Lab 32 — MOS Level-1 方程級 ring：從電晶體方程萃取 ISF

麵包屑：模擬實驗室 › 系統與進階 › 本頁（MOS Level-1 方程級 ring ISF）。上游：lab_03（toy 三角 ISF）、lab_04（打脈衝萃取法）；相關：waveform_slope、real_oscillator_topologies。

本站到目前為止的 ring ISF 都是手放的形狀：lab_03 的三角波只是「能量集中在 transition」的示意，高度、寬度、正負號都不是算出來的。這一頁跨出 誠實的一步：把每一級反相器用 MOS Level-1（Shichman-Hodges）平方律方程建模—— cutoff／triode／saturation 三區、真實的 $k'$、$V_t$、$W/L$、$C_L$——在 numpy 裡用固定小步長 積分出穩態振盪，然後什麼都不假設，直接用 [P1] 的打脈衝法（impulse method）把節點 1 的 $\Gamma(\theta)$ 一個相位一個相位量出來。

模型層級聲明（全頁適用）：本 lab 是 MOS Level-1 方程級（Shichman-Hodges），非 SPICE/BSIM/PDK。它比 toy model 誠實一層（電流真的來自 device 方程、ISF 真的是量的）， 但仍不是 transistor-level sign-off：沒有 velocity saturation、subthreshold、寄生 RC、 也沒有建雜訊源（見第 11 節）。環境沒有安裝 ngspice，這正是「不用 SPICE 還能多誠實」 的上限示範。

物理直覺（先講結論）：ring 的節點只有在自己（或驅動它的 gate）正在切換時才怕被踢。 貼在 rail 上時，驅動級的低輸出阻抗會把注入的電荷在幾十 ps 內吃掉（$\tau\approx C_L/g$）， 相位不留痕跡；正在轉態時，$\Delta V=\Delta q/C_L$ 直接平移 edge 的時間，而這個平移永久 傳遞下去。所以量出來的 $\Gamma(\theta)$ 是雙葉（dual-lobe）：繞著上升緣一個正葉 （提前）、繞著下降緣一個負葉（延後）——這正是 [P2] Fig. 5／Fig. 6（p.793）的簽名。

三層模型階梯，本頁站在中間那層：

層級	電流從哪來	ISF 從哪來	本站對應
toy model	沒有電流，直接畫波形	手放的形狀（$-\sin$、三角）	lab_02、lab_03
方程級（本頁）	Level-1 平方律 device 方程	打脈衝法量出來	lab_32
SPICE + PDK	BSIM4/PSP + 萃取的寄生	transient/PSS+adjoint 量出來	本站沒有（誠實聲明）

SPICE/PDK 那層會再加上：velocity saturation 與 mobility degradation（短通道 $I_D$ 不再 $\propto V_{ov}^2$）、subthreshold 導通（$V_{GS}$ 低於 $V_t$ 時指數尾巴）、channel-length modulation（$\lambda$）、gate 電容 $C_{gs}/C_{gd}$（Miller 耦合）、layout 寄生 RC、 corner/mismatch，以及雜訊模型（thermal + flicker）。這些都會改變數字，但不改變 本頁要教的機制：ISF 是可以從 device 方程直接量出來的物理量。

1. 教學目標

• 把 MOS Level-1（Shichman-Hodges）三區 IV 方程寫成可積分的 node equation， 積出 3 級 ring 的穩態振盪（$f_0=1.2252$ GHz，量的不是算的）。
• 用 [P1] 打脈衝法萃取節點 1 的 $\Gamma(\theta)$：24 個注入相位、$\Delta q=0.5$ fC、 等 $\ge20$ 週期後用門檻交越時間比對讀出永久相位移。
• 驗證 [P2] 簽名：雙葉形狀、能量集中在自身 transition 附近、貼 rail 時敏感度趨近 0。
• 對照 [P2] Fig. 6（p.793）的三角近似與 Eq.(16)（p.794）的 $\Gamma_{rms}$—— 哪些對、哪些在 $N=3$ 時失真。
• 誠實界定：這一層只萃取 deterministic ISF；要到 phase noise 還需要雜訊源 （[P1] Eq.(21)，見 device_noise_mapping）。

2. 數學模型

2.1 Device：MOS Level-1（Shichman-Hodges）平方律

NMOS（$\lambda=0$，$V_{DS}\ge0$）：

$$I_{D,N}=\begin{cases} 0, & V_{GS}\le V_{tn}\quad(\text{cutoff})\\[4pt] k_n'\dfrac{W}{L}\Big[(V_{GS}-V_{tn})V_{DS}-\dfrac{V_{DS}^2}{2}\Big], & V_{DS}<V_{GS}-V_{tn}\quad(\text{triode})\\[4pt] \dfrac{k_n'}{2}\dfrac{W}{L}(V_{GS}-V_{tn})^2, & V_{DS}\ge V_{GS}-V_{tn}\quad(\text{saturation}) \end{cases}$$

PMOS 完全鏡像（把 $V_{GS},V_{DS},V_{tn}$ 換成 $V_{SG},V_{SD},\lvert V_{tp}\rvert$）。

• 單位檢查：$[k']=\text{A/V}^2$（$=\mu C_{ox}$），$W/L$ 無因次， $\text{A/V}^2\times\text{V}\times\text{V}=\text{A}$ ✓。
• 參數選成對稱反相器：$k_n'(W/L)_n=200\times2=400\ \mu\text{A/V}^2$ 與 $k_p'(W/L)_p=100\times4=400\ \mu\text{A/V}^2$ 相等， $V_{tn}=0.4$ V、$V_{tp}=-0.4$ V——上升／下降對稱，所以預期 $c_0\approx0$ （[P1] 對稱性論證；量出來 $c_0=0.0014$，見第 9 節）。
• 這就是 SPICE 的「Level 1」模型（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）：H. Shichman and D. A. Hodges, "Modeling and simulation of insulated-gate field-effect transistor switching circuits," IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 3, no. 3, pp. 285–289, Sep. 1968。
• 程式裡三區用一條夾住（clamp）的式子實作：$V_{ov}=\max(V_{GS}-V_t,0)$、 $V_{DE}=\min(V_{DS},V_{ov})$、$I_D=\beta\,(V_{ov}-V_{DE}/2)\,V_{DE}$——與上面的分段定義 逐點相等（cutoff 時 $V_{ov}=0$、saturation 時 $V_{DE}=V_{ov}$ 代入即得）。 若注入把節點推到 $V>V_{DD}$，程式把 source/drain 對調處理反向導通，維持物理。

2.2 電路：3 級單端反相器 ring 的 node equation

第 $i$ 級輸入是節點 $i-1$（mod 3），輸出節點 $i$，每個節點掛 $C_L$：

$$C_L\frac{dV_i}{dt}=I_P\big(V_{i-1},V_i\big)-I_N\big(V_{i-1},V_i\big),\qquad i=1,2,3.$$

• 單位檢查：$\text{A}/\text{F}=\text{V/s}$ ✓。
• 積分：固定步長前向 Euler，$dt=25$ fs。最快的節點時間常數 $\tau\approx C_L/g\approx10\ \text{fF}/240\ \mu\text{S}\approx42$ ps， $dt/\tau\approx6\times10^{-4}$，穩定裕度極大；$dt\to dt/2$ 時 $f_0$ 只變 $1.22\times10^{-5}$（相對值，實跑驗證）。
• 奇數級單端反相器環沒有穩定 DC 點，從不對稱初值（0.9, 0.1, 0.5 V）積分 11 ns 即進入穩態 limit cycle；量到的週期 spread 只有 $10^{-8}$ ps 等級（deterministic，無雜訊源）。

2.3 ISF 萃取：打脈衝＋門檻交越比對

對節點 1 在相位 $\theta_j=j\cdot2\pi/24$ 注入 $\Delta q=0.5$ fC，等效電壓步階 （[P1] Eq.(9), p.182）：

$$\Delta V=\frac{\Delta q}{C_L}=\frac{0.5\ \text{fC}}{10\ \text{fF}}=0.05\ \text{V}.$$

等 $\ge20$ 個週期（振幅偏差早已被驅動級的耗散吃掉，只剩相位移），把擾動 run 與同一個積分器、 同一初值的未擾動 run 比對節點 1 上升緣過 $V_{DD}/2$ 的時刻，時間差 $\Delta t$ 摺回 $[-T/2,T/2)$，再換算：

$$\Delta\phi=-\omega_0\,\Delta t,\qquad \Gamma(\theta_j)=\frac{\Delta\phi}{\Delta q/q_{max}},\qquad q_{max}=C_L V_{DD}=10\ \text{fC}.$$

這正是 [P1] Eq.(10)–(11)（p.182）的操作型定義（同 lab_04 在正弦振盪器上做過的事，換成方程級電路）。數值手感（用實測峰值）： $\Gamma=1.1734$、$\Delta q/q_{max}=0.05$ ⇒ $\Delta\phi=0.0587$ rad； $\Delta t=\Delta\phi/\omega_0=0.0587/(2\pi\times1.2252\times10^9)=7.62$ ps—— 對 $T=816$ ps 的週期是 0.9% 的永久平移，門檻交越（線性內插）解析度綽綽有餘。

• 單位檢查：$\text{rad}/(\text{rad/s})=\text{s}$ ✓；$\Gamma$ 無因次 ✓。
• 線性前提（[P1] Fig. 6, p.182）：$\Delta q$ 減半時 $\Gamma$ 只變 0.1% （1.1284 vs 1.1295，實跑驗證），確認在線性小訊號區。
• 注入時刻量化到 $dt=25$ fs，相位誤差 $\le0.011^\circ$，可忽略。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

節錄自 simulations/lab_32_mos_level1_ring.py（已對照原始碼）。Device 三區一條式子、 ring 導數、與萃取主迴圈：

def _sq_v(vgs, vds, beta, vt):
    """Level-1 平方律（vds>=0）：cutoff/triode/saturation 一條 clamp 式。"""
    vov = np.maximum(vgs - vt, 0.0)      # cutoff -> vov = 0
    vde = np.minimum(vds, vov)           # saturation -> vde = vov
    return beta * (vov - 0.5 * vde) * vde

def ring_dvdt_v(v):
    """dV/dt [V/s]；v shape (..., 3)，第 i 級輸入 = 節點 i-1（np.roll）。"""
    vin = np.roll(v, 1, axis=-1)
    i_n = (_sq_v(vin, np.maximum(v, 0.0), BETA_N, VTN)
           - _sq_v(vin - v, np.maximum(-v, 0.0), BETA_N, VTN))      # 反向項
    i_p = (_sq_v(VDD - vin, np.maximum(VDD - v, 0.0), BETA_P, VTP_ABS)
           - _sq_v(v - vin, np.maximum(v - VDD, 0.0), BETA_P, VTP_ABS))
    return (i_p - i_n) / CL

# 26 條 ring 同步跑：run 0 = 未擾動參考，run 1..24 = 24 個相位，run 25 = 線性檢查
for k in range(n):
    r = inj.get(k)
    if r is not None:
        V[r + 1, 0] += DV                # dV = dq/CL（[P1] Eq.(9)）
    V += dt * ring_dvdt_v(V)             # 固定小步長 Euler
    rec[k + 1] = V[:, 0]                 # 記錄節點 1 給門檻交越比對

tc = first_after(rising_crossings(x[:, r], dt), t_late)   # >= 20 週期之後
dts = (tc - tc_ref + 0.5 * T) % T - 0.5 * T               # 摺回 [-T/2, T/2)
gamma = -w0 * dts * QMAX / DQ                             # Δφ·q_max/Δq

參考 run 與擾動 run 共用同一個積分器與初值，Euler 的（一階）週期偏差完全對消—— 與 derivation_floquet_ppv 數值驗證（lab_25） 所用的差分量測技巧同款。

5. 完整 script path

simulations/lab_32_mos_level1_ring.py （依賴 simulations/common/isf_utils.py 的 compute_fourier_coefficients、gamma_rms、 gamma_triangular；simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。）

跑法：PYTHONPATH=. python simulations/lab_32_mos_level1_ring.py（單機約 10 s， 無亂數、結果完全可重現）。

6. 參數表

參數	程式變數	值	意義
電源	VDD	1.0 V	supply
NMOS 門檻	VTN	0.4 V	$V_{tn}$
PMOS 門檻	VTP_ABS	0.4 V	$\lvert V_{tp}\rvert$（$V_{tp}=-0.4$ V）
NMOS 製程常數	KPN	$200\ \mu\text{A/V}^2$	$k_n'=\mu_nC_{ox}$
PMOS 製程常數	KPP	$100\ \mu\text{A/V}^2$	$k_p'=\mu_pC_{ox}$
尺寸比	WLN / WLP	2 / 4	$(W/L)_n$、$(W/L)_p$（補償 $k_n'/k_p'=2$）
等效強度	BETA_N = BETA_P	$400\ \mu\text{A/V}^2$	對稱反相器 ⇒ $c_0\approx0$
節點負載	CL	10 fF	每節點集總電容
級數	N_STAGES	3	單端反相器 ring
積分步長	DT	25 fs	$dt/\tau\approx6\times10^{-4}$
注入電荷	DQ	0.5 fC	$\Delta V=0.05$ V
最大電荷	QMAX	10 fC	$q_{max}=C_LV_{DD}$
注入相位數	N_PHASES	24	每 $15^\circ$ 一點
等待時間	—	22 $T$	注入後 $\ge20$ 週期才量測

7. 單位表

量	符號	單位	備註
節點電壓	$V_i$	V	0 到 $V_{DD}$（實測 0.0038–0.9962 V）
汲極電流	$I_{D}$	A	Level-1 三區
製程常數	$k'$	A/V²	$\mu C_{ox}$
週期／頻率	$T$／$f_0$	s／Hz	816.186 ps／1.2252 GHz
級延遲	$\tau_D$	s	$T/(2N)=136.03$ ps（[P2] Eq.(15)）
注入電荷	$\Delta q$	C	0.5 fC
相位移	$\Delta\phi$	rad	$-\omega_0\Delta t$
ISF	$\Gamma(\theta)$	無因次	量出來的，非假設
傅立葉係數	$c_n$	無因次	[P1] Eq.(12)

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

(a) 波形（一週期）：三個節點彼此相隔 $T/6=136$ ps 交替翻轉（3 級 ring 每半週期 3 個 edge）。$f_0=1.2252$ GHz、$T=816.186$ ps 是量出來的；由 [P2] Eq.(15) 反推每級延遲 $\tau_D=136.03$ ps。注意 $N=3$ 時波形遠非方波——每個 transition 的 10%–90% 窗大約佔週期兩成，rail 上的平頂反而不長。

(b) 萃取的 $\Gamma(\theta)$（本頁主角）：24 個紫點是 24 次獨立打脈衝實驗。讀出來的結構：

$\theta$	$0^\circ$	$45^\circ$	$75^\circ$	$90^\circ$	$135^\circ$	$180^\circ$	$225^\circ$	$255^\circ$	$315^\circ$
$\Gamma$	$+1.128$	$+0.786$	$+0.038$	$-0.356$	$-1.155$	$-1.132$	$-0.844$	$-0.059$	$+1.173$

• 雙葉、對號入座：正葉繞著節點 1 自己的上升緣（$\theta=0$，$\Gamma=+1.128$）， 負葉繞著自己的下降緣（$\theta=180^\circ$，$\Gamma=-1.132$）。正電荷在上升緣提前 相位、在下降緣延後相位——符號不是規定的，是量出來的。
• 峰值在 transition 起步處：$\max\lvert\Gamma\rvert=1.1734$ 出現在 $\theta=315^\circ$， 即上升緣前 $45^\circ$；負葉最深點 $-1.1555$ 在 $135^\circ$，即下降緣前 $45^\circ$， 鏡像對稱。物理：驅動 gate（節點 3）開始翻轉、把持住 rail 的電晶體正在放手，這時注入的 電荷既不被吃掉、又直接平移即將發生的 edge——最傷。
• 能量集中在 transition：10%–90% 轉態窗（著色區）佔週期 40.7%，卻含 58.7% 的 $\Gamma^2$ 能量。$N=3$ 時集中度看起來「不夠戲劇化」，原因誠實說：每 $T/6$ 就有一級在 切換、且每個 transition 佔 $\approx0.2T$，環裡幾乎沒有安靜的時刻，最安靜的相位 （$\Gamma$ 過零）在 $75^\circ/255^\circ$（$+0.038/-0.059$）。[P2] 的圖像是：$N$ 越大、 transition 佔比越小，lobe 越窄、quiet zone 越寬——單一 $N$ 的本 lab 只能展示機制， 不能驗證標度（見下）。
• 與 lab_03 toy 三角對照（黑虛線）：toy 猜對了「集中在 transition」的方向，但 (i) 峰高 $1/\sqrt3=0.577$，比實測 $1.17$ 小一半；(ii) toy 在兩個 edge 都放正峰， 實測是一正一負；(iii) $N=3$ 的實測 lobe 是寬平頂，不是尖三角。 這就是「手放形狀」與「量出來」的差距。
• 與 waveform_slope 的 $\Gamma\propto1/\dot V$ 對照： lobe 內 $\Gamma(0)=1.128$ 對應 $\dot V=\omega_0V_{DD}/\Gamma\approx6.8\times10^9$ V/s， 與波形斜率一致；但貼 rail 時斜率趨近 0、$\Gamma$ 卻也趨近 0——因為那條反比關係假設 擾動留在軌道上，而 rail 上的驅動級是低阻抗終端，直接把電荷吃掉。兩頁互補，不矛盾。

(c) $\lvert c_n\rvert$ stems：$c_1=1.3047$ 獨大、$c_3=0.1633$ 次之、偶次諧波幾乎為 0 ——寬平頂的奇對稱雙葉本來就以奇諧波為主。最重要的一根是幾乎看不見的： $c_0=0.0014\approx0$。因為上升／下降由 $\beta_n=\beta_p$ 設計成對稱，flicker 上轉 （$1/f^3$，[P1] Eq.(23)(24)，$\propto c_0^2$）會被壓到極低——如果有建 flicker 源的話 （本 lab 沒有，見第 11 節）。Parseval（[P1] Eq.(20)）：$\sum c_n^2=1.7308$ vs $2\Gamma_{rms}^2=1.7309$，吻合。

量測品質三檢（實跑印出）：$dt$ 減半 $f_0$ 只動 $1.22\times10^{-5}$；$\Delta q$ 減半 $\Gamma$ 只動 0.1%；週期 spread $10^{-8}$ ps。數字可信。

10. 對應 paper 公式／figure

• 操作型 ISF 定義：[P1] Eq.(10)–(11), p.182 與 $\Delta V=\Delta q/C$（Eq.(9), p.182） ——本 lab 的萃取程序就是把這兩式當量測儀器用。
• 線性前提：[P1] Fig. 6, p.182（$\Delta\phi\propto\Delta q$ 小電荷線性；本 lab 用 $\Delta q$ 減半驗證，差 0.1%）。
• ring ISF 形狀：[P2] Fig. 5, p.793（模擬萃取的 ring ISF，能量集中在 transition）、 Fig. 6, p.793（近似波形＋三角近似 ISF）。本 lab 的 $N=3$ 實測：雙葉、峰在 transition 起步處 ✓；但 lobe 是寬平頂而非窄三角——三角近似在大 $N$（transition 佔比小） 時才漸趨準確。
• 頻率：[P2] Eq.(15), p.794：$f_0=1/(2N\tau_D)$，本 lab 反推 $\tau_D=136.03$ ps。
• $\Gamma_{rms}$：[P2] Eq.(16), p.794 的正確讀法是根號只蓋常數： $\Gamma_{rms}=\sqrt{\dfrac{2\pi^2}{3\eta^3}}\;\dfrac{1}{N^{1.5}}$ （$\eta=0.75$ 時 $\approx4/N^{1.5}$，即 [P2] Fig.8 的實線）。$N=3$ 代入： $\eta=1$ 給 $0.4937$，$\eta=0.75$ 錨給 $0.760$。實測 $\Gamma_{rms}=0.9303$ 比 $\eta=1$ 參考高 88%、比 $\eta=0.75$ 錨高 22%——同數量級但沒有一個 $\eta$ 能精準對上（$\eta$ 未擬合本電路，且 $N=3$ 時 triode/saturation 混合、 對稱反相器的實際波形本來就偏離論文推導用的三角/指數近似）。單一 $N$ 無法驗證 $\Gamma_{rms}\propto N^{-3/2}$ 標度，只能拿來做量級核對（ballpark）；要驗證得掃 $N=3,5,7,\dots$ 重跑（本 script 的向量化導數支援任意級數，掃 $N$ 留作延伸練習）。
• 往 phase noise 的下一步（本 lab 沒做）：把量到的 $\Gamma_{rms}$、$c_0$ 代入 [P1] Eq.(21)（$1/f^2$）與 Eq.(23)(24)（$1/f^3$）還需要 device 雜訊 PSD $\overline{i_n^2}/\Delta f$ 與 cyclostationary 加權（effective_isf）。

11. 限制與 approximation — 這層誠實到哪裡為止

比 toy model 多看見的：$f_0$、波形、$\Gamma(\theta)$ 的形狀／符號／大小全部從 device 方程量出來；對稱設計 ⇒ $c_0\approx0$ 可以被「做」出來而不是宣告出來。

仍然看不見（需要 SPICE/BSIM/PDK 或更多建模）：

• Level-1 的物理缺口：無 velocity saturation／mobility degradation（先進製程 $I_D\propto V_{ov}$ 而非 $V_{ov}^2$，會改變 transition 斜率與 lobe 形狀）；無 subthreshold 導通（真實 device 在 $V_{GS}$ 低於 $V_t$ 仍有指數尾電流，lobe 邊緣會更軟）； $\lambda=0$（無 channel-length modulation）。
• 只有集總 $C_L$：沒有 $C_{gs}/C_{gd}$（Miller 耦合會讓 edge 互相牽動）、沒有 layout 寄生 RC。$q_{max}=C_LV_{DD}=10$ fC 用名目值（實測擺幅 99.2% $V_{DD}$，差 0.8%）。
• 完全沒有雜訊模型：本 lab 是 deterministic 的——它萃取 ISF 本身，不產生 phase noise。thermal（$4kT\gamma g_m$）與 flicker 源、以及它們的 cyclostationary 調變都不在此層。
• 單一 $N$、單一 corner：不驗證 $N^{-3/2}$、不看 PVT。
• 數值：固定步長一階 Euler（收斂性已實測 $1.22\times10^{-5}$）；注入相位量化 $\le0.011^\circ$；門檻交越用線性內插。

重點回顧

• MOS Level-1（Shichman-Hodges）方程級 3 級 ring：$f_0=1.2252$ GHz、$T=816.186$ ps、 $\tau_D=136.03$ ps（[P2] Eq.(15)）——非 SPICE/BSIM/PDK。
• 打脈衝法（$\Delta q=0.5$ fC、24 相位、等 $\ge20$ 週期、門檻交越比對）量出雙葉 ISF： 正葉繞上升緣（$+1.128$）、負葉繞下降緣（$-1.132$）、峰值 $1.1734$ 在上升緣前 $45^\circ$。
• [P2] 簽名成立：58.7% 的 $\Gamma^2$ 能量在 40.7% 的 transition 窗內；$N=3$ 的 lobe 是寬平頂，三角近似（[P2] Fig. 6）要大 $N$ 才漸準。
• $\Gamma_{rms}=0.9303$（[P2] Eq.(16), $N^{-3/2}$ 標度：$\eta=1$ 給 0.4937、$\eta=0.75$ 錨給 0.760——同數量級、ballpark，$\eta$ 未擬合、單一 $N$ 不驗證標度）；$c_0=0.0014\approx0$ 來自 $\beta_n=\beta_p$ 的對稱設計 ⇒ $1/f^3$ 上轉弱（[P1] Eq.(23)(24)）。
• 這層萃取的是 ISF 本身；到 phase noise 還缺雜訊源與 cyclostationary 加權。

延伸閱讀

• lab_03 — ring toy model：本頁取代掉的手放三角 ISF 從哪來。
• lab_04 — 打脈衝萃取法：同一套量測儀器在正弦振盪器上的首次登場。
• waveform_slope — 波形斜率與敏感度：lobe 內 $\Gamma\propto1/\dot V$、rail 上失效的原因。
• real_oscillator_topologies — 真實拓樸：cross-coupled LC／Colpitts／CMOS ring stage 的 ISF 從哪裡來。
• device_noise_mapping：補上本頁刻意沒做的那一步——device 雜訊 PSD × ISF → phase noise。