Lab 16 — Leeson 模型 vs ISF 模型（三段對照）

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設計師最常看到的 phase-noise 模型其實有兩套血統。一套是 Leeson（1966） 的經驗式：它把量測曲線事後配成 $1/f^3$ 、 $1/f^2$ 、平坦 floor 三段，參數（品質因數 $Q$ 、雜訊指數 $F$ 、 flicker corner）多半靠擬合。另一套是本網站主線的 ISF 模型：從 [P1] Hajimiri–Lee 的 LTV 理論從頭推出同樣三段，而且每個參數都有物理來源（ $\Gamma_{rms}$ 、 $q_{max}$ 、 $c_0$ ）。這個 lab 把兩條曲線疊在同一張圖，讓你看清：它們是同一座山的兩張地圖——Leeson 描述「長什麼樣」，ISF 解釋「為什麼長這樣」。

外部文獻聲明：Leeson 模型不在下載的 5 篇 PDF 內，以標準文獻補充（D. B. Leeson, "A simple model of feedback oscillator noise spectrum," Proc. IEEE, 1966）。本網站把它當作對照基準與歷史脈絡，ISF 模型才是主線。Leeson 的逐步推導與逐項對照見附錄 derivation_leeson。

物理直覺（先講結論）：所有自由振盪器的 phase noise 由近到遠都長一樣——靠近載波是 $1/f^3$ （flicker 上轉，最陡 $-30$ dB/dec）、中段是 $1/f^2$ （白噪， $-20$ dB/dec）、最遠是平坦的量測/buffer floor。Leeson 用 $Q$ 和 corner 把三段拼出來；ISF 告訴你 $1/f^2$ 段的高度是 $\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ 、 $1/f^3$ 段是 $c_0^2$ 決定，corner 不等於 device 的 $1/f$ corner。

1. 教學目標

認識 Leeson 經驗模型的三段結構與其擬合參數（ $F,Q,$ flicker corner）。
把 ISF 模型（[P1] Eq.(21) + Eq.(23) + floor）寫成同樣三段，疊圖對照。
看懂兩模型在 $1/f^3$ 、 $1/f^2$ 、floor 三區的對應與差異。
理解 ISF 如何賦予 Leeson 參數物理意義（並誠實標明 Leeson 為外部文獻）。

2. 數學模型

Leeson 模型（外部文獻，非 5 篇 PDF；規範第 10.2 節逐字）：

\mathcal{L}(\Delta\omega)=10\log_{10}\!\left[\frac{2FkT}{P_s}\left(1+\Big(\frac{\omega_0}{2Q\Delta\omega}\Big)^2\right)\left(1+\frac{\omega_{1/f^3}}{\lvert\Delta\omega\rvert}\right)\right]

第一個括號 $\big(1+(\omega_0/2Q\Delta\omega)^2\big)$ ：大 offset 趨近 $1$ （floor）、小 offset 給 $1/\Delta\omega^2$ 的 $1/f^2$ 段；轉折由 $Q$ （tank 品質因數）決定。
第二個括號 $\big(1+\omega_{1/f^3}/\vert\Delta\omega\vert\big)$ ：在 corner 以內再乘一個 $1/\vert\Delta\omega\vert$ ，把 $1/f^2$ 抬成 $1/f^3$ 。
$F$ 是雜訊指數、 $P_s$ 是訊號功率、 $kT$ 是熱雜訊——這些在 Leeson 裡多半是擬合/估計值。

ISF 模型（從 [P1] 推導 + 一個白噪 floor）：把 $1/f^2$ （[P1] Eq.(21)）與 $1/f^3$ （[P1] Eq.(23)）兩段在 linear 尺度相加，再加 floor：

\mathcal{L}(\Delta\omega)=10\log_{10}\!\left[\underbrace{\frac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\,\Delta\omega^2}}_{1/f^2,\ \text{Eq.(21)}}+\underbrace{\frac{c_0^2}{q_{max}^2}\frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{8\,\Delta\omega^2}\frac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}}_{1/f^3,\ \text{Eq.(23)}}+\underbrace{\text{floor}}_{\text{平坦}}\right]

物理對應：ISF 的 $1/f^2$ 段高度 $=\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ （Leeson 的 $2FkT/P_s$ 對應之）， $1/f^3$ 段強度由 $c_0^2$ （ISF 的 DC 係數、波形不對稱度）決定。
corner 不同源：ISF 的 $1/f^3$ corner（[P1] Eq.(24)）是 $\Delta\omega_{1/f^3}=\omega_{1/f}\,c_0^2/(2\Gamma_{rms}^2)$ ，不等於 device 的 $\omega_{1/f}$ ； Leeson 直接把 corner 當擬合參數 $\omega_{1/f^3}$ 塞進去。
Dimension check：兩段括號內都是無因次功率比（dBc/Hz 取 $10\log_{10}$ 前），相加合法 ✓； $1/f^2$ 項 $\propto1/\Delta\omega^2$ 、 $1/f^3$ 項多一個 $1/\Delta\omega$ ✓。

本 lab 的數值（教學用，刻意調到兩線在中段重合）： $f_0=5$ GHz、 $Q=10$ 、 $F=5$ 、 $P_s=1$ mW、flicker corner $f_c=100$ kHz；ISF 側 $q_{max}=1$ pC、 $\Gamma_{rms}=0.5$ 、 $c_0=0.2$ 、 $\overline{i_n^2}/\Delta f=10^{-20}$ A²/Hz、floor $=-160$ dBc/Hz。

3. Block diagram

4. Python 核心 code

simulations/lab_16_leeson_vs_isf.py 的核心：兩個模型各自算出 dBc/Hz，疊在 semilogx 上。

import numpy as np

k = 1.380649e-23
T = 300.0

f = np.logspace(3, 8, 2000)          # 1 kHz .. 100 MHz offset
dw = 2 * np.pi * f
f0 = 5e9
w0 = 2 * np.pi * f0

# --- Leeson (empirical; external literature) ---
F = 5.0; Ps = 1e-3; Q = 10.0; fc = 1e5            # flicker corner 100 kHz
leeson = (2 * F * k * T / Ps) * (1 + (w0 / (2 * Q * dw)) ** 2) * (1 + 2 * np.pi * fc / dw)
L_leeson = 10 * np.log10(leeson)

# --- ISF model ([P1] Eq.(21) 1/f^2 + Eq.(23) 1/f^3 + white floor) ---
qmax = 1e-12
in2_df = 1e-20
Grms = 0.5
c0 = 0.2
w1f = 2 * np.pi * fc
floor = 10 ** (-160 / 10)
isf = (Grms ** 2 / qmax ** 2) * in2_df / (4 * dw ** 2) \
    + (c0 ** 2 / qmax ** 2) * in2_df / (8 * dw ** 2) * (w1f / dw) \
    + floor
L_isf = 10 * np.log10(isf)

讀法：Leeson 把三段相乘（floor → $\times1/f^2$ 因子 → $\times1/f^3$ 因子）；ISF 把三段在 linear 功率域相加。兩種記帳都會在 log 圖上呈現三段折線。
常數說明：ISF 側的 $\Gamma_{rms},c_0,$ floor 是刻意挑來讓兩線在中段重合做教學疊圖， 非從某特定電路萃取。

5. 完整 script path

simulations/lab_16_leeson_vs_isf.py（main() 算兩模型並 semilogx 疊圖、標 $1/f^3$ corner）。重跑：python scripts/run_all_sims.py。

6. 參數表

參數	符號	值	屬於	角色
載波頻率	$f_0$	$5$ GHz	共用	$\omega_0=2\pi f_0$
offset 範圍	$\Delta f$	$1$ kHz– $100$ MHz	共用	橫軸
品質因數	$Q$	$10$	Leeson	決定 $1/f^2$ 轉折
雜訊指數	$F$	$5$	Leeson	floor 高度
訊號功率	$P_s$	$1$ mW	Leeson	$2FkT/P_s$
flicker corner	$f_c$	$100$ kHz	共用	$1/f^3$ corner（圖中虛線）
最大電荷擺幅	$q_{max}$	$1$ pC	ISF	$\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$
ISF rms	$\Gamma_{rms}$	$0.5$	ISF	$1/f^2$ 高度
ISF DC 係數	$c_0$	$0.2$	ISF	$1/f^3$ 強度
電流雜訊 PSD	$\overline{i_n^2}/\Delta f$	$10^{-20}$ A²/Hz	ISF	雜訊量
雜訊地板	floor	$-160$ dBc/Hz	ISF	平坦段

7. 單位表

量	符號	單位
offset 頻率	$\Delta f,\ \Delta\omega$	Hz, rad/s
相位雜訊	$\mathcal{L}$	dBc/Hz
品質因數 / 雜訊指數	$Q,\ F$	無因次
功率	$P_s$	W
電荷	$q_{max}$	C
ISF rms / DC 係數	$\Gamma_{rms},\ c_0$	無因次
電流雜訊 PSD	$\overline{i_n^2}/\Delta f$	A²/Hz
$kT$	—	J

8. 模擬圖

Leeson（藍實線）與 ISF（紅虛線）疊圖，共享 1/f³、1/f²、floor 三段，corner 在 100 kHz

9. 如何解讀圖

三段折線：兩條曲線從左（近載波）到右（遠 offset）都呈現 $1/f^3$ （最陡）→ $1/f^2$ （中段）→ 平坦 floor。灰色點線是 $1/f^3$ corner（ $f_c=100$ kHz）：在它左側兩線更陡（ $-30$ dB/dec），右側轉為 $-20$ dB/dec。
中段重合、兩端分岔：本 lab 刻意把參數調到兩線在 $1/f^2$ 段近乎重合（教學疊圖）。注意右端（大 offset）兩線分開：Leeson 因子 $(1+\ldots)$ 已趨近常數 floor 而轉平/下彎，ISF 模型的 floor 設在 $-160$ dBc/Hz 較低，於是紅線在高 offset 仍沿 $1/f^2$ 多走一段才碰地板。 這差異不是 bug，是兩模型 floor 記帳不同——提醒「曲線形狀對、絕對值要看各自參數」。
關鍵讀法：Leeson 的 $Q$ 決定中段轉折、 $F/P_s$ 決定地板；ISF 的 $\Gamma_{rms}/q_{max}$ 決定中段高度、 $c_0$ 決定 $1/f^3$ 強度。同一條曲線，兩套語言：要降中段就降 $\Gamma_{rms}$ ／提 $q_{max}$ （=提 $Q$ 、提 $P_s$ ）；要降 close-in 就壓 $c_0$ （=讓波形對稱）。

10. 對應 paper 公式/figure

ISF $1/f^2$ 段：[P1] Eq.(21), p.185， $\mathcal{L}\propto\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2/\Delta\omega^2$ 。
ISF $1/f^3$ 段：[P1] Eq.(23), p.185， $\propto c_0^2\cdot\omega_{1/f}/\Delta\omega^3$ 。
$1/f^3$ corner（物理意義，與 device corner 不同）：[P1] Eq.(24), p.185。
三段全貌圖：[P1] Fig. 11 / Fig. 12, p.185（ $1/f^3$ 、 $1/f^2$ 、floor 與 corner 定義）。
Leeson 模型：D. B. Leeson, Proc. IEEE, 1966，不在 5 篇 PDF 內，外部文獻補充；逐步推導與逐項對照見 derivation_leeson。

11. 限制與 approximation

Leeson 為經驗模型（外部文獻）： $F$ 、 $Q$ 、corner 多為事後擬合，不像 ISF 由電路量（ $\Gamma_{rms},q_{max},c_0$ ）導出；本圖的 Leeson 參數是示意值。
參數刻意 co-tuned：ISF 側 $\Gamma_{rms}=0.5,c_0=0.2,$ floor $=-160$ dBc/Hz 是為讓兩線中段重合而選，非某特定振盪器的萃取值；勿把絕對 dBc/Hz 當作真實器件規格。
floor 記帳不同：Leeson 的 floor 內建在 $(1+\ldots)$ 因子裡，ISF 模型用外加常數 floor；故高 offset 兩線分岔（見圖解讀），屬模型結構差異而非物理差異。
單一白噪源、線性疊段：ISF 模型把 $1/f^2$ 與 $1/f^3$ 在 linear 功率域直接相加，忽略多源、 cyclostationary（見 lab_14）與 AM–PM。
factor-of-2： $1/f^2$ 用 Eq.(21) 的 $4\Delta\omega^2$ 、 $1/f^3$ 用 Eq.(23) 的 $8\Delta\omega^2$ ； SSB 記帳的 2 倍小爭議不影響三段斜率與對照結論。
$Q=10$ 偏低：示意用；真實 LC tank 常 $Q\gtrsim$ 數十，Leeson 中段轉折會更靠近載波。

重點回顧

自由振盪器 phase noise 三段： $1/f^3$ （close-in）→ $1/f^2$ （白噪）→ 平坦 floor。
Leeson（經驗、外部文獻）與 ISF（[P1] 推導）描述同樣三段；ISF 給 Leeson 參數物理意義。
$1/f^2$ 高度 $=\Gamma_{rms}^2/q_{max}^2$ （↔ Leeson 的 $2FkT/P_s$ 與 $Q$ ）； $1/f^3$ 強度 $=c_0^2$ 。
ISF 的 $1/f^3$ corner（[P1] Eq.(24)）由 $c_0^2/\Gamma_{rms}^2$ 縮放，不等於 device $1/f$ corner。

1. 教學目標​

2. 數學模型​

3. Block diagram​

4. Python 核心 code​

5. 完整 script path​

6. 參數表​

7. 單位表​

8. 模擬圖​

9. 如何解讀圖​

10. 對應 paper 公式/figure​

11. 限制與 approximation​

重點回顧​

延伸閱讀​