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DJ 與 dual-Dirac 模型：TJ@BER 的業界標準工具

先備：serdes_clocking_connection（RJ/DJ/TJ 初登場、eye 與 BER）、lab_12（RJ-only bathtub）、lab_08（σt\sigma_t 從 phase noise 積分而來）｜ 接下來：exercises、lab_13

serdes_clocking_connection 已經給出速記式 「TJ == DJ + 2Q⋅+\,2Q\cdotRJ」。這一頁把這個式子從頭嚴格建立起來：什麼是 RJ、什麼是 DJ、 QQ 從哪個積分來、bathtub 曲線怎麼從 jitter 的 CDF（累積分布函數）推出來、 以及業界（Fibre Channel MJSQ 以降的 SerDes 規格）實際在用的 dual-Dirac（雙 Dirac）模型 ——包含它最常被誤解、也最重要的誠實聲明：模型參數 DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 天生 小於等於實際的 peak-to-peak DJ，而且這個「低報」是故意的，正是它讓 TJ 外插準確。

物理直覺（先講結論）：jitter 有兩種本質不同的成分。RJ（random jitter，隨機抖動） 是振盪器 phase noise 的時域化身——高斯、無上界，你等得越久（BER 目標越嚴）它就「長」得越大， 所以必須用 σ\sigma 乘上一個隨 BER 變大的倍數來記帳。DJ（deterministic jitter，確定性抖動） 由確定的物理機制驅動（碼間干擾、佔空比失真、電源漣波），幅度有物理上限， 用 peak-to-peak 記帳、不隨 BER 放大。dual-Dirac 模型就是把「任意形狀的有界 DJ」 壓縮成兩支 Dirac、把 RJ 保留為高斯，換取一條可以外插到 10−1210^{-12} 的直線。 量測 10−1210^{-12} 的 BER 要等 101210^{12} 個位元——10 Gb/s 也要 100 秒才「平均看到一次錯」， 要有統計信心得等小時級；外插不是偷懶，是工程必需。

第 1 步：RJ——無界高斯，從 phase noise 一路走來（本站鏈）​

RJ 就是本站前六章建立的整條鏈的終點，逐步回顧（每步有專頁）：

  1. device 白噪 → 1/f² phase noise：[P1] Eq.(21), p.185 給 L{Δω}=10log⁡10 ⁣(Γrms2qmax2⋅in2‾/Δf4Δω2)\mathcal{L}\{\Delta\omega\}=10\log_{10}\!\big(\tfrac{\Gamma_{rms}^2}{q_{max}^2}\cdot\tfrac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{4\Delta\omega^2}\big) （Γrms\Gamma_{rms} 無因次、qmaxq_{max} 單位 C、in2‾/Δf\overline{i_n^2}/\Delta f 單位 A²/Hz）。 詳見 white_noise_to_phase_noise。
  2. phase noise 積分 → rms jitter：σt=12πf0∫f1f2Sϕ(f) df\sigma_t=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int_{f_1}^{f_2}S_\phi(f)\,df} （單位 s；canonical 例 C：f0=5f_0=5 GHz、L(1MHz)=−100\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100 dBc/Hz、1/f²、積 1→100 MHz → σt=447.9\sigma_t=447.9 fs）。詳見 lab_08。
  3. 時域觀點——隨機漫步：[P2] Eq.(8), p.792 給累積相位 jitter σΔϕ=κΔt\sigma_{\Delta\phi}=\kappa\sqrt{\Delta t}（κ\kappa 單位 1/s1/\sqrt{\text{s}}，由 [P2] Eq.(11)/(12), p.793 κ=Γrmsqmax12in2‾/Δf\kappa=\tfrac{\Gamma_{rms}}{q_{max}}\sqrt{\tfrac12\overline{i_n^2}/\Delta f}； 注意式中沒有 ω0\omega_0——換成時間版要再除 ω0\omega_0）。
  4. 為什麼是高斯：每個週期振盪器吃進大量彼此獨立的微小雜訊踢擊，總相位誤差是 獨立增量之和 → 中央極限定理 → 高斯。lab_11 用 Monte-Carlo 直接驗證了直方圖是高斯、σ∝ΔN\sigma\propto\sqrt{\Delta N}。

RJ 的關鍵性質：無上界。 高斯的尾巴永遠不為零——不存在「保證不越界」的 margin， 只能問「越界機率多小」。這就是為什麼 RJ 必須用 σ\sigma 搭配目標 BER 記帳（第 3 步的 QQ 函數）。

第 2 步：DJ——有界，由確定機制驅動​

DJ 是 ISF 理論「看不見」的那一半（它不來自振盪器的隨機雜訊），但 SerDes 量到的 TJ 裡它常常最大。 三個主要來源，各有明確物理與明確上限：

DJ 種類物理機制PDF 形狀為何有界
ISI（inter-symbol interference，碼間干擾）通道頻寬有限、有記憶：edge 位置依賴前面的位元 pattern多支離散尖峰（每種 pattern 一支）通道脈衝響應長度有限
DCD（duty-cycle distortion，佔空比失真）上升/下降緣不對稱、threshold 偏移：上升緣系統性偏早、下降緣偏晚恰好兩支 Dirac不對稱量固定
PJ/SJ（periodic/sinusoidal jitter；電源 spur、串擾）電源漣波經 supply pushing 調變 VCO（見 varactor_tuning_supply_pushing）、鄰近時脈耦合arcsine（雙角）分布弦波幅度固定

注意 DCD 的 PDF 本來就是兩支 Dirac——dual-Dirac 模型對它是精確的； 模型的名字與形狀正是從這種「最壞情況形狀」來的。

弦波 DJ 的 PDF（arcsine 分布），逐步推導。 這是 lab_31 用的 DJ，也是電源 spur 的標準模型。 設 edge 的時間偏移 x=Asin⁡θx=A\sin\theta，AA 為幅度（單位 s），spur 與資料不同步， 所以取樣到的相位 θ\theta 在 [0,2π)[0,2\pi) 均勻分布，pΘ(θ)=12πp_\Theta(\theta)=\tfrac{1}{2\pi}（單位 1/rad）。 變數變換：一個週期內每個 x∈(−A,A)x\in(-A,A) 對應兩個 θ\theta 分支，每支貢獻 pΘ/∣dx/dθ∣p_\Theta/\vert dx/d\theta\vert，而 ∣dx/dθ∣=A∣cos⁡θ∣=A2−x2\vert dx/d\theta\vert=A\vert\cos\theta\vert=\sqrt{A^2-x^2}：

pDJ(x)=2⋅12π⋅1A2−x2=1πA2−x2,∣x∣<Ap_{DJ}(x)=2\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}=\frac{1}{\pi\sqrt{A^2-x^2}},\qquad \vert x\vert\lt A
  • 單位：1/[s2]=1/[s]1/\sqrt{[\text{s}^2]}=1/[\text{s}] ✓（PDF 對 xx 積分無因次）。
  • 歸一化檢查：∫−AAdxπA2−x2=1π[arcsin⁡xA]−AA=1π(π2+π2)=1\int_{-A}^{A}\frac{dx}{\pi\sqrt{A^2-x^2}}=\frac{1}{\pi}\big[\arcsin\tfrac{x}{A}\big]_{-A}^{A}=\frac{1}{\pi}\big(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\big)=1 ✓。
  • 物理：弦波在轉折點附近停留最久 → 機率密度在 ±A\pm A 兩端發散（可積的「雙角」）。 lab_31 圖 (a) 的直方圖清楚可見這兩支角。
  • 有界：DJpp=2A\mathrm{DJ}_{pp}=2A（peak-to-peak，單位 s）。適用條件：spur 與資料 asynchronous （相位均勻）；若 spur 與資料鎖定（synchronous），PDF 退化成離散尖峰，仍有界。

第 3 步：QQ 函數——高斯尾巴積分，Q−1(10−12)=7.03Q^{-1}(10^{-12})=7.03 從哪來​

RJ 的記帳工具是高斯尾巴機率。標準常態 X∼N(0,1)X\sim\mathcal{N}(0,1)（無因次）：

Q(x)≡P(X>x)=∫x∞12π e−u2/2 duQ(x)\equiv P(X\gt x)=\int_x^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-u^2/2}\,du

逐步化成 erfc（這樣才接得上 scipy 與本站 serdes_utils.Q）。代換 u=2 su=\sqrt2\,s、du=2 dsdu=\sqrt2\,ds， 積分下限變 x/2x/\sqrt2：

Q(x)=22π∫x/2∞e−s2 ds=1π∫x/2∞e−s2 ds=12 erfc ⁣(x2)Q(x)=\frac{\sqrt2}{\sqrt{2\pi}}\int_{x/\sqrt2}^{\infty}e^{-s^2}\,ds=\frac{1}{\sqrt\pi}\int_{x/\sqrt2}^{\infty}e^{-s^2}\,ds=\frac12\,\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x}{\sqrt2}\Big)

最後一步用了定義 erfc(z)=2π∫z∞e−s2ds\mathrm{erfc}(z)=\tfrac{2}{\sqrt\pi}\int_z^\infty e^{-s^2}ds。 一般高斯（平均 μ\mu、標準差 σ\sigma，單位皆 s）再代換一次 u=(v−μ)/σu=(v-\mu)/\sigma 得 P(V>v)=Q ⁣(v−μσ)P(V\gt v)=Q\!\big(\tfrac{v-\mu}{\sigma}\big)——QQ 的引數永遠是「離平均幾個 σ\sigma」，無因次 ✓。

深尾漸近式（分部積分一次）：

Q(x)≈e−x2/2x2π(x≫1, 相對誤差約 1/x2)Q(x)\approx\frac{e^{-x^2/2}}{x\sqrt{2\pi}}\quad(x\gg1,\ \text{相對誤差約}\ 1/x^2)

用它口算 Q(7.03)Q(7.03)：指數 7.0342/2=24.77.034^2/2=24.7、e−24.7≈1.8×10−11e^{-24.7}\approx1.8\times10^{-11}、 除以 7.03×2.507≈17.67.03\times2.507\approx17.6 → ≈1.0×10−12\approx1.0\times10^{-12} ✓。這就是全站 jitter 章一直在用的 「BER 10−1210^{-12} ↔ 7.03σ7.03\sigma」對照（與 06 exercises 的 QQ 表一致）：

目標 BERQ−1(BER)Q^{-1}(\text{BER})RJ peak-to-peak =2Q−1σ=2Q^{-1}\sigma
10−910^{-9}5.9985.99812.0 σ12.0\,\sigma
10−1210^{-12}7.0347.034（本站記 7.03）14.07 σ14.07\,\sigma
10−1510^{-15}7.9417.941（本站記 7.94）15.88 σ15.88\,\sigma

一行 Python 驗證（引用本站真實 API；Q−1Q^{-1} 用 erfcinv 反解上面的尾巴積分）：

import numpy as np
from scipy.special import erfcinv
from simulations.common.serdes_utils import Q
q = np.sqrt(2) * erfcinv(2 * 1e-12)              # Q 的反函數（尾巴積分反解）
print("Qinv(1e-12) =", round(float(q), 3))       # -> 7.034
print("Q(7.034)    =", float(Q(7.034)))          # -> 1.0e-12

第 4 步：dual-Dirac 模型——定義與 PDF​

模型做兩件事（外部文獻，非本站 5 篇 PDF；方法論出處見頁尾）：

  1. TJ 的 PDF 是 DJ 的 PDF 與高斯 RJ 的卷積（RJ 與 DJ 統計獨立）： pTJ=pDJ∗gσp_{TJ}=p_{DJ}*g_\sigma，其中 gσ(x)=1σ2πe−x2/2σ2g_\sigma(x)=\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}（單位 1/s）。
  2. 把任意形狀的有界 pDJp_{DJ} 壓縮成兩支等權 Dirac，間距記作 DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta}：
pDJ(x) ⟶ 12 δ(x−μR)+12 δ(x−μL),DJδδ≡μR−μLp_{DJ}(x)\ \longrightarrow\ \frac12\,\delta(x-\mu_R)+\frac12\,\delta(x-\mu_L),\qquad \mathrm{DJ}_{\delta\delta}\equiv\mu_R-\mu_L

卷積用 Dirac 的取樣性質 ∫δ(v−μ)gσ(x−v)dv=gσ(x−μ)\int\delta(v-\mu)g_\sigma(x-v)dv=g_\sigma(x-\mu)，一步得模型 PDF：

pδδ(x)=12 gσ(x−μR)+12 gσ(x−μL)p_{\delta\delta}(x)=\frac12\,g_\sigma(x-\mu_R)+\frac12\,g_\sigma(x-\mu_L)

——兩顆同 σ\sigma 的高斯，各佔一半機率。對稱情形（本頁與 lab_31）μR=−μL=μ=DJδδ/2\mu_R=-\mu_L=\mu=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}/2。

尾巴（tail）函數，逐步積分。 定義 T(x)≡P(jitter>x)=1−F(x)T(x)\equiv P(\text{jitter}\gt x)=1-F(x)（FF 為 CDF）。 對模型 PDF 逐項用第 3 步的結果 ∫x∞gσ(v−μ) dv=Q(x−μσ)\int_x^\infty g_\sigma(v-\mu)\,dv=Q\big(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)：

Tδδ(x)=12 Q ⁣(x−μRσ)+12 Q ⁣(x−μLσ)T_{\delta\delta}(x)=\frac12\,Q\!\Big(\frac{x-\mu_R}{\sigma}\Big)+\frac12\,Q\!\Big(\frac{x-\mu_L}{\sigma}\Big)

深尾只剩一項。 兩項之比（用漸近式，對稱情形）：

Q(x+μσ)Q(x−μσ)≈exp⁡ ⁣(−(x+μ)2−(x−μ)22σ2)=exp⁡ ⁣(−2μxσ2)=exp⁡ ⁣(−DJδδ xσ2)\frac{Q\big(\tfrac{x+\mu}{\sigma}\big)}{Q\big(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)}\approx\exp\!\Big(-\frac{(x+\mu)^2-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)=\exp\!\Big(-\frac{2\mu x}{\sigma^2}\Big)=\exp\!\Big(-\frac{\mathrm{DJ}_{\delta\delta}\,x}{\sigma^2}\Big)

以 lab_31 的數字（DJδδ=3.16\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=3.16 ps、σ=1.03\sigma=1.03 ps、關心的 x≈8.6x\approx8.6 ps） 這個比值 ≈e−25.6≈8×10−12\approx e^{-25.6}\approx8\times10^{-12}——完全可忽略。所以深尾就是單顆權重 ½ 的高斯：

Tδδ(x)≈12 Q ⁣(x−μσ)(x 在右深尾)T_{\delta\delta}(x)\approx\frac12\,Q\!\Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big)\qquad(x\ \text{在右深尾})

Q-scale 直線——萃取 (DJδδ,σ)(\mathrm{DJ}_{\delta\delta},\sigma) 的原理。 把上式反解：

Q−1(2 T(x))=x−μσQ^{-1}\big(2\,T(x)\big)=\frac{x-\mu}{\sigma}

——在「Q-scale」上（縱軸畫 Q−1(2T)Q^{-1}(2T)、橫軸 xx），深尾是一條直線：斜率 1/σ1/\sigma、 橫軸截距 μ=DJδδ/2\mu=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}/2。儀器（BERT scan 或示波器的 TIE 直方圖）就是對量到的 尾巴做這條直線擬合。注意 Q−1Q^{-1} 裡的 factor 2：它記帳的是「每支 Dirac 只佔一半機率」 ——這是本頁第一個要盯住的 factor-of-2（第 7 步還有兩個）。

第 5 步：bathtub 曲線——從 jitter CDF 逐步導出​

設 NRZ 資料、UI（unit interval）=Tb=T_b（單位 s）。eye 中心為時間原點，取樣時刻 offset 為 tt； 左 data edge 名目在 −UI/2-UI/2、右 edge 在 +UI/2+UI/2，各自帶 jitter xx（同分布，尾巴 TT、CDF FF）。

  1. 錯誤事件一（左 edge 遲到）：左 edge 實際落在 −UI/2+x-UI/2+x；若它晚於取樣時刻， 即 −UI/2+x>t⇔x>UI/2+t-UI/2+x\gt t\Leftrightarrow x\gt UI/2+t，取樣器讀到前一個位元。機率 =T(UI/2+t)=T(UI/2+t)。
  2. 錯誤事件二（右 edge 早到）：右 edge 實際落在 +UI/2+x+UI/2+x；若它早於取樣時刻， 即 UI/2+x<t⇔x<−(UI/2−t)UI/2+x\lt t\Leftrightarrow x\lt-(UI/2-t)，機率 =F(−(UI/2−t))=F(-(UI/2-t))， 對稱分布下 =T(UI/2−t)=T(UI/2-t)。
  3. 只有「有跳變」才會錯：隨機資料相鄰位元不同的機率是 12\tfrac12（transition density ρT=12\rho_T=\tfrac12）。兩事件都是稀有事件，聯集機率 ≈\approx 相加（交集是二階小量）：
 BER(t)=12[T ⁣(UI2−t)+T ⁣(UI2+t)] \boxed{\ \mathrm{BER}(t)=\frac12\Big[T\!\Big(\frac{UI}{2}-t\Big)+T\!\Big(\frac{UI}{2}+t\Big)\Big]\ }

一致性檢查：純 RJ 時 T(x)=Q(x/σt)T(x)=Q(x/\sigma_t)，上式退化成 BER(t)=12[Q(UI/2−tσt)+Q(UI/2+tσt)]\mathrm{BER}(t)=\tfrac12[Q(\tfrac{UI/2-t}{\sigma_t})+Q(\tfrac{UI/2+t}{\sigma_t})] ——正是 lab_12 與 serdes_utils.ber_bathtub 的公式 ✓。bathtub 的兩面「壁」就是 jitter CDF 的左右尾巴，只是橫軸從「jitter 大小」 換成「取樣位置」重畫。DJ 的效果一目了然：它把整條尾巴平移 ≈μ\approx\mu → 兩壁往內推； RJ 決定壁的斜率（在 log-BER 座標，斜率由 σ\sigma 定）。

  • Dimension check：TT 的引數 [s][\text{s}]、輸出是機率（無因次）；BER 無因次 ✓。
  • 適用：稀有事件（BER≪1\mathrm{BER}\ll1）、edge jitter 平穩且與資料獨立（ISI 嚴格說與資料相關， 見第 8 步失效條件）。

第 6 步：TJ(BER) 外插公式——推導與 factor 稽核​

推導。 目標：在指定 BER 下，eye 被 jitter「吃掉」多寬。右壁位置 xRx_R 定義為右深尾的 主導高斯掉到目標 BER 的位置（業界慣例直接用 per-Gaussian 尾巴 == BER 記帳，稽核見下）：

Q ⁣(xR−μσ)=BER ⟹ xR=μ+σ Q−1(BER)Q\!\Big(\frac{x_R-\mu}{\sigma}\Big)=\mathrm{BER}\ \Longrightarrow\ x_R=\mu+\sigma\,Q^{-1}(\mathrm{BER})

對稱地左壁 xL=−μ−σQ−1(BER)x_L=-\mu-\sigma Q^{-1}(\mathrm{BER})。total jitter 定義為兩壁吃掉的總寬：

 TJ(BER)=xR−xL=DJδδ+2 Q−1(BER) σ \boxed{\ \mathrm{TJ}(\mathrm{BER})=x_R-x_L=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+2\,Q^{-1}(\mathrm{BER})\,\sigma\ }

BER =10−12=10^{-12} 時 TJ=DJδδ+14.07 σ\mathrm{TJ}=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+14.07\,\sigma。eye 水平開度 =UI−TJ(BER)=UI-\mathrm{TJ}(\mathrm{BER})。

  • Dimension check：[s]+[無因次]×[s]=[s][\text{s}]+[\text{無因次}]\times[\text{s}]=[\text{s}] ✓。
  • 物理意義：DJ 部分不隨 BER 變（有界、一次吃掉）；RJ 部分隨 BER 變嚴而以 Q−1Q^{-1} 緩慢長大（10−12→10−1510^{-12}\to10^{-15} 只從 14.07σ14.07\sigma 到 15.88σ15.88\sigma——高斯尾巴的 對數增長）。

Factor-of-2 稽核（本站慣例：把每個 2 講清楚）。上式用 Q−1(BER)=7.034Q^{-1}(\mathrm{BER})=7.034， 隱含「每顆高斯的尾巴 == BER」。嚴格照第 4、5 步的記帳還有兩個 ½： Dirac 權重 ½（per-side 尾巴 T=12QT=\tfrac12Q）與 transition density ρT=12\rho_T=\tfrac12（bathtub 再乘 ½）。 全部算進去，壁的位置由 Q=4×BERQ=4\times\mathrm{BER} 決定：

慣例壁條件倍數（BER =10−12=10^{-12}）lab_31 實得 TJ
per-Gaussian（業界公式）Q=BERQ=\mathrm{BER}7.0347.03417.6517.65 ps
per-side 尾巴 T=BERT=\mathrm{BER}Q=2 BERQ=2\,\mathrm{BER}6.9376.93717.4317.43 ps
bathtub（ρT=12\rho_T=\tfrac12，本站 lab_12 慣例）Q=4 BERQ=4\,\mathrm{BER}6.8396.83917.2317.23 ps

三者相差 Q−1(10−12)−Q−1(4×10−12)=0.196 σQ^{-1}(10^{-12})-Q^{-1}(4\times10^{-12})=0.196\,\sigma/側——本例共 0.400.40 ps、 約 TJ 的 2%，業界公式偏保守。實務上這不構成問題，因為 (DJδδ,σ)(\mathrm{DJ}_{\delta\delta},\sigma) 是用同一套慣例從尾巴擬合出來再代回去外插的——慣例一致時誤差幾乎對消； 但比較不同儀器的 DJ/RJ 報告時，必須先問它用哪個慣例。（lab_31 把三個數字都印出來。）

第 7 步：誠實聲明——DJδδ≤DJpp\mathrm{DJ}_{\delta\delta}\le\mathrm{DJ}_{pp}，而且低報是故意的​

這是 dual-Dirac 最常被誤解的一點：DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 是模型參數，不是實際的 peak-to-peak DJ。lab_31 的數字：真實弦波 DJ 的 DJpp=4.0\mathrm{DJ}_{pp}=4.0 ps，擬合出的 DJδδ=3.16\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=3.16 ps。

為什麼一定偏小（推導）。 總 jitter 尾巴是 DJ 分布對高斯尾巴的平均 （把卷積的積分順序交換一次即得）：

T(x)=P(u+n>x)=∫−AApDJ(u) Q ⁣(x−uσ) duT(x)=P(u+n\gt x)=\int_{-A}^{A}p_{DJ}(u)\,Q\!\Big(\frac{x-u}{\sigma}\Big)\,du

因為 u≤Au\le A 且 QQ 嚴格遞減，被積函數逐點滿足 Q(x−uσ)≤Q(x−Aσ)Q\big(\tfrac{x-u}{\sigma}\big)\le Q\big(\tfrac{x-A}{\sigma}\big)。 把積分拆成右半（u>0u\gt0，總質量 ½）與左半（u≤0u\le0，深尾時貢獻再小 e−Ax/σ2e^{-Ax/\sigma^2} 倍）：

T(x) ≤ 12 Q ⁣(x−Aσ)+12 Q ⁣(xσ)⏟指數小T(x)\ \le\ \frac12\,Q\!\Big(\frac{x-A}{\sigma}\Big)+\underbrace{\frac12\,Q\!\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)}_{\text{指數小}}

等號只在右半質量全部集中在 u=Au=A（即 DCD 那種兩點分布）時成立。翻到 Q-scale： Q−1(2T(x)) ≥ x−AσQ^{-1}(2T(x))\ \ge\ \tfrac{x-A}{\sigma}——真實尾巴曲線永遠在「Dirac 放在真極值 AA」 那條線的上方（lab_31 圖 (b) 的藍線 vs 灰虛線）。對真實曲線做直線擬合，截距必然 μ≤A\mu\le A，即：

DJδδ=2μ ≤ 2A=DJpp\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=2\mu\ \le\ 2A=\mathrm{DJ}_{pp}

為什麼低報反而讓 TJ 準。 外插要準，需要的是「在目標 BER 那幾個 decade，直線貼住 真實的尾巴高度」——擬合正是這樣錨定的（lab_31：dual-Dirac 外插的 eye opening 82.7682.76 ps vs 精確複合的 82.7782.77 ps，差 0.010.01 ps）。反過來，若把 Dirac 硬放在真極值 ±A\pm A（把 DJpp=4.0\mathrm{DJ}_{pp}=4.0 ps 當 DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 用），光 DJ 項就多報 4.0−3.16=0.844.0-3.16=0.84 ps：代入公式（真 σ=1.0\sigma=1.0 ps）得 TJ=4.0+14.07×1.0=18.07\mathrm{TJ}=4.0+14.07\times1.0=18.07 ps， 比精確 bathtub 的 17.2317.23 ps 悲觀 0.840.84 ps——白白丟掉 margin。 直覺：DJ 分布靠近極值處只有有限的機率質量（弦波雖有雙角、仍是可積奇點）， 深尾實際上是「打了折的高斯」，等效中心自然縮進來。

代價（也要誠實說）：

  • DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 依賴擬合深度。lab_31 掃三個擬合窗： T∈[10−8,10−4]→3.07T\in[10^{-8},10^{-4}]\to3.07 ps、[10−10,10−6]→3.16[10^{-10},10^{-6}]\to3.16 ps、 [10−14,10−10]→3.27[10^{-14},10^{-10}]\to3.27 ps——越深越靠近（但不超過）DJpp\mathrm{DJ}_{pp}。 報告 DJ/RJ 分解時應註明擬合窗；規格文件（MJSQ 系）對此有明確方法論。
  • DJ 會「漏」進 σ\sigma：擬合出 σ=1.03\sigma=1.03 ps，比真實 RJ 的 1.001.00 ps 略大—— DJ 尾巴殘餘的曲率被直線吸收成斜率的一部分。所以別把儀器報的 RJ 直接當 振盪器 phase noise 的積分值去對帳（差幾 % 屬正常）；對帳要用乾淨時脈 pattern 隔離 DJ。

第 8 步：lab_31 數值驗證​

完整 script：simulations/lab_31_dual_dirac.py（相依：simulations/common/serdes_utils.py 的 Q、simulations/common/plot_utils.py 的 savefig；執行 python scripts/run_all_sims.py 會一併重跑）。合成 RJ（σ=1\sigma=1 ps 高斯）++ 弦波 DJ（A=2A=2 ps → DJpp=4\mathrm{DJ}_{pp}=4 ps） 於 UI=100UI=100 ps（10 Gb/s，同 lab_12）。尾巴 T(x)T(x) 用「對弦波相位取平均」半解析算到 10−1510^{-15} 深度（無 Monte-Carlo 雜訊），擬合按第 4 步的 Q-scale 直線。

參數變數值單位說明
RJ rmssigma_rj1×10−121\times10^{-12}s高斯、無界（教學上放大；canonical 例 C 的時脈是 447.9 fs）
DJ 幅度a_dj2×10−122\times10^{-12}s弦波（電源 spur 型），DJpp=2A=4\mathrm{DJ}_{pp}=2A=4 ps
單位間隔ui100×10−12100\times10^{-12}s10 Gb/s NRZ
目標 BERber_target10−1210^{-12}—常見 SerDes 規格
擬合窗t_deep, t_shallow[10−10,10−6][10^{-10},10^{-6}]—（尾巴機率）Q-scale 直線擬合區
MC 樣本數n_mc2×1062\times10^6—只用於直方圖

執行輸出（節錄，# -> 為可驗證標記）：

extracted DJ_dd = 3.16 ps      # -> 3.16 (< DJ_pp = 4.0)
extracted sigma = 1.03 ps      # -> 1.03 (true RJ rms 1.0)
TJ@1e-12 (formula)  = 17.65 ps # -> 17.65
TJ@1e-12 (bathtub)  = 17.23 ps # -> 17.23
eye opening @1e-12: composite 82.77 ps vs dual-Dirac 82.76 ps

左：RJ⊛弦波DJ 的直方圖與精確 PDF（雙角），對比擬合出的 dual-Dirac 模型 PDF（兩顆高斯，Dirac 位置 ±1.58 ps 在真極值 ±2 ps 內側）；中：Q-scale 尾巴擬合，藍色精確曲線在灰色「Dirac 放真極值」線上方，橘色為擬合窗；右：BER bathtub，精確複合與 dual-Dirac 外插幾乎重合，RJ-only 對照組的可用窗更寬

怎麼讀這張圖：

  • (a) PDF：藍色（真實）有 arcsine 雙角被高斯抹圓；紅虛線（dual-Dirac）在中段明顯 不貼——模型從不宣稱 PDF 貼合，它只對深尾負責。紅點虛線（Dirac 位置 ±μ=±1.58\pm\mu=\pm1.58 ps） 在灰點虛線（真極值 ±2\pm2 ps）內側：這就是 DJδδ<DJpp\mathrm{DJ}_{\delta\delta}\lt\mathrm{DJ}_{pp}。
  • (b) Q-scale：深尾區藍線筆直 → 高斯主導；紅虛線是擬合直線（斜率 1/σ1/\sigma、截距 μ\mu）； 灰點線是「Dirac 硬放 ±A\pm A」的悲觀預測，落在真實曲線下方（同一 xx 給更大的尾巴機率）。
  • (c) bathtub：藍（精確）與紅虛（dual-Dirac 外插）在 10−1210^{-12} 幾乎重合（開口差 0.01 ps） ——模型的本職；綠點線（RJ-only、無 DJ）開口寬得多：DJ 平移壁、RJ 定斜率。

互動：親手擬合一次。 下面的小工具讓你直接操控 RJ σ 與弦波 DJ 幅度 AA（合成母體， seeded PRNG，N=20,000N=20{,}000），並在兩個 BER decade 擬合窗（淺：[10−3,10−6][10^{-3},10^{-6}]；深： [10−6,10−9][10^{-6},10^{-9}]）之間切換，即時看到 DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta}、σfit\sigma_{fit}、 兩者的差 Δ=DJpp−DJδδ\Delta=\mathrm{DJ}_{pp}-\mathrm{DJ}_{\delta\delta}，以及 TJ@10−12\mathrm{TJ}@10^{-12} 外插值如何隨擬合深度移動——這正是第 7 步「擬合越深、DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 越逼近但不超過 DJpp\mathrm{DJ}_{pp}」的量化版本，換成你自己選的 σ,A\sigma,A 也成立。

Dual-Dirac Q-scale 擬合器 — 萃取 DJ_δδ 與 σ_fit，比較擬合深度
1.00 ps
2.0 ps
(a) TJ 直方圖（N=20,000，seeded）— 雙角＋高斯抹圓
-8 ps8 psTJ（ps）
(b) Q-scale bathtub 尾巴 — 用下方按鈕拖動擬合區
1e-31e-61e-91e-12x（ps）Q⁻¹(2T)
― 淺擬合區（橘）― 深擬合區（藍）― 真實尾巴（半解析、精確—— 與 lab_31 同法；粗線＝目前選取的擬合深度）。
DJ_δδ（擬合）
3.15
ps
DJ_pp （真實）
4.00
ps
Δ = DJ_pp − DJ_δδ
0.85
ps
σ_fit / σ_true
1.03 / 1.00
ps
TJ@10⁻¹² （外插）
17.65
ps
淺（[10⁻³, 10⁻⁶]）：DJ_δδ = 2.99 ps、σ_fit = 1.05 ps、TJ@10⁻¹² = 17.74 ps。 深（[10⁻⁶, 10⁻⁹]）：DJ_δδ = 3.15 ps、σ_fit = 1.03 ps、TJ@10⁻¹² = 17.65 ps。 教訓：DJ_δδ 恆小於 DJ_pp，且擬合越深，DJ_δδ 越逼近（但不超過）DJ_pp——因為深尾巴主要由弦波的轉折點主導， 那裡才是 DJ 機率質量真正集中的地方。
模型：RJ ~ N(0, σ²) ⊛ 弦波 DJ = A·sin(θ)，θ ~ U[0, 2π)（arcsine「雙角」分布；見本頁第 2 步）。 直方圖／CDF 面板用 N = 20,000 筆 seeded 樣本（mulberry32）純示意；擬合本身用半解析尾巴 T(x) = ⟨Q((x−A sinθ)/σ)⟩_θ（與 simulations/lab_31_dual_dirac.py 同法），因為這麼深的 BER 窗口 任何有限樣本都無法誠實估計。Q(x) 用 Numerical Recipes 的 erfc 近似；Q⁻¹ 用 Acklam 對反常態 CDF 的有理函數近似。 Pedagogical toy model——真實鏈路是 ISI+DCD+PJ 疊加、且 ISI 與資料相關（見本頁第 8 步／適用條件表）。

一行式驗證（引用 lab_31 的真實函式；跑一次約數秒）：

from simulations.lab_31_dual_dirac import fit_dual_dirac, q_inv
dj_dd, sigma_fit, _ = fit_dual_dirac(a_dj=2e-12, sigma_rj=1e-12)
print("DJ_dd =", round(dj_dd * 1e12, 2), "ps")                    # -> 3.16
print("sigma =", round(sigma_fit * 1e12, 2), "ps")                # -> 1.03
tj = dj_dd + 2 * q_inv(1e-12) * sigma_fit
print("TJ@1e-12 =", round(float(tj) * 1e12, 2), "ps")             # -> 17.65

這是 pedagogical 模型（非 transistor-level）：DJ 只取單一弦波、RJ 取白噪積分後的 等效高斯；真實鏈路的 DJ 是 ISI+DCD+PJ 的疊加、且 ISI 與資料 pattern 相關。

Worked examples 數值例題​

例 1（TJ 預算：canonical 時脈 + 給定 DJ） 10 Gb/s（UI=100UI=100 ps）。時脈 RJ 用 canonical 例 C：σt=447.9\sigma_t=447.9 fs （f0=5f_0=5 GHz、L(1MHz)=−100\mathcal{L}(1\text{MHz})=-100 dBc/Hz、1/f²、積 1→100 MHz）。 鏈路量得 DJδδ=3\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=3 ps。求 BER =10−12=10^{-12} 的 TJ 與 eye 開度。

逐步代入（帶單位）：

TJ=DJδδ+2 Q−1(10−12) σt=3 ps+14.07×0.4479 ps=3 ps+6.30 ps=9.30 ps,eye 開度=UI−TJ=100−9.30=90.7 ps=0.907 UI.\begin{aligned} \mathrm{TJ}&=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+2\,Q^{-1}(10^{-12})\,\sigma_t=3\ \text{ps}+14.07\times0.4479\ \text{ps}\\ &=3\ \text{ps}+6.30\ \text{ps}=9.30\ \text{ps},\\[4pt] \text{eye 開度}&=UI-\mathrm{TJ}=100-9.30=90.7\ \text{ps}=0.907\ UI. \end{aligned}

RJ 項 6.306.30 ps 與 serdes_clocking_connection 第 4 步「448 fs → RJ 吃掉 6.36.3 ps」一致 ✓。Dimension check：[s]+[−]×[s]=[s][\text{s}]+[-]\times[\text{s}]=[\text{s}] ✓。

sigma_t = 447.9e-15; dj_dd = 3e-12; ui = 100e-12
tj = dj_dd + 14.07 * sigma_t
print("TJ@1e-12 =", round(tj * 1e12, 2), "ps")            # -> 9.3
print("eye opening =", round((ui - tj) * 1e12, 1), "ps")  # -> 90.7

例 2（反推 RJ 規格 → phase noise 規格） 同一鏈路，系統分給時脈路徑的 TJ 預算是 3030 ps（0.3 UI0.3\,UI），鏈路 DJ 佔 DJδδ=20\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=20 ps。問：時脈 RJ 最多多少？換算回 L(1MHz)\mathcal{L}(1\text{MHz}) 規格（假設同例 C 的 1/f² 形狀與 1→100 MHz 積分頻寬）多少？

逐步代入（帶單位）：

σt,max=TJ−DJδδ2 Q−1(10−12)=30−20 ps14.07=0.7107 ps=710.7 fs\sigma_{t,max}=\frac{\mathrm{TJ}-\mathrm{DJ}_{\delta\delta}}{2\,Q^{-1}(10^{-12})}=\frac{30-20\ \text{ps}}{14.07}=0.7107\ \text{ps}=710.7\ \text{fs}

1/f² 形狀固定時 σt∝10L(1MHz)/20\sigma_t\propto10^{\mathcal{L}(1\text{MHz})/20}（振幅正比）， 而例 C 的錨點是 −100-100 dBc/Hz →447.9\to447.9 fs，所以容許放寬：

ΔL=20log⁡10710.7447.9=+4.0 dB ⟹ L(1MHz)≤−96.0 dBc/Hz\Delta\mathcal{L}=20\log_{10}\frac{710.7}{447.9}=+4.0\ \text{dB}\ \Longrightarrow\ \mathcal{L}(1\text{MHz})\le-96.0\ \text{dBc/Hz}

Dimension check：[s]/[−]=[s][\text{s}]/[-]=[\text{s}] ✓；dB 換算作用在無因次比值上 ✓。 設計訊息：DJ 吃掉預算的三分之二時，RJ 規格立刻掉到 sub-ps——這就是為什麼 SerDes 團隊要分開追 DJ（版圖/電源/等化）與 RJ（振盪器 phase noise，ISF 的地盤）。

import numpy as np
ui, tj_budget, dj_dd = 100e-12, 30e-12, 20e-12
sigma_max = (tj_budget - dj_dd) / 14.07
print("sigma_max =", round(sigma_max * 1e15, 1), "fs")     # -> 710.7
dL = 20 * np.log10(sigma_max / 447.9e-15)
print("L(1MHz) max =", round(-100 + dL, 1), "dBc/Hz")      # -> -96.0

適用與失效條件​

假設成立時失效時
RJ 高斯且平穩熱噪主導、free-running 或 loop 內測深尾被 spur 汙染、非平穩（溫漂）時 Q-scale 不再直線
DJ 有界且與 RJ 獨立電源 spur、DCD、固定通道 ISIDJ 幅度緩變（電源負載跳動）→ 分解隨時間漂
深尾單高斯主導擬合窗夠深（T≲10−6T\lesssim10^{-6}）擬合窗太淺：DJ 曲率殘留 → σ\sigma 高估、DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta} 低估更多
edge jitter 與資料獨立時脈 jitter、非同步 spurISI 與 pattern 相關：嚴格處理要按 pattern 分箱（CDF 條件化）再合成
稀有事件相加（union ≈\approx sum）BER≪1\mathrm{BER}\ll1眼睛近乎閉合（BER 接近 0.5）時高階項不可忽略
慣例一致同一儀器/同一套 QQ 慣例內比較跨儀器比 DJ/RJ 數字：per-Gaussian vs ρT\rho_T 慣例差 ≈0.2σ\approx0.2\sigma/側（第 6 步稽核表）

與 ISF / 本站鏈的關係、design knobs​

  • ISF 管 RJ：σt\sigma_t 的所有旋鈕都在前面章節——降 Γrms\Gamma_{rms}（波形對稱、 symmetry）、加 qmaxq_{max}（tank_swing）、 降 SiS_i、loop high-pass 截積分下限（serdes_clocking_connection 第 6 步）。
  • ISF 看不見 DJ：DJ 的旋鈕是電源完整性（LDO/去耦，對付 PJ）、等化（CTLE/DFE，對付 ISI）、 duty-cycle 校正（對付 DCD）。spur 與隨機 phase noise 在頻譜上如何區分，見 measurement_and_spurs。
  • 速記式的精確化：serdes 頁的 TJ=DJpp+2Q⋅RJrms\mathrm{TJ}=\mathrm{DJ}_{pp}+2Q\cdot\mathrm{RJ}_{rms} 是工程速記（偏保守）；嚴格版把 DJpp\mathrm{DJ}_{pp} 換成擬合出的 DJδδ\mathrm{DJ}_{\delta\delta}， 本頁第 7 步量化了兩者的差（本例 4.0 vs 3.16 ps → TJ 多報 0.84 ps）。

重點回顧​

  • RJ：高斯、無界、來自 phase noise（[P1] Eq.(21) → 積分 → σt\sigma_t；[P2] Eq.(8) 隨機漫步）； 用 σ\sigma × Q−1(BER)Q^{-1}(\mathrm{BER}) 記帳。DJ：有界（ISI/DCD/PJ）；用 peak-to-peak 記帳。
  • Q(x)=12erfc(x/2)Q(x)=\tfrac12\mathrm{erfc}(x/\sqrt2) 來自高斯尾巴積分；Q−1(10−12)=7.03Q^{-1}(10^{-12})=7.03、 Q−1(10−15)=7.94Q^{-1}(10^{-15})=7.94。
  • dual-Dirac：pδδ=12gσ(x−μ)+12gσ(x+μ)p_{\delta\delta}=\tfrac12 g_\sigma(x-\mu)+\tfrac12 g_\sigma(x+\mu)； 深尾 T≈12Q(x−μσ)T\approx\tfrac12Q(\tfrac{x-\mu}{\sigma}) → Q-scale 直線擬合取 (DJδδ,σ)(\mathrm{DJ}_{\delta\delta},\sigma)。
  • bathtub BER(t)=12[T(UI2−t)+T(UI2+t)]\mathrm{BER}(t)=\tfrac12[T(\tfrac{UI}{2}-t)+T(\tfrac{UI}{2}+t)] 就是 jitter CDF 的兩條尾巴重畫。
  • TJ(BER)=DJδδ+2Q−1(BER)σ\mathrm{TJ}(\mathrm{BER})=\mathrm{DJ}_{\delta\delta}+2Q^{-1}(\mathrm{BER})\sigma； 慣例（per-Gaussian / per-side / ρT\rho_T）差 ≈0.2σ\approx0.2\sigma/側，比對儀器數字前先對慣例。
  • DJδδ≤DJpp\mathrm{DJ}_{\delta\delta}\le\mathrm{DJ}_{pp} 且故意低報：擬合錨定真實深尾 → 外插準（lab_31：開口差 0.01 ps）；硬用 DJpp\mathrm{DJ}_{pp} 反而悲觀、浪費 margin。 lab_31：DJpp=4.0\mathrm{DJ}_{pp}=4.0 ps → DJδδ=3.16\mathrm{DJ}_{\delta\delta}=3.16 ps、σ=1.03\sigma=1.03 ps、 TJ@10−12=17.6510^{-12}=17.65 ps。

方法論出處（外部文獻，非本站 5 篇 PDF）：dual-Dirac 是業界標準方法，見 INCITS T11.2, Fibre Channel — Methodologies for Jitter and Signal Quality Specification (MJSQ), Technical Report Rev 14.0, June 2005；以及 R. Stephens, "Jitter Analysis: The Dual-Dirac Model, RJ/DJ, and Q-Scale," Agilent Technologies Whitepaper, Dec. 2004。 現代 SerDes 規格（PCIe、OIF-CEI 系列）的 jitter 條款皆沿用此模型。 phase noise / RJ 本身的理論來自 [P1]/[P2]。

延伸閱讀​