Lab 36 — 鎖定捕獲暫態與 noise-induced cycle slips

先備：injection_locking_noise（[P3] 廣義 Adler 退化成 $\dot\theta=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$、鎖內雜訊整形 lab_26、鎖外 pulling lab_27）、paper_003（lock characteristic 的來源）、diffusion_dictionary（$D$ 的慣例對帳）｜接下來：paper_004（暫態 pull-in 的原始出處 [P4] Sec. V）、quadrature_and_coupled_oscillators。

injection_locking_noise 已經回答了「鎖定之後」 （雜訊整形）與「鎖不住」（pulling 梳）兩個穩態問題。這一頁補上中間缺的兩塊暫態拼圖：

這頁要回答什麼：

1. 打開注入的那一刻，相位要花多久才爬進鎖定點？settle 率是多少？為什麼靠近 lock range 邊緣時「鎖得上、但鎖得極慢」？（Part a：捕獲暫態）
2. 鎖住之後，雜訊偶爾把相位整圈踢過去（cycle slip，相位一次滑掉 $2\pi$）的 機率有多大？它跟失諧、跟雜訊強度是什麼函數關係？canonical 數字下多久滑一次？（Part b）

物理直覺（先講結論）：把 Adler 方程改寫成「過阻尼粒子滾進傾斜搓衣板 （tilted washboard）位能」就一目了然。捕獲＝粒子從坡上滾進最近的凹槽： 凹槽附近的位能曲率是 $\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$，所以 settle 是速率 $\omega_c$ 的指數收斂；失諧 $r=\Delta\omega/\omega_L\to1$ 時凹槽與鞍點合併、曲率歸零， 捕獲時間以 $1/\sqrt{1-r}$ 發散（臨界慢化）。cycle slip＝熱雜訊把粒子踢過凹槽旁 $\Delta U$ 高的坎、往下滑一格（$2\pi$）：速率是 Arrhenius 型 $e^{-\Delta U/D}$， 而「嘗試頻率」又是同一個 $\omega_c/2\pi$——這是那個畢氏根號的第三次登場 （第一次：settle 率；第二次：lab_26 的雜訊整形 corner；鎖外它變身拍頻 $\omega_b$）。

本頁定位：進階 lab 頁，理論在頁上完整推導。相位方程本體與 pull-in 頻率是 [P3]/[P4] 的原生結果（[P3] Eq.(38)–(40), p.2115；[P4] Eq.(31)–(32) 與 Table I, p.2130， 皆已對照原始 PDF 核實）；把雜訊踢過障壁的逃逸率（Kramers／MFPT）是標準隨機過程理論， 不在本站 5 篇 PDF 內（外部文獻：Kramers 1940、Risken 1989、Ambegaokar–Halperin 1969， 見文末），本頁誠實推導障壁本身、引用逃逸率公式、再用 SDE 模擬逐項對數。

1. 教學目標

• 對 $\dot\theta=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$（$\lvert\Delta\omega\rvert\le\omega_L$）用分離變數＋ tan 半角精確解出捕獲軌跡：settle 率不只在線性化下、而是全域等於 [P3] Eq.(40) 的 pull-in 頻率 $\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$。
• 展示臨界慢化：掃 $r=\Delta\omega/\omega_L$ 到 0.99，捕獲時間 $\propto1/\omega_c$ 發散 （RK4 量測 vs 精確閉式解，比值 1.0000）。
• 把 Adler 方程改寫成傾斜搓衣板位能 $U(\theta)=-\Delta\omega\,\theta-\omega_L\cos\theta$， 逐步導出前向障壁 $\Delta U=2\omega_L[\sqrt{1-r^2}-r\arccos r]$ 與兩個極限 （$r=0$：$2\omega_L$；$r\to1$：$\propto(1-r)^{3/2}$）。
• 用 Kramers 逃逸率（外部文獻）預測 slip 率 $\nu\approx(\omega_c/2\pi)e^{-\Delta U/D}$， 以 512-walker Euler–Maruyama 驗證：log-linear 斜率＝障壁（擬合/理論 = 0.993）， 前置係數誠實對帳（0.88）。
• 換回 canonical 數字（$f_L=5$ MHz、true-LC $S_n=0.5$ rad²/s）：$r=0.8$ 時 slip 率 $\sim10^{-1.86\times10^7}$ ——永遠不會發生；要到離鎖定邊緣 $10^{-5}$ 之內才變成每秒一次 ——thermal slips 是「懸崖」不是「斜坡」。

2. 數學模型（理論在此頁推導）

2.0 出發點與符號（一行回顧）

本站已核實的 [P3] 廣義 Adler（Eq.(30), p.2113）對正弦注入＋ideal-LC ISF 退化成經典 Adler （完整推導與符號對映見 injection_locking_noise 第 0 步）：

$$\frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta,\qquad \Delta\omega\equiv\omega_0-\omega_{inj}\ [\text{rad/s}],\quad \omega_L=\frac{I_{inj}}{2q_{max}}\ [\text{rad/s}].$$

（[P3] 自己把它寫成 $d\theta/dt=-\Delta\omega_{[P3]}+\Omega(\theta)$，Eq.(38), p.2115， $\Delta\omega_{[P3]}=\omega_{inj}-\omega_0$——差一個整體正負號，本頁結果只依賴 $\Delta\omega^2$ 與 $r\equiv\Delta\omega/\omega_L$，不受影響。）本頁全程取 $0\le r\le1$（$\Delta\omega\ge0$），並常用無因次時間 $\tau=\omega_L t$——Adler 動力學 只依賴 $r$ 與（Part b 的）$D/\omega_L$，換算回實際單位只要除以 $\omega_L$。

2.1 Part (a)：捕獲暫態——精確解與臨界慢化

第 1 步：鎖定點與線性化（[P3] 的原生結果）。 穩態 $\sin\theta_{ss}=r$，穩定分支 $\theta_{ss}=\arcsin r$（$\cos\theta_{ss}\gt0$）、不穩定解 $\theta_u=\pi-\arcsin r$ （[P3] Eq.(38)–(39), p.2115 的穩定性判準：$\Omega'(\theta_0)\lt0$）。在 $\theta_{ss}$ 附近 一階 Taylor 展開（$\sin\theta\approx r+\cos\theta_{ss}\,\delta\theta$）：

$$\frac{d(\delta\theta)}{dt}=-\omega_c\,\delta\theta,\qquad \omega_c\equiv\omega_L\cos\theta_{ss}=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}.$$

這正是 [P3] Eq.(40), p.2115 定義的 pull-in frequency $\omega_p:=-\Omega'(\theta_0)=1/\tau_p$，[P3] 明寫解為指數收斂 $\hat\theta(t)\propto e^{-t/\tau_p}$。單位檢查：$[\omega_c]=$ rad/s ✓； $\delta\theta$ [rad] ÷ s ＝ rad/s ✓。

第 2 步：不線性化，直接精確解（分離變數＋tan 半角）。 把時間分離出來：

$$t=\int\frac{d\theta}{\Delta\omega-\omega_L\sin\theta}.$$

用 Weierstrass 半角代換 $u=\tan(\theta/2)$（$\sin\theta=\dfrac{2u}{1+u^2}$、 $d\theta=\dfrac{2\,du}{1+u^2}$）——與 injection_locking_noise Part B 推拍頻時完全同一步——分母變成同一個二次式：

$$t=\int\frac{2\,du}{\Delta\omega\,u^2-2\omega_L u+\Delta\omega}.$$

差別只在判別式的正負號：鎖外（$\Delta\omega\gt\omega_L$）判別式為負，配方後是 $\arctan$ → 週期解（拍頻 $\omega_b$）；鎖內（$\Delta\omega\lt\omega_L$）判別式 $4(\omega_L^2-\Delta\omega^2)\gt0$，二次式有兩個實根：

$$u_\pm=\frac{\omega_L\pm\omega_c}{\Delta\omega},\qquad u_+u_-=\frac{\omega_L^2-\omega_c^2}{\Delta\omega^2}=1 .$$

這兩個根不是別人，正是兩個平衡點的半角正切——用半角公式與 $\Delta\omega^2=(\omega_L+\omega_c)(\omega_L-\omega_c)$（末步有理化）：

$$\tan\frac{\theta_{ss}}{2}=\frac{\sin\theta_{ss}}{1+\cos\theta_{ss}} =\frac{\Delta\omega}{\omega_L+\omega_c}=\frac{\omega_L-\omega_c}{\Delta\omega}=u_-\ (\text{穩定}), \qquad u_+=\tan\frac{\theta_u}{2}\ (\text{不穩定});$$

而 $u_+u_-=1$ 即 $\tan\frac{\theta_{ss}}{2}\tan\frac{\theta_u}{2}=1\Leftrightarrow\theta_{ss}+\theta_u=\pi$ ✓（自洽）。 部分分式（$u_+-u_-=2\omega_c/\Delta\omega$）：

$$\frac{2}{\Delta\omega(u-u_+)(u-u_-)} =\frac{1}{\omega_c}\left[\frac{1}{u-u_+}-\frac{1}{u-u_-}\right] \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{\omega_c}\ln\left\lvert\frac{u-u_+}{u-u_-}\right\rvert+C.$$

整理成最乾淨的形式——定義軌跡座標 $R$，它嚴格指數衰減：

$$\boxed{\ R(\theta)\equiv\frac{\tan\frac{\theta}{2}-\tan\frac{\theta_{ss}}{2}}{\tan\frac{\theta}{2}-\tan\frac{\theta_u}{2}}, \qquad R\big(\theta(t)\big)=R(\theta_0)\,e^{-\omega_c t}\ }$$

單位檢查：$u$、$R$ 無因次；指數 $\omega_c t=$ (rad/s)(s) ＝ rad（無因次）✓。 讀出三件事：

1. settle 率全域就是 $\omega_c$——不是只有線性化才對：整條軌跡在 $R$ 座標下以 $e^{-\omega_c t}$ 收斂；靠近鎖定點時 $u-u_-\propto e^{-\omega_c t}$，回到第 1 步 ✓。
2. 精確捕獲時間（從 $\theta_0$ 到 $\theta_{ss}-\varepsilon$）： $T_{acq}=\dfrac{1}{\omega_c}\ln\dfrac{R(\theta_0)}{R(\theta_{ss}-\varepsilon)}$—— $1/\omega_c$ 是主角，起點與門檻只進對數。
3. 與 [P4] Eq.(31), p.2130 等價。[P4] 把同一個解寫成 $\tan(N\tilde\theta/2)=\tan(N\tilde\theta_0/2)\tanh\!\big((\omega_p t+\phi_0)/2\big)$ （其座標把 lock characteristic 移成偶函數，於是不穩定點恰在 $-\tilde\theta_0$）。用恆等式 $x=x_0\tanh z\Leftrightarrow\dfrac{x-x_0}{x+x_0}=-e^{-2z}$ 即化成上框的 $R$ 形式； $\tanh$ 引數裡的 $/2$ 與 $e^{-2z}$ 的 2 相消，衰減率仍是 $\omega_p$（＝我們的 $\omega_c$；[P4] Eq.(32)：$\omega_p=N\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$，取 $N=1$）—— 這個 2 是 tanh 半角記帳，不是物理。誠實註記：$\tanh$ 只掃 $(-1,1)$，所以 [P4] 那個 寫法涵蓋「起點落在兩平衡點之間弧段」的初值；起點在弧段外時同一族解取 $\coth$ 分支， 衰減率相同——$R$ 形式（$R(\theta_0)$ 任意實數）兩支都包含。 [P4] Table I, p.2130 用電路模擬驗證了這個指數 pull-in：$\tau_p/T_{inj}$ 模擬 6／1.87／16.9 對理論 5.95／1.79／17.4。

第 3 步：臨界慢化（lock range 邊緣的代價）。 令 $r=1-\delta$、$\delta\ll1$：

$$\omega_c=\omega_L\sqrt{1-r^2}=\omega_L\sqrt{\delta(2-\delta)}\approx\sqrt{2}\,\omega_L\sqrt{1-r}\ \to\ 0,$$ $$T_{acq}\approx\frac{1}{\omega_c}\Big[\ln\frac{1}{\varepsilon}+O(1)\Big]\ \propto\ \frac{1}{\sqrt{1-r}}\ \to\ \infty .$$

物理：$r\to1$ 時穩定點 $\arcsin r$ 與不穩定點 $\pi-\arcsin r$ 在 $\pi/2$ 合併 （saddle-node 分岔），恢復力斜率歸零——「鎖得上」與「鎖得快」是兩回事。 （saddle-node 臨界慢化是標準非線性動力學結果——外部文獻，非本站 5 篇 PDF， 如 S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2nd ed., Westview, 2015——但上面的 推導自足，不需引用即可驗證。）這與 injection_locking_noise 的兩個穩態結論互相呼應：邊緣處雜訊抑制 corner $\omega_c\to0$（Part A）、鎖外拍頻 $\omega_b\to0$（Part B）——同一個根號、三種慢化。

例（捕獲時間，canonical 尺度）：$f_L=\omega_L/2\pi=5$ MHz、$r=0.5$、 $\theta_0=0$、$\varepsilon=0.01$ rad。模擬（第 8 節）量到 $\omega_L T_{acq}=4.435$， 換回實際單位 $T_{acq}=4.435/(2\pi\times5\times10^6)=141.2$ ns——對 $f_0=5$ GHz 的載波是 706 個週期。dimension check：無因次 ÷ (rad/s) ＝ s ✓。 同法 $r=0.99$：$\omega_L T_{acq}=22.913\Rightarrow729.3$ ns（3647 週期）—— 失諧從一半推到邊緣，捕獲慢了 5.2 倍，而且還會繼續以 $1/\sqrt{1-r}$ 惡化。

2.2 Part (b)：傾斜搓衣板、障壁、與 Kramers 逃逸

第 1 步：把雜訊放回來，改寫成梯度流。 振盪器自身白噪經 ISF 平均後等效白色 FM 驅動 $n(t)$（單邊 PSD $S_n=\Gamma_{rms}^2\,\overline{i_n^2}/\Delta f\,/q_{max}^2$ [rad²/s]， 推導見 injection_locking_noise 第 2 步）：

$$\frac{d\theta}{dt}=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta+n(t) =-\frac{\partial U}{\partial\theta}+n(t),\qquad \boxed{\ U(\theta)=-\Delta\omega\,\theta-\omega_L\cos\theta\ }$$

（驗證：$-\partial_\theta U=\Delta\omega-\omega_L\sin\theta$ ✓。）這是傾斜搓衣板： 平均斜率 $-\Delta\omega$（失諧把整條位能面往下傾）、疊上振幅 $\omega_L$ 的波紋（注入的 恢復力）。單位：$[\Delta\omega\,\theta]=$ (rad/s)(rad)，$[\omega_L\cos\theta]=$ rad/s—— rad 無因次（全站慣例），兩項同為 $\text{rad}^2/\text{s}$ 等效 $1/\text{s}$ ✓； $U'$ 是 rad/s、與 $\dot\theta$ 同單位 ✓。

慣例 flag（$D$ 的 2 與 4，照 diffusion_dictionary 對帳）： Kramers 文獻把雜訊寫成 $\langle n(t)n(t')\rangle=2D\,\delta(t-t')$——這是慣例乙 （$\mathrm{Var}[\Delta\phi]=2D\lvert t\rvert$）。單邊 PSD $S_n$ 的自相關是 $(S_n/2)\delta$（這個 2＝單邊↔雙邊 Wiener–Khinchin），對上 $2D\delta$ 再吃掉第二個 2 （慣例乙定義），所以

$$D=\frac{S_n}{4}=\frac{\kappa^2}{2}=\frac{\Gamma_{rms}^2}{4q_{max}^2}\frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f}\quad[\text{rad}^2/\text{s}].$$

Canonical：true LC（$\Gamma_{rms}=1/\sqrt2$、$S_i=10^{-24}$ A²/Hz、$q_{max}=1$ pC） $S_n=0.5\Rightarrow D=0.125$ rad²/s；代表值 $\Gamma_{rms}=0.5$ 則 $S_n=0.25\Rightarrow D=0.0625$ rad²/s。 （同一組代表值數字在自由跑振盪器上對應 $\mathcal{L}(1\text{MHz})=-148.0$ dBc/Hz—— [P1] Eq.(21) 的 SSB $/4$ 慣例；時域 $/2$ 慣例則為 $-145.0$ dBc/Hz。每個 2/4 的身分 見 diffusion_dictionary。）

第 2 步：障壁 $\Delta U$——老老實實算。 極值：$U'(\theta)=0\Leftrightarrow\sin\theta=r$。 凹槽底 $\theta_{ss}=\arcsin r$（$U''=\omega_L\cos\theta_{ss}=+\omega_c\gt0$）、 坎頂 $\theta_u=\pi-\arcsin r$（$U''=-\omega_c$）——又是同一對平衡點、同一個 $\omega_c$。 往前滑（順著傾斜方向、$\theta$ 增加）要翻過的高度：

$$\begin{aligned} \Delta U_+&=U(\theta_u)-U(\theta_{ss})\\ &=\big[-\Delta\omega(\pi-\arcsin r)+\omega_L\sqrt{1-r^2}\big] -\big[-\Delta\omega\arcsin r-\omega_L\sqrt{1-r^2}\big]\\ &=2\omega_L\sqrt{1-r^2}-\Delta\omega\big(\pi-2\arcsin r\big)\\ &=2\omega_L\Big[\sqrt{1-r^2}-r\Big(\tfrac{\pi}{2}-\arcsin r\Big)\Big] \end{aligned}$$

用 $\tfrac{\pi}{2}-\arcsin r=\arccos r$：

$$\boxed{\ \Delta U_+(r)=2\,\omega_L\Big[\sqrt{1-r^2}-r\arccos r\Big]\ }$$

（這裡的 2 是幾何的——max 減 min 各貢獻一份 $\omega_L\sqrt{1-r^2}$——不是記帳慣例。） 三個檢查：

• 單位：$\omega_L$ [rad/s] × 無因次 ＝ rad²/s（rad≡1 記帳同上）；指數 $\Delta U/D=$ (rad²/s)/(rad²/s) 無因次 ✓。
• $r=0$：$\Delta U_+=2\omega_L$——未傾斜搓衣板 $-\omega_L\cos\theta$ 的谷到峰 ✓； 此時前後對稱，slips 兩方向等率、淨漂移為零。
• $r\to1$（$r=1-\delta$）：$\sqrt{1-r^2}\approx\sqrt{2\delta}(1-\delta/4)$、 $\arccos r\approx\sqrt{2\delta}(1+\delta/12)$，相減後首階 $\Delta U_+\approx\dfrac{4\sqrt2}{3}\,\omega_L(1-r)^{3/2}\to0$——標準 saddle-node 障壁標度。$r=0.8$ 代入漸近式得 $0.169\,\omega_L$，對精確值 $0.1704\,\omega_L$ 只差 1%。

反向障壁：往回滑要翻 $\theta_u-2\pi$ 那座坎，多爬一整格傾斜量： $\Delta U_-=\Delta U_++2\pi\Delta\omega$（每格位能淨落差 $U(\theta-2\pi)-U(\theta)=2\pi\Delta\omega$）。$r=0.8$ 時反向率被多壓 $e^{-2\pi r\,\omega_L/D}$——本頁參數下徹底可忽略，slips 實質單向（往失諧方向）。

第 3 步：逃逸率（Kramers——外部文獻，誠實標註）。 對過阻尼 SDE $\dot x=-U'(x)+n$、$\langle nn'\rangle=2D\delta$、障壁 $\Delta U\gg D$，平均逃逸率為

$$\nu=\frac{\sqrt{U''(\theta_{ss})\,\lvert U''(\theta_u)\rvert}}{2\pi}\,e^{-\Delta U/D} \qquad\text{（Kramers 1940；Risken 1989, Ch. 11——外部文獻，非本站 5 篇 PDF）}$$

本問題 $U''(\theta_{ss})=\lvert U''(\theta_u)\rvert=\omega_c$，所以

$$\boxed{\ \nu_{slip}\approx\frac{\omega_c}{2\pi}\,e^{-\Delta U_+/D}\ } \qquad\Big[\frac{1}{\text{s}}\Big]$$

dimension check：$\omega_c/2\pi$＝rad/s ÷ rad ＝ 1/s（嘗試頻率，Hz）✓、指數無因次 ✓。 $\omega_c$ 的第三次登場：鎖內 settle 率、雜訊整形 corner（lab_26）、現在是逃逸的 attempt rate——全部是 lock characteristic 在鎖定點的斜率。相同的傾斜搓衣板＋熱逃逸 數學也統治 Josephson junction 的 RSJ 模型與過阻尼單擺（Ambegaokar–Halperin 1969， 外部文獻）——Adler 方程只是它的振盪器化身。誠實界線：Kramers 式是 $\Delta U/D\gg1$ 的 漸近結果，中等障壁有 $O(D/\Delta U)$ 修正——所以第 8 節用斜率（障壁）當主要驗證、 前置係數誠實報告偏差。

例（slip 率，canonical 數字）：$f_L=5$ MHz、$r=0.8$。 $\Delta U_+=0.1704\,\omega_L=0.1704\times2\pi\times5\times10^6=5.353\times10^6$ rad²/s； $\omega_c=0.6\,\omega_L$（3–4–5 三角形）、嘗試頻率 $\omega_c/2\pi=3.0$ MHz。 true-LC 熱雜訊 $D=0.125$ rad²/s：$\Delta U/D=4.283\times10^7$， $\log_{10}\nu\approx6.5-4.283\times10^7\times0.4343=-1.86\times10^7$—— slip 率是 $10^{-18{,}600{,}000}$ 每秒。宇宙年齡才 $4\times10^{17}$ s：永遠不會發生。 反過來問「多靠近邊緣才會每秒滑一次」：解 $\nu(r^\*)=1$ 得 $1-r^\*=7.6\times10^{-6}$ （true LC；代表值 $D=0.0625$ 給 $4.7\times10^{-6}$）——要把失諧推到離 lock range 邊緣百萬分之七以內。結論：對乾淨注入＋thermal noise，cycle slip 不是漸進退化、 是懸崖；實務上看到的 slips 幾乎都來自暫態、干擾源、或等效 $D$ 大得多的迴路 （低 SNR CDR、bang-bang PLL），而懸崖邊上 $\omega_c$ 也早已塌掉 （$r^\*$ 處雜訊整形 corner 只剩 19.5 kHz——先髒、再滑）。 一次 slip 的代價：相位一口氣多走 $\pm2\pi$＝整整一個載波週期——forwarded-clock SerDes 直接掉一個 bit、計數型 PLL 直接錯一拍，所以它是「率」要壓到指數小、 不是「幅」可以平均掉的雜訊。

2.3 適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
弱注入 $I_{inj}\ll I_{max}=\omega_0q_{max}$（[P3] Eq.(36)–(37), p.2115）	Adler／lock characteristic 線性於 $i_{inj}$	強注入：要 [P4] 的 APF/AM 修正（paper_004）
$\theta$ 慢變（一週期內近似常數）	time-averaged 方程（[P3] Eq.(30)）成立	捕獲初期若 $\dot\theta\sim\omega_{inj}$ 平均失效（本頁 $\omega_c\ll\omega_{inj}$ 沒問題）
正弦注入＋ideal-LC ISF	$-\omega_L\sin\theta$ 閉式、$u_\pm$ 實根公式	任意波形/拓樸：回到 $\Omega(\theta)$，settle 率一般化為 $-\Omega'(\theta_{ss})$（[P3] Eq.(40)），障壁改為 $\int[\Omega(\theta)-\Delta\omega]d\theta$ 的對應面積，無簡單閉式
純相位模型（忽略振幅動態）	本頁全部	大暫態／強注入 LC：振幅也在動，[P4] Sec. V 的 APF 修正（Table I 第三欄即為 APF 案例）
$\Delta U\gg D$（高障壁）	Kramers 率＋前置係數 $\omega_c/2\pi$	中低障壁：指數斜率仍近似、前置係數偏差變大（第 8 節實測 0.77–0.94）；$\Delta U\lesssim D$ 時完全失效、回到 pulling 連續滑動
白噪 FM 驅動	$D=S_n/4$ 常數	flicker FM：$D$ 不再是常數，逃逸統計非 Poisson（本頁不涵蓋）

3. Block diagram

4. Python 核心 code

節錄自 simulations/lab_36_lock_acquisition.py（已對照原始碼）。精確閉式解、障壁、 與 slip 計數主迴圈：

def barrier(r):                        # ΔU/ω_L = 2(√(1−r²) − r·arccos r)
    return 2.0 * (np.sqrt(1.0 - r**2) - r * np.arccos(r))

def acquisition_exact(r, theta0=0.0, eps=0.01):
    wc = np.sqrt(1.0 - r**2)           # ω_c/ω_L（無因次 pull-in 率）
    um = (1.0 - wc) / r                # tan(θ_ss/2)（穩定根）
    up = (1.0 + wc) / r                # tan(θ_u/2) （不穩定根；um·up = 1）
    R = lambda u: (u - um) / (u - up)  # R(θ(t)) = R(θ₀)·e^(−ω_c t)
    u0, uthr = np.tan(theta0 / 2), np.tan((np.arcsin(r) - eps) / 2)
    return (1.0 / wc) * np.log(R(u0) / R(uthr))   # 精確捕獲時間 [1/ω_L]

# --- slips：Euler–Maruyama（無因次 τ=ω_L t；n 由站上 white_noise 供給） ---
# white_noise 單邊 PSD = 4D ⇒ 增量方差 2·D·dτ（慣例乙 ⟨nn'⟩=2Dδ）[已核對]
nz = white_noise(nb * m, 4.0 * D, 1.0 / dtau, rng).reshape(nb, m)
for i in range(nb):
    theta += (r - np.sin(theta) + nz[i]) * dtau
# 整數計 slips：floor((θ−θ_u)/2π) 在同一格凹槽內恆定、slip 時 ±1
slips = int(np.sum(np.floor((th_end - th_u) / (2*np.pi))
                   - np.floor((th_start - th_u) / (2*np.pi))))

跑出來的核對數字（PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_36_lock_acquisition.py）：

print(ratio_min, ratio_max)     # -> 1.0000 1.0000 RK4 捕獲時間 / 精確閉式解（12 個 r 全對上）
print(T_r050)                   # -> 4.435 ω_L·T_acq @ r=0.5（ε=0.01 rad, θ₀=0）
print(T_r090)                   # -> 9.202 ω_L·T_acq @ r=0.9
print(T_r099)                   # -> 22.913 ω_L·T_acq @ r=0.99（臨界慢化）
print(wc_T_range)               # -> 2.30 .. 4.10 ω_c·T_acq 全程幾乎不動（發散全在 1/ω_c）
print(max_traj_dev)             # -> 2.90e-14 rad，閉式解 vs RK4 整條軌跡最大偏差（r=0.8）
print(T_r05_real)               # -> 141.2 ns（=706 個 5 GHz 載波週期；f_L=5 MHz）
print(dU_over_wL)               # -> 0.1704 障壁 ΔU/ω_L @ r=0.8
print(slips_x6, ratio_x6)       # -> 1350, 0.93 slips 與 (量測/Kramers) @ ΔU/D=6
print(dU_fit_over_theory)       # -> 0.993 擬合障壁 / 理論障壁（log-linear 斜率）
print(prefac_fit_over_kramers)  # -> 0.88 擬合前置係數 / (ω_c/2π)（Kramers 漸近）
print(dt_halving)               # -> 1.053 dτ 減半後 slip 率比值（步長偏差 ~5%）
print(log10_nu_canonical)       # -> -1.860e7 log10(ν·s) @ true-LC D=0.125, r=0.8
print(one_minus_rstar)          # -> 7.573e-06 1−r*：ν=1 slip/s 需要的邊緣距離（true LC）

5. 完整 script path

simulations/lab_36_lock_acquisition.py （依賴 simulations/common/noise_utils.py 的 white_noise、 simulations/common/plot_utils.py 的 savefig；scipy.optimize.brentq 解 $r^\*$。）

跑法：PYTHONPATH=. python3 simulations/lab_36_lock_acquisition.py（單機約 27 s； seed 固定 default_rng(36)，結果可重現）。

6. 參數表

參數	程式變數	值	意義
半 lock range	F_LOCK	5.0 MHz	$f_L=\omega_L/2\pi$（換算實際單位用）
載波	F0	5 GHz	canonical $f_0$（只用於週期數換算）
失諧掃描	r_arr	0.10–0.99（12 點）	Part (a)：$r=\Delta\omega/\omega_L$
settle 門檻	EPS	0.01 rad	$\theta_{ss}-\varepsilon$ 判定捕獲完成
RK4 步長	dtau	0.002	無因次 $\tau=\omega_L t$；門檻線性內插
slip 失諧	R_SLIP	0.8	Part (b) 固定（$\omega_c=0.6\,\omega_L$，3–4–5）
障壁/雜訊比	x_list	4–9（6 點）	$\Delta U/D$；$D=\Delta U/x$ 反解
walkers	M	512	平行 SDE 樣本
EM 步數/步長	NSTEPS/DTAU	$6\times10^5$ / 0.02	每 walker $\tau_{tot}=12000$；總 $\tau=6.1\times10^6$
雜訊	white_noise(…,4D,1/dτ)	—	慣例乙 $\langle nn'\rangle=2D\delta$（增量方差 $2D\,d\tau$）
canonical $D$	D_TRUE_LC/D_REPR	0.125／0.0625 rad²/s	$S_n/4$（true LC／代表值）

7. 單位表

量	符號	單位	備註
相位差	$\theta$	rad	振盪器相位相對注入
失諧／半 lock range	$\Delta\omega$、$\omega_L$	rad/s	$r=\Delta\omega/\omega_L$ 無因次
pull-in 率	$\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$	rad/s	[P3] Eq.(40) 的 $\omega_p$
捕獲時間	$T_{acq}$	s	頁圖用無因次 $\omega_L T_{acq}$
搓衣板位能	$U(\theta)$	rad²/s	rad 無因次，等效 $1/\text{s}$
障壁	$\Delta U_+$	rad²/s	$=2\omega_L[\sqrt{1-r^2}-r\arccos r]$
白噪 FM 驅動	$n(t)$、$S_n$	rad/s、rad²/s	單邊 PSD
擴散常數（慣例乙）	$D=S_n/4$	rad²/s	$\langle nn'\rangle=2D\delta$
slip 率	$\nu$	1/s	無因次版 $\nu/\omega_L$（每單位 $\omega_L t$）

8. 模擬圖

9. 如何解讀圖

(a) 捕獲時間（左）：藍線是精確閉式解 $T_{acq}=\omega_c^{-1}\ln[R(\theta_0)/R(\theta_{ss}-\varepsilon)]$、 紅圈是 RK4 直接積分量到的第一次穿越時間——12 個 $r$ 全部比值 1.0000（整條軌跡 最大偏差 $2.9\times10^{-14}$ rad，機器精度等級：閉式解就是解）。灰虛線是純 $1/\omega_c$ 標度（錨在 $r=0.99$）：$r\gtrsim0.5$ 之後量測點完全騎上去—— 發散的每一分都來自 $\omega_c\to0$，起點與門檻只進對數（$\omega_c T_{acq}$ 全程只在 2.30–4.10 之間動，而 $T_{acq}$ 本身跨了一個數量級）。設計上的讀法：捕獲頻寬與 雜訊抑制頻寬是同一個數——把失諧從邊緣（$r=0.99$）拉回中線（$r=0.5$）， 不只雜訊平台掉下來（lab_26 的 $1/\cos^2\theta_{ss}$ 帳），捕獲也快 5.2 倍。

(b) slip 率（右）：log-linear 軸上量測點躺成直線——Arrhenius 型 $e^{-\Delta U/D}$ 的招牌。加權擬合斜率給 $\Delta U_{fit}=0.993\,\Delta U_{theory}$：障壁高度由模擬 自己量出來，與 $2\omega_L[\sqrt{1-r^2}-r\arccos r]=0.1704\,\omega_L$ 對上。前置係數 誠實對帳：擬合值是 Kramers $\omega_c/2\pi$ 的 0.88 倍，逐點比值 0.77–0.94——來源有三： Kramers 是 $\Delta U/D\gg1$ 漸近（$x=4$ 只有中等障壁）、Euler 步長偏差（$d\tau$ 減半 slip 率動 5.3%，dt_halving = 1.053）、與 $x=9$ 只有 56 個事件的統計（誤差棒 ±13%）。 指數（物理）準到 0.7%，前置係數（漸近＋數值）差一成——這正是 Kramers 理論該有的 樣子。內嵌小圖是單一 walker 在 $\Delta U/D=5$ 的 $\theta/2\pi$：長平台（凹槽內抖動） ＋整數階梯（一次滑一格 $2\pi$）——slip 是離散事件、不是連續漂移；平台長度指數分布， 這也是為什麼計數用 $\mathrm{floor}((\theta-\theta_u)/2\pi)$ 的整數跳變最乾淨（凹槽內 恆定、翻坎 ±1，零分數雜訊）。

10. 對應 paper 公式／figure

• 穩定性與 pull-in（linearized settle）：[P3] Eq.(38), p.2115（$d\theta/dt=-\Delta\omega+\Omega(\theta)$）、 Eq.(39)（$d\hat\theta/dt=\Omega'(\theta_0)\hat\theta$）、Eq.(40) （$1/\tau_p\equiv\omega_p:=-\Omega'(\theta_0)$，指數收斂 $\hat\theta\propto e^{-t/\tau_p}$）； Fig. 8, p.2115（ISF 諧波 → $\omega_p$ 的分解）、Fig. 9, p.2115（回授方塊圖）。 本頁 $\omega_c$＝該 $\omega_p$ 在正弦＋ideal-LC 的特例 $\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$。
• 精確 pull-in 閉式解：[P4] Sec. V-A "Pull-In Process", Eq.(31), p.2130（tanh 形式； 本頁第 2.1 節第 2 步的 $R$ 形式與之等價、並涵蓋 coth 分支）、Eq.(32), p.2130 （$\omega_p=N\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$——與鎖外 Eq.(34) 的 $\omega_b$ 是同一個 根號的畢氏兩側）；Table I, p.2130（電路模擬 $\tau_p/T_{inj}$ 對理論 6/5.95、1.87/1.79、 16.9/17.4——指數 pull-in 的原始驗證）。
• 弱注入線性化界線：[P3] Eq.(36)–(37), p.2115（$I_{inj}\ll I_{max}:=\omega_0q_{max}$）。
• 雜訊那一步的歸屬：[P4] p.2130 明言 free-running 與 injection-locked 的 noise 分析 见其參考文獻 [29, Ch. 7]（Hong 博士論文）——把 $n(t)$ 掛上 Adler、用 Kramers 讀出 slip 率不在本站 5 篇 PDF 內，本頁自行推導障壁、引用標準逃逸率（外部文獻）並以模擬對數。
• 上游機器：$S_n=\Gamma_{rms}^2 S_i/q_{max}^2$ 來自 [P1] Eq.(11)/(21) 的時域推導 （white_noise_to_phase_noise）； $D=S_n/4$ 的慣例對帳見 diffusion_dictionary （[P2] Eq.(11)/(12) 的 $\kappa^2=2D$）。

11. 限制與 approximation

• 相位域 toy model：積分的是 time-averaged Adler 方程（[P3] Eq.(30) 的正弦退化）， 不是電晶體級電路——沒有振幅動態（APF）、沒有諧波、沒有 cyclostationary 加權 （後者已吸進 $S_n$ 的 $\Gamma_{rms}$，見 effective_isf）。
• Kramers 漸近：$\nu=(\omega_c/2\pi)e^{-\Delta U/D}$ 只在 $\Delta U\gg D$ 成立； 本 lab 掃 $\Delta U/D=4$–$9$ 屬中高障壁，指數斜率準（0.993）、前置係數偏 12%。 更精確可用 MFPT 雙重積分閉式（Risken Ch. 11），本頁不展開。
• Euler–Maruyama 一階弱收斂：$d\tau=0.02$ 下 slip 率步長偏差 ~5%（實測 dt_halving = 1.053）；障壁擬合對此不敏感（斜率是比值間的差）。
• 計數假設單向：$r=0.8$ 時反向障壁多 $2\pi r\,\omega_L$，反向率壓低 $e^{-2\pi r\omega_L/D}$（本頁參數 $\lesssim e^{-100}$）；小 $r$ 或大 $D$ 時要分開計前後向。
• 白噪假設：flicker FM 下 $D$ 非常數、slips 非 Poisson；量測上長時間 gate 的 slip 統計會偏離指數分布。
• $T_{acq}$ 依賴起點：$\theta_0=0$ 是代表性選擇；改起點只動對數因子 （$\omega_c T$ 的 2.30–4.10 區間），$1/\omega_c$ 發散不變。起點恰在 $\theta_u$ （測度零）理論上永不捕獲。

重點回顧

• 鎖內 Adler 有精確閉式解：$R(\theta)\equiv\dfrac{\tan\frac{\theta}{2}-\tan\frac{\theta_{ss}}{2}}{\tan\frac{\theta}{2}-\tan\frac{\theta_u}{2}}$ 嚴格照 $e^{-\omega_c t}$ 衰減，settle 率全域＝pull-in 頻率 $\omega_c=\sqrt{\omega_L^2-\Delta\omega^2}$（[P3] Eq.(40)；[P4] Eq.(31)–(32) 的 tanh 形式等價）。
• 臨界慢化：$r\to1$ 時兩平衡點 saddle-node 合併，$T_{acq}\propto(1-r)^{-1/2}$； 模擬：$\omega_L T_{acq}$ 從 4.435（$r=0.5$）長到 22.913（$r=0.99$），全部躺在 $1/\omega_c$ 線上（RK4/閉式比值 1.0000）。canonical 尺度：141.2 ns → 729.3 ns。
• 加白噪 FM 後 Adler＝過阻尼粒子在傾斜搓衣板 $U=-\Delta\omega\theta-\omega_L\cos\theta$； 前向障壁 $\Delta U_+=2\omega_L[\sqrt{1-r^2}-r\arccos r]$（$r{=}0.8$：$0.1704\,\omega_L$； $r\to1$：$\propto(1-r)^{3/2}$）。
• Kramers slip 率 $\nu\approx(\omega_c/2\pi)e^{-\Delta U_+/D}$（外部文獻）、$D=S_n/4$ （慣例乙）：模擬 log-linear 直線斜率＝障壁的 0.993 倍、前置係數 0.88（漸近＋Euler 誠實帳）。
• canonical 數字（$f_L=5$ MHz、true-LC $D=0.125$ rad²/s、$r=0.8$）： $\log_{10}\nu\approx-1.86\times10^7$——thermal slips 永不發生；要每秒一滑得把失諧 推到 $1-r=7.6\times10^{-6}$ 的懸崖邊。一次 slip＝一整個載波週期，是掉 bit 級的事件。
• 同一個根號 $\sqrt{\lvert\omega_L^2-\Delta\omega^2\rvert}$ 的四重身分：鎖內 settle 率 ＝雜訊整形 corner＝Kramers 嘗試頻率；鎖外＝拍頻 $\omega_b$。

延伸閱讀

• injection_locking_noise：本頁的穩態前篇——鎖內雜訊整形（lab_26）、鎖外 pulling 梳（lab_27）、同一個 $\omega_c$。
• paper_003：廣義 Adler、lock characteristic、穩定性（[P3] Eq.(26)–(40)）。
• paper_004：暫態 pull-in 與拍頻的原始出處（[P4] Sec. V, Eq.(31)–(34), Table I）。
• diffusion_dictionary：$\kappa^2$、$D$ 兩慣例、線寬——本頁 $D=S_n/4$ 的對帳依據。
• lorentzian_linewidth：自由跑振盪器的相位擴散——沒有搓衣板時 $D$ 直接變線寬。
• lab_13：二階迴路的捕獲/追蹤——PLL 版的同一組問題。

外部文獻（不在下載的 5 篇 PDF 內）

• [E-Kramers] H. A. Kramers, "Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions," Physica, vol. 7, no. 4, pp. 284–304, 1940. （過阻尼逃逸率 $\propto e^{-\Delta U/D}$ 與曲率前置係數的原始出處。）
• [E-Risken] H. Risken, The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications, 2nd ed., Springer, 1989, Ch. 11.（傾斜週期位能的完整 MFPT 理論。）
• [E-AH] V. Ambegaokar and B. I. Halperin, "Voltage due to thermal noise in the dc Josephson effect," Phys. Rev. Lett., vol. 22, no. 25, pp. 1364–1366, 1969. （同一條傾斜搓衣板＋熱逃逸數學在 Josephson junction 的經典應用。）
• [E-Strogatz] S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 2nd ed., Westview, 2015.（saddle-node 分岔與臨界慢化 $\propto1/\sqrt{\text{距離}}$ 的標準教科書。）
• [E-Adler] R. Adler, "A Study of Locking Phenomena in Oscillators," Proc. IRE, vol. 34, no. 6, pp. 351–357, Jun. 1946.（經典 Adler 方程。）