(-0.2)=-0.05027 \;\Rightarrow\;c_0=2\Gamma_{dc}=-0.1005 \\[4pt] f_{1/f^3}&=1\ \text{MHz}\times\frac{3}{2\times1\times5}\times\frac{(-0.5)^2}{1-1.5+2.25} =1\ \text{MHz}\times0.3\times\frac{0.25}{1.75}=42.9\ \text{kHz}. \end{aligned}$$

• 結果：$\Gamma_{rms}=0.2428$、$c_0=-0.1005$、corner $=42.86$ kHz（[P2] Eq.(57) 慣例）； [P1] Eq.(24) 慣例則為 $85.71$ kHz（$=2\times$，旗標同上）。
• Dimension check：$[\text{Hz}]\times[\text{無因次}]\times[\text{無因次}]=[\text{Hz}]$ ✓。
• 手感：$N=5$ ring 的 $\Gamma_{rms}\approx0.24$，比全站代表值 $\Gamma_{rms}=0.5$ 低約一半。 套 canonical 例 B（$q_{max}=1$ pC、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz、$f_0=5$ GHz、$\Delta f=1$ MHz）： $\mathcal{L}$ 比 $-148.0$ dBc/Hz 再低 $20\log_{10}(0.2428/0.5)=-6.3$ dB → 約 $-154.3$ dBc/Hz （SSB $/4$ 慣例；時域 $/2$ 慣例整條 $+3$ dB → 約 $-151.3$ dBc/Hz）。
• 一行 Python 驗證（閉式直算；完整驗證見 lab_33）：

import numpy as np
N, A, eta, f1f = 5, 1.5, 1.0, 1e6
grms2 = (2*np.pi**2/(3*eta**3))/N**3 * 4*(1+A**3)/(1+A)**3
gdc = (2*np.pi/eta**2)/N**2 * (1-A)/(1+A)
print(round(np.sqrt(grms2), 4), round(2*gdc, 4))
# -> 0.2428 -0.1005（Γrms 與 c0=2Γdc；lab_33 同值）
print(round(f1f*3/(2*eta*N)*(1-A)**2/(1-A+A**2)/1e3, 2), "kHz")
# -> 42.86 kHz（[P2] Eq.(57)；[P1] Eq.(24) 慣例 = 85.71 kHz）

例 2（$A=3$：重度不對稱——rise 比 fall 陡 3 倍）

$$\begin{aligned} \Gamma_{rms}^2&=6.5797\times0.008\times\left[4\cdot\frac{28}{64}\right] =6.5797\times0.008\times1.75=0.09212\;\Rightarrow\;\Gamma_{rms}=0.3035 \\[4pt] c_0&=2\times\frac{2\pi}{25}\times\frac{1-3}{1+3}=-0.2513 \\[4pt] f_{1/f^3}&=1\ \text{MHz}\times0.3\times\frac{4}{7}=171.4\ \text{kHz} \qquad(\text{[P1] Eq.(24) 慣例：}342.9\ \text{kHz}). \end{aligned}$$

• 對照例 1：$A$ 從 1.5 惡化到 3，$\Gamma_{rms}$ 只從 0.2428 升到 0.3035（+25%， 1/f² 區小傷），但 $c_0$ 從 $-0.1005$ 到 $-0.2513$（$\times2.5$）、corner 從 42.86 kHz 跳到 171.43 kHz（$\times4.0$，lab_33 印出；比值與 2/4 慣例無關，因為 2 倍同乘同除）。 1/f³ 裙邊的高度 $\propto c_0^2$ 則抬高 $10\log_{10}(2.5^2)=+8.0$ dB。
• 與 symmetry 頁的假設例對照：那頁的示意值 $c_0=0.4$、 $\Gamma_{rms}=0.5$ 給 corner 320 kHz（[P1] Eq.(24) 慣例）；本頁從 $(N,A)$ 直接算出 同一個量，不再需要假設 $c_0$。

小測驗（先自己算，再檢查）

同一顆 N = 5、η = 1 的 ring，device 1/f corner f₁/f = 1 MHz。波形不對稱比從 A = 1.5 惡化到 A = 3，1/f³ corner 變成原來的幾倍？（提示：這個比值與 [P1]/[P2] 的 2 倍慣例無關）

倍

判定：相對誤差 ±2% 內算對；可用科學記號輸入。

模擬驗證：lab_33（閉式 vs 數值積分）

simulations/lab_33_asymmetry_corner.py（runtime 約 1.5 s）把 Fig. 18 的分段三角 $\Gamma(x)$ 在 $(N,A)$ 網格上數值建出來（$4\times10^5$ 點/週期），對 Eq.(55)/(56) 做三重驗證： 數值 trapezoid 積分、compute_fourier_coefficients 的 $a_0$（$=c_0=2\Gamma_{dc}$）、 與純代數（Eq.(52)+(54) 合併 = Eq.(55)）。

參數	值	單位
$N$ 網格	3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	—
$A$ 網格	1.0, 1.25, 1.5, 2.0, 3.0, 4.0	—
$\eta$	1.0	—
$f_{1/f}$	1	MHz
$\theta$ 取樣	400001 點 / $2\pi$	—

核心驗證程式（節錄；gamma_fig18 用兩個單位斜率三角葉組出 $\Gamma$）：

g = gamma_fig18(theta, n_st, a_r)            # Fig.18 分段三角（單位斜率）
g2_num  = gamma_rms(theta, g)**2             # 數值 (1/2π)∫Γ²dx
gdc_num = np.trapezoid(g, theta) / (2*np.pi) # 數值 (1/2π)∫Γdx
a0, *_  = compute_fourier_coefficients(theta, g, 2)   # a0 = c0
# 42 組 (N,A) 全部對照 Eq.(55)/(56)：
# -> 1.17e-09（max 相對誤差，Γrms²，遠低於 0.5% 門檻）
# -> 1.60e-09（max 相對誤差，Γdc 與 c0=2Γdc 兩項同值）

怎麼讀這張圖：

• (a) $N=5$ 的 $\Gamma(x)$，$A=1/1.5/3$ 三條。$A$ 越大正葉越矮窄、負葉越高寬 （總相位預算 $2\pi/(\eta N)$ 固定，由 $1:A$ 分帳）；虛線是各自的 $\Gamma_{dc}$（Eq.56）—— 不對稱把整條 ISF 的平均值拉離 0，那個偏移就是 flicker 上轉的閘門。
• (b) Eq.(57) 的 corner 對 $A$（log 軸）：對稱點 $A=1$ 是 V 形谷底（corner → 0）， 左右對 $A\to1/A$ 鏡像對稱；$N$ 越大整條曲線越低。這就是 [P2] Fig. 17 量測碗底的解析版。 標註點：$N=5$ 時 $A=1.5\to42.9$ kHz、$A=3\to171.4$ kHz。
• (c) 固定 $A$ 下 corner 對 $N$（log-log）：斜率 $-1$（$\propto1/N$ 參考虛線重合； lab_33 印出 $A=1.5$ 時 $N=3/5/9/15\to71.43/42.86/23.81/14.29$ kHz，$N{=}3$ 與 $N{=}15$ 比值 5.0 = 15/3 精確）。級數少的 ring，flicker corner 高——挑 $N$ 時要把這條放進取捨。

適用與失效條件

假設	成立時	失效時
三角 ISF（線性斜坡 transition、峰 $=1/f'$、寬 $=2/f'$、單位斜率）	$N$ 大、edge 佔週期比例小、波形接近梯形	$N$ 小或波形近正弦：lab_32 的方程級 $N=3$ ring 量到 $\Gamma_{rms}=0.9303$，而 Eq.(16) 給 0.4937——差近 2 倍；閉式此時只當 scaling 指引
兩葉不重疊	葉總寬 $4\pi/(\eta N)\le2\pi$，即 $N\ge2/\eta$	$N$ 太小（近似本來就已失效）
$\eta\approx1$（[P2] Eq.(14) 的級延遲比例常數）	典型 inverter 級	$\eta$ 偏離 1 時公式仍對，但要用實際 $\eta$（$\Gamma_{rms}^2\propto\eta^{-3}$、corner $\propto\eta^{-1}$）
flicker 只經 $\Gamma_{dc}$（$c_0$）上轉	裸 ISF 的不對稱主導	cyclostationary NMF $\alpha(t)$ 本身不對稱時，要看 effective ISF 的 $c_0$（見 effective_isf、device_noise_mapping）——$A=1$ 也可能殘留上轉
corner 記帳慣例	[P2] Eq.(7)/(57) 自洽	與 [P1] Eq.(24)（$c_0=2\Gamma_{dc}$ 代入）差 2 倍；引用數字時必須標明用哪個慣例
$A=1\Rightarrow$ corner $\to0$	模型內精確	真實電路由 duty cycle、偶次諧波、$\alpha(t)$、製程偏移決定殘餘 $c_0$，corner 不會真的到 0

與論文公式對應

本頁內容	論文出處	核實狀態
非對稱三角 ISF 幾何（兩葉高 $1/f'$、寬 $2/f'$）	[P2] Fig. 18, p.803	✓ 本次渲染
$\Gamma_{rms}^2$ 分段積分	[P2] Eq.(52), p.803	✓ 本次渲染
不對稱比 $A\equiv f'_{rise}/f'_{fall}$	[P2] Eq.(53), p.803	✓ 本次渲染
週期約束 $2\pi=\eta N(1/f'_{rise}+1/f'_{fall})$	[P2] Eq.(54), p.803	✓ 本次渲染
$\Gamma_{rms}^2(N,A)$ 閉式	[P2] Eq.(55), p.803	✓ 本次渲染
$\Gamma_{dc}(N,A)$ 閉式	[P2] Eq.(56), p.803	✓ 本次渲染
corner 閉式 $\propto(1-A)^2/(1-A+A^2)$、$\propto1/N$	[P2] Eq.(57), p.803	✓ 本次渲染
corner 關係 $f_{1/f^3}=f_{1/f}\Gamma_{dc}^2/\Gamma_{rms}^2$	[P2] Eq.(7), p.792	✓ 本次渲染
對稱特例（括號 $=1$）	[P2] Eq.(16), p.794	✓ 既有 v7 核實
$c_0$ 版 corner（$=2\times$ Eq.(7)，慣例旗標）	[P1] Eq.(24), p.185	✓ 權威公式表
對稱點碗底的量測對照	[P2] Fig. 17, p.802	✓ 既有核實

重點回顧

• [P2] App. B 把 ring 的 ISF 建成兩個單位斜率的三角葉（高 $1/f'$、寬 $2/f'$）， 分段積分即得 $\Gamma_{rms}^2=\frac{1}{3\pi}(1/f'_{rise})^3(1+A^3)$（Eq.52）。
• 週期約束 $2\pi=\eta N(1+A)/f'_{rise}$（Eq.54）把斜率換成 $(N,A)$，得 $\Gamma_{rms}^2=\frac{2\pi^2}{3\eta^3N^3}[4(1+A^3)/(1+A)^3]$（Eq.55）；$A=1$ 時括號 $=1$， 精確退化為 Eq.(16)。
• $\Gamma_{dc}=\frac{2\pi}{\eta^2N^2}\frac{1-A}{1+A}$（Eq.56），$c_0=2\Gamma_{dc}$； $\Gamma_{dc}\propto N^{-2}$ 掉得比 $\Gamma_{rms}$ 快 → corner $\propto1/N$。
• corner $=f_{1/f}\cdot\frac{3}{2\eta N}\cdot\frac{(1-A)^2}{1-A+A^2}$（Eq.57）： 對稱點二次趨零、對 $A\to1/A$ 對稱、級數少 corner 高（[P2] 原句）。
• 慣例旗標：[P1] Eq.(24)（代 $c_0=2\Gamma_{dc}$）$=2\times$ [P2] Eq.(7)/(57)； 比值與 scaling 不受影響。
• 數值手感（$N=5$、$\eta=1$、$f_{1/f}=1$ MHz）：$A=1.5\to c_0=-0.1005$、corner 42.86 kHz； $A=3\to c_0=-0.2513$、corner 171.43 kHz（比值 4.0）。
• 模型失效警戒：$N$ 小、波形近正弦時三角近似大幅偏離（lab_32 實測差近 2 倍）； cyclostationary $\alpha$ 不對稱時要看 effective ISF 的 $c_0$。

延伸閱讀

• 設計面應用與 design knobs：symmetry（本頁閉式的「使用手冊」）
• $c_0$ 為何是 flicker 的唯一閘門：flicker_noise_upconversion
• $c_0,c_n$ 與 Parseval：fourier_series_of_isf
• $\Gamma_{rms}$ 進 phase noise 的地方：rms_isf、white_noise_to_phase_noise（$/4$ vs $/2$ 慣例的完整說明）
• 三角近似何時失真：lab_32（方程級 ring 的 ISF 萃取）
• ring vs LC 拓樸取捨：lc_vs_ring、paper_002 深讀