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Lab 34 — 相關供電/基板雜訊的 N·f0 選擇律

先備：lab_03（ring toy 與累積 jitter）、lab_05（cnc_n 的數值萃取）、fourier_series_of_isf（cnc_n 是「接收頻道」）｜接下來：varactor_tuning_supply_pushing（供電雜訊的準靜態 KpushK_{push} 門）、device_noise_mapping（諧波＝頻道的整張地圖）

到目前為止的 phase noise 計算都有一個沒明說的前提：每個雜訊源只打進一個節點、且各節點的源彼此獨立（uncorrelated，不相關）。device 的 thermal / flicker 雜訊確實如此——[P2] p.792 明講：各節點源不相關時，NN 個源的總 phase noise 就是單源結果（[P2] Eq.(6)）的 NN 倍（差動 ring 為 2N2N 倍），功率直接相加，沒有任何頻率選擇。

但供電（supply）與基板（substrate）雜訊不是這樣。[P2] Sec. VI（p.797）指出它們與 device 內部雜訊有兩個關鍵差異：

  1. 其 PSD 通常非白，且常在特定頻率有強尖峰（例如開關穩壓器、數位區塊的開關諧波）；
  2. 同一條供電線/同一塊基板打到 ring 的每一個節點，擾動幾乎完全相同——各節點看到的是強相關（幾乎 identical）的雜訊。

這一頁把第 2 點變成一條可以量出來的選擇律（selection rule）：相關雜訊的有效 ISF 是 NN 個相移 2π/N2\pi/N 的每級 ISF 之和，其傅立葉分量除了 n≡0 (mod N)n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N) 全部相量抵銷——所以相關雜訊只有 DC 附近與 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 附近的頻帶會轉成相位。

物理直覺（先講結論）：把 NN 級 ring 想成 NN 支指向不同方向的天線——每級的 ISF 形狀相同、只差一個 2π/N2\pi/N 的相位（[P2] Fig. 10 把它們畫成 ej2πn/5e^{j2\pi n/5} 的五支相量）。同一個擾動打進全部 NN 支時，第 mm 個諧波頻道收到的是 NN 支相量之和：只有當 mm 是 NN 的整數倍，五支相量才同相疊加（增益 NN）；否則它們在複數平面繞一整圈，向量和恰為零。這不是近似，是有限幾何級數的恆等式——本 lab 會把它算到機器精度給你看。

模型層級聲明：本 lab 的每級 ISF 是 pedagogical toy model（雙葉三角、刻意上升/下降不對稱），非 transistor-level（要看「量出來」的 ring ISF 去 lab_32）。選擇律本身不依賴 ISF 形狀——推導對任何 2π2\pi 週期的 Γ\Gamma 都成立，這正是它強大的原因。相位模型是線性 LTV（[P1] Eq.(11)），沒有振幅動態；真實振盪器的振幅響應會留下殘餘 sideband（[P2] Fig. 11 實測有看到，見第 11 節）。

1. 教學目標​

  • 逐字轉錄並解釋 [P2] Eq.(37)–(38)（p.797）：相同雜訊源打進全部 NN 節點時，總相位是 NN 個相移 ISF 的疊加。
  • 用有限幾何級數一步不跳地證明：疊加後的 ISF 只剩 n≡0 (mod N)n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N) 的傅立葉分量，且倖存分量放大 NN 倍。
  • N=5N=5 toy ring 數值驗證（頻域）：summed ISF 的 ∣cn∣\lvert c_n\rvert 梳只剩 n=0,5,10,15n=0,5,10,15，禁止分量掉到數值底噪（選擇比 165.8 dB）。
  • 時域驗證（仿 [P2] Fig. 11 的 10 µA 實驗）：共同正弦擾動掃 nf0+Δfn f_0+\Delta f，相位響應只在 n=0,5,10n=0,5,10 出峰（選擇比 66 dB、同調增益 4.998≈N4.998\approx N、與 [P1] Eq.(15)/(16) 理論吻合到 10−510^{-5} 相對誤差）。
  • 把結果翻成設計語言：N⋅f0N\cdot f_0 選擇律——供電尖峰要避開 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0；上升/下降對稱關 DC 門；級間失配會讓抵銷不完全。

2. 數學模型​

2.1 從單源到 N 個相同源 —— [P2] Eq.(37)（p.797，逐字轉錄）​

單一節點的 LTV 相位響應是 [P1] Eq.(11)（p.182）：ϕ(t)=1qmax∫−∞tΓ(ω0τ) i(τ) dτ\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}\Gamma(\omega_0\tau)\,i(\tau)\,d\tau（[P2] 稱之為其 Eq.(5)）。若所有反相器相同，第 nn 個節點的 ISF 與第 0 個形狀相同、只差相位 2πn/N2\pi n/N（一個週期內 NN 級輪流切換，相鄰級的事件錯開 T/NT/N……嚴格說單端反相器 ring 相鄰級差 π/N\pi/N 加反相；[P2] 把「全部 NN 個節點」的 ISF 集合寫成間隔 2π/N2\pi/N 的相移族，Fig. 10 的五支相量）。同一個 i(τ)i(\tau) 打進全部 NN 個節點，由疊加原理：

ϕ(t)=1qmax∑n=0N−1∫−∞ti(τ) Γ ⁣(ω0τ+2πnN)dτ=1qmax∫−∞ti(τ)[∑n=0N−1Γ ⁣(ω0τ+2πnN)]dτ\phi(t)=\frac{1}{q_{max}}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)\,\Gamma\!\left(\omega_0\tau+\frac{2\pi n}{N}\right)d\tau =\frac{1}{q_{max}}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)\left[\sum_{n=0}^{N-1}\Gamma\!\left(\omega_0\tau+\frac{2\pi n}{N}\right)\right]d\tau

（[P2] Eq.(37), p.797。）第二個等號只是把「對 nn 求和」與「對 τ\tau 積分」交換（有限和，永遠合法）。中括號那團就是本頁的主角：

ΓΣ(x)≡∑n=0N−1Γ ⁣(x+2πnN)\Gamma_\Sigma(x)\equiv\sum_{n=0}^{N-1}\Gamma\!\left(x+\frac{2\pi n}{N}\right)

——相關雜訊看到的有效 ISF。單位檢查：Γ\Gamma 無因次，NN 個無因次相加仍無因次 ✓；ϕ=[A⋅s/C]=[C/C]=\phi=[\text{A}\cdot\text{s}/\text{C}]=[\text{C}/\text{C}]= 無因次（rad）✓。

2.2 有限幾何級數 —— 為什麼只剩 n≡0 (mod N)n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N)​

[P2] 只說「Expanding the term in brackets in a Fourier series, we can show that it is zero except at dc and multiples of Nω0N\omega_0」（p.797）。我們把「can show」補齊，一步不跳。

第 1 步（複數傅立葉展開）：Γ\Gamma 是 2π2\pi 週期、實值，寫成

Γ(x)=∑m=−∞∞γm ejmx,γ−m=γm∗\Gamma(x)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\gamma_m\,e^{jmx},\qquad \gamma_{-m}=\gamma_m^{*}

（γm\gamma_m 無因次；與 [P1] Eq.(12) 實係數形式的對應是 cm=2∣γm∣c_m=2\lvert\gamma_m\rvert、m≥1m\ge1，而 DC 值 =γ0=c0/2=\gamma_0=c_0/2。）

第 2 步（把相移代進去）：相移 x→x+2πn/Nx\to x+2\pi n/N 在第 mm 個分量上只是乘一個相位因子 ejm⋅2πn/Ne^{jm\cdot2\pi n/N}：

ΓΣ(x)=∑m=−∞∞γm ejmx∑n=0N−1ej2πmn/N⏟≡Sm\Gamma_\Sigma(x)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\gamma_m\,e^{jmx}\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1}e^{j2\pi mn/N}}_{\equiv S_m}

第 3 步（算 SmS_m：有限幾何級數）：令 r=ej2πm/Nr=e^{j2\pi m/N}，則 Sm=∑n=0N−1r nS_m=\sum_{n=0}^{N-1}r^{\,n}。分兩種情形：

  • 情形 A：m≡0 (mod N)m\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N)。此時 r=ej2π(m/N)=1r=e^{j2\pi(m/N)}=1（m/Nm/N 是整數），每一項都是 1：
Sm=1+1+⋯+1⏟N 項=NS_m=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{N\ \text{項}}=N
  • 情形 B：m≢0 (mod N)m\not\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N)。此時 r≠1r\neq1，套幾何級數和公式：
Sm=1−rN1−r=1−ej2πm1−r=1−11−r=0S_m=\frac{1-r^{N}}{1-r}=\frac{1-e^{j2\pi m}}{1-r}=\frac{1-1}{1-r}=0

因為 rN=ej2πm=1r^{N}=e^{j2\pi m}=1（mm 是整數），而分母 1−r≠01-r\neq0。恰好為零，不是近似。這就是物理直覺裡「五支相量繞一圈、向量和為零」的代數版；本 lab 實跑印出 ∣Sm∣\lvert S_m\rvert：m=0,5,10m=0,5,10 得 5.000，m=1…4,6…9m=1\dots4,6\dots9 全部在 10−16∼10−1510^{-16}\sim10^{-15}（機器精度）。

第 4 步（結論）：

ΓΣ(x)=N∑m≡0 (mod N)γm ejmx⟺cΣ,m={N cm,m≡0 (mod N)0,其他\Gamma_\Sigma(x)=N\sum_{m\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N)}\gamma_m\,e^{jmx} \qquad\Longleftrightarrow\qquad c_{\Sigma,m}=\begin{cases}N\,c_m, & m\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N)\\[2pt] 0, & \text{其他}\end{cases}

倖存的頻道振幅放大 NN 倍（功率 N2N^2 倍），其他頻道全滅。把這個結果代回 Eq.(37)，就是論文的緊湊形式：

ϕ(t)=Nqmax∑n=0∞c(nN)∫−∞ti(τ)cos⁡(nNω0τ)dτ\phi(t)=\frac{N}{q_{max}}\sum_{n=0}^{\infty}c_{(nN)}\int_{-\infty}^{t}i(\tau)\cos\left(nN\omega_0\tau\right)d\tau

（[P2] Eq.(38), p.797；「where cic_i is the iith Fourier coefficient of the ISF」，c(nN)c_{(nN)} 是單級 ISF 的第 nNnN 個傅立葉係數，NN 倍增益已提到最前面。）論文原式把各諧波的相位 θnN\theta_{nN} 省略（緊湊寫法；數值驗證時我們保留完整相位）。DC 項的 ½ 記帳（flag）：以 [P1] Eq.(12) 的慣例（DC 項寫成 c0/2c_0/2），Eq.(38) 的 n=0n=0 項應讀作 N (c0/2)∫i dτ/qmaxN\,(c_0/2)\int i\,d\tau/q_{max}——即有效 DC 增益是 ΓΣ,dc=Nc0/2\Gamma_{\Sigma,dc}=N c_0/2。這個 2 是傅立葉級數 DC 項的記帳（cos⁡\cos 頻道在 n≥1n\ge1 收上下兩個 sideband、DC 只收一邊），與 SSB 的 2/4 慣例無關。本 lab 的 n=0n=0 時域驗證用 ΓΣ,dc=Nc0/2\Gamma_{\Sigma,dc}=Nc_0/2 算，理論/量測吻合到 1.000012。

[P2] 的一句話結論（p.797，逐字）：「for identical sources, only noise in the vicinity of integer multiples of Nω0N\omega_0 affects the phase.」

2.3 頻域後果 —— 只有 DC 與 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 附近的頻帶會轉成相位​

對 ΓΣ\Gamma_\Sigma 套 [P1] Eq.(15)/(16)（p.183）的單音注入結果：i(τ)=I0cos⁡((mω0+Δω)τ)i(\tau)=I_0\cos((m\omega_0+\Delta\omega)\tau) 時

ϕ(t)≈I0 cΣ,m sin⁡(Δωt)2 qmax Δω\phi(t)\approx\frac{I_0\,c_{\Sigma,m}\,\sin(\Delta\omega t)}{2\,q_{max}\,\Delta\omega}

（振幅裡的 2 來自積化和差 cos⁡Acos⁡B=12[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]\cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)] 的慢項係數，也不是 SSB 記帳的 2。）於是：

  • 相關雜訊：cΣ,m=0c_{\Sigma,m}=0 除非 m≡0 (mod N)m\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N) ⇒ 只有 DC 附近（經 ΓΣ,dc=Nc0/2\Gamma_{\Sigma,dc}=Nc_0/2，上轉成 close-in）與 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 附近（下轉）的雜訊會變相位；每個倖存頻帶內仍是 1/Δω1/\Delta\omega 的積分器行為 ⇒ sideband 隨 offset 以 −20-20 dB/dec 下降（[P2] Fig. 11 實測到這個斜率）。
  • 不相關雜訊（對照組）：各節點源獨立 ⇒ 功率相加，總 phase noise 是單源的 NN 倍（[P2] p.792，Eq.(6) 的 NN 倍），每個諧波頻道都開著，沒有選擇律。
  • 兩者在倖存頻帶的差：相關源振幅增益 NN ⇒ 功率 N2N^2；不相關 NN 個源功率 NN ⇒ 相關比不相關還糟 10log⁡10N10\log_{10}N dB（N=5N=5：7.0 dB）——同調疊加是雙面刃：在禁止頻帶救你（全滅），在倖存頻帶懲罰你（N2N^2）。

2.4 DC 門與上升/下降不對稱 —— 為什麼低頻供電雜訊最危險​

供電雜訊的功率恰恰集中在低頻（穩壓器 ripple、負載瞬變、1/f1/f）——正好對準 ΓΣ\Gamma_{\Sigma} 的 DC 頻道。這個頻道開多大由單級 ISF 的 c0c_0 決定，而 c0c_0 由上升/下降不對稱決定（[P2] App. B，p.803）：Eq.(53) 定義 A=frise′/ffall′A=f_{rise}'/f_{fall}'（上升/下降斜率比），Eq.(56) 給出

Γdc=2πη2N2⋅1−A1+A\Gamma_{dc}=\frac{2\pi}{\eta^2N^2}\cdot\frac{1-A}{1+A}

——完美對稱（A=1A=1）時 DC 門關死；不對稱越大門越開，並經 Eq.(57) 抬高 1/f31/f^3 corner。本 lab 的 toy ISF 刻意取不對稱雙葉（正葉峰 1.0、負葉峰 0.6），讓 c0≠0c_0\neq0、DC 頻道打開，你才能在圖上同時看到「DC 門」與「Nf0N f_0 梳」兩件事。

設計語言（N⋅f0N\cdot f_0 選擇律）：對相關的供電/基板雜訊，ring 是一個梳狀接收機——只聽 DC 與 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0。所以：(i) 已知供電有開關尖峰 fswf_{sw} 及其諧波時，選 NN、f0f_0 讓 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 避開尖峰（或反過來選 fswf_{sw}）；(ii) NN 越大，第一個高頻敏感帶 Nf0N f_0 越高，而封裝/去耦在高頻通常衰減更多；(iii) 上升/下降對稱（A→1A\to1）把 DC 門關小——這與 device flicker 的 c0c_0 對策（symmetry）是同一顆鈕；(iv) 級間失配會讓相量抵銷不完全，禁止頻帶漏進殘餘（見第 11 節）。

3. Block diagram​

4. Python 核心 code​

節錄自 simulations/lab_34_correlated_supply.py（已對照原始碼）。toy 每級 ISF、summed ISF、與時域注入量測：

def gamma_stage(theta):
    """每級 toy ring ISF：+1.0 三角葉在上升緣（θ=0）、−0.6 三角葉在下降緣（θ=π）。
    刻意不對稱（1.0 vs 0.6）→ c0 ≠ 0（[P2] App.B：A≠1 ⇒ Γdc≠0）。"""
    th = wrap_phase(theta)
    d_rise = np.minimum(th, 2 * np.pi - th)
    d_fall = np.abs(th - np.pi)
    return H_RISE * _tri(d_rise, W_LOBE) - H_FALL * _tri(d_fall, W_LOBE)

def gamma_summed(theta):
    """N 個相移 2π/N 的每級 ISF 之和（[P2] Eq.(37) 的中括號）。"""
    acc = np.zeros_like(np.asarray(theta, dtype=float))
    for n in range(N_STAGES):
        acc += gamma_stage(theta + 2 * np.pi * n / N_STAGES)
    return acc

def response(n_h, g_t):
    """共同注入 i(t)=I0·cos(2π(n_h·f0+Δf)t)，回傳 φ 在 Δf 的振幅 [rad]。"""
    i_inj = I0 * np.cos(2 * np.pi * (n_h * F0 + DF) * t)
    phi = np.cumsum(i_inj * g_t) * dt / QMAX      # [P1] Eq.(11) 的離散版
    return 2.0 * np.abs(np.mean(phi * proj))      # 投影到 Δf bin（整數個慢週期）

頻域部分用 compute_fourier_coefficients（lab_05 同一把尺）對單級與 summed ISF 各算 c0…c15c_0\dots c_{15}；相量恆等式直接算 ∣Sm∣=∣∑nej2πmn/5∣\lvert S_m\rvert=\lvert\sum_n e^{j2\pi mn/5}\rvert。

5. 完整 script path​

simulations/lab_34_correlated_supply.py （依賴 simulations/common/isf_utils.py 的 compute_fourier_coefficients、wrap_phase；simulations/common/plot_utils.py 的 savefig。）

跑法：PYTHONPATH=. python simulations/lab_34_correlated_supply.py（單機數秒，無亂數、完全可重現）。

6. 參數表​

參數程式變數值意義
級數N_STAGES5ring 級數（[P2] Fig. 11 同為 5 級）
振盪頻率F05 GHz全站 canonical
最大電荷QMAX1 pC全站 canonical qmaxq_{max}
注入振幅I010 µA與 [P2] Fig. 11 實驗相同
offsetDF10 MHz注入頻率 =nf0+Δf=n f_0+\Delta f
正葉峰/負葉峰H_RISE / H_FALL1.0 / 0.6上升/下降不對稱 ⇒ c0≠0c_0\neq0
葉半寬W_LOBE0.5 rad三角葉半寬
諧波數N_HARM15∣cn∣\lvert c_n\rvert 梳顯示範圍
掃描上限N_INJ_MAX12注入掃 n=0…12n=0\dots12
取樣率fs256 f0256\,f_0時域積分取樣
時長—4/Δf=4004/\Delta f=400 ns4 個慢週期（2000 個載波週期）

7. 單位表​

量符號單位備註
每級/總和 ISFΓ\Gamma、ΓΣ\Gamma_\Sigma無因次ΓΣ=∑nΓ(x+2πn/N)\Gamma_\Sigma=\sum_n\Gamma(x+2\pi n/N)
傅立葉係數cnc_n、cΣ,nc_{\Sigma,n}無因次cΣ,n=Ncnc_{\Sigma,n}=N c_n 或 0
相量和SmS_m無因次NN 或 0（機器精度）
注入電流i(t)i(t)AI0=10I_0=10 µA 單音
相位響應ϕ\phirad在 Δf\Delta f 的振幅
理論振幅I0cΣ,n/(2qmaxΔω)I_0 c_{\Sigma,n}/(2q_{max}\Delta\omega)AC⋅rad/s=\frac{\text{A}}{\text{C}\cdot\text{rad/s}}= raddimension check ✓
選擇比—dB20log⁡1020\log_{10}（振幅比）

8. 模擬圖​

N=5 toy ring：(a) 五個相移每級 ISF 與其總和；(b) 單級 vs summed 的 |c_n| 梳——只剩 n=0,5,10,15；(c) 共同注入 n·f0+Δf 的相位響應只在 n=0,5,10 出峰，單節點注入無選擇

9. 如何解讀圖​

(a) 五支天線與它們的和：灰線是 5 個相移 2π/52\pi/5 的每級 toy ISF（各自一正一負兩葉）；紅線是 ΓΣ\Gamma_\Sigma——注意它變成 2π/52\pi/5 週期（每 T/5T/5 就有一級在切換，對共同擾動而言五級不分彼此），這正是「只剩 n≡0 (mod 5)n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ 5) 諧波」的時域面貌。藍虛線是它的平均值 ΓΣ,dc=Nc0/2=0.1592\Gamma_{\Sigma,dc}=Nc_0/2=0.1592——DC 門沒關（toy 刻意不對稱），低頻共同雜訊會從這裡上轉。

(b) ∣cn∣\lvert c_n\rvert 梳（頻域驗證）：灰點是單級 ISF 的 cnc_n——每個頻道都開（c0=0.063662c_0=0.063662、c1=0.249387c_1=0.249387、c5=0.146770c_5=0.146770、c10=0.003648c_{10}=0.003648）。紅菱形是 summed ISF：只剩 n=0,5,10,15n=0,5,10,15，且逐一驗證 cΣ,n/cn=5.000000c_{\Sigma,n}/c_n=5.000000（n=0,5n=0,5）、4.9999994.999999（n=10,15n=10,15）——增益恰為 NN。禁止分量最大只剩 3.766×10−93.766\times10^{-9}（trapezoid 求積的數值底噪），選擇比

20log⁡10cΣ,5max⁡n≢0∣cΣ,n∣=165.8 dB.20\log_{10}\frac{c_{\Sigma,5}}{\max_{n\not\equiv0}\lvert c_{\Sigma,n}\rvert}=165.8\ \text{dB}.

(c) 時域注入掃描（仿 [P2] Fig. 11）：共同單音 I0=10I_0=10 µA 打進全部 5 個節點，頻率掃 nf0+Δfn f_0+\Delta f（Δf=10\Delta f=10 MHz），量 ϕ\phi 在 Δf\Delta f 的振幅（實跑印出）：

nn014561011
相關（5 節點）[rad]2.533×10−22.533\times10^{-2}1.80×10−51.80\times10^{-5}4.50×10−64.50\times10^{-6}5.840×10−2\mathbf{5.840\times10^{-2}}9.7×10−79.7\times10^{-7}1.452×10−3\mathbf{1.452\times10^{-3}}2.93×10−52.93\times10^{-5}
單節點 [rad]5.07×10−35.07\times10^{-3}1.99×10−21.99\times10^{-2}3.59×10−33.59\times10^{-3}1.17×10−21.17\times10^{-2}2.24×10−32.24\times10^{-3}2.93×10−42.93\times10^{-4}4.01×10−44.01\times10^{-4}
理論 I0cΣ,n/(2qmaxΔω)I_0c_{\Sigma,n}/(2q_{max}\Delta\omega)2.533×10−22.533\times10^{-2}≈0\approx0≈0\approx05.840×10−25.840\times10^{-2}≈0\approx01.452×10−31.452\times10^{-3}≈0\approx0
  • 選擇律成立：相關注入只在 n=0,5,10n=0,5,10 出峰；禁止 nn 的殘餘（10−6∼10−510^{-6}\sim10^{-5} rad）是離散取樣/洩漏的數值底噪，選擇比 20log⁡10[amp(5)/max⁡禁止]=66.020\log_{10}[\text{amp}(5)/\max_{\text{禁止}}]=66.0 dB。
  • 對照組沒有選擇：單節點注入（灰）在每個 nn 都有響應，大小跟著單級 cnc_n 走——選擇律是相關性的結果，不是 ISF 形狀的結果。
  • 同調增益：ampcorr(5)/ampsingle(5)=4.9978≈N=5\text{amp}_{corr}(5)/\text{amp}_{single}(5)=4.9978\approx N=5 ✓（功率 N2N^2；對照 NN 個不相關源只有功率 NN——見 2.3 的 7.0 dB 註記）。
  • 理論吻合：n=5n=5 量測/理論 =1.000034=1.000034、n=0n=0（用 ΓΣ,dc=Nc0/2\Gamma_{\Sigma,dc}=Nc_0/2）=1.000012=1.000012——[P1] Eq.(15)/(16) 加上選擇律就是全部的物理。
  • [P2] Fig. 11 的實測版本（10 µA、5 節點、真實振盪器）看到同樣的結構：只有低頻與第 5 諧波附近被積分、−20-20 dB/dec 斜率；但非 NN 倍諧波處不是零而是明顯較小——論文把殘餘歸因於振幅響應（amplitude response），我們的純相位 toy 沒有這條路，殘餘只剩數值底噪（見第 11 節）。

Worked example（帶單位 + dimension check）​

例（供電尖峰撞上 Nf0N f_0）：N=5N=5、f0=5f_0=5 GHz 的 ring，供電上有一根開關諧波尖峰恰好落在 5f0+10 MHz=25.015f_0+10\ \text{MHz}=25.01 GHz，等效共同注入電流振幅 I0=10I_0=10 µA，qmax=1q_{max}=1 pC。問載波旁 ±10\pm10 MHz 的 spur 多大？

步驟 1（頻道增益）：5f05f_0 是 Nf0N f_0 的整數倍 ⇒ 頻道開，增益 cΣ,5=Nc5=5×0.146770=0.733852c_{\Sigma,5}=N c_5=5\times0.146770=0.733852（本 lab 實測）。

步驟 2（相位振幅，[P1] Eq.(15)/(16) 套 ΓΣ\Gamma_\Sigma）：Δω=2π×107=6.283×107\Delta\omega=2\pi\times10^7=6.283\times10^{7} rad/s，

ϕp=I0 cΣ,52 qmax Δω=10−5×0.7338522×10−12×6.283×107=5.840×10−2 rad.\phi_p=\frac{I_0\,c_{\Sigma,5}}{2\,q_{max}\,\Delta\omega}=\frac{10^{-5}\times0.733852}{2\times10^{-12}\times6.283\times10^{7}}=5.840\times10^{-2}\ \text{rad}.

（分母的 2 = 積化和差的慢項係數，非 SSB 記帳。）dimension check：AC⋅rad/s=A⋅sC=CC=\dfrac{\text{A}}{\text{C}\cdot\text{rad/s}}=\dfrac{\text{A}\cdot\text{s}}{\text{C}}=\dfrac{\text{C}}{\text{C}}= 無因次（rad）✓。

步驟 3（PM sideband → spur 位準）：小角 PM 的單邊 sideband 振幅是載波的 ϕp/2\phi_p/2（這個 2 是窄帶 PM 的 sideband 拆分，與 L≈12Sϕ\mathcal{L}\approx\tfrac12S_\phi 同源、但這裡是 deterministic spur 不是雜訊密度）：

20log⁡10ϕp2=20log⁡10(2.920×10−2)=−30.7 dBc.20\log_{10}\frac{\phi_p}{2}=20\log_{10}(2.920\times10^{-2})=-30.7\ \text{dBc}.

一根 −30.7-30.7 dBc 的 spur 對任何頻率合成器都是災難級——這就是為什麼 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 要避開已知供電尖峰。若同一根尖峰落在 4f0+104f_0+10 MHz（禁止頻道），理想相同級的響應是零（本 lab 量到的殘餘比 n=5n=5 低 66 dB，且那還只是數值底噪；真實電路的殘餘由失配與振幅響應決定）。

I0, c5, qmax, dw = 10e-6, 0.146770, 1e-12, 2*3.141592653589793*10e6
phi_p = I0*5*c5/(2*qmax*dw); print(phi_p, 20*__import__('math').log10(phi_p/2))
# -> 0.0583979274939937 -30.69265122236508（與 lab 實跑 5.8400e-02、-30.7 dBc 一致）

順帶一提：若把這 10 µA 當成不相關的 device 雜訊處理（每級獨立、功率相加），你會把 n=1…4n=1\dots4 的頻道也全部打開、卻把 n=5n=5 的功率低估 N2/N=5N^2/N=5 倍（7.0 dB）——相關性搞錯，兩邊都錯。

10. 對應 paper 公式／figure​

  • [P2] Eq.(37), p.797：相同源打進全部 NN 節點的疊加（本頁 2.1 逐字轉錄；上游是 [P2] Eq.(5) = [P1] Eq.(11) 的 LTV 相位積分）。
  • [P2] Eq.(38), p.797：傅立葉展開後只剩 dc 與 Nω0N\omega_0 整數倍（本頁 2.2 補齊幾何級數證明；DC 項 ½ 記帳見 2.2 的 flag）。
  • [P2] Fig. 10, p.797：五支 ej2πn/5e^{j2\pi n/5} 相量——本頁「天線陣列」直覺的原圖。
  • [P2] Fig. 11, p.797：10 µA 正弦注入全部五節點、掃 nf0+fmn f_0+f_m 的實測 sideband——只有低頻與第 5 諧波附近被積分、−20-20 dB/dec；非整數倍處的殘餘來自振幅響應。本 lab 的 (c) 是它的線性相位模型複刻。
  • [P2] p.792（Sec. II 末）：不相關情形的基準——NN 個獨立源 ⇒ phase noise 是 Eq.(6) 的 NN 倍（差動 2N2N 倍）。注意 [P2] Eq.(6) 的分母 8π2foff2=2Δω28\pi^2f_{off}^2=2\Delta\omega^2 是時域 /2 慣例，比 [P1] Eq.(21) 的 /4Δω2/4\Delta\omega^2（SSB 記帳）大 2 倍——同一件著名的 factor-of-2，全站在 white_noise_to_phase_noise 有專節；canonical 數值（Γrms=0.5\Gamma_{rms}=0.5、Si=10−24S_i=10^{-24} A²/Hz、1 MHz）對應 −148-148（/4）vs −145-145（/2）dBc/Hz。
  • [P2] App. B Eq.(53)/(56)/(57), p.803：A=frise′/ffall′A=f_{rise}'/f_{fall}'、Γdc=2πη2N21−A1+A\Gamma_{dc}=\frac{2\pi}{\eta^2N^2}\frac{1-A}{1+A}、1/f31/f^3 corner——本頁 DC 門的來源。
  • [P1] Eq.(15)/(16), p.183：單音注入的相位振幅 I0cn/(2qmaxΔω)I_0c_n/(2q_{max}\Delta\omega)——本 lab 時域理論值的公式（套 cΣ,nc_{\Sigma,n}）。
  • 相關的選擇律近親：[P2] p.796（Sec. V-B）指出差動 ring 的 tail-current 雜訊只有低頻與偶數倍 f0f_0 附近影響 phase noise——同一種「對稱性 ⇒ 頻道選擇」邏輯，只是對稱群不同（tail 節點看到的是半週期對稱）。

11. 限制與 approximation​

  • 純相位線性 LTV：本 lab 只有 [P1] Eq.(11) 的相位積分，沒有振幅動態。[P2] Fig. 11 實測在非 NN 倍諧波處看到振幅響應造成的殘餘 sideband——那條路徑（AM，及經 AM-PM 轉回相位）在本模型裡不存在；我們的禁止頻帶殘餘（−66-66 dB）純屬數值底噪（取樣洩漏），不要拿去預測真實電路的禁止頻帶深度。
  • 完全相同的級（identical stages）：抵銷恰為零依賴每級 ISF 形狀相同、間隔精確 2π/N2\pi/N。實際失配（負載、驅動強度、佈局）讓相量和殘留 ∝\propto 失配量——一階近似下，ε\varepsilon 的相對失配讓禁止頻道漏進 ∼ε\sim\varepsilon 的振幅（20log⁡10ε20\log_{10}\varepsilon dB）。1% 失配 ⇒ 禁止頻帶只壓 40 dB，不是無限深。
  • 「完全相關、等強度、同號」的注入：真實供電/基板耦合到各節點的係數不完全相等（IR drop、佈局距離），介於「完全相關」與「不相關」之間；本頁兩個極端給出上下界。
  • toy ISF：雙葉三角是手放的（lab_03 同款思路、加上不對稱）；真實單端 ring 的 ISF 形狀見 lab_32。但選擇律不依賴形狀——2.2 的證明對任何 2π2\pi 週期 Γ\Gamma 成立，換 ISF 只改各頻道的 cnc_n 值、不改「哪些頻道存在」。
  • 供電雜訊這裡被模型化為節點電流注入：低頻供電雜訊還有一條準靜態 FM 路徑（KpushK_{push}，經工作點改 f0f_0）——那是 varactor_tuning_supply_pushing 的主題；兩條路徑並存，低 offset 時 KpushK_{push} 門通常主導，kNf0k N f_0 梳則是高頻供電尖峰的專屬入口。
  • cyclostationary 加權未含：嚴格說各級注入還要乘 NMF α(ω0t)\alpha(\omega_0t)（effective_isf）；相同級時 α\alpha 也是同族相移函數，選擇律對 Γeff=Γα\Gamma_{eff}=\Gamma\alpha 照樣成立（乘積仍 2π2\pi 週期）。

重點回顧​

  • 供電/基板雜訊與 device 雜訊的本質差異：非白 PSD（有尖峰）＋跨節點強相關（[P2] Sec. VI, p.797）。
  • 相關源的有效 ISF 是 NN 個相移 2π/N2\pi/N 的每級 ISF 之和（[P2] Eq.(37)）；有限幾何級數 Sm=NS_m=N（m≡0 mod Nm\equiv0\ \mathrm{mod}\ N）或 00（其他）⇒ 只剩 n≡0 (mod N)n\equiv0\ (\mathrm{mod}\ N) 的頻道，增益 NN（[P2] Eq.(38)）。
  • 數值驗證（N=5N=5 toy）：∣Sm∣\lvert S_m\rvert 到機器精度；cΣ,n/cn=5.000000c_{\Sigma,n}/c_n=5.000000；頻域選擇比 165.8 dB；時域掃描只在 n=0,5,10n=0,5,10 出峰（66.0 dB、同調增益 4.9978、理論吻合 10−510^{-5}）。
  • N⋅f0N\cdot f_0 選擇律：相關雜訊只從 DC（門大小 =Nc0/2=Nc_0/2，由上升/下降不對稱 AA 決定，[P2] Eq.(56)）與 k⋅N⋅f0k\cdot N\cdot f_0 附近進來。設計上：讓 kNf0kNf_0 避開供電尖峰、對稱化關 DC 門、注意失配讓抵銷不完全。
  • 倖存頻帶上相關比不相關糟 10log⁡10N10\log_{10}N dB（同調 N2N^2 vs 功率 NN）；禁止頻帶上相關好到只剩失配/振幅殘餘。相關性判斷錯，兩邊都算錯。

延伸閱讀​

  • varactor_tuning_supply_pushing：供電雜訊的另一條門——準靜態 KpushK_{push} FM 路徑（低頻主導；本頁的梳是高頻入口）。
  • device_noise_mapping：「諧波＝接收頻道」的整張地圖——本頁等於在地圖上為相關源把 N−1N-1 個頻道全部關掉。
  • fourier_series_of_isf：cnc_n 與 [P1] Eq.(12)/(13) 的頻道結構。
  • lab_05：cnc_n 數值萃取（本 lab 的頻域尺）。
  • lab_32：不想用手放 ISF？從 MOS Level-1 方程把 ring ISF 量出來。
  • paper_002 deep dive：[P2] 全文導讀（Sec. VI 在其中的位置）。