Tuning line 與 supply pushing 的相位雜訊

前置（先讀這些）：white_noise_to_phase_noise（白噪 → $1/f^2$ 的 $1/\Delta\omega^2$ 積分器）、flicker_noise_upconversion（$1/f$ → $1/f^3$，本頁要畫平行）、phase_vs_amplitude_noise（AM-PM 後門）。本頁假設你已經接受「相位無恢復力 → noise 經 $1/\Delta\omega^2$ 積分成裙邊」這條主線。

前面整套 ISF 理論講的都是 device 自己的雜訊電流 $i_n(t)$ 直接注入 tank 節點。但真實 VCO（voltage-controlled oscillator，壓控振盪器，輸出頻率由一條控制電壓決定）還有兩個**完全不靠 device 內部 $i_n$、而是靠「外部電壓節點抖動」**的相位雜訊大門：

1. tuning line（調諧線）：你用一條 $V_{tune}$ 電壓去調 varactor（變容二極體，加偏壓改變電容的二極體），把 $f_0$ 調到想要的頻道。這條線上任何雜訊電壓 $v_n$ 都會**直接被頻率調變（FM）**進載波。
2. supply（電源 $V_{DD}$）：電源電壓變動會經由 device 工作點、寄生電容等路徑改變有效 $f_0$——這叫 supply pushing（電源推移，電源電壓推著振盪頻率跑）。

這頁要回答：這兩條外部電壓門，怎麼把低頻雜訊電壓變成 close-in 相位雜訊？為什麼它跟 device flicker 的 $1/f^3$ 機制長得一模一樣？以及怎麼用設計把這兩扇門關小？

物理直覺（先講結論）：把 VCO 想成「電壓 → 頻率」的轉換器，靈敏度就是 $K_{VCO}=\partial f_0/\partial V_{tune}$（Hz/V）。控制節點上有 $v_n(t)$ 的雜訊電壓，瞬時頻率就抖 $\Delta f(t)=K_{VCO}\,v_n(t)$。頻率是相位的微分，所以相位是頻率的積分——這個積分器就是把 $S_v$（電壓雜訊）變成 $1/\Delta\omega^2$ 裙邊的同一台機器，跟 ISF 白噪結果用的 $1/\Delta\omega^2$ 是字面上同一個積分器。於是：tune line 的白噪 → $1/f^2$；tune line 的 $1/f$ 雜訊 → $1/f^3$。$K_{VCO}$ 越大這扇門開越大；把它做小（粗調用 switched-cap、細調才用 varactor）、把 $V_{tune}/V_{DD}$ 變乾淨（LDO、共模抑制），就是這頁所有 design knob 的核心。

本頁的 varactor $C$–$V$ 模型、LDO/cross-coupled VCO 拓樸細節、量測方法等電路/拓樸/儀器層面的具體屬於標準 RF IC 設計文獻（Razavi、Leeson、廠商 datasheet）；不在本站下載的 5 篇 PDF 之內，本頁明確標示「（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）」。但「電壓雜訊 → FM → $1/\Delta\omega^2$ 相位裙邊」這條主幹完全用 [P1] 既有的相位積分觀念就能嚴格推出來，下面就這麼做。

第 1 步：定義 $K_{VCO}$ 與 supply pushing $K_{push}$

VCO 的工作定義是「輸出頻率隨控制電壓而變」。把振盪頻率 $f_0$ 看成控制電壓 $V_{tune}$ 與電源 $V_{DD}$ 的函數，在工作點做一階泰勒展開：

$$f_0(V_{tune},V_{DD})\approx f_{0,op}+\underbrace{\frac{\partial f_0}{\partial V_{tune}}}_{K_{VCO}}\,(V_{tune}-V_{op})+\underbrace{\frac{\partial f_0}{\partial V_{DD}}}_{K_{push}}\,(V_{DD}-V_{DD,op}).$$

兩個斜率就是本頁的兩個主角：

$$K_{VCO}\equiv\frac{\partial f_0}{\partial V_{tune}}\qquad(\text{單位 Hz/V})$$ $$K_{push}\equiv\frac{\partial f_0}{\partial V_{DD}}\qquad(\text{單位 Hz/V})$$

• $K_{VCO}$（VCO 增益，又叫 tuning sensitivity）：每 1 V 控制電壓能把頻率挪多少。它決定調諧範圍（tuning range，能掃過的頻段），也決定 tune line 雜訊的放大倍率——這就是本頁的核心張力：$K_{VCO}$ 要夠大才能涵蓋頻段、又要夠小才不放大雜訊。
• $K_{push}$（supply pushing，電源推移係數）：每 1 V 電源變動把頻率推多少。理想上 VCO 對電源免疫（$K_{push}=0$），實務上電源經 device 偏壓、寄生電容、有效 swing 改 $f_0$，$K_{push}\ne0$。（廠商常另給 $\text{Hz/V}$ 或 $\text{ppm/V}$ 的 pushing figure——外部文獻，非本站 5 篇 PDF。）
• 單位檢查：$[\partial f_0/\partial V]=\text{Hz}/\text{V}$ ✓。兩者量綱相同，數學上完全平行——下面所有推導對 tune line 與 supply 一字不差，只是把 $K_{VCO},v_{n,tune}$ 換成 $K_{push},v_{n,DD}$。
• 物理意義：這兩個係數把「外部電壓世界」接到「頻率世界」。它們是設計者可控的——不像 device 的 $i_n$（被製程/物理決定），$K_{VCO}$ 和 $K_{push}$ 是拓樸與偏壓選擇的結果。

與 ISF $\Gamma$ 的分工：ISF $\Gamma(\omega_0\tau)$ 處理「電流脈衝 $\Delta q$ 在哪個相位注入 tank 節點 → 多少相位」；$K_{VCO}/K_{push}$ 處理「一個準靜態（quasi-static，相對載波很慢）的控制/電源電壓 → 多少頻率」。tune/supply 雜訊很慢（offset $\ll f_0$），所以不必走 ISF 的逐脈衝相位投影，直接走「電壓 → 頻率 → 積分成相位」這條更直接的 FM 路徑。兩條路最後都匯到同一個 $1/\Delta\omega^2$ 積分器（見第 2 步末），這正是本頁要畫的平行。

第 2 步：電壓雜訊如何 FM 載波 → $S_\phi=K_{VCO}^2 S_v/\Delta\omega^2$

現在讓 tune 節點帶一個低頻雜訊電壓 $v_n(t)$（offset 頻率 $\Delta\omega\ll\omega_0$，所以在一個載波週期內近乎不變，準靜態成立）。逐步推。

第 2.1 步：電壓雜訊 → 瞬時頻率偏差。 由 $K_{VCO}$ 的定義，瞬時振盪頻率隨 $v_n$ 抖動：

$$\Delta f(t)=K_{VCO}\,v_n(t)\qquad\Longleftrightarrow\qquad \Delta\omega_{inst}(t)=2\pi K_{VCO}\,v_n(t).$$

• 單位檢查：$\text{Hz/V}\times\text{V}=\text{Hz}$ ✓（角頻率版乘 $2\pi$ 得 rad/s ✓）。
• 這就是 FM（frequency modulation，頻率調變）：控制電壓直接調載波的瞬時頻率。

第 2.2 步：頻率是相位的微分 → 相位是頻率的積分。 excess phase $\phi(t)$ 的定義就是「瞬時頻率對 nominal 的偏差之時間積分」：

$$\phi(t)=\int^{t}\Delta\omega_{inst}(t')\,dt'=2\pi K_{VCO}\int^{t}v_n(t')\,dt'.$$

• 這個積分器是關鍵：它跟 [P1] Eq.(11)/(13) 把 $i_n$ 積成 $\phi$ 用的是同一台積分器——只是這裡被積的不是「$\Gamma\cdot i_n$」而是「$K_{VCO}\cdot v_n$」。積分 = 頻域乘 $1/(j\Delta\omega)$（訊號與系統基本功），所以功率域乘 $1/\Delta\omega^2$，下一步就靠這個。
• 物理意義：相位沒有恢復力（phase_vs_amplitude_noise 第 1 步），所以「慢慢漂的頻率」會被一路累積成越來越大的相位偏移——offset 越靠近載波（$\Delta\omega$ 越小），積分器增益 $1/\Delta\omega$ 越大，裙邊越高。

第 2.3 步：取 PSD（積分器在功率域是 $1/\Delta\omega^2$）。 一個 LTI 系統 $\phi=\mathcal{H}\,v$ 對輸入 PSD 的作用是 $S_\phi=|\mathcal{H}(j\Delta\omega)|^2 S_v$。這裡 $\mathcal{H}=2\pi K_{VCO}/(j\Delta\omega)$，故 $|\mathcal{H}|^2=(2\pi K_{VCO})^2/\Delta\omega^2$：

$$\boxed{\ S_\phi(\Delta\omega)=\frac{(2\pi K_{VCO})^2\,S_v(\Delta\omega)}{\Delta\omega^2}=\frac{K_{VCO}^2\,S_v(\Delta\omega)}{\Delta f^2}\ }$$

右式用 $\Delta\omega=2\pi\Delta f$ 把 $2\pi$ 約掉（分子 $(2\pi)^2$、分母 $(2\pi)^2$），所以用 Hz 算更乾淨：$S_\phi=K_{VCO}^2 S_v/\Delta f^2$。

• 單位檢查：$\dfrac{(\text{Hz/V})^2\cdot(\text{V}^2/\text{Hz})}{\text{Hz}^2}=\dfrac{\text{Hz}^2/\text{Hz}}{\text{Hz}^2}=\dfrac{1}{\text{Hz}}$，而相位無因次（rad），故 $S_\phi$ 是 $\text{rad}^2/\text{Hz}$ ✓。（嚴格說 $K_{VCO}^2$ 帶的「無因次相位」是隱含的；FM 的相位本來就無因次。）
• 跟 ISF 白噪結果並排看——white_noise_to_phase_noise 的招牌式 $S_\phi=\dfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{\Delta\omega^2}$ 與本式 $S_\phi=\dfrac{(2\pi K_{VCO})^2 S_v}{\Delta\omega^2}$ 分母都是 $\Delta\omega^2$。device noise 版的「轉換增益」是 $\Gamma_{rms}/q_{max}$（A → rad），tune line 版的是 $2\pi K_{VCO}$（V → rad/s 再積分）。同一個 $1/\Delta\omega^2$ 積分器、不同的入口——這就是本頁要你記住的結構同構。

第 2.4 步：套 SSB 相位雜訊（小角近似）。 用全站慣例 $\mathcal{L}(\Delta f)\approx\tfrac12 S_\phi(\Delta f)$（規範第 3 節公式 16）：

$$\mathcal{L}(\Delta f)=10\log_{10}\!\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{K_{VCO}^2\,S_v(\Delta f)}{\Delta f^2}\right]\qquad(\text{dBc/Hz}).$$

supply 版完全平行：把 $K_{VCO}\to K_{push}$、$S_v\to S_{v,DD}$（電源電壓雜訊 PSD）即可。兩條門的貢獻是兩個獨立源，功率相加：$S_\phi^{tot}=\dfrac{K_{VCO}^2 S_{v,tune}+K_{push}^2 S_{v,DD}}{\Delta f^2}+(\text{device ISF 那一份})$。

第 3 步：白噪 tune line → $1/f^2$；$1/f$ tune line → $1/f^3$（與 device $c_0$ 平行）

第 2 步的 $S_\phi\propto S_v/\Delta\omega^2$ 把 tune line 的頻譜形狀原樣繼承，再乘 $1/\Delta\omega^2$。兩種情形：

情形 A — tune line 是白噪（$S_v=$ 常數）： 例如串聯電阻熱雜訊、buffer 寬頻雜訊。則

$$S_\phi=\frac{K_{VCO}^2\,S_{v,0}}{\Delta f^2}\ \propto\ \frac{1}{\Delta f^2}\quad\Rightarrow\quad -20\ \text{dB/decade}\ (1/f^2).$$

這跟 device 白噪經 ISF 得到的 $1/f^2$ 斜率一模一樣、機制一模一樣（都是白入口 → $1/\Delta\omega^2$ 積分器）。

情形 B — tune line 是 $1/f$ 雜訊（$S_v=k_v/\Delta f$）： 例如 charge pump / band-gap / LDO 參考的低頻 flicker，或 varactor 偏壓電路的 $1/f$。則

$$S_\phi=\frac{K_{VCO}^2}{\Delta f^2}\cdot\frac{k_v}{\Delta f}=\frac{K_{VCO}^2\,k_v}{\Delta f^3}\ \propto\ \frac{1}{\Delta f^3}\quad\Rightarrow\quad -30\ \text{dB/decade}\ (1/f^3).$$

這正是 device flicker 機制的「外部電壓版」。把兩條 $1/f^3$ 路並排：

機制	入口（低頻源）	上轉的「閘門」	$1/f^3$ 公式骨架
device flicker（[P1] Eq.(23)）	device $1/f$ 電流 $\overline{i_n^2}\,\omega_{1/f}/\Delta\omega$	ISF 的 DC 項 $c_0$	$\mathcal{L}\propto\dfrac{c_0^2}{q_{max}^2}\dfrac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{\Delta\omega^2}\dfrac{\omega_{1/f}}{\Delta\omega}$
tune/supply $1/f$（本頁）	控制電壓 $1/f$ 雜訊 $S_v=k_v/\Delta f$	VCO 增益 $K_{VCO}$（或 $K_{push}$）	$\mathcal{L}\propto K_{VCO}^2\,\dfrac{k_v}{\Delta f^3}$

• 平行在哪：device 版的「閘門」是 ISF 的 DC 傅立葉係數 $c_0$（flicker_noise_upconversion 第 2 步說「$c_0$ 是 flicker 通往載波的唯一閘門」）；tune line 版的「閘門」就是 $K_{VCO}$。$K_{VCO}$ 在外部電壓世界扮演的角色，就是 $c_0$ 在 device 電流世界扮演的角色——兩者都是「把一個低頻源接上 $1/\Delta\omega^2$ 積分器」的轉換增益，且都以平方進入 $\mathcal{L}$（$c_0^2$ vs $K_{VCO}^2$）。
• 差別（誠實講）：device 版的 $c_0$ 可以靠波形對稱壓到近 0（救得了 flicker）；tune line 版的 $K_{VCO}$ 不能歸零（歸零就調不動頻率了）——只能縮小（split tuning）或把入口 $S_v$ 弄乾淨（LDO）。所以這扇門是「永遠半開」的，設計上反而更需要正面對付。
• 斜率記憶法：分母每多一個 $1/\Delta\omega$ 就多 $-10$ dB/dec。白噪入口 + 積分器 = $1/\Delta\omega^2$（$-20$）；$1/f$ 入口（$+1$ 個 $1/\Delta\omega$）+ 積分器 = $1/\Delta\omega^3$（$-30$）。和 device 端的數法完全一致。

第 4 步：varactor $C(V)$ 非線性 → AM-PM

到此為止 $K_{VCO}$ 都當常數。但 varactor 的本質是非線性電容 $C(V)$——這帶來第二條更隱蔽的門：AM-PM conversion（振幅調變轉相位調變），也就是 phase_vs_amplitude_noise 第 4 步講的後門。

機制鏈（每一環都用既有觀念）：

1. 頻率由 tank 總電容決定：LC 振盪 $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_{tot}}}$，而 $C_{tot}$ 含 varactor 的 $C(V)$。
2. varactor 看到的是「偏壓 + 振盪 swing」：node 電壓是 $V_{tune}+v_{osc}(t)$，振幅 $A$ 的正弦擺幅每週期掃過 $C(V)$ 曲線。
3. 非線性 → 有效電容隨 swing 變：因為 $C(V)$ 彎曲，一個週期內的平均有效電容 $\bar C(A)$ 會隨振幅 $A$ 改變（把 $C(V)$ 在偏壓點泰勒展開，二階項 $\tfrac12 C''(V_{tune})\langle v_{osc}^2\rangle$ 正比於 $A^2$，不為零）。於是 $f_0$ 變成振幅的函數 $f_0(A)$。
4. 這就是 $\partial\omega/\partial A\ne0$：振幅雜訊 $\Delta A$（本來會被 limit cycle 的恢復力吃掉）透過 $\partial f_0/\partial A$ 漏成頻率/相位雜訊，再被第 2 步的積分器永久累積成 close-in 裙邊。

$$\Delta\omega_{AM\text{-}PM}=\frac{\partial\omega_0}{\partial A}\,\Delta A,\qquad \frac{\partial\omega_0}{\partial A}\propto C''(V_{tune})\ \ (\text{varactor 曲率}).$$

• 物理意義：原本「被抑制」的振幅雜訊（phase_vs_amplitude_noise 主張振幅有恢復力）走了 varactor 曲率這條後門，復活成長壽的相位雜訊，尤其把 device 的 $1/f$ 振幅起伏上轉到 close-in，惡化 $1/f^3$。
• 關鍵設計推論：AM-PM 正比於 $C''(V_{tune})$（曲線曲率），不是 $C'$（斜率，那是 $K_{VCO}$）。所以偏壓在 $C(V)$ 的反曲/平坦點可使 $C''\approx0$，AM-PM 大幅下降——這跟「縮小 $K_{VCO}$」是兩個不同的鈕（一個管曲率、一個管斜率）。
• 單位/量綱：$\partial\omega_0/\partial A$ 是 $(\text{rad/s})/\text{V}$；乘振幅雜訊 $\Delta A$（V）得 rad/s，再積分成相位 ✓。
• 詳細的 amplitude-modulation 與大訊號分析是 [P4] 的主軸（進階）；varactor $C(V)$ 的精確閉式屬器件文獻（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。本頁只把鏈條接到既有的 AM-PM 觀念。

第 5 步：Design knobs（把兩扇門關小）

把上面的物理直接翻成可操作的鈕。每個鈕標明它動哪個量。

• Split tuning（分段調諧）——縮小 $K_{VCO}$。 最重要的一招（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。把調諧拆成兩層：
  • coarse（粗調）：switched-capacitor bank（開關電容陣列，用數位碼切入/切出固定電容）。它用數位碼選頻段，提供大部分調諧範圍，但對連續電壓雜訊免疫（碼不抖，電容就不抖）。
  • fine（細調）：varactor，只負責一個小子頻段的連續微調。
  • 效果：總調諧範圍 = 粗調（數位、無雜訊）⊕ 細調（小範圍），而 fine varactor 的 $K_{VCO}$ 因為只跨小頻段而大幅下降。由第 2 步 $S_\phi\propto K_{VCO}^2$，$K_{VCO}$ 減半 → tune line 那一份相位雜訊降 6 dB。這是把「範圍 vs 雜訊」的張力解開的標準手法。
• 偏壓在 $C(V)$ 平坦點——壓 AM-PM（管 $C''$）。 選 varactor 工作點讓 $C''(V_{tune})\approx0$（曲率小），$\partial\omega/\partial A\to0$，AM-PM 後門關小。注意這跟縮 $K_{VCO}$ 是不同鈕：平坦點壓的是二階曲率，不是一階斜率。
• Supply regulation / LDO——壓 $S_{v,DD}$ 入口（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。 對付 supply pushing：在 VCO 前面放一顆 LDO（low-dropout regulator，低壓差穩壓器，把髒電源濾成乾淨的本地電源），把 $S_{v,DD}$（到達 VCO 的電源雜訊 PSD）壓低數十 dB。由 supply 版公式 $S_\phi\propto K_{push}^2 S_{v,DD}$，降 $S_{v,DD}$ 等比降相位雜訊。也可同時降 $K_{push}$（拓樸層面：對稱 bias、減少電源對 swing 的調變）。
• Common-mode rejection（共模抑制）——讓差動 VCO 對共模電源/基板雜訊免疫。 差動 tank 上，電源/基板雜訊多以共模形式出現；好的 differential 對稱使共模擾動不轉成差模頻率偏移（理想上 $K_{push,CM}\to0$）。這跟 flicker_noise_upconversion 第 6 步的 differential 觀念同源，但這裡對付的是外部共模電壓而非 device $c_0$。
• 乾淨的 $V_{tune}$ 路徑——壓 $S_{v,tune}$ 入口。 loop filter 的電阻熱雜訊、charge-pump 的 $1/f$、band-gap 參考雜訊都會灌進 $V_{tune}$；這些是 pll_noise_budget 裡「in-band」那幾項的物理出口。在 PLL 內，loop bandwidth 也決定這些 tune line 雜訊被高通/低通到何種程度。

設計鐵律（一句話）：tune/supply 這兩扇門的相位雜訊 $=$（轉換增益 $K^2$）$\times$（入口電壓雜訊 $S_v$）$\times$（$1/\Delta f^2$ 積分器）。三個因子各有對應的鈕：$K$ 用 split tuning / 對稱拓樸壓、$S_v$ 用 LDO / 乾淨參考 / 低雜訊 loop filter 壓、曲率衍生的 AM-PM 用平坦偏壓點壓。

Worked example（帶單位 + dimension check）

例 G（tune line 白噪 → $\mathcal{L}$）：$K_{VCO}=50$ MHz/V、tune line 電壓雜訊 $100$ nV$/\sqrt{\text{Hz}}$（即 $\sqrt{S_v}=100$ nV$/\sqrt{\text{Hz}}$）於 $\Delta f=1$ MHz offset、$f_0=5$ GHz。求 $\mathcal{L}(1\,\text{MHz})$。

步驟 1（把 $\sqrt{S_v}$ 平方成 PSD）：

$$S_v=(100\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}})^2=(10^{-7}\ \text{V}/\sqrt{\text{Hz}})^2=10^{-14}\ \text{V}^2/\text{Hz}.$$

步驟 2（電壓雜訊 → 頻率偏差密度，建立手感）：頻率偏差的 rms 密度 $=K_{VCO}\sqrt{S_v}=5\times10^7\ \text{Hz/V}\times10^{-7}\ \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}=5\ \text{Hz}/\sqrt{\text{Hz}}$。也就是這條 tune line 在 1 MHz offset「每 $\sqrt{\text{Hz}}$ 抖 5 Hz 的頻率」。

步驟 3（套第 2 步的 $S_\phi$，用 Hz 形式）：

$$S_\phi=\frac{K_{VCO}^2\,S_v}{\Delta f^2}=\frac{(5\times10^{7})^2\times10^{-14}}{(10^{6})^2}=\frac{(2.5\times10^{15})\times10^{-14}}{10^{12}}=\frac{25}{10^{12}}=2.5\times10^{-11}\ \text{rad}^2/\text{Hz}.$$

步驟 4（SSB）：$\mathcal{L}=\tfrac12 S_\phi=1.25\times10^{-11}$，取 $10\log_{10}$：

$$\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=10\log_{10}(1.25\times10^{-11})=-109.0\ \text{dBc/Hz}.$$

• 結果：$\mathcal{L}(1\,\text{MHz})\approx-109$ dBc/Hz——單這一條 tune line 白噪源就貢獻 $-109$ dBc/Hz。對照「單一 device 白噪源」的 canonical 例 B（$-148$ dBc/Hz，white_noise_to_phase_noise），tune line 在同一 offset 高了近 40 dB——這說明一條沒處理好的 tune line 可以輕易主導整顆 VCO 的 $1/f^2$ 區，正是為什麼 split tuning / 乾淨 $V_{tune}$ 這麼關鍵。
• dimension check：$\dfrac{(\text{Hz/V})^2\cdot(\text{V}^2/\text{Hz})}{\text{Hz}^2}=\dfrac{\text{Hz}^2\cdot\text{V}^{-2}\cdot\text{V}^2\cdot\text{Hz}^{-1}}{\text{Hz}^2}=\text{Hz}^{-1}$ → $S_\phi$ 為 $\text{rad}^2/\text{Hz}$ ✓。
• $f_0=5$ GHz 去哪了？（誠實註記）：本式的 $\mathcal{L}$ 不顯含 $f_0$——$f_0$ 是這條裙邊「坐在哪根載波上」的位置，但 $1/f^2$ 裙邊的高度由 $K_{VCO}^2 S_v/\Delta f^2$ 決定，與 $f_0$ 無關。$f_0$ 真正進場是在換算 timing jitter 時（$\Delta t=\Delta\phi/2\pi f_0$，見 psd_phase_noise_jitter），或在以 $\text{ppm/V}$ 表示 $K_{VCO}/f_0$ 的相對靈敏度時。給定 $f_0=5$ GHz 是為了讓你知道這是顆 5 GHz VCO，但別把它硬塞進 $\mathcal{L}$ 公式。

import math
K_vco = 50e6          # Hz/V
S_v   = (100e-9)**2   # V^2/Hz  (100 nV/sqrt(Hz))
df    = 1e6           # Hz offset
S_phi = K_vco**2 * S_v / df**2          # rad^2/Hz
L     = 10*math.log10(0.5*S_phi)        # SSB, L = (1/2) S_phi
print(S_phi, L)        # -> 2.5e-11 rad^2/Hz, -109.03 dBc/Hz

例 H（supply pushing → $\mathcal{L}$，平行驗證）：$K_{push}=2$ MHz/V、電源雜訊 $1\ \mu\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$（$S_{v,DD}=10^{-12}\ \text{V}^2/\text{Hz}$）於 $\Delta f=1$ MHz。求 supply 那一份 $\mathcal{L}$。

$$S_\phi=\frac{K_{push}^2 S_{v,DD}}{\Delta f^2}=\frac{(2\times10^{6})^2\times10^{-12}}{(10^{6})^2}=\frac{4\times10^{12}\times10^{-12}}{10^{12}}=4\times10^{-12}\ \text{rad}^2/\text{Hz},$$ $$\mathcal{L}=10\log_{10}(\tfrac12\times4\times10^{-12})=10\log_{10}(2\times10^{-12})=-117.0\ \text{dBc/Hz}.$$

• 手感：即使 $K_{push}$ 比 $K_{VCO}$ 小 25 倍，一個「只有」$1\ \mu\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$ 的髒電源仍貢獻 $-117$ dBc/Hz。放一顆把 $S_{v,DD}$ 降 20 dB 的 LDO（電壓雜訊降 10 倍），這一份就降 20 dB 到 $-137$ dBc/Hz——這就是 LDO 對 supply pushing 的直接價值。
• dimension check：同例 G，$\text{Hz}^{-1}$ → $\text{rad}^2/\text{Hz}$ ✓。

# supply pushing 平行版：同一公式，K_vco->K_push, S_v->S_vdd
K_push, S_vdd, df = 2e6, (1e-6)**2, 1e6
S_phi = K_push**2 * S_vdd / df**2
print(10*math.log10(0.5*S_phi))   # -> -117.0 dBc/Hz

K_push 第一性驗證（Level-1 ring 實測，lab_38）

例 H 的 $K_{push}=2$ MHz/V 是給定的代表值（照顧得不錯的 LC VCO 等級）。這一節不給定：拿 lab_32 那顆 MOS Level-1（Shichman-Hodges 平方律）3 級 ring，用 $K_{push}$ 的定義直接量——先靜態掃 $V_{DD}$ 取 $f_0(V_{DD})$ 的斜率，再疊一個小漣波驗證第 2 步的 FM 積分器預測。誠實聲明：這是 device-equation level（Level-1 平方律、$\lambda=0$），非 SPICE/BSIM/PDK；數字是這顆 toy ring 的，但物理與量級教訓是通用的。完整 script：simulations/lab_38_supply_pushing_ring.py（node equation 逐位元沿用 lab_32，只把 $V_{DD}$ 升格成參數；交叉檢查差 $0.0$ V/s）。

靜態量測：$f_0(V_{DD})$ 掃描 → $K_{push}$

$V_{DD}$ 從 0.9 V 掃到 1.1 V（25 mV 一格），每點讓 ring 穩定振盪後用門檻交越量週期：

$V_{DD}$ [V]	0.900	0.950	1.000	1.050	1.100
$f_0$ [GHz]	0.9394	1.0803	1.2252	1.3738	1.5255

$f_0(1.000\,\text{V})=1.2252$ GHz 與 lab_32 完全一致（同一顆 ring、同一積分器）。在 1.0 V 取中央差分：

$$K_{push}=\left.\frac{\partial f_0}{\partial V_{DD}}\right|_{1.0\,\text{V}}=\frac{f_0(1.025)-f_0(0.975)}{0.05\ \text{V}}=2.936\ \text{GHz/V}$$

（9 點二次擬合的導數 2.932 GHz/V，差 0.1%——斜率萃取自洽。）單位檢查：Hz ÷ V = Hz/V ✓。

為什麼這麼大？手算 sanity check（逐步）：ring 的頻率是 $f_0=\dfrac{1}{2N\tau_D}$（[P2] Eq.(15) 的觀念；這個 2 是「每週期兩個 edge」的電路事實，不是記帳慣例），而每級延遲 $\tau_D\approx C_L\,\Delta V/I_D$，其中 swing $\Delta V\propto V_{DD}$、驅動電流走平方律 $I_D\approx\tfrac{k'}{2}\tfrac{W}{L}(V_{DD}-V_T)^2$。所以

$$f_0\ \propto\ \frac{(V_{DD}-V_T)^2}{V_{DD}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{f_0}\frac{\partial f_0}{\partial V_{DD}}=\frac{2}{V_{DD}-V_T}-\frac{1}{V_{DD}}$$

（分子的 2 是平方律指數，物理來源，非慣例。）代 $V_{DD}=1.0$ V、$V_T=0.4$ V：$2/0.6-1/1.0=2.33\ \text{V}^{-1}$，乘 $f_0=1.2252$ GHz 得 2.859 GHz/V——與量測 2.936 GHz/V 差 2.6%，量級與物理都對。單位檢查：$\text{V}^{-1}\times\text{Hz}=\text{Hz/V}$ ✓。

正規化 pushing 是 $K_{push}/f_0=2.40$ /V $=2.4\times10^6$ ppm/V。對照：LC VCO 的 $f_0$ 由 tank 的 $L\,C$ 決定、電源只透過寄生與偏壓微擾它（典型 pushing 落在 ppm/V～千 ppm/V 等級——外部文獻，非本站 5 篇 PDF）；ring 的 $f_0$ 就是 device 電流除以電容，電源直接坐在公式裡。「ring 的 supply pushing 天生比 LC 大好幾個數量級」不是經驗談，是 $f_0=1/(2N\tau_D)$ 的直接後果。

動態驗證：10 mV 漣波 → narrowband FM sidebands

在 $V_{DD}$ 上疊 $V_r=10$ mV、$f_m=100$ MHz 的正弦漣波。由第 2 步的積分器，逐步：

$$\Delta f(t)=K_{push}V_r\sin(2\pi f_m t)\quad\Rightarrow\quad\phi(t)=\int 2\pi\,\Delta f\,dt'=-\underbrace{\frac{K_{push}V_r}{f_m}}_{\beta}\cos(2\pi f_m t)$$

峰值相位偏移（FM 調變指數）$\beta=K_{push}V_r/f_m$。單位檢查：$\dfrac{(\text{Hz/V})\cdot\text{V}}{\text{Hz}}=$ 無因次（rad）✓——這正是「頻率抖動 ÷ 調變頻率 = 相位」的 FM 基本功。代量測值：

$$\beta_{pred}=\frac{2.936\times10^{9}\ \text{Hz/V}\times 0.01\ \text{V}}{10^{8}\ \text{Hz}}=0.2936\ \text{rad}.$$

模擬把漣波真的加進 node equation、從門檻交越時間萃取 $\phi(t)$ 再做正弦擬合：$\beta_{meas}=0.2942$ rad，比值 1.002（調變相位 $-88.2°$，理論 $-90°$：$\phi=\int\sin=-\cos$ ✓）。頻譜上 $f_0\pm f_m$ 出現 sidebands：量測 $-16.31/-16.83$ dBc，對 narrowband FM 預測 $20\log_{10}(\beta/2)=-16.67$ dBc（Bessel 精確值 $20\log_{10}(J_1/J_0)=-16.55$ dBc）。慣例旗標：這裡的 $/2$ 是 FM 數學（$J_1/J_0\approx\beta/2$），跟 $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$ 的 SSB 記帳 2、或 [P1] Eq.(21) 分母的 4，不是同一個 2。上下 sideband 差 0.52 dB 是伴生 AM（swing 本身跟著 $V_{DD}$ 動，$m\approx V_r/V_{DD}=1\%$）——正是第 4 步 AM-PM 議題的電源版縮影；連 $f_0\pm2f_m$ 的二階 sideband（$-38.6/-39.8$ dBc）都對上 $J_2/J_0$ 的 $-39.2$ dBc。

這個確定性單音實驗驗證的就是第 2 步那台積分器：隨機的 $v_n(t)$ 不過是無數個這種單音的疊加（PSD 語言），所以「$\beta$ 對上」等價於「$S_\phi=K_{push}^2S_v/\Delta f^2$ 對上」。

# lab_38 關鍵數字（跑 PYTHONPATH=. python simulations/lab_38_supply_pushing_ring.py 可再現）
K_push = (1.2991e9 - 1.1523e9) / 0.05
print(f"{K_push:.3e}")                   # -> 2.936e9 Hz/V（中央差分 @ 1.0 V）
beta   = K_push * 10e-3 / 100e6
print(round(beta, 4))                    # -> 0.2936 rad（量測 0.2942，比 1.002）

如何解讀：(a) $f_0(V_{DD})$ 幾乎是一條直線（微彎），紅色切線斜率就是 $K_{push}$；(b) 門檻交越萃取的 $\phi(t)$（紫點）與正弦擬合，紅虛線 $\pm\beta_{pred}$ 是純理論、未擬合；(c) 頻譜以載波為 0 dB，$\pm100$ MHz 的 sidebands 落在預測線上，$\pm200$ MHz 的小峰是二階 FM sideband。參數：$C_L=10$ fF/節點、$N=3$、靜態掃描 $dt=25$ fs、動態 $dt=100$ fs、記錄 150 ns；runtime 約 28 s。

例 I（端到端：量測 $K_{push}$ × 本頁公式）：拿例 H 同款電源雜訊 $1\ \mu\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$（$S_{v,DD}=10^{-12}\ \text{V}^2/\text{Hz}$）@ $\Delta f=1$ MHz，換上這顆 ring 量到的 $K_{push}=2.936$ GHz/V：

$$S_\phi=\frac{K_{push}^2\,S_{v,DD}}{\Delta f^2}=\frac{(2.936\times10^{9})^2\times10^{-12}}{(10^{6})^2}=8.62\times10^{-6}\ \text{rad}^2/\text{Hz},$$ $$\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=10\log_{10}\!\big(\tfrac12\times8.62\times10^{-6}\big)=-53.7\ \text{dBc/Hz}.$$

（這裡的 $\tfrac12$ 是 $\mathcal{L}\approx\tfrac12S_\phi$ 的 SSB 小角慣例，規範第 3 節公式 16。）dimension check：$(\text{Hz/V})^2\cdot\text{V}^2/\text{Hz}\div\text{Hz}^2=\text{Hz}^{-1}$ → rad²/Hz ✓。比例 H 的 $-117.0$ dBc/Hz 糟 63.3 dB——正好 $20\log_{10}(2936/2)$，全部來自 $K_{push}$ 的平方。這就是「未穩壓的 ring 接髒電源是災難」的定量版；反過來說，$K^2$ 也是好消息：LDO 每壓 20 dB 電壓雜訊，這一份相位雜訊等比降 20 dB。

與 ISF 的接口：supply 看到的是「逐級敏感度的相干總和」

device 雜訊與 supply 雜訊在 ISF 語言裡有一個關鍵差別：

• device noise（每級自己的 $i_n$）：$N$ 級的雜訊源彼此獨立，各級貢獻以功率相加——這是 [P2] ring 分析的記帳方式（每級一份 $\Gamma_{rms}^2$）。
• supply（$V_{DD}$ rail）：電源是所有 $N$ 級共用的 port。一個低頻（準靜態）電源擾動同時、同方向改變每一級的延遲——輪到哪一級切換，哪一級就被同一個 $v_n$ 加速或拖慢，一個週期內 $2N$ 個 edge 的延遲變化同號累加成 $\Delta T$。所以 supply 有效敏感度是逐級敏感度的相干（振幅）總和，而這個總和的平均（DC）成分就是 $2\pi K_{push}$：對慢擾動而言「每一刻都有某級在被推」，總和敏感度從不換號。
• 推論一：獨立源疊 $N$ 份走 $\sqrt N$（功率相加），相干源走 $N$（振幅相加）——supply 雜訊不是「多一個雜訊源」而已，它繞過了獨立源的統計折扣。
• 推論二：supply 有效敏感度的 DC 項天生很大（角色如同 device flicker 上轉裡的 $c_0$），所以電源的 $1/f$ 雜訊會如第 3 步所述上轉成 $1/f^3$；但 device 版可用波形對稱把 $c_0$ 壓到近 0（lab_32 那顆對稱 ring 量到 $c_0=0.0014$），supply 版沒有這張牌——「每級延遲都跟著 $V_{DD}$ 跑」不是對稱性能取消的。能打的牌只剩壓入口（LDO）與壓 $K_{push}$ 本身（差動/穩壓拓樸、delay 對 $V_{DD}$ 一階不敏感的 stage 設計——外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。

限制（誠實）：Level-1 平方律、$\lambda=0$、單一 lumped $C_L$、$N=3$ 單點（未驗證 $N$ 標度）；真實 PDK ring 因 velocity saturation、短通道效應，$K_{push}$ 數字會不同（但仍遠大於 LC——外部文獻經驗），而本節的方法（定義量測 + FM 驗證）與結構結論（相干總和、$K^2$ 槓桿）不變。

適用與失效條件

條件	成立時	失效時會怎樣
控制/電源雜訊很慢（$\Delta\omega\ll\omega_0$，準靜態）	$K_{VCO}/K_{push}$ 為常數、FM 模型成立	高頻（接近 $f_0$）時要回到 ISF/HTM 的逐諧波處理
$K_{VCO}$ 在工作點近似線性	單一斜率 $\partial f_0/\partial V$ 足夠	varactor 強非線性 → $K_{VCO}$ 隨 $V_{tune}$ 變、且生 AM-PM（第 4 步）
小擾動、相位線性	$S_\phi=K^2 S_v/\Delta f^2$ 成立	大電壓擺動 → 高階 FM sidebands、頻譜失真
AM-PM 可忽略（$C''\approx0$）	「只算 FM」近似良好	強曲率 → 振幅雜訊復活成相位雜訊，需 [P4] APF 框架
各源獨立	功率直接相加 $S_\phi^{tot}=\sum$	相關源（共用參考）需考慮相關項，共模抑制可幫忙

與哪些 paper／公式對應

• 相位積分器 $1/\Delta\omega^2$ 與 device 白噪 $1/f^2$、flicker $1/f^3$ 的結構：[P1] Eq.(11)/(13), p.182–183（相位是 noise 的積分）、Eq.(21) p.185（$1/f^2$）、Eq.(23) p.185（$1/f^3$，$c_0$ 閘門）。本頁把「$c_0$ 閘門」類比成「$K_{VCO}$ 閘門」。
• AM-PM / amplitude modulation 的完整框架：[P4]（APF、amplitude decay，進階；見 phase_vs_amplitude_noise）。
• $K_{VCO}/K_{push}$ 定義、split tuning、switched-cap bank、LDO、varactor $C(V)$、共模抑制、pushing figure 等電路/拓樸/儀器具體：標準 RF IC 設計文獻（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）——Razavi RF Microelectronics、Leeson 模型、廠商 datasheet。
• $\mathcal{L}\approx\tfrac12 S_\phi$：規範第 3 節公式 16（小角 PM）。
• $K_{push}$ 第一性量測（lab_38）：ring 頻率觀念 $f_0=1/(2N\tau_D)$ 來自 [P2] Eq.(15), p.794；device 方程與 ring 本體沿用 lab_32（Level-1 方程級，非 SPICE/BSIM/PDK）；narrowband FM 的 $J_1/J_0\approx\beta/2$ 屬標準通訊教科書內容（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）。

重點回顧

• $K_{VCO}=\partial f_0/\partial V_{tune}$、$K_{push}=\partial f_0/\partial V_{DD}$（皆 Hz/V）：把外部電壓世界接到頻率世界的轉換增益。
• tune/supply 節點的雜訊電壓 $v_n$ FM 載波：$\Delta f=K\,v_n$ → 相位是頻率的積分 → $S_\phi=K^2 S_v/\Delta f^2$（與 ISF 白噪用的是同一個 $1/\Delta\omega^2$ 積分器）。
• 白噪 tune line → $1/f^2$；$1/f$ tune line → $1/f^3$。$K_{VCO}$ 在外部電壓世界的角色 $=$ ISF 的 $c_0$ 在 device 電流世界的角色（都以平方進 $\mathcal{L}$），但 $K_{VCO}$ 不能歸零、只能縮小。
• varactor $C(V)$ 非線性 → AM-PM：$\partial\omega/\partial A\propto C''(V_{tune})$，把被抑制的振幅雜訊復活成相位雜訊；偏壓平坦點（小 $C''$） 壓它（與縮 $K_{VCO}$ 是不同鈕）。
• design knobs：split tuning（coarse switched-cap + fine varactor，縮 $K_{VCO}$）、平坦偏壓點（壓 AM-PM）、LDO / 乾淨參考（壓 $S_v$ 入口）、共模抑制（對付 supply/基板共模）。
• 數值：$K_{VCO}=50$ MHz/V、$100$ nV$/\sqrt{\text{Hz}}$ @ 1 MHz → $\mathcal{L}(1\,\text{MHz})=-109$ dBc/Hz（單一條 tune line 就能主導 $1/f^2$ 區）；$\mathcal{L}$ 不顯含 $f_0$。
• lab_38 第一性實測：Level-1 3 級 ring 量到 $K_{push}=2.936$ GHz/V（$2.4\times10^6$ ppm/V，手算平方律模型差 2.6%）；10 mV @ 100 MHz 漣波的 FM 驗證 $\beta_{meas}/\beta_{pred}=1.002$；同款 $1\ \mu\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}$ 電源下 $\mathcal{L}=-53.7$ dBc/Hz，比例 H 糟 63.3 dB——ring 的 supply 是「逐級敏感度的相干總和」，沒有對稱性歸零這張牌，必須靠 LDO/穩壓拓樸。

延伸閱讀

• $1/\Delta\omega^2$ 積分器與白噪 $1/f^2$ 的母源：white_noise_to_phase_noise
• 與本頁畫平行的 $c_0$ → $1/f^3$ 機制：flicker_noise_upconversion
• AM-PM 後門與 amplitude noise 為何被抑制：phase_vs_amplitude_noise
• tune line 雜訊在環路中如何被高通/低通、最佳 loop BW：pll_noise_budget
• swing/$q_{max}$ 槓桿（另一條獨立鈕）：tank_swing
• 哪些 knob 改 $\Gamma_{rms}$、哪些改 $q_{max}$：device_noise_mapping
• lab_38 所用的 Level-1 ring 本體與 ISF 萃取：lab_32_mos_level1_ring
• 供電/基板雜訊的高頻入口——相關雜訊只從 DC 與 $k\cdot N\cdot f_0$ 附近進來（[P2] Eq.(37)–(38) 的選擇律；本頁的 $K_{push}$ 正是那把梳的 DC 齒）：lab_34_correlated_supply